2024年5月9日发(作者：姚玉书)
第３３卷第４期
２０１７年８月
大 学 数 学
ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
Ｖｏ１．３３，№．４
Ａｕｇ．２０１７
Ｚ户Ｚ Ｅｕ］一加性循环码
卢振亮
（合肥工业大学数学学院，合肥２３０００９）
［摘要］该文研究了Ｚｐ Ｚ ［“］ 加性循环码，其中ｐ是素数，“。一０．文中证明了（１一 ）一加性常循环码
与加性循环码同构，构造了ｚ Ｚ ［“］到ｚ矿卵的Ｇｒａｙ映射，并证明了（１一“）一加性常循环码的Ｇｒａｙ象是一个
广义的准循环码．此外研究了 ［ ］一加性循环码的结构，给出了Ｚ Ｚ ［ ］一加性循环码的最小生成集．
［关键词］加性循环码；Ｚ Ｚ ［“］一加性循环码；Ｇｒａｙ象；最小生成集
［中图分类号］Ｏ１５７．４ ［文献标识码］Ａ ［文章编号］１６７２—１４５４（２０１７）０４—００１１－０７
１ 引 言
在１９７３年，Ｄｅｌｓａｒｔｅ等［１ ］以开创性地的观点研究了加性码，将其定义为给定Ａｂｅｌｉａｎ群的子群，
关于加性码的研究逐渐成为了纠错码理论的一个热点．Ｂｏｒｇｅｓ等［３ 构造从 × 到Ｚ 。 的Ｇｒａｙ映
射，得到一些较好参数的二元码，使加性码的研究有了新的方向．Ｂｉｌａｌ等［４］研究了Ｚ。Ｚ 极大距离可分
加性码．Ｄｏｕｇｈｅｒｔｙ等【５］研究了常重量Ｚ。Ｚ 一加性码，给出了所有的常重量Ｚ Ｚ 一加性码．
加性循环码作为一类重要的加性码受到广泛关注［６一 ．Ａｙｄｏｇｄｕ等［１ ０］研究了两类环Ｚ ＋ Ｚ。和
Ｚ ＋ Ｚ ＋“。Ｚ。上循环码的代数结构和最小生成集，并将Ｚ。Ｚ 一加性码的研究推广到Ｚｚ Ｚｚ 一加性码Ｌ１ ．
更一般的，他们研究了Ｚ Ｚ 一加性码［１引，给出了这类码的生成矩阵的标准型和校验矩阵，同时给出了
Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ界．
由于通过Ｚｚ Ｚ ［ ］一加性码可获得参数较好的二元线性码［１ 以及加性码在隐写加密 ４］上的重要应
用，促使我们研究一类更一般的ｚ Ｚ ］一加性码，其中Ｐ是素数， 一０．本文通过对ｚ Ｚ ］一加性循
环码的讨论，研究了ｚ Ｚ 甜］一加性循环码的相关性质和代数结构．
２预备知识
设Ｐ是一个素数，Ｚ 表示整数模Ｐ的剩余类域．令Ｒ—Ｚｐ＋ Ｚ ：｛ｎ＋ｕｂ ｌ口，ｂ∈Ｚｐ），其中甜。
一
０．
记ｚｐ Ｚ “］一｛（口，６）Ｉ口∈ｚ；，ｂ∈ＲＰ）．其中口一（口。，ｎ１，…，口 １）∈ｚ；，ｂ一（６。，ｂ１，…， １）∈
ＲＰ，ａ，卢是整数．Ｚ Ｚ ［“］的非空子集称为一个码，码中的元素称为码字．
对任意的Ｃ—ｒ＋ｑｕ∈Ｒ，Ｃｌ一（口ｏ，ｎ１，…，口 １，ｂｏ，ｂ１，…，６ １）∈Ｚｐ Ｚ ］，定义乘法
１一（ｒａ ｏ， １，…，ｒａ，ｒｌ，ｃｂｏ，Ｃｂｌ，…， １）．
定义２．１ ｚｐ ｚ ［ ］的任意Ｒ一子模称为ｚｐ Ｚ “］一加性码．
对于任意的 ＝（ １，…， ， １，…， ｐ），硼一（ １，…， ， １，…，
［收稿日期］２０１７—０２—２１； ［修改日期］２０１７—０３—２８
［基金项目］国家自然科学基金（６１３７００８９）；安徽省自然科学基金（１５０８０８５ＳＱＡ１９８）
［作者简介］卢振亮（１９９２一），男，硕士在读，代数编码专业．Ｅｍａｉｌ：ｌｕｚｈｅｎｌｉａｎｇ１９９２＠ｓｉｎａ．ｃｎ
）∈ｚ Ｚ “］，内积定义
１２
为
删一
大 学 数 学 第３３卷
（奎 ）＋登 训ｊ∈ｚ ＋ ｚ ．
ｉ一１ Ｊ＝ｅｌ－１
定义２．２设Ｃ是一个Ｚ Ｚｐ［ ］一加性码，码Ｃ的加性对偶码Ｃ上定义为
Ｃ上一｛ ∈Ｚｐ Ｚ ［ ］ｌ删一０，Ｖ ∈Ｃ）．
３ Ｚ Ｚｐ［ ］一加性循环码
设 是一个Ｒ Ｎｚ；的映射： （口＋ｕｂ）一（６，ａ＋ｂ，２ａ＋ｂ，…，（ｐ一１）ｎ＋６）．由此可定义一个从
ｚｐ ＺｐＥｕ３到ｚ 帮的Ｇｒａｙ映射 ：对任意的口一（口。，ａ１，…，口 １）∈ｚ；，ｂ一（６。，ｂ ，…，ｂ ）∈ ，有
（口，６）一（ａｏ，ａｌ，…，口 １，￣ｏ（ｂｏ）， （６１），…，￣ｏ（ｂｏ－１））．
一
个码字的汉明重量定义为码字所含非零分量的个数．任意两个码字的汉明距离是指两个码字的
对应的分量的不同的个数．用硼 （ ）表示ｚ的汉明重量，ｄ一（ ， ）表示ｚ和 的汉明距离．显然
７．￣ＵＨ（ｚ— ）一 Ｈ（ｚ， ）．
设ｆ一（口。，ａｌ，…，口 ｌ，ｂ０，ｂ１，…， １）∈Ｚ Ｚ ］，定义码字的Ｇｒａｙ重量
ｒ１ 一１
ｃ
（ｃ）一∑硼“（ｎ ）＋∑训 （ ），
兰０ ｔ＝０
其中
ｒ Ｏ，
Ｌ
一Ｏ
（６ ）一｛Ｐ一１， ｂ 一日＋ｕ（ｐ—ｎ） ，其中ｎ∈ｚ 一Ｚｐ一｛０｝，０≤ ≤Ｐ一１；
【Ｐ， 其它情况．
容易验证对Ｖ ｂ ∈Ｒ，ｉ∈｛０，１，２，…， 一１），恒有 （６ ）一 Ｈ（ （６ ））．
定理３．１设 是上面定义的Ｇｒａｙ映射，那么
（ｉ） 是一个从ｚｐ Ｚｐ［＂］到ｚ矿印的保重映射，即对Ｖ ｃ∈ｚ Ｚｐ［＂］，有叫 （ｃ）一叫“（ （ｃ））．
（ｉｉ） 是一个从乙Ｚｐ［ ］到ｚｆ印的保距映射，即对Ｖｚ，Ｙ∈Ｚ Ｚ ］，有ｄ。（ ， ）一 （ （ｚ）， （ ））．
设ａ一（ｎｏ，ａ ，…，ｎ ・，ｂｏ，ｂ ，…，６ ）∈Ｚ Ｚ ］，循环移位ｓ及（１一 ）一常循环移位叩定义为
Ｓ（ｎ）一（ａ旷＿１，ａｏ，…，ｎ ２，６ １，ｂ０，…，６ ｚ），
（ｎ）一（ａ￣－ｉ，ａｏ，…，ｎ ２，（１一铭） １，ｂ０，…，ｂｐ＿ｚ）．
定义３．２设Ｃ是一个Ｚｐ Ｚ ［ ］一加性码，Ｓ， 分别是循环和（１一乱）一常循环移位，若Ｓ（ｃ）一Ｃ，则
ｃ称为Ｚ Ｚ Ｅ－３一加性循环码．若 （Ｃ）一Ｃ，则Ｃ称为（１一 ）一加性常循环码．
定理３．３设ｃ是一个ｚ Ｚ ］一加性循环码，则ｃ上也是一个ｚ Ｚ ［“］一加性循环码．
证 设 一（口ｏ，ｎ１，…，口旷＿１，ｂｏ，ｂ１，…，６ １）∈Ｃ上，则对任意的 一（ ｏ，ｄ１，…， １，ｅｏ，Ｐ１，…，ｅ １）
∈Ｃ，有删一０．设Ｓ是循环移位，则有
Ｓ（ ）一（ｎ １，ｎｏ，…，ｎ ２，６ １，ｂｏ，…，６ ２）．
令 一ｌｃｍ（ａ， ），因ｃ是一个Ｚ Ｚ ［ ］一加性循环码，所以
Ｓ，＿ （ ）一（ ｌ，ｄ２，…， １，ｄ０，ｅｌ，ｅ２，…，Ｐ １，ｅｏ）∈Ｃ．
故
０一ｖＳ，＿ （ ）一ｕ（ａ０ｄ１＋ａ１ｄ２＋…＋ａｕ－２ １＋ｎ １ｄ０）＋（６ｏｅ１＋ｂ１ ｅ２＋…＋ ２ １＋６ １ｅｏ）
＝＝＝ｕ（ａ．－１ｄｏ＋口０ｄ１＋ａ１ｄ２＋…＋ａｒ２ １）＋（６ １ｅ０＋ｂ０ｅ１＋ｂｌｅ２＋…＋６ ２ １）
一
Ｓ（ ）叫．
因此ｓ（ ）∈Ｃ＿Ｌ，所以ｃ上也是一个ｚ Ｚ ］一加性循环码．
下面，讨论加性循环码与（１一 ）一加性常循环码的关系．
设卢与Ｐ互素，则存在 使得 三ｌｍｏｄｐ，记 ＝１＋ ，定义自同构虿
６ １）， （口）一（口０，ａ１，…，口 １，ｂｏ， １，…，
第４期 卢振亮：Ｚｐ Ｚ，［“］一加性循环码 １３
其中ａ一（ｎｏ，ａ －．’口 １，ｂｏ，ｂ “， １）∈ｚｐ Ｚ ］．
定理３．４ 设Ｃ是Ｚ Ｚ ［ ］一加性码，ｊ７定义如上，则码Ｃ是加性循环码当且仅当ｊ７（ｃ）是
（１一“）一加性常循环码．
证 “ ”．设任意口∈面（Ｃ），则存在ｆ一（口０，ａ ．．，口 １，ｂ０，ｂ ”，ｂｐ－１）∈Ｃ，使得
ａ一 （ｃ）一（ｎｏ，ｎ１，…，口 １，ｂｏ， ｌ，…， ６ １）．
由于Ｃ是加性循环码，则（１一“） 叫Ｓ（ｆ）∈Ｃ．由于（１一“） 一１，所以面（（１一 ） Ｓ（ｆ））一ｒｌ（ａ）．
故 （口）∈ｊ７（Ｃ）．所以｛７（Ｃ）是一个（１一 ）一加性常循环码．
“ｅ”
．
设Ｃ一（口。，ａ ”，口 ，ｂ。，ｂ１…， ！）∈Ｃ，因 （Ｃ）是一个（１一 ）一加性常循环码，则
却（ （ｆ））一（ａｔ１，ｎ ”，口 ２， ｌ，
所以
．－＇旷 ２）∈Ｃ．
叼（ｊ７（ｃ））一ｊ７（ｓ（ｃ））∈ （Ｃ）．
由于面是双射，故Ｓ（ｃ）∈Ｃ．因此Ｃ是加性循环码．
设ａ：（口ｏ，ａ ”，口 １，ｂｏ，ｂ －－’ １）∈ｚ ，移位 定义为
（ｎ）＝＝＝（口 ｌ，ａ０，…，ｎ ２，ｂｐ＿１，ｂ０，…，６ ２）．
定义３．５设Ｃ是Ｚ 上的一个线性码， 定义如上，若 （Ｃ）一Ｃ且ａ一卢，则Ｃ称为准循环码．若
（Ｃ）一Ｃ且ａ≠卢，则Ｃ称为广义准循环码．
定理３．６设Ｃ是一个（１一 ）一加性常循环码，则码ｃ的Ｇｒａｙ象是Ｚ 上长度为ａ＋ 的广义准循
环码．
证 对任意的ｆ一（口ｏ，ａ１，…，口 １，ｂｏ，ｂ１…，６ １）∈Ｃ，其中ｂ 一 十钾 ，ｉ∈｛０，１，…，卢一１），
ａ ， ，ｑ ∈Ｚ ．由于Ｃ是一个（１一甜）～加性常循环码，则
（ｃ）一（口 １，ａｏ，…，口 ２，（１一 ）６ １，ｂｏ，…，６ ２）∈Ｃ．
由于
（叩（ｃ））一（ａｔ１，口０，…，口 ２，（ 一１） ｌ＋ｑ １，ｑｏ，…，ｇ ２， ｌ，ｒｏ＋ｑ０，…， ２＋ ２，
ｒ０－１＋ｑ ｌ，２ｒｏ＋ｑｏ，…，２ ２＋ｑｏ－ｚ，…，（ｐ一２） １＋ｑ １，
（ｐ一１）ｒ０＋ｑｏ，…，（ 一１） ２＋ ２）．
又因为
（ｃ）一（ａｏ，ａｌ，…，口 １，口０，ｑ１，…，ｑ １，ｒ０＋ｑｏ，…， １＋ １，
２ｔｏ＋ｑｏ，…，２ ＋ｇ １，…，（ 一１）ｒ０＋ｑｏ，…，（ｐ一１） １＋ｑ １）∈ （Ｃ）．
设 是广义的准循环移位，那么
（ （ｃ））＝（口。一１，ｎｏ，…，口 一２，（ 一１） 一１＋ｑ 一１，ｇ０，…，ｑ 一２，ｑ 一１，ｒｏ＋ｑｏ，…，ｒ卢一２＋ｑ 一２，ｒ １＋ｑ 一１，
２ｒ０＋ｑ０，…，２ 一２＋口 一２，…，（ 一２） 一１＋ 一１，（ｐ一１）ｒｏ＋ｑｏ，…，（ｐ一１） 一２＋ｇ口一２）
一 （ （ｆ））．
因此Ｃ的Ｇｒａｙ象是Ｚ 上长度为ａ＋Ｐ 的广义准循环码．
４ Ｚ Ｚｐ［“］一加性循环码的结构
设Ｒ ［ｚ］一ＺｐＥｘ３／＜ｘ。一１＞×Ｒ［ｚ］／＜ 一１＞．令ｃ是一个ｚｐ Ｚ ］一加性循环码，码字
Ｃ一（ａｏ，ａｌ，…，口 １，ｂｏ，ｂｌ，…， １）∈Ｃ
的多项式表示为
ｆ（ ）一（口Ｄ＋ａ１ ＋…＋口一ｌ 一，ｂｏ＋ｂｌｚ＋…＋ 】ｚ ）一（ｎ（ ），６（ ））∈Ｒ卅［ ］，
ｒ１ １
其中口（ｚ）＝∑ ，６（ｚ）一∑ｂ ．
码Ｃ是一个加性循环码当且仅当它的多项式表示是Ｒ ［ｚ］的一个Ｒ［ ］一子模．若 一０，则
Ｚ Ｚｐ［ ］一加性循环码是 上的循环码；若ａ一０，则Ｚｐ Ｚｐ［ ］一加性循环码是Ｒ上的循环码．本节假设
ａ，口均为正整数．
１４ 大 学 数 学 第３３卷
定义映射 ：Ｒ ［ｚ］一Ｒ［ｚ］，ｃ（．ｚ）一（ｎ（ ），６（ ））一ｂ（ｓｃ），则
Ｉｍ（Ｃｐ）一｛６（ｚ）∈Ｒ［ｚ］：（ｎ（ｚ），６（ ））∈Ｒ ［ ］），
ｋｅｒ（ ）＝｛（以（ｚ），０）∈Ｒ ． ［ｚ］：以（ｚ）∈Ｚｐ［ｚ］／＜ 一１＞｝．
显然，Ｉｍ（ ）是环Ｒ［ ］／＜ 一１）的理想，ｋｅｒ（ ）是环ＺｐＥｘ￣／＜ｘ 一１＞的理想．
引理４．１设Ｉｍ（ ）是商环ＲＦｘ￣／＜ 一１＞的理想，则
（ｉ）若Ｐ Ｉ ，则
Ｉｍ（ ）一（ｇ（ ）＋ｕｐ（ｚ），ｚ叼（ｚ）＞，
其中ｇ（ｓｃ），Ｐ（ｚ），ｑ（ ）∈Ｚｐ Ｅｘ￣／＜ｚ ～１＞，ｑ（ ）ｌ ｇ（ｚ）ｌ（ｚｐ一１），ｑ（ｚ）Ｉ（Ｐ（ｚ）（ｚｐ一１）／ｇ（ ））且
ｄｅｇ（ｑ（ｘ））＞ｄｅｇ（ｐ（ｘ））．
（ｉｉ）若｜ｌ９与Ｐ互素，则
Ｉｍ（ ）：＝：＜ｇ（ｚ）＋ｕｑ（ｚ）＞，
其中ｇ（ ），口（ｚ）∈Ｚｐ［ｚ］／＜ 一１＞，ｑ（ ）Ｉ ｇ（ｚ）ｌ（ 一１）．
推论４．２ 设Ｉｍ（ ）一（ｇ（ｚ）＋ｕｐ（ ），ｕｑ（ ）＞，若ｇ（ｓｃ）一ｑ（ｓｃ），那么
Ｉｍ（ｃｐ）一（ｇ（ ）＋ｕｐ（ ）＞．
其中ｇ（ｚ），Ｐ（ｚ），口（ｚ）∈Ｚｐ Ｅｘ￣／＜ｚ ～１＞，ｑ（ｚ）ｌ ｇ（ｚ）ｌ（３ｃＰ一１），ｑ（ｚ）ｌ（ （ｚ）（ｚ 一１）／ｇ（ｚ））且
ｄｅｇ（ｑ（ｘ））＞ｄｅｇ（ｐ（ｘ））．
证 由于“（ｇ（ ）＋ｕｐ（ ））一ｕｇ（ｚ）一ｕｑ（ ），所以得证．
引理４．３设ｋｅｒ（ ）是商环Ｚ ｚ］／（ 一１＞的理想，则
ｋｅｒ（ ）一（（厂（ｚ），０）＞，
其中，（ ）∈ｚ ［ ］／（ｚ 一１＞，且厂（ｚ）Ｉ（ 。一１）．
定理４．４设ｃ是ｚ Ｚ “］一加性循环码且Ｐ Ｉ卢，则
Ｃ一（（，（ｚ），０），（ １（ ），ｇ（ｚ）＋ｕｐ（ ）），（ ２（ｚ）， （ ））＞，
其中
ｇ（ ）ｌ ｇ（ ）ｌ（ｚ —１）， ｑ（ｚ）Ｉ（ （ ）（ 一１）／ｇ（ｘ）），ｄｅｇ（ｑ（ｘ））＞ｄｅｇ（ｐ（ｘ）），
ｈ１（ｚ），ｈ２（ ）∈Ｚｐ［ｚ］，ｄｅｇ（ｆ（ｘ））＞ｄｅｇ（ｈ１（ｚ））且ｄｅｇ（ｆ（ｘ））＞ｄｅｇ（ｈ２（ ））．
证 由同态基本定理及引理４．３可得
Ｃ／ｋｅｒ（￣） （ｇ（ ）＋ｕｐ（ ），ｕｑ（ｚ）＞．
因此，存在ｈ （ ），ｈ （ｚ）∈Ｚ ］／＜ 一１＞使得
（＾１（ ），ｇ（ ）＋ｕｐ（ｚ）），（＾２（ ），ｕｑ（ｚ））∈Ｃ．
由引理４．１得，ｋｅｒ（ ）＝（（，（ ），０）＞，其中厂（ ）Ｉ（ ～１）．记
Ｄ一＜（，（ｚ），Ｏ），（＾１（ｚ），ｇ（ ）＋ｕｐ（ｚ）），（＾２（ｚ），ｕｑ（ ））＞，
显然，Ｄ Ｃ．
假设ｆ（ｚ）∈Ｃ且ｃ（ｚ） ｋｅｒ（ ），贝０
（ｆ（ ））一６（ｚ）≠０，
其中ｃ（ ）：＝：（口（ ），６（ｚ））．
由６（ ）∈Ｉｍ（ ），所以，存在ｂ （ ），ｂ２（ ）使得
６（ ）一ｂｌ（ ）（ｇ（ ）＋ｕｐ（ ））＋ｕｂ ２（ ）ｑ（ｚ）．
故
ｃ（ｚ）－－ｂｌ（ｚ）（ｈｉ（ｚ），ｇ（ｚ）＋ｕｐ（ｘ））－－ｂ２（ｚ）（ ２（ｚ），ｕｑ（ｘ））
一
（ｎ（ｚ）－－ｂ１（ｚ） ｌ（ ）－－ｂ２（ｚ） ２（ ），Ｏ）∈ｋｅｒ（ ），
由此推出，ｃ（ｓｃ）∈Ｄ．故Ｃ—Ｄ．
如果ｄｅｇ（ｆ（ｘ））≤ｄｅｇ（ｈ （ ）），则存在 （ ），ｆ２．１（ ）使得
ｈ（ ）＝，（ ）ｌ２．ｆ（ ）＋Ｚｌ， （ｚ），
其中ｄｅｇ（１ （ ））＜ｄｅｇ（ｈ（ｚ））．
此时
第４期 卢振亮：ｚ Ｚ “］一加性循环码 １５
Ｃ一＜（，（ｚ），Ｏ），（Ｚｌ，ｌ（ ），ｇ（ｓｃ）＋ （ ）），（Ｚ。， （ ），ｕｑ（ ））＞．
故得证．
推论４．５ 设ｃ是ｚｐ Ｚｐ［ ］一加性循环码且Ｐ『 ，若ｚ（ｚ）＝＝＝ｇｃｄ（ （ｚ），ｑ（ｚ）），则
厂（ ）Ｉ（（ｒ（ｓｃ）ｈｌ（ ）＋ｓ（ｘ）ｈ２（ ））（ 一１）／ｌ（ｘ）），
其中ｒ（ ），ｓ（ ）∈Ｚ ［ ］／＜ｚ 一１＞．
证 由
（ ｌ（ ），ｇ（ｚ）＋ （ ））（ｘＰ一１）／Ｚ（ ）一（矗 （ ）（ 一１）／ｌ（ｓｃ），Ｏ）∈Ｃ，
故
ｆ（ｓｃ）Ｉ（＾１（ｚ）（ 一１）／ｌ（ｘ））．
同理由
（＾２（ ），ｕｑ（ ））（ｘＰ一１）／ｌ（ｓｃ）＝（ ２（ｚ）（ｘＰ一１）／ｌ（ｘ），Ｏ）∈Ｃ，
故
，（ ）ｌ（＾２（ ）（ ｐ一１）／ｌ（ｘ））．
推论成立．
定理４．６设ｃ是一个Ｚ Ｚｐ［ ］一加性循环码且 与Ｐ互素．则
Ｃ一（（厂（ｚ），Ｏ），（ （ｚ），ｇ（ｚ）＋ｕｑ（ｚ））＞，
其中ｑ（ ）ｌ ｇ（ｚ）Ｉ（ 一１）， （ｚ）∈Ｚｐ［ ］满足厂（ｚ）Ｉ（ （ ）（ 一１）／ｑ（ｚ））且ｄｅｇ（ｈ（ｚ））＜ｄｅｇ（ｆ（ｘ）），
厂（ｚ）Ｊ（ 一１）．
证 与定理４．４类似，存在ｈ（ ）∈Ｚ ］使得
Ｃ一（（厂（ ），Ｏ），（ （ ），ｇ（ ）＋ｚ叼（ｚ））＞，
其中ｇ（ｚ）ｌ ｇ（ ）ｌ（ｚ 一１），厂（ｚ）ｌ（ｚ。一１）．
记弓（ ）一（ 一１）／ｑ（ｘ），由于ｃ是加性循环码，故
ｑ（ｚ）（ （ｚ），ｇ（ｚ）＋ （ｚ））一（ｑ（ ） （ｚ），Ｏ）∈Ｃ，
所以
厂（ ）ｌ（ （ ）（ ｐ一１）／ｑ（ｘ））．
注在不引起混淆的情况下，以字母，表示多项式厂（ｚ）， 表示（ｘＰ一１）／厂（ｚ）．下面讨论加性循
环码的最小生成集．
定理４．７设卢与Ｐ互素，Ｃ一（（厂，Ｏ），（ ，ｇ＋ｕｑ）＞是Ｚ 乙［“］一加性循环码，其中ｇ Ｉ ｇ Ｉ（ 一１），
，Ｉ 且
，ｌ（ 一１），ｄｅｇ（ｈ）＜ｄｅｇ（ｆ）．
记
ｄｅｇ（ｆ）一ｔ１，ｄｅｇ（ｇ）一ｔ２，ｄｅｇ（ｑ）一ｔ３，
则码Ｃ的最小生成集为Ｓ—Ｓ Ｕ Ｓ Ｕ Ｓ。，其中
ｒｆ１—１口一ｔ口一ｌ ｔ，一ｔ 一１
Ｓ 一Ｕ｛ ｉ（，，０））， Ｓ。一Ｕ｛ｚ （＾，ｇ＋ｕｑ））， Ｓ。一Ｕ ｛ （ ， ｑ））．
特别地，当（，，ａ）一１时，Ｃ一＜（厂，ｏ），（０，ｇ＋ｕｑ）＞，码ｃ的最小生成集为
Ｓ：Ｓｌ Ｕ Ｓ２ Ｕ Ｓ３，
其中
ｒ １—１ ｐ一 ｚ一１ ‘２一 ３—１
Ｓ１：＝＝Ｕ ｛ｚ （，，０）｝， Ｓｚ—Ｕ ｛ （Ｏ，ｇ）｝，Ｓ３一Ｕ ｛ｚ （Ｏ，ｕｑ）｝．
证 设ｆ∈ｃ，则存在ｄ１，ｄ２∈Ｚ ］使得Ｃ—ｄ１（厂，０）＋ｄｚ（ ，ｇ＋ ）．
如果
ｄｅｇ（ｄ１）≤口一ｔ１—１，
则ｄ （厂，０）∈Ｓ ．否则，存在ｑ ，ｒ。∈Ｚｐ［ｚ］使得
ｄ１＝＝＝（（ 一１）／ｆ）ｑ１＋ｒ１，
１６ 大 学 数 学 第３３卷
其中ｒ 一０或ｄｅｇ（ｒ１）≤ａ—ｔｌ一１．因此
ｄ （，，０）一（（（ —１）／ｆ）ｑ ＋ｒ ）（厂，Ｏ）：ｔ＂１（ ，０）∈Ｓ ．
同理，讨论ｄ ，如果
ｄｅｇ（ｄ２）≤ —ｔ２—１，
则
ｄ２（，，Ｏ）∈ｓ２．
否则，假设存在ｑ ，ｒ ∈Ｚ ［ ］使得
ｄ２一ｇｑ ２＋ｒ２，
其中ｒ 一０或者ｄｅｇ（ｒ ）≤卢一ｔｚ一１．因此
ｄ２（ ，ｇ＋ｕｑ）：（ｇｑ ２＋ｒ２）（ ，ｇ＋ｕｑ）＝ｑ２（ｇｈ，ｇｇ＋ｕｇｑ）＋ｒ２（＾，ｇ＋ｕｑ），
显然，ｒ２（＾，ｇ＋ｕｑ）∈Ｓ２．
另一方面，若ｄｅｇ（ｑ２）≤ｔ２一ｔ。一１，则
ｑ２（ｇｈ，ｇｇ＋ｕｇｑ）一ｑ２（ｇｈ，ｕｇｑ）∈Ｓ２．
否则，存在ｑ。， ∈Ｚ Ｉｘ］使得
ｑｚ一（ｇ／ｑ）ｑ３＋ｒ３，
其中ｒ３—０或者ｄｅｇ（ｒ３）≤ｔ２一ｔ３—１．因此
ｑ２（ｇｈ，ｕｇｑ）一（（ｇ／ｑ）ｑ３＋ｒ３）（ｇｈ，ｕｇｑ）一（ｇ／ｑ）ｑ３（ｇ ，ｕｇｑ）＋ｒ３（ｇｈ，ｕｇｑ）
一ｑ３（ｑｈ，Ｏ）＋ （ｇｈ，ｕｇｑ）．
又因，ｌ ，所以ｑ。（ ，ｏ）Ｅ Ｓ ．显然，ｒ。（ ， ｑ）Ｅ Ｓ ．因此ｓ是ｃ的生成集．
显然，Ｓ是最小的，因为其中任何元素不能表示成其它元素的组合．故ｓ是极小生成集．
特别地，当（，，弓）一１时，由ｄｅｇ（ｈ）＜ｄｅｇ（ｆ）和，ｌ ，可得ｈ一０．进一步，可证
Ｃ一（（，，０），（Ｏ，ｇ＋ｕｑ）＞一（（，，０），（Ｏ，ｇ），（０，ｕｑ）＞．
因
ｕ（Ｏ，ｇ＋ｕｑ）一（Ｏ，ｕｇ）， ｇ（Ｏ，ｇ＋ｕｑ）一（０，ｕｇｑ），
而（ｇ，鸯）一１，所以（０，ｕｑ）∈Ｃ，进而（ｏ，ｇ）∈ｃ．再采取类似的方法，可证最小生成集．
５ 结 论
本文对Ｚ ＺｐＥｕ］一加性码进行了研究．先讨论了Ｚ Ｚｐ［ ］一加性循环码和（１一“）一加性常循环码之
问的关系，证明（１一 ）一加性常循环码的Ｇｒａｙ象是一个广义的准循环码，确定了Ｚ Ｚ ［ ］一加性循环码
的结构和最小生成集．这类加性循环码的重量计数器以及常重量码将是我们下一步的研究方向．
［参 考 文 献］
Ｅ１－］ Ｄｅｌｓａｒｔｅ Ｐ．Ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔＯ ｔｈｅ ａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅｓ ｏｆ ｃｏｄｉｎｇ ｔｈｅｏｒｙ［Ｒ］．Ｐｈｉｌｉｐｓ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｒｅｐｏｒｔｓ
Ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔｓ，１９７３．
１－２３
Ｄｅｌｓａｒｔｅ Ｐ，Ｌｅｖｅｎｓｈｔｅｉｎ Ｖ Ｉ．Ａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅｓ ａｎｄ ｃｏｄｉｎｇ ｔｈｅｏｒｙ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ
Ｔｈｅｏｒｙ，１９９８，４４（６）：２４７７—２５０４．
［３］Ｂｏｒｇｅｓ Ｊ，Ｆｅｒｎｄｎｄｅｚ—Ｃ６ｒｄｏｂａ Ｃ，Ｐｕｊｏｌ Ｊ，ｅｔ．ａ１．Ｚ２ Ｚ４一ｌｉｎｅａｒ ｃｏｄｅｓ：ｇｅｎｅｒａｔｏｒ ｍａｔｒｉｃｅｓ ａｎｄ ｄｕａｌｉｔｙ［Ｊ］．Ｄｅｓｉｇｎｓ
Ｃｏｄｅｓ＆Ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ，２０１０，５４（２）：１６７—１７９．
［４］ Ｂｉｌａｌ Ｍ，Ｂｏｒｇｅｓ Ｊ，Ｄｏｕｇｈｅｒｔｙ Ｓ Ｔ，ｅｔ．ａ１．Ｍａｘｉｍｕｍ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｓｅｐａｒａｂｌｅ ｃｏｄｅｓ ｏｖｅｒ Ｚ４ ａｎｄ Ｚ２×Ｚ４［Ｊ］．Ｄｅｓｉｇｎｓ Ｃｏｄｅｓ
＆Ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ，２０１１，６１（１）：３１—４Ｏ．
［５］Ｄｏｕｇｈｅｒｔｙ Ｓ Ｔ，Ｌｉｕ Ｈｏｎｇｗｅｉ，Ｙｕ Ｌｏｎｇ．Ｏｎｅ ｗｅｉｇｈｔ Ｚ２ Ｚ４ ａｄｄｉｔｉｖｅ ｃｏｄｅ［Ｊ，］．Ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ Ａｌｇｅｂｒａ ｉｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，
Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ，２０１６，２７（２）：１２３—１３８．
［６］Ａｂｕａｌｒｕｂ Ｔ，Ｓｉａｐ Ｉ，Ａｙｄｉｎ Ｎ．Ｚ２ Ｚ４一ａｄｄｉｔｉｖｅ ｃｙｃｌｉｃ ｃｏｄｅｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，２０１４，６０
（３）：１５０８—１５１４．
第４期 卢振亮：Ｚ Ｚ ［乱］一加性循环码 １７
［７３ Ｊ￣ｒｇｅｎ Ｂ．Ｃｙｃｌｉｃ ａｄｄｉｔｉｖｅ ｃｏｄｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｌｇｅｂｒａ，２０１２，３７２：６６１—６７２．
［８］
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Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｄｄｉｔｉｖｅ ｃｙｃｌｉｃ ｃｏｄｅｓ ｏｖｅｒ ｚｐ Ｚ ］ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ，ｗｈｅｒｅ Ｐ ｉｓ ａ ｐｒｉｍｅ ａｎｄ Ｕ 一０．Ｉｔ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈａｔ（１一“）
一
ａｄｄｉｔｉｖｅ ｃ０ｎｓｔａｃｙｃｌｉｃ ｃ。ｄｅｓ ｉｓ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ ｔ。ａｄｄｉｔｉｖｅ ｃｙｃｌｉｃ ｃｏｄｅｓ．Ａ ｎｅｗ Ｇｒａｙ ｍａＰ ｆｒｏｍ ｚｐ［“］ｔＯ ｚ 印ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ，ａｎｄ
ｉｔ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｇｒａｙ ｉｍａｇｅ ｏｆ ａ（１一“）一ａｄｄｉｔｉｖｅ ｃｏｎｓｔａｃｙｃｌｉｃ ｃｏｄｅ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｑｕａｓｉ—ｃｙｃｌｉｃ ｃｏｄｅ．Ａｄｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ，ｔｈｅ
ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ Ｚｐ Ｚｐ［ ］一ａｄｄｉｔｉｖｅ ｃｙｃｌｉｃ ｃｏｄｅｓ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｐａｎｎｉｎｇ ｓｅｔｓ ａｒｅ ａｌｓｏ ｇｉｖｅｎ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ａｄｄｉｔｉｖｅ ｃｙｃｌｉｃ ｃｏｄｅｓ；Ｚｐ Ｚ ］一ａｄｄｉｔｉｖｅ ｃｙｃｌｉｃ ｃｏｄｅｓ；Ｇｒａｙ ｉｍａｇｅ；ｍｉｎｉｍａｌ ｓｐａｎｎｉｎｇ ｓｅｔｓ
2024年5月9日发(作者：姚玉书)
第３３卷第４期
２０１７年８月
大 学 数 学
ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
Ｖｏ１．３３，№．４
Ａｕｇ．２０１７
Ｚ户Ｚ Ｅｕ］一加性循环码
卢振亮
（合肥工业大学数学学院，合肥２３０００９）
［摘要］该文研究了Ｚｐ Ｚ ［“］ 加性循环码，其中ｐ是素数，“。一０．文中证明了（１一 ）一加性常循环码
与加性循环码同构，构造了ｚ Ｚ ［“］到ｚ矿卵的Ｇｒａｙ映射，并证明了（１一“）一加性常循环码的Ｇｒａｙ象是一个
广义的准循环码．此外研究了 ［ ］一加性循环码的结构，给出了Ｚ Ｚ ［ ］一加性循环码的最小生成集．
［关键词］加性循环码；Ｚ Ｚ ［“］一加性循环码；Ｇｒａｙ象；最小生成集
［中图分类号］Ｏ１５７．４ ［文献标识码］Ａ ［文章编号］１６７２—１４５４（２０１７）０４—００１１－０７
１ 引 言
在１９７３年，Ｄｅｌｓａｒｔｅ等［１ ］以开创性地的观点研究了加性码，将其定义为给定Ａｂｅｌｉａｎ群的子群，
关于加性码的研究逐渐成为了纠错码理论的一个热点．Ｂｏｒｇｅｓ等［３ 构造从 × 到Ｚ 。 的Ｇｒａｙ映
射，得到一些较好参数的二元码，使加性码的研究有了新的方向．Ｂｉｌａｌ等［４］研究了Ｚ。Ｚ 极大距离可分
加性码．Ｄｏｕｇｈｅｒｔｙ等【５］研究了常重量Ｚ。Ｚ 一加性码，给出了所有的常重量Ｚ Ｚ 一加性码．
加性循环码作为一类重要的加性码受到广泛关注［６一 ．Ａｙｄｏｇｄｕ等［１ ０］研究了两类环Ｚ ＋ Ｚ。和
Ｚ ＋ Ｚ ＋“。Ｚ。上循环码的代数结构和最小生成集，并将Ｚ。Ｚ 一加性码的研究推广到Ｚｚ Ｚｚ 一加性码Ｌ１ ．
更一般的，他们研究了Ｚ Ｚ 一加性码［１引，给出了这类码的生成矩阵的标准型和校验矩阵，同时给出了
Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ界．
由于通过Ｚｚ Ｚ ［ ］一加性码可获得参数较好的二元线性码［１ 以及加性码在隐写加密 ４］上的重要应
用，促使我们研究一类更一般的ｚ Ｚ ］一加性码，其中Ｐ是素数， 一０．本文通过对ｚ Ｚ ］一加性循
环码的讨论，研究了ｚ Ｚ 甜］一加性循环码的相关性质和代数结构．
２预备知识
设Ｐ是一个素数，Ｚ 表示整数模Ｐ的剩余类域．令Ｒ—Ｚｐ＋ Ｚ ：｛ｎ＋ｕｂ ｌ口，ｂ∈Ｚｐ），其中甜。
一
０．
记ｚｐ Ｚ “］一｛（口，６）Ｉ口∈ｚ；，ｂ∈ＲＰ）．其中口一（口。，ｎ１，…，口 １）∈ｚ；，ｂ一（６。，ｂ１，…， １）∈
ＲＰ，ａ，卢是整数．Ｚ Ｚ ［“］的非空子集称为一个码，码中的元素称为码字．
对任意的Ｃ—ｒ＋ｑｕ∈Ｒ，Ｃｌ一（口ｏ，ｎ１，…，口 １，ｂｏ，ｂ１，…，６ １）∈Ｚｐ Ｚ ］，定义乘法
１一（ｒａ ｏ， １，…，ｒａ，ｒｌ，ｃｂｏ，Ｃｂｌ，…， １）．
定义２．１ ｚｐ ｚ ［ ］的任意Ｒ一子模称为ｚｐ Ｚ “］一加性码．
对于任意的 ＝（ １，…， ， １，…， ｐ），硼一（ １，…， ， １，…，
［收稿日期］２０１７—０２—２１； ［修改日期］２０１７—０３—２８
［基金项目］国家自然科学基金（６１３７００８９）；安徽省自然科学基金（１５０８０８５ＳＱＡ１９８）
［作者简介］卢振亮（１９９２一），男，硕士在读，代数编码专业．Ｅｍａｉｌ：ｌｕｚｈｅｎｌｉａｎｇ１９９２＠ｓｉｎａ．ｃｎ
）∈ｚ Ｚ “］，内积定义
１２
为
删一
大 学 数 学 第３３卷
（奎 ）＋登 训ｊ∈ｚ ＋ ｚ ．
ｉ一１ Ｊ＝ｅｌ－１
定义２．２设Ｃ是一个Ｚ Ｚｐ［ ］一加性码，码Ｃ的加性对偶码Ｃ上定义为
Ｃ上一｛ ∈Ｚｐ Ｚ ［ ］ｌ删一０，Ｖ ∈Ｃ）．
３ Ｚ Ｚｐ［ ］一加性循环码
设 是一个Ｒ Ｎｚ；的映射： （口＋ｕｂ）一（６，ａ＋ｂ，２ａ＋ｂ，…，（ｐ一１）ｎ＋６）．由此可定义一个从
ｚｐ ＺｐＥｕ３到ｚ 帮的Ｇｒａｙ映射 ：对任意的口一（口。，ａ１，…，口 １）∈ｚ；，ｂ一（６。，ｂ ，…，ｂ ）∈ ，有
（口，６）一（ａｏ，ａｌ，…，口 １，￣ｏ（ｂｏ）， （６１），…，￣ｏ（ｂｏ－１））．
一
个码字的汉明重量定义为码字所含非零分量的个数．任意两个码字的汉明距离是指两个码字的
对应的分量的不同的个数．用硼 （ ）表示ｚ的汉明重量，ｄ一（ ， ）表示ｚ和 的汉明距离．显然
７．￣ＵＨ（ｚ— ）一 Ｈ（ｚ， ）．
设ｆ一（口。，ａｌ，…，口 ｌ，ｂ０，ｂ１，…， １）∈Ｚ Ｚ ］，定义码字的Ｇｒａｙ重量
ｒ１ 一１
ｃ
（ｃ）一∑硼“（ｎ ）＋∑训 （ ），
兰０ ｔ＝０
其中
ｒ Ｏ，
Ｌ
一Ｏ
（６ ）一｛Ｐ一１， ｂ 一日＋ｕ（ｐ—ｎ） ，其中ｎ∈ｚ 一Ｚｐ一｛０｝，０≤ ≤Ｐ一１；
【Ｐ， 其它情况．
容易验证对Ｖ ｂ ∈Ｒ，ｉ∈｛０，１，２，…， 一１），恒有 （６ ）一 Ｈ（ （６ ））．
定理３．１设 是上面定义的Ｇｒａｙ映射，那么
（ｉ） 是一个从ｚｐ Ｚｐ［＂］到ｚ矿印的保重映射，即对Ｖ ｃ∈ｚ Ｚｐ［＂］，有叫 （ｃ）一叫“（ （ｃ））．
（ｉｉ） 是一个从乙Ｚｐ［ ］到ｚｆ印的保距映射，即对Ｖｚ，Ｙ∈Ｚ Ｚ ］，有ｄ。（ ， ）一 （ （ｚ）， （ ））．
设ａ一（ｎｏ，ａ ，…，ｎ ・，ｂｏ，ｂ ，…，６ ）∈Ｚ Ｚ ］，循环移位ｓ及（１一 ）一常循环移位叩定义为
Ｓ（ｎ）一（ａ旷＿１，ａｏ，…，ｎ ２，６ １，ｂ０，…，６ ｚ），
（ｎ）一（ａ￣－ｉ，ａｏ，…，ｎ ２，（１一铭） １，ｂ０，…，ｂｐ＿ｚ）．
定义３．２设Ｃ是一个Ｚｐ Ｚ ［ ］一加性码，Ｓ， 分别是循环和（１一乱）一常循环移位，若Ｓ（ｃ）一Ｃ，则
ｃ称为Ｚ Ｚ Ｅ－３一加性循环码．若 （Ｃ）一Ｃ，则Ｃ称为（１一 ）一加性常循环码．
定理３．３设ｃ是一个ｚ Ｚ ］一加性循环码，则ｃ上也是一个ｚ Ｚ ［“］一加性循环码．
证 设 一（口ｏ，ｎ１，…，口旷＿１，ｂｏ，ｂ１，…，６ １）∈Ｃ上，则对任意的 一（ ｏ，ｄ１，…， １，ｅｏ，Ｐ１，…，ｅ １）
∈Ｃ，有删一０．设Ｓ是循环移位，则有
Ｓ（ ）一（ｎ １，ｎｏ，…，ｎ ２，６ １，ｂｏ，…，６ ２）．
令 一ｌｃｍ（ａ， ），因ｃ是一个Ｚ Ｚ ［ ］一加性循环码，所以
Ｓ，＿ （ ）一（ ｌ，ｄ２，…， １，ｄ０，ｅｌ，ｅ２，…，Ｐ １，ｅｏ）∈Ｃ．
故
０一ｖＳ，＿ （ ）一ｕ（ａ０ｄ１＋ａ１ｄ２＋…＋ａｕ－２ １＋ｎ １ｄ０）＋（６ｏｅ１＋ｂ１ ｅ２＋…＋ ２ １＋６ １ｅｏ）
＝＝＝ｕ（ａ．－１ｄｏ＋口０ｄ１＋ａ１ｄ２＋…＋ａｒ２ １）＋（６ １ｅ０＋ｂ０ｅ１＋ｂｌｅ２＋…＋６ ２ １）
一
Ｓ（ ）叫．
因此ｓ（ ）∈Ｃ＿Ｌ，所以ｃ上也是一个ｚ Ｚ ］一加性循环码．
下面，讨论加性循环码与（１一 ）一加性常循环码的关系．
设卢与Ｐ互素，则存在 使得 三ｌｍｏｄｐ，记 ＝１＋ ，定义自同构虿
６ １）， （口）一（口０，ａ１，…，口 １，ｂｏ， １，…，
第４期 卢振亮：Ｚｐ Ｚ，［“］一加性循环码 １３
其中ａ一（ｎｏ，ａ －．’口 １，ｂｏ，ｂ “， １）∈ｚｐ Ｚ ］．
定理３．４ 设Ｃ是Ｚ Ｚ ［ ］一加性码，ｊ７定义如上，则码Ｃ是加性循环码当且仅当ｊ７（ｃ）是
（１一“）一加性常循环码．
证 “ ”．设任意口∈面（Ｃ），则存在ｆ一（口０，ａ ．．，口 １，ｂ０，ｂ ”，ｂｐ－１）∈Ｃ，使得
ａ一 （ｃ）一（ｎｏ，ｎ１，…，口 １，ｂｏ， ｌ，…， ６ １）．
由于Ｃ是加性循环码，则（１一“） 叫Ｓ（ｆ）∈Ｃ．由于（１一“） 一１，所以面（（１一 ） Ｓ（ｆ））一ｒｌ（ａ）．
故 （口）∈ｊ７（Ｃ）．所以｛７（Ｃ）是一个（１一 ）一加性常循环码．
“ｅ”
．
设Ｃ一（口。，ａ ”，口 ，ｂ。，ｂ１…， ！）∈Ｃ，因 （Ｃ）是一个（１一 ）一加性常循环码，则
却（ （ｆ））一（ａｔ１，ｎ ”，口 ２， ｌ，
所以
．－＇旷 ２）∈Ｃ．
叼（ｊ７（ｃ））一ｊ７（ｓ（ｃ））∈ （Ｃ）．
由于面是双射，故Ｓ（ｃ）∈Ｃ．因此Ｃ是加性循环码．
设ａ：（口ｏ，ａ ”，口 １，ｂｏ，ｂ －－’ １）∈ｚ ，移位 定义为
（ｎ）＝＝＝（口 ｌ，ａ０，…，ｎ ２，ｂｐ＿１，ｂ０，…，６ ２）．
定义３．５设Ｃ是Ｚ 上的一个线性码， 定义如上，若 （Ｃ）一Ｃ且ａ一卢，则Ｃ称为准循环码．若
（Ｃ）一Ｃ且ａ≠卢，则Ｃ称为广义准循环码．
定理３．６设Ｃ是一个（１一 ）一加性常循环码，则码ｃ的Ｇｒａｙ象是Ｚ 上长度为ａ＋ 的广义准循
环码．
证 对任意的ｆ一（口ｏ，ａ１，…，口 １，ｂｏ，ｂ１…，６ １）∈Ｃ，其中ｂ 一 十钾 ，ｉ∈｛０，１，…，卢一１），
ａ ， ，ｑ ∈Ｚ ．由于Ｃ是一个（１一甜）～加性常循环码，则
（ｃ）一（口 １，ａｏ，…，口 ２，（１一 ）６ １，ｂｏ，…，６ ２）∈Ｃ．
由于
（叩（ｃ））一（ａｔ１，口０，…，口 ２，（ 一１） ｌ＋ｑ １，ｑｏ，…，ｇ ２， ｌ，ｒｏ＋ｑ０，…， ２＋ ２，
ｒ０－１＋ｑ ｌ，２ｒｏ＋ｑｏ，…，２ ２＋ｑｏ－ｚ，…，（ｐ一２） １＋ｑ １，
（ｐ一１）ｒ０＋ｑｏ，…，（ 一１） ２＋ ２）．
又因为
（ｃ）一（ａｏ，ａｌ，…，口 １，口０，ｑ１，…，ｑ １，ｒ０＋ｑｏ，…， １＋ １，
２ｔｏ＋ｑｏ，…，２ ＋ｇ １，…，（ 一１）ｒ０＋ｑｏ，…，（ｐ一１） １＋ｑ １）∈ （Ｃ）．
设 是广义的准循环移位，那么
（ （ｃ））＝（口。一１，ｎｏ，…，口 一２，（ 一１） 一１＋ｑ 一１，ｇ０，…，ｑ 一２，ｑ 一１，ｒｏ＋ｑｏ，…，ｒ卢一２＋ｑ 一２，ｒ １＋ｑ 一１，
２ｒ０＋ｑ０，…，２ 一２＋口 一２，…，（ 一２） 一１＋ 一１，（ｐ一１）ｒｏ＋ｑｏ，…，（ｐ一１） 一２＋ｇ口一２）
一 （ （ｆ））．
因此Ｃ的Ｇｒａｙ象是Ｚ 上长度为ａ＋Ｐ 的广义准循环码．
４ Ｚ Ｚｐ［“］一加性循环码的结构
设Ｒ ［ｚ］一ＺｐＥｘ３／＜ｘ。一１＞×Ｒ［ｚ］／＜ 一１＞．令ｃ是一个ｚｐ Ｚ ］一加性循环码，码字
Ｃ一（ａｏ，ａｌ，…，口 １，ｂｏ，ｂｌ，…， １）∈Ｃ
的多项式表示为
ｆ（ ）一（口Ｄ＋ａ１ ＋…＋口一ｌ 一，ｂｏ＋ｂｌｚ＋…＋ 】ｚ ）一（ｎ（ ），６（ ））∈Ｒ卅［ ］，
ｒ１ １
其中口（ｚ）＝∑ ，６（ｚ）一∑ｂ ．
码Ｃ是一个加性循环码当且仅当它的多项式表示是Ｒ ［ｚ］的一个Ｒ［ ］一子模．若 一０，则
Ｚ Ｚｐ［ ］一加性循环码是 上的循环码；若ａ一０，则Ｚｐ Ｚｐ［ ］一加性循环码是Ｒ上的循环码．本节假设
ａ，口均为正整数．
１４ 大 学 数 学 第３３卷
定义映射 ：Ｒ ［ｚ］一Ｒ［ｚ］，ｃ（．ｚ）一（ｎ（ ），６（ ））一ｂ（ｓｃ），则
Ｉｍ（Ｃｐ）一｛６（ｚ）∈Ｒ［ｚ］：（ｎ（ｚ），６（ ））∈Ｒ ［ ］），
ｋｅｒ（ ）＝｛（以（ｚ），０）∈Ｒ ． ［ｚ］：以（ｚ）∈Ｚｐ［ｚ］／＜ 一１＞｝．
显然，Ｉｍ（ ）是环Ｒ［ ］／＜ 一１）的理想，ｋｅｒ（ ）是环ＺｐＥｘ￣／＜ｘ 一１＞的理想．
引理４．１设Ｉｍ（ ）是商环ＲＦｘ￣／＜ 一１＞的理想，则
（ｉ）若Ｐ Ｉ ，则
Ｉｍ（ ）一（ｇ（ ）＋ｕｐ（ｚ），ｚ叼（ｚ）＞，
其中ｇ（ｓｃ），Ｐ（ｚ），ｑ（ ）∈Ｚｐ Ｅｘ￣／＜ｚ ～１＞，ｑ（ ）ｌ ｇ（ｚ）ｌ（ｚｐ一１），ｑ（ｚ）Ｉ（Ｐ（ｚ）（ｚｐ一１）／ｇ（ ））且
ｄｅｇ（ｑ（ｘ））＞ｄｅｇ（ｐ（ｘ））．
（ｉｉ）若｜ｌ９与Ｐ互素，则
Ｉｍ（ ）：＝：＜ｇ（ｚ）＋ｕｑ（ｚ）＞，
其中ｇ（ ），口（ｚ）∈Ｚｐ［ｚ］／＜ 一１＞，ｑ（ ）Ｉ ｇ（ｚ）ｌ（ 一１）．
推论４．２ 设Ｉｍ（ ）一（ｇ（ｚ）＋ｕｐ（ ），ｕｑ（ ）＞，若ｇ（ｓｃ）一ｑ（ｓｃ），那么
Ｉｍ（ｃｐ）一（ｇ（ ）＋ｕｐ（ ）＞．
其中ｇ（ｚ），Ｐ（ｚ），口（ｚ）∈Ｚｐ Ｅｘ￣／＜ｚ ～１＞，ｑ（ｚ）ｌ ｇ（ｚ）ｌ（３ｃＰ一１），ｑ（ｚ）ｌ（ （ｚ）（ｚ 一１）／ｇ（ｚ））且
ｄｅｇ（ｑ（ｘ））＞ｄｅｇ（ｐ（ｘ））．
证 由于“（ｇ（ ）＋ｕｐ（ ））一ｕｇ（ｚ）一ｕｑ（ ），所以得证．
引理４．３设ｋｅｒ（ ）是商环Ｚ ｚ］／（ 一１＞的理想，则
ｋｅｒ（ ）一（（厂（ｚ），０）＞，
其中，（ ）∈ｚ ［ ］／（ｚ 一１＞，且厂（ｚ）Ｉ（ 。一１）．
定理４．４设ｃ是ｚ Ｚ “］一加性循环码且Ｐ Ｉ卢，则
Ｃ一（（，（ｚ），０），（ １（ ），ｇ（ｚ）＋ｕｐ（ ）），（ ２（ｚ）， （ ））＞，
其中
ｇ（ ）ｌ ｇ（ ）ｌ（ｚ —１）， ｑ（ｚ）Ｉ（ （ ）（ 一１）／ｇ（ｘ）），ｄｅｇ（ｑ（ｘ））＞ｄｅｇ（ｐ（ｘ）），
ｈ１（ｚ），ｈ２（ ）∈Ｚｐ［ｚ］，ｄｅｇ（ｆ（ｘ））＞ｄｅｇ（ｈ１（ｚ））且ｄｅｇ（ｆ（ｘ））＞ｄｅｇ（ｈ２（ ））．
证 由同态基本定理及引理４．３可得
Ｃ／ｋｅｒ（￣） （ｇ（ ）＋ｕｐ（ ），ｕｑ（ｚ）＞．
因此，存在ｈ （ ），ｈ （ｚ）∈Ｚ ］／＜ 一１＞使得
（＾１（ ），ｇ（ ）＋ｕｐ（ｚ）），（＾２（ ），ｕｑ（ｚ））∈Ｃ．
由引理４．１得，ｋｅｒ（ ）＝（（，（ ），０）＞，其中厂（ ）Ｉ（ ～１）．记
Ｄ一＜（，（ｚ），Ｏ），（＾１（ｚ），ｇ（ ）＋ｕｐ（ｚ）），（＾２（ｚ），ｕｑ（ ））＞，
显然，Ｄ Ｃ．
假设ｆ（ｚ）∈Ｃ且ｃ（ｚ） ｋｅｒ（ ），贝０
（ｆ（ ））一６（ｚ）≠０，
其中ｃ（ ）：＝：（口（ ），６（ｚ））．
由６（ ）∈Ｉｍ（ ），所以，存在ｂ （ ），ｂ２（ ）使得
６（ ）一ｂｌ（ ）（ｇ（ ）＋ｕｐ（ ））＋ｕｂ ２（ ）ｑ（ｚ）．
故
ｃ（ｚ）－－ｂｌ（ｚ）（ｈｉ（ｚ），ｇ（ｚ）＋ｕｐ（ｘ））－－ｂ２（ｚ）（ ２（ｚ），ｕｑ（ｘ））
一
（ｎ（ｚ）－－ｂ１（ｚ） ｌ（ ）－－ｂ２（ｚ） ２（ ），Ｏ）∈ｋｅｒ（ ），
由此推出，ｃ（ｓｃ）∈Ｄ．故Ｃ—Ｄ．
如果ｄｅｇ（ｆ（ｘ））≤ｄｅｇ（ｈ （ ）），则存在 （ ），ｆ２．１（ ）使得
ｈ（ ）＝，（ ）ｌ２．ｆ（ ）＋Ｚｌ， （ｚ），
其中ｄｅｇ（１ （ ））＜ｄｅｇ（ｈ（ｚ））．
此时
第４期 卢振亮：ｚ Ｚ “］一加性循环码 １５
Ｃ一＜（，（ｚ），Ｏ），（Ｚｌ，ｌ（ ），ｇ（ｓｃ）＋ （ ）），（Ｚ。， （ ），ｕｑ（ ））＞．
故得证．
推论４．５ 设ｃ是ｚｐ Ｚｐ［ ］一加性循环码且Ｐ『 ，若ｚ（ｚ）＝＝＝ｇｃｄ（ （ｚ），ｑ（ｚ）），则
厂（ ）Ｉ（（ｒ（ｓｃ）ｈｌ（ ）＋ｓ（ｘ）ｈ２（ ））（ 一１）／ｌ（ｘ）），
其中ｒ（ ），ｓ（ ）∈Ｚ ［ ］／＜ｚ 一１＞．
证 由
（ ｌ（ ），ｇ（ｚ）＋ （ ））（ｘＰ一１）／Ｚ（ ）一（矗 （ ）（ 一１）／ｌ（ｓｃ），Ｏ）∈Ｃ，
故
ｆ（ｓｃ）Ｉ（＾１（ｚ）（ 一１）／ｌ（ｘ））．
同理由
（＾２（ ），ｕｑ（ ））（ｘＰ一１）／ｌ（ｓｃ）＝（ ２（ｚ）（ｘＰ一１）／ｌ（ｘ），Ｏ）∈Ｃ，
故
，（ ）ｌ（＾２（ ）（ ｐ一１）／ｌ（ｘ））．
推论成立．
定理４．６设ｃ是一个Ｚ Ｚｐ［ ］一加性循环码且 与Ｐ互素．则
Ｃ一（（厂（ｚ），Ｏ），（ （ｚ），ｇ（ｚ）＋ｕｑ（ｚ））＞，
其中ｑ（ ）ｌ ｇ（ｚ）Ｉ（ 一１）， （ｚ）∈Ｚｐ［ ］满足厂（ｚ）Ｉ（ （ ）（ 一１）／ｑ（ｚ））且ｄｅｇ（ｈ（ｚ））＜ｄｅｇ（ｆ（ｘ）），
厂（ｚ）Ｊ（ 一１）．
证 与定理４．４类似，存在ｈ（ ）∈Ｚ ］使得
Ｃ一（（厂（ ），Ｏ），（ （ ），ｇ（ ）＋ｚ叼（ｚ））＞，
其中ｇ（ｚ）ｌ ｇ（ ）ｌ（ｚ 一１），厂（ｚ）ｌ（ｚ。一１）．
记弓（ ）一（ 一１）／ｑ（ｘ），由于ｃ是加性循环码，故
ｑ（ｚ）（ （ｚ），ｇ（ｚ）＋ （ｚ））一（ｑ（ ） （ｚ），Ｏ）∈Ｃ，
所以
厂（ ）ｌ（ （ ）（ ｐ一１）／ｑ（ｘ））．
注在不引起混淆的情况下，以字母，表示多项式厂（ｚ）， 表示（ｘＰ一１）／厂（ｚ）．下面讨论加性循
环码的最小生成集．
定理４．７设卢与Ｐ互素，Ｃ一（（厂，Ｏ），（ ，ｇ＋ｕｑ）＞是Ｚ 乙［“］一加性循环码，其中ｇ Ｉ ｇ Ｉ（ 一１），
，Ｉ 且
，ｌ（ 一１），ｄｅｇ（ｈ）＜ｄｅｇ（ｆ）．
记
ｄｅｇ（ｆ）一ｔ１，ｄｅｇ（ｇ）一ｔ２，ｄｅｇ（ｑ）一ｔ３，
则码Ｃ的最小生成集为Ｓ—Ｓ Ｕ Ｓ Ｕ Ｓ。，其中
ｒｆ１—１口一ｔ口一ｌ ｔ，一ｔ 一１
Ｓ 一Ｕ｛ ｉ（，，０））， Ｓ。一Ｕ｛ｚ （＾，ｇ＋ｕｑ））， Ｓ。一Ｕ ｛ （ ， ｑ））．
特别地，当（，，ａ）一１时，Ｃ一＜（厂，ｏ），（０，ｇ＋ｕｑ）＞，码ｃ的最小生成集为
Ｓ：Ｓｌ Ｕ Ｓ２ Ｕ Ｓ３，
其中
ｒ １—１ ｐ一 ｚ一１ ‘２一 ３—１
Ｓ１：＝＝Ｕ ｛ｚ （，，０）｝， Ｓｚ—Ｕ ｛ （Ｏ，ｇ）｝，Ｓ３一Ｕ ｛ｚ （Ｏ，ｕｑ）｝．
证 设ｆ∈ｃ，则存在ｄ１，ｄ２∈Ｚ ］使得Ｃ—ｄ１（厂，０）＋ｄｚ（ ，ｇ＋ ）．
如果
ｄｅｇ（ｄ１）≤口一ｔ１—１，
则ｄ （厂，０）∈Ｓ ．否则，存在ｑ ，ｒ。∈Ｚｐ［ｚ］使得
ｄ１＝＝＝（（ 一１）／ｆ）ｑ１＋ｒ１，
１６ 大 学 数 学 第３３卷
其中ｒ 一０或ｄｅｇ（ｒ１）≤ａ—ｔｌ一１．因此
ｄ （，，０）一（（（ —１）／ｆ）ｑ ＋ｒ ）（厂，Ｏ）：ｔ＂１（ ，０）∈Ｓ ．
同理，讨论ｄ ，如果
ｄｅｇ（ｄ２）≤ —ｔ２—１，
则
ｄ２（，，Ｏ）∈ｓ２．
否则，假设存在ｑ ，ｒ ∈Ｚ ［ ］使得
ｄ２一ｇｑ ２＋ｒ２，
其中ｒ 一０或者ｄｅｇ（ｒ ）≤卢一ｔｚ一１．因此
ｄ２（ ，ｇ＋ｕｑ）：（ｇｑ ２＋ｒ２）（ ，ｇ＋ｕｑ）＝ｑ２（ｇｈ，ｇｇ＋ｕｇｑ）＋ｒ２（＾，ｇ＋ｕｑ），
显然，ｒ２（＾，ｇ＋ｕｑ）∈Ｓ２．
另一方面，若ｄｅｇ（ｑ２）≤ｔ２一ｔ。一１，则
ｑ２（ｇｈ，ｇｇ＋ｕｇｑ）一ｑ２（ｇｈ，ｕｇｑ）∈Ｓ２．
否则，存在ｑ。， ∈Ｚ Ｉｘ］使得
ｑｚ一（ｇ／ｑ）ｑ３＋ｒ３，
其中ｒ３—０或者ｄｅｇ（ｒ３）≤ｔ２一ｔ３—１．因此
ｑ２（ｇｈ，ｕｇｑ）一（（ｇ／ｑ）ｑ３＋ｒ３）（ｇｈ，ｕｇｑ）一（ｇ／ｑ）ｑ３（ｇ ，ｕｇｑ）＋ｒ３（ｇｈ，ｕｇｑ）
一ｑ３（ｑｈ，Ｏ）＋ （ｇｈ，ｕｇｑ）．
又因，ｌ ，所以ｑ。（ ，ｏ）Ｅ Ｓ ．显然，ｒ。（ ， ｑ）Ｅ Ｓ ．因此ｓ是ｃ的生成集．
显然，Ｓ是最小的，因为其中任何元素不能表示成其它元素的组合．故ｓ是极小生成集．
特别地，当（，，弓）一１时，由ｄｅｇ（ｈ）＜ｄｅｇ（ｆ）和，ｌ ，可得ｈ一０．进一步，可证
Ｃ一（（，，０），（Ｏ，ｇ＋ｕｑ）＞一（（，，０），（Ｏ，ｇ），（０，ｕｑ）＞．
因
ｕ（Ｏ，ｇ＋ｕｑ）一（Ｏ，ｕｇ）， ｇ（Ｏ，ｇ＋ｕｑ）一（０，ｕｇｑ），
而（ｇ，鸯）一１，所以（０，ｕｑ）∈Ｃ，进而（ｏ，ｇ）∈ｃ．再采取类似的方法，可证最小生成集．
５ 结 论
本文对Ｚ ＺｐＥｕ］一加性码进行了研究．先讨论了Ｚ Ｚｐ［ ］一加性循环码和（１一“）一加性常循环码之
问的关系，证明（１一 ）一加性常循环码的Ｇｒａｙ象是一个广义的准循环码，确定了Ｚ Ｚ ［ ］一加性循环码
的结构和最小生成集．这类加性循环码的重量计数器以及常重量码将是我们下一步的研究方向．
［参 考 文 献］
Ｅ１－］ Ｄｅｌｓａｒｔｅ Ｐ．Ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔＯ ｔｈｅ ａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅｓ ｏｆ ｃｏｄｉｎｇ ｔｈｅｏｒｙ［Ｒ］．Ｐｈｉｌｉｐｓ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｒｅｐｏｒｔｓ
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１－２３
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第４期 卢振亮：Ｚ Ｚ ［乱］一加性循环码 １７
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Ｒｉｆａ Ｊ，Ｒｏｎｑｕｉｌｌｏ Ｌ．Ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｅｒｆｅｃｔ Ｚ２ Ｚ４一ｌｉｎｅａｒ ｃｏｄｅｓ ｉｎ ｓｔｅｇａｎｏｇｒａｐｈｙ［Ｃ］．Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｉｔｓ
Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，Ｔａｉｃｈｕｎｇ，Ｔａｉｗａｎ，Ｃｈｉｎａ，２０１０．
Ｚｐ Ｚ ［ ］・Ａｄｄｉｔｉｖｅ Ｃｙｃｌｉｃ Ｃｏｄｅｓ
Ｌ Ｕ Ｚｈｅｎ—ｌｉａｎｇ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈｅｆｅｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈｅｆｅｉ ２３０００９，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｄｄｉｔｉｖｅ ｃｙｃｌｉｃ ｃｏｄｅｓ ｏｖｅｒ ｚｐ Ｚ ］ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ，ｗｈｅｒｅ Ｐ ｉｓ ａ ｐｒｉｍｅ ａｎｄ Ｕ 一０．Ｉｔ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈａｔ（１一“）
一
ａｄｄｉｔｉｖｅ ｃ０ｎｓｔａｃｙｃｌｉｃ ｃ。ｄｅｓ ｉｓ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ ｔ。ａｄｄｉｔｉｖｅ ｃｙｃｌｉｃ ｃｏｄｅｓ．Ａ ｎｅｗ Ｇｒａｙ ｍａＰ ｆｒｏｍ ｚｐ［“］ｔＯ ｚ 印ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ，ａｎｄ
ｉｔ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｇｒａｙ ｉｍａｇｅ ｏｆ ａ（１一“）一ａｄｄｉｔｉｖｅ ｃｏｎｓｔａｃｙｃｌｉｃ ｃｏｄｅ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｑｕａｓｉ—ｃｙｃｌｉｃ ｃｏｄｅ．Ａｄｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ，ｔｈｅ
ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ Ｚｐ Ｚｐ［ ］一ａｄｄｉｔｉｖｅ ｃｙｃｌｉｃ ｃｏｄｅｓ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｐａｎｎｉｎｇ ｓｅｔｓ ａｒｅ ａｌｓｏ ｇｉｖｅｎ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ａｄｄｉｔｉｖｅ ｃｙｃｌｉｃ ｃｏｄｅｓ；Ｚｐ Ｚ ］一ａｄｄｉｔｉｖｅ ｃｙｃｌｉｃ ｃｏｄｅｓ；Ｇｒａｙ ｉｍａｇｅ；ｍｉｎｉｍａｌ ｓｐａｎｎｉｎｇ ｓｅｔｓ