2024年5月14日发(作者：廉恬谧)
10
i=3j=4k=5
i=5j=12k=13
i=6j=8k=10
i=7j=24k=25
i=8j=15k=17
i=9j=12k=15
i=9j=40k=41
i=10j=24k=26
i=11j=60k=61
i=12j=16k=20
i=12j=35k=37
i=13j=84k=85
i=14j=48k=50
i=15j=20k=25
i=15j=36k=39
i=16j=30k=34
i=16j=63k=65
i=18j=24k=30
i=18j=80k=82
i=20j=21k=29
i=20j=48k=52
i=21j=28k=35
i=21j=72k=75
i=24j=32k=40
i=24j=45k=51
i=24j=70k=74
i=25j=60k=65
i=27j=36k=45
i=28j=45k=53
i=30j=40k=50
0以内的勾股数：
i=30j=72k=78
i=32j=60k=68
i=33j=44k=55
i=33j=56k=65
i=35j=84k=91
i=36j=48k=60
i=36j=77k=85
i=39j=52k=65
i=39j=80k=89
i=40j=42k=58
i=40j=75k=85
i=42j=56k=70
i=45j=60k=75
i=48j=55k=73
i=48j=64k=80
i=51j=68k=85
i=54j=72k=90
i=57j=76k=95
i=60j=63k=87
i=65j=72k=97
勾股数的常用套路
所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的
新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数
组。
关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：
1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n,c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
......
这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个
套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1,c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
......
这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数
组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该
勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n(n>=2),b=4*n
^2-1,c=4*n^2+1，例如：
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
......
========Edward补充========
对于N为质因数比较多的和数时还可以参照其质因数进行取相应的勾股数
补充，即1个N会有多对的勾股数,例如：
n=9时（a,b,c）=（9,24,25）or(9,12,15)--------3*(3,4,5)
n=12时（a,b,c）=(12,35,37)or(12,16,20)-----4*（3,4,5）
=========ShangJingbo补充=======
还有诸如此类的勾股数，20、21、29；
119、120、169；
696、697、985；
4059、4060、5741；
23660、23661、33461；
常见的几种通式：
(1)（3，4，5）,（6，8，10）……
3n,4n,5n(n是正整数)
(2)（5，12，13）,（7，24，25）,（9，40，41）……
2n＋1,2n^2＋2n,2n^2＋2n＋1(n是正整数)
(3)(8，15，17),(12，35，37)……
2^2*(n＋1),[2(n＋1)]^2－1，[2(n＋1)]^2＋1(n是正整数)
(4)m^2－n^2,2mn,m^2＋n^2(m、n均是正整数，m>n)
观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：
1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然
数。
2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。
掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。
例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是1
3，求这个直角三角形的周长是多少？
用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=
(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。
用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=16
9+13=182
常用勾股数口诀记忆
3，4，5：三四五
5，12，13：5·12记一生
8，15，17：八月十五再一起
7，24，25：企鹅是二百五
勾股数须知
连续的勾股数只有3，4，5
2024年5月14日发(作者：廉恬谧)
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i=3j=4k=5
i=5j=12k=13
i=6j=8k=10
i=7j=24k=25
i=8j=15k=17
i=9j=12k=15
i=9j=40k=41
i=10j=24k=26
i=11j=60k=61
i=12j=16k=20
i=12j=35k=37
i=13j=84k=85
i=14j=48k=50
i=15j=20k=25
i=15j=36k=39
i=16j=30k=34
i=16j=63k=65
i=18j=24k=30
i=18j=80k=82
i=20j=21k=29
i=20j=48k=52
i=21j=28k=35
i=21j=72k=75
i=24j=32k=40
i=24j=45k=51
i=24j=70k=74
i=25j=60k=65
i=27j=36k=45
i=28j=45k=53
i=30j=40k=50
0以内的勾股数：
i=30j=72k=78
i=32j=60k=68
i=33j=44k=55
i=33j=56k=65
i=35j=84k=91
i=36j=48k=60
i=36j=77k=85
i=39j=52k=65
i=39j=80k=89
i=40j=42k=58
i=40j=75k=85
i=42j=56k=70
i=45j=60k=75
i=48j=55k=73
i=48j=64k=80
i=51j=68k=85
i=54j=72k=90
i=57j=76k=95
i=60j=63k=87
i=65j=72k=97
勾股数的常用套路
所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的
新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数
组。
关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：
1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n,c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
......
这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个
套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1,c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
......
这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数
组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该
勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n(n>=2),b=4*n
^2-1,c=4*n^2+1，例如：
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
......
========Edward补充========
对于N为质因数比较多的和数时还可以参照其质因数进行取相应的勾股数
补充，即1个N会有多对的勾股数,例如：
n=9时（a,b,c）=（9,24,25）or(9,12,15)--------3*(3,4,5)
n=12时（a,b,c）=(12,35,37)or(12,16,20)-----4*（3,4,5）
=========ShangJingbo补充=======
还有诸如此类的勾股数，20、21、29；
119、120、169；
696、697、985；
4059、4060、5741；
23660、23661、33461；
常见的几种通式：
(1)（3，4，5）,（6，8，10）……
3n,4n,5n(n是正整数)
(2)（5，12，13）,（7，24，25）,（9，40，41）……
2n＋1,2n^2＋2n,2n^2＋2n＋1(n是正整数)
(3)(8，15，17),(12，35，37)……
2^2*(n＋1),[2(n＋1)]^2－1，[2(n＋1)]^2＋1(n是正整数)
(4)m^2－n^2,2mn,m^2＋n^2(m、n均是正整数，m>n)
观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：
1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然
数。
2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。
掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。
例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是1
3，求这个直角三角形的周长是多少？
用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=
(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。
用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=16
9+13=182
常用勾股数口诀记忆
3，4，5：三四五
5，12，13：5·12记一生
8，15，17：八月十五再一起
7，24，25：企鹅是二百五
勾股数须知
连续的勾股数只有3，4，5