2024年5月17日发(作者：商余馥)
案例四. 平板的稳态温度分布问题
在热传导的研究中, 一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布. 根据…定律, 只
要测定一块矩形平板四周的温度就可以确定平板上各点的温度.
图8 一块平板的温度分布图
【模型准备】如图9所示的平板代表一条金属梁的截面. 已知四周8个节点处的温度(单位°C),
求中间4个点处的温度T
1
, T
2
, T
3
, T
4
.
10080
90
T
1
T
2
60
80
T
3
60
T
4
50
50
图9 一块平板的温度分布图
【模型假设】假设忽略垂直于该截面方向上的热传导, 并且每个节点的温度等于与它相邻的
四个节点温度的平均值.
【模型建立】根据已知条件和上述假设, 有如下线性方程组
1
⎧
=
T
⎪
1
4
(90+100+
T
2
+
T
3
)
⎪
1
⎪
T
2
=(80+60+T
1
+T
4
)
⎪
4
⎨
1
⎪
T
3
=(80+60+
T
1
+
T
4
)
4
⎪
1
⎪
T
(50
+
50
+
T
2
+
T
3
)
=
4
⎪
⎩4
【模型求解】将上述线性方程组整理得
=190
⎧
4T
1
−T
2
−T
3
⎪
−T
4
=140
⎪
−T
1
+4T
2
.
⎨
−
T4TT140
+−=
34
⎪
1
−
T
2
−
T
3
+
4T
4
=
100
⎪
⎩
在
Matlab
命令窗口输入以下命令
>> A = [4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]; b = [190;140;140;100];
>> x = Ab; x
’
Matlab
执行后得
ans =
82.9167 70.8333 70.8333 60.4167
可见
T
1
=
82.9167
, T
2
=
70.8333
, T
3
=
70.8333
, T
4
=
60.4167
.
参考文献
陈怀琛
,
高淑萍
,
杨威
,
工程线性代数
,
北京
:
电子工业出版社
, 2007.
页码
: 15-16.
Matlab
实验题
假定下图中的平板代表一条金属梁的截面
,
并忽略垂直于该截面方向上的热传导
.
已知
平板内部有
30
个节点
,
每个节点的温度近似等于与它相邻的四个节点温度的平均值
.
设
4
条
边界上的温度分别等于每位同学学号的后四位的
5
倍
,
例如学号为
16308209
的同学计算本题
时
,
选择
T
l
= 40, T
u
= 10, T
r
= 0, T
d
= 45.
T
u
T
u
T
u
T
l
T
1
T
6
T
26
T
r
T
r
T
l
T
2
T
7
T
27
T
l
T
5
T
10
T
30
T
r
T
d
T
d
T
d
图
10
一块平板的温度分布图
(1)
建立可以确定平板内节点温度的线性方程组
.
(2)
用
Matlab
软件求解该线性方程组
.
(3)
用
Matlab
中的函数
mesh
绘制三维平板温度分布图
.
2024年5月17日发(作者：商余馥)
案例四. 平板的稳态温度分布问题
在热传导的研究中, 一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布. 根据…定律, 只
要测定一块矩形平板四周的温度就可以确定平板上各点的温度.
图8 一块平板的温度分布图
【模型准备】如图9所示的平板代表一条金属梁的截面. 已知四周8个节点处的温度(单位°C),
求中间4个点处的温度T
1
, T
2
, T
3
, T
4
.
10080
90
T
1
T
2
60
80
T
3
60
T
4
50
50
图9 一块平板的温度分布图
【模型假设】假设忽略垂直于该截面方向上的热传导, 并且每个节点的温度等于与它相邻的
四个节点温度的平均值.
【模型建立】根据已知条件和上述假设, 有如下线性方程组
1
⎧
=
T
⎪
1
4
(90+100+
T
2
+
T
3
)
⎪
1
⎪
T
2
=(80+60+T
1
+T
4
)
⎪
4
⎨
1
⎪
T
3
=(80+60+
T
1
+
T
4
)
4
⎪
1
⎪
T
(50
+
50
+
T
2
+
T
3
)
=
4
⎪
⎩4
【模型求解】将上述线性方程组整理得
=190
⎧
4T
1
−T
2
−T
3
⎪
−T
4
=140
⎪
−T
1
+4T
2
.
⎨
−
T4TT140
+−=
34
⎪
1
−
T
2
−
T
3
+
4T
4
=
100
⎪
⎩
在
Matlab
命令窗口输入以下命令
>> A = [4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]; b = [190;140;140;100];
>> x = Ab; x
’
Matlab
执行后得
ans =
82.9167 70.8333 70.8333 60.4167
可见
T
1
=
82.9167
, T
2
=
70.8333
, T
3
=
70.8333
, T
4
=
60.4167
.
参考文献
陈怀琛
,
高淑萍
,
杨威
,
工程线性代数
,
北京
:
电子工业出版社
, 2007.
页码
: 15-16.
Matlab
实验题
假定下图中的平板代表一条金属梁的截面
,
并忽略垂直于该截面方向上的热传导
.
已知
平板内部有
30
个节点
,
每个节点的温度近似等于与它相邻的四个节点温度的平均值
.
设
4
条
边界上的温度分别等于每位同学学号的后四位的
5
倍
,
例如学号为
16308209
的同学计算本题
时
,
选择
T
l
= 40, T
u
= 10, T
r
= 0, T
d
= 45.
T
u
T
u
T
u
T
l
T
1
T
6
T
26
T
r
T
r
T
l
T
2
T
7
T
27
T
l
T
5
T
10
T
30
T
r
T
d
T
d
T
d
图
10
一块平板的温度分布图
(1)
建立可以确定平板内节点温度的线性方程组
.
(2)
用
Matlab
软件求解该线性方程组
.
(3)
用
Matlab
中的函数
mesh
绘制三维平板温度分布图
.