2024年5月4日发(作者：耿琇云)
2019年甘肃省定西市中考数学试题及参考答案与解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．下列四个几何体中，是三棱柱的为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（ ）
A．0
3．下列整数中，与
A．3
B．1
B．4
C．2
C．5
D．3
D．6
最接近的整数是（ ）
4．华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007
用科学记数法表示为（ ）
A．7×10
7
﹣
B．0.7×10
8
﹣
C．7×10
8
﹣
D．7×10
9
﹣
5．如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）
A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
6．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（ ）
A．180°
A．x≤3
B．360°
B．x≤﹣3
C．540°
C．x≥3
D．720°
D．x≥﹣3
7．不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（ ）
8．下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）
A．①
B．② C．③
1
D．④
9．如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
10．如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿
AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象
如图②所示，则AD边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.
11．中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平
面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点 ．
12．一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数
据：
实验者
掷币次数
出现“正面朝
上”的次数
频率 0.506 0.507 0.498 0.501 0.492
德•摩根
6140
3109
蒲丰
4040
2048
费勒
10000
4979
皮尔逊
36000
18031
罗曼诺夫斯基
80640
39699
请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为 （精确到0.1）．
13．因式分解：xy
2
﹣4x＝ ．
14．关于x的一元二次方程x
2
+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为 ．
15．将二次函数y＝x
2
﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）
2
+k的形式为 ．
2
16．把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么
这个恒星图形的面积等于 ．
17．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等
腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝ ．
18．已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是 ．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
19．（6分）计算：（﹣2）
2
﹣|
是多少元？
﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）
0
20．（6分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别
21．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC．
（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S
⊙O
＝ ．
22．（8分）如图①是图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩
CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：
当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通
过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．
3
23．（10分）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北
京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：
A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李
欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选
择的可能性相同．
（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？
（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．
四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
24．（8分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年
级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年
级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
收集数据：
七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．
八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
整理数据：
七年级
八年级
分析数据：
七年级
八年级
应用数据：
（1）由上表填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ．
（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？
（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．
25．（10分）如图，已知反比例函数y＝
交于A（1，3），B（3，1）两点
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
4
40≤x≤49
0
1
50≤x≤59
1
0
60≤x≤69
0
0
70≤x≤79
a
7
80≤x≤89
7
b
90≤x≤100
1
2
平均数
78
78
众数
75
d
中位数
c
80.5
（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限
（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b
的图象于点M，交反比例函数y＝
取值范围．
上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的
26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点
B且与BC边相交于点E．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）若CE＝2，求⊙D的半径．
27．（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠
ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．
点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易
证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠
3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所
以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．
问题：如图③，在正方形A
1
B
1
C
1
D
1
中，M
1
是B
1
C
1
边上一点（不含端点B
1
，C
1
），N
1
是正方形
A
1
B
1
C
1
D
1
的外角∠D
1
C
1
H
1
的平分线上一点，且A
1
M
1
＝M
1
N
1
．求证：∠A
1
M
1
N
1
＝90°．
5
28．（12分）如图，抛物线y＝ax
2
+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，
连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存
在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐
标，若不存在，请说明理由；
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何
值时PN有最大值，最大值是多少？
参考答案与解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．下列四个几何体中，是三棱柱的为（ ）
A． B． C． D．
【知识考点】认识立体图形．
【思路分析】分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．
【解答过程】解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；
B、该几何体为四棱锥，不符合题意；
C、该几何体为三棱柱，符合题意；
D、该几何体为圆柱，不符合题意．
故选：C．
【总结归纳】考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大．
6
2．如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（ ）
A．0
【知识考点】数轴．
【思路分析】直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．
【解答过程】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，
∴点B表示的数是：3．
故选：D．
【总结归纳】此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．
3．下列整数中，与
A．3
最接近的整数是（ ）
B．4
＜
C．5
＜
D．6
，10与9的距离小于16与10的距离，可
B．1 C．2 D．3
【知识考点】估算无理数的大小．
【思路分析】由于9＜10＜16，于是
得答案．
【解答过程】解：∵3
2
＝9，4
2
＝16，
∴3＜＜4，
10与9的距离小于16与10的距离，
∴与最接近的是3．
故选：A．
【总结归纳】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
4．华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007
用科学记数法表示为（ ）
A．7×10
7
﹣
B．0.7×10
8
﹣
C．7×10
8
﹣
﹣
D．7×10
9
﹣
【知识考点】科学记数法—表示较小的数．
【思路分析】由科学记数法知0.000000007＝7×10
9
；
【解答过程】解：0.000000007＝7×10
9
；
故选：D．
【总结归纳】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10
n
中a与n的意义是解题的关键．
5．如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）
﹣
A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
【知识考点】几何变换的类型．
7
【思路分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
【解答过程】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不
相同，所以属于相似变换．
故选：B．
【总结归纳】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
6．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【知识考点】多边形内角与外角．
【思路分析】根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°即可求出结果．
【解答过程】解：黑色正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，
故选：C．
【总结归纳】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．
7．不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（ ）
A．x≤3 B．x≤﹣3 C．x≥3 D．x≥﹣3
【知识考点】解一元一次不等式．
【思路分析】先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．
【解答过程】解：去括号，得2x+9≥3x+6，
移项，合并得﹣x≥﹣3
系数化为1，得x≤3；
故选：A．
【总结归纳】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变
符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方
向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘
以或除以同一个负数不等号的方向改变．
8．下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【知识考点】分式的加减法．
【思路分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
8
【解答过程】解：﹣＝﹣＝＝．
故从第②步开始出现错误．
故选：B．
【总结归纳】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
9．如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
【知识考点】圆周角定理．
【思路分析】设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB
＝90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．
【解答过程】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，
∵弦AB的长度等于圆半径的
即AB＝OA，
∴OA
2
+OB
2
＝AB
2
，
∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
∴∠ASB＝
故选：C．
【总结归纳】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于
这条弧所对的圆心角的一半．
10．如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿
AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象
如图②所示，则AD边的长为（ ）
∠AOB＝45°．
倍，
9
A．3 B．4 C．5 D．6
【知识考点】动点问题的函数图象．
【思路分析】当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可
得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减
小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与
BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．
【解答过程】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP
面积最大为3．
∴AB•＝3，即AB•BC＝12．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合
图象可知P点运动路径长为7，
∴AB+BC＝7．
则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB
2
﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，
因为AB＜AD，即AB＜BC，
所以AB＝3，BC＝4．
故选：B．
【总结归纳】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变
化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.
11．中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平
面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点 ．
【知识考点】坐标确定位置．
【思路分析】直接利用“帅”位于点（0，﹣2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．
【解答过程】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
10
【总结归纳】本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．
12．一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数
据：
实验者
掷币次数
出现“正面朝
上”的次数
频率 0.506 0.507 0.498 0.501 0.492
德•摩根
6140
3109
蒲丰
4040
2048
费勒
10000
4979
皮尔逊
36000
18031
罗曼诺夫斯基
80640
39699
请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为 （精确到0.1）．
【知识考点】频数（率）分布表；利用频率估计概率．
【思路分析】由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得
到硬币出现“正面朝上”的概率．
【解答过程】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，
所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．
故答案为0.5．
【总结归纳】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置
左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计
概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的
增多，值越来越精确．
13．因式分解：xy
2
﹣4x＝ ．
【知识考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【思路分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答过程】解：xy
2
﹣4x＝x（y
2
﹣4）＝x（y+2）（y﹣2）．
【总结归纳】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的
关键，难点在于要进行二次因式分解．
14．关于x的一元二次方程x
2
+
【知识考点】根的判别式．
【思路分析】要使方程有两个相等的实数根，即△＝b
2
﹣4ac＝0，则利用根的判别式即可求得一
次项的系数．
【解答过程】解：由题意，△＝b
2
﹣4ac＝（
得m＝4
故答案为4
【总结归纳】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△＝b2
﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当△＞0时，
方程有两个不相等的实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程
无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．
15．将二次函数y＝x
2
﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）
2
+k的形式为 ．
11
x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为 ．
）
2
﹣4＝0
【知识考点】二次函数的性质；二次函数的三种形式．
【思路分析】利用配方法整理即可得解．
【解答过程】解：y＝x
2
﹣4x+5＝x
2
﹣4x+4+1＝（x﹣2）
2
+1，
所以，y＝（x﹣2）
2
+1．
故答案为：y＝（x﹣2）
2
+1．
【总结归纳】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax
2
+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）
2
+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x
1
）（x﹣x
2
）．
16．把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么
这个恒星图形的面积等于 ．
【知识考点】扇形面积的计算；图形的剪拼．
【思路分析】恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．
【解答过程】解：如图：
新的正方形的边长为1+1＝2，
∴恒星的面积＝2×2﹣π＝4﹣π．
故答案为4﹣π．
【总结归纳】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半
径为1的圆的面积．
17．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等
腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝ ．
【知识考点】等腰三角形的性质．
【思路分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解
【解答过程】解：
①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：
∴特征值k＝＝
＝50°
②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°
12
2024年5月4日发(作者：耿琇云)
2019年甘肃省定西市中考数学试题及参考答案与解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．下列四个几何体中，是三棱柱的为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（ ）
A．0
3．下列整数中，与
A．3
B．1
B．4
C．2
C．5
D．3
D．6
最接近的整数是（ ）
4．华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007
用科学记数法表示为（ ）
A．7×10
7
﹣
B．0.7×10
8
﹣
C．7×10
8
﹣
D．7×10
9
﹣
5．如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）
A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
6．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（ ）
A．180°
A．x≤3
B．360°
B．x≤﹣3
C．540°
C．x≥3
D．720°
D．x≥﹣3
7．不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（ ）
8．下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）
A．①
B．② C．③
1
D．④
9．如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
10．如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿
AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象
如图②所示，则AD边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.
11．中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平
面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点 ．
12．一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数
据：
实验者
掷币次数
出现“正面朝
上”的次数
频率 0.506 0.507 0.498 0.501 0.492
德•摩根
6140
3109
蒲丰
4040
2048
费勒
10000
4979
皮尔逊
36000
18031
罗曼诺夫斯基
80640
39699
请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为 （精确到0.1）．
13．因式分解：xy
2
﹣4x＝ ．
14．关于x的一元二次方程x
2
+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为 ．
15．将二次函数y＝x
2
﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）
2
+k的形式为 ．
2
16．把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么
这个恒星图形的面积等于 ．
17．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等
腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝ ．
18．已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是 ．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
19．（6分）计算：（﹣2）
2
﹣|
是多少元？
﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）
0
20．（6分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别
21．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC．
（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S
⊙O
＝ ．
22．（8分）如图①是图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩
CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：
当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通
过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．
3
23．（10分）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北
京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：
A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李
欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选
择的可能性相同．
（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？
（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．
四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
24．（8分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年
级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年
级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
收集数据：
七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．
八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
整理数据：
七年级
八年级
分析数据：
七年级
八年级
应用数据：
（1）由上表填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ．
（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？
（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．
25．（10分）如图，已知反比例函数y＝
交于A（1，3），B（3，1）两点
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
4
40≤x≤49
0
1
50≤x≤59
1
0
60≤x≤69
0
0
70≤x≤79
a
7
80≤x≤89
7
b
90≤x≤100
1
2
平均数
78
78
众数
75
d
中位数
c
80.5
（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限
（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b
的图象于点M，交反比例函数y＝
取值范围．
上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的
26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点
B且与BC边相交于点E．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）若CE＝2，求⊙D的半径．
27．（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠
ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．
点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易
证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠
3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所
以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．
问题：如图③，在正方形A
1
B
1
C
1
D
1
中，M
1
是B
1
C
1
边上一点（不含端点B
1
，C
1
），N
1
是正方形
A
1
B
1
C
1
D
1
的外角∠D
1
C
1
H
1
的平分线上一点，且A
1
M
1
＝M
1
N
1
．求证：∠A
1
M
1
N
1
＝90°．
5
28．（12分）如图，抛物线y＝ax
2
+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，
连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存
在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐
标，若不存在，请说明理由；
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何
值时PN有最大值，最大值是多少？
参考答案与解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．下列四个几何体中，是三棱柱的为（ ）
A． B． C． D．
【知识考点】认识立体图形．
【思路分析】分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．
【解答过程】解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；
B、该几何体为四棱锥，不符合题意；
C、该几何体为三棱柱，符合题意；
D、该几何体为圆柱，不符合题意．
故选：C．
【总结归纳】考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大．
6
2．如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（ ）
A．0
【知识考点】数轴．
【思路分析】直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．
【解答过程】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，
∴点B表示的数是：3．
故选：D．
【总结归纳】此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．
3．下列整数中，与
A．3
最接近的整数是（ ）
B．4
＜
C．5
＜
D．6
，10与9的距离小于16与10的距离，可
B．1 C．2 D．3
【知识考点】估算无理数的大小．
【思路分析】由于9＜10＜16，于是
得答案．
【解答过程】解：∵3
2
＝9，4
2
＝16，
∴3＜＜4，
10与9的距离小于16与10的距离，
∴与最接近的是3．
故选：A．
【总结归纳】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
4．华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007
用科学记数法表示为（ ）
A．7×10
7
﹣
B．0.7×10
8
﹣
C．7×10
8
﹣
﹣
D．7×10
9
﹣
【知识考点】科学记数法—表示较小的数．
【思路分析】由科学记数法知0.000000007＝7×10
9
；
【解答过程】解：0.000000007＝7×10
9
；
故选：D．
【总结归纳】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10
n
中a与n的意义是解题的关键．
5．如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）
﹣
A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
【知识考点】几何变换的类型．
7
【思路分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
【解答过程】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不
相同，所以属于相似变换．
故选：B．
【总结归纳】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
6．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【知识考点】多边形内角与外角．
【思路分析】根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°即可求出结果．
【解答过程】解：黑色正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，
故选：C．
【总结归纳】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．
7．不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（ ）
A．x≤3 B．x≤﹣3 C．x≥3 D．x≥﹣3
【知识考点】解一元一次不等式．
【思路分析】先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．
【解答过程】解：去括号，得2x+9≥3x+6，
移项，合并得﹣x≥﹣3
系数化为1，得x≤3；
故选：A．
【总结归纳】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变
符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方
向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘
以或除以同一个负数不等号的方向改变．
8．下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【知识考点】分式的加减法．
【思路分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
8
【解答过程】解：﹣＝﹣＝＝．
故从第②步开始出现错误．
故选：B．
【总结归纳】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
9．如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
【知识考点】圆周角定理．
【思路分析】设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB
＝90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．
【解答过程】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，
∵弦AB的长度等于圆半径的
即AB＝OA，
∴OA
2
+OB
2
＝AB
2
，
∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
∴∠ASB＝
故选：C．
【总结归纳】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于
这条弧所对的圆心角的一半．
10．如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿
AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象
如图②所示，则AD边的长为（ ）
∠AOB＝45°．
倍，
9
A．3 B．4 C．5 D．6
【知识考点】动点问题的函数图象．
【思路分析】当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可
得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减
小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与
BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．
【解答过程】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP
面积最大为3．
∴AB•＝3，即AB•BC＝12．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合
图象可知P点运动路径长为7，
∴AB+BC＝7．
则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB
2
﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，
因为AB＜AD，即AB＜BC，
所以AB＝3，BC＝4．
故选：B．
【总结归纳】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变
化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.
11．中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平
面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点 ．
【知识考点】坐标确定位置．
【思路分析】直接利用“帅”位于点（0，﹣2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．
【解答过程】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
10
【总结归纳】本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．
12．一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数
据：
实验者
掷币次数
出现“正面朝
上”的次数
频率 0.506 0.507 0.498 0.501 0.492
德•摩根
6140
3109
蒲丰
4040
2048
费勒
10000
4979
皮尔逊
36000
18031
罗曼诺夫斯基
80640
39699
请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为 （精确到0.1）．
【知识考点】频数（率）分布表；利用频率估计概率．
【思路分析】由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得
到硬币出现“正面朝上”的概率．
【解答过程】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，
所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．
故答案为0.5．
【总结归纳】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置
左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计
概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的
增多，值越来越精确．
13．因式分解：xy
2
﹣4x＝ ．
【知识考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【思路分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答过程】解：xy
2
﹣4x＝x（y
2
﹣4）＝x（y+2）（y﹣2）．
【总结归纳】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的
关键，难点在于要进行二次因式分解．
14．关于x的一元二次方程x
2
+
【知识考点】根的判别式．
【思路分析】要使方程有两个相等的实数根，即△＝b
2
﹣4ac＝0，则利用根的判别式即可求得一
次项的系数．
【解答过程】解：由题意，△＝b
2
﹣4ac＝（
得m＝4
故答案为4
【总结归纳】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△＝b2
﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当△＞0时，
方程有两个不相等的实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程
无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．
15．将二次函数y＝x
2
﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）
2
+k的形式为 ．
11
x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为 ．
）
2
﹣4＝0
【知识考点】二次函数的性质；二次函数的三种形式．
【思路分析】利用配方法整理即可得解．
【解答过程】解：y＝x
2
﹣4x+5＝x
2
﹣4x+4+1＝（x﹣2）
2
+1，
所以，y＝（x﹣2）
2
+1．
故答案为：y＝（x﹣2）
2
+1．
【总结归纳】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax
2
+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）
2
+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x
1
）（x﹣x
2
）．
16．把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么
这个恒星图形的面积等于 ．
【知识考点】扇形面积的计算；图形的剪拼．
【思路分析】恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．
【解答过程】解：如图：
新的正方形的边长为1+1＝2，
∴恒星的面积＝2×2﹣π＝4﹣π．
故答案为4﹣π．
【总结归纳】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半
径为1的圆的面积．
17．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等
腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝ ．
【知识考点】等腰三角形的性质．
【思路分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解
【解答过程】解：
①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：
∴特征值k＝＝
＝50°
②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°
12