2024年5月17日发(作者：中碧曼)
.基本初等函数求导公式
(1)
(C) =0
⑶ (sin x) = cosx
(tan x)
二
sec x
(5)
⑺
(secx) = secxtan x
(9)
(a
x
f-a
x
ln a
(11)
DU
(arcsin x)
，
=
(
1
(13)
-x
2
(arctan x)
(15)
1 +x
函数的和、差、积、商的求导法则
= u
（
x）
，
v
=v（x）
都可导，则
(1)
（
U
士
V
）
= u
士
V
(3
)
(uv) = u v uv
反函数求导法则
若函数
x
= Uy）
在某区间
Iy
内可导、单调且
内也可导，且
(2)
（
X
，
）
-七心
(4)
(cosx) - -sinx
(cot x)
二-
csc
2
x
(6)
(cscx) = - cscx cot
(8)
x
(10)
(e
x
)—
(ln x)
二丄
(12)
x
，
(arccosx)" =
(14)
1 - x
(arccot x)=
1
(16)
1 x
2
(2
)
（
Cu）'C
「（
C
是常数）
(4
)
v
2
（y
^"
0
，则它的反函数
y
= f
（x
）
在对应区间
Ix
少丄
dx
一
dx
f
(
X
)
二
dy
复合函数求导法则
设
y
=
f
(u)
，而
U v
(
x)
且
f
(u)
及
(x)
都可导，则复合函数
y
= f［
「(
x)］
的导数为
dy dy_du
dx du dx
或
y
、基本积分表
kdx=kx・c ( k 是常数)
x'dx
二+
C, (u
」
1)
."1
1
dx
= I
n | x | C • x
dx
= arl tan x C ‘1 +x
2
(5)
cosxdx
=s
in x C
sin xdx = -cosx C
厂
dx = ta n x C
1
' cos x
厂
1
dx = - cot x C ' sin x
secxtanxdx^secx C
f (U)L (x)
(1)
(2)
(3)
(4)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
cscxcot xdx = - cscx C
edx
=e
C
xx
x
(13)
(14)
(15)
a
x
dx — C
,
(a 0,
且
a
厂
1)
In a
shxdx 二 chx C
chxdx = shx C
1 x
(16)
=—arc tan — C a a
1 1 x —a
(17)二 ------
| C
2
dx ln |
x -a 2a x+a
(18)
dx
二
arc sin — C
■ a
2
-x
2
a
x
(19)
J ,
1
dx = ln(x + Ja
2
+x
2
) + C
，
Ja
2
+x
2
(20)
J—
dx
= ln | x + Jx
2
_a
2
| +C
$ !2 2
1 1
.x -a
(21)
tanxdx 二-ln |cosx | C
(22)
cotxdx=ln |sinx | C
(23)
secxdx
= l
n |secx tanx| C
(24)
cscxdx
= l
n|cscx-cotx| C
注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证
2、以上公式把
x
换成
u
仍成立，
u
是以
x
为自变量的函数。
3、复习三角函数公式:
sin
2
x cos
2
x = 1,tan
2
x 1 = sec
2
x,sin 2x
c . 2
1 + cos2x
=2sin x cosx, cos x =
2
1 -cos2x
sin x =
2
.2
注：由Jf[®(x)]®(xdx = f[ (Mid梓x ，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫
凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并 掌
握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。
小结
：
1常用凑微分公式
积分类型 换元公式
1
1. J f (ax +b)dx =— [ f (ax +b)d(ax +b) (a MO) a
u = ax + b
■
2. Jf
&*卩妆=£
Jf (xbd(xb
(卩式
0)
u = X
u = 1 n x
u =e
1
3j f (In x) —dx = [ f (In x)d (In x) x
第
4.. J f (e) edx = J f (e)de
xxxx
x
5jf (a) adx =-^ f f (a)da
L
换 • ln a
元
6
」
f (sin x) cosxdx = J f (sin x)d sin x
积
7j f (cosx) sin xdx = — J f (cosx)d cosx
分
法 8j f (tan x)sec xdx = J f (tan x)d tan x
xxxx
u =a
u =sin x
u =cosx
u = ta nx
u = cot X
x
9J f (cot x) csc xdx = - J f (cot x)d cot x
1
u =
arcta n
10.
『
f (arctanx) -- dx — f f (arctanx)d(arctan x)
x
2
• 1
十
x
1
u = arcs in
11. j f (arcsin x) - dx — —j
T
(arcsin
x
x)d(arcsin x)
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2024年5月17日发(作者：中碧曼)
.基本初等函数求导公式
(1)
(C) =0
⑶ (sin x) = cosx
(tan x)
二
sec x
(5)
⑺
(secx) = secxtan x
(9)
(a
x
f-a
x
ln a
(11)
DU
(arcsin x)
，
=
(
1
(13)
-x
2
(arctan x)
(15)
1 +x
函数的和、差、积、商的求导法则
= u
（
x）
，
v
=v（x）
都可导，则
(1)
（
U
士
V
）
= u
士
V
(3
)
(uv) = u v uv
反函数求导法则
若函数
x
= Uy）
在某区间
Iy
内可导、单调且
内也可导，且
(2)
（
X
，
）
-七心
(4)
(cosx) - -sinx
(cot x)
二-
csc
2
x
(6)
(cscx) = - cscx cot
(8)
x
(10)
(e
x
)—
(ln x)
二丄
(12)
x
，
(arccosx)" =
(14)
1 - x
(arccot x)=
1
(16)
1 x
2
(2
)
（
Cu）'C
「（
C
是常数）
(4
)
v
2
（y
^"
0
，则它的反函数
y
= f
（x
）
在对应区间
Ix
少丄
dx
一
dx
f
(
X
)
二
dy
复合函数求导法则
设
y
=
f
(u)
，而
U v
(
x)
且
f
(u)
及
(x)
都可导，则复合函数
y
= f［
「(
x)］
的导数为
dy dy_du
dx du dx
或
y
、基本积分表
kdx=kx・c ( k 是常数)
x'dx
二+
C, (u
」
1)
."1
1
dx
= I
n | x | C • x
dx
= arl tan x C ‘1 +x
2
(5)
cosxdx
=s
in x C
sin xdx = -cosx C
厂
dx = ta n x C
1
' cos x
厂
1
dx = - cot x C ' sin x
secxtanxdx^secx C
f (U)L (x)
(1)
(2)
(3)
(4)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
cscxcot xdx = - cscx C
edx
=e
C
xx
x
(13)
(14)
(15)
a
x
dx — C
,
(a 0,
且
a
厂
1)
In a
shxdx 二 chx C
chxdx = shx C
1 x
(16)
=—arc tan — C a a
1 1 x —a
(17)二 ------
| C
2
dx ln |
x -a 2a x+a
(18)
dx
二
arc sin — C
■ a
2
-x
2
a
x
(19)
J ,
1
dx = ln(x + Ja
2
+x
2
) + C
，
Ja
2
+x
2
(20)
J—
dx
= ln | x + Jx
2
_a
2
| +C
$ !2 2
1 1
.x -a
(21)
tanxdx 二-ln |cosx | C
(22)
cotxdx=ln |sinx | C
(23)
secxdx
= l
n |secx tanx| C
(24)
cscxdx
= l
n|cscx-cotx| C
注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证
2、以上公式把
x
换成
u
仍成立，
u
是以
x
为自变量的函数。
3、复习三角函数公式:
sin
2
x cos
2
x = 1,tan
2
x 1 = sec
2
x,sin 2x
c . 2
1 + cos2x
=2sin x cosx, cos x =
2
1 -cos2x
sin x =
2
.2
注：由Jf[®(x)]®(xdx = f[ (Mid梓x ，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫
凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并 掌
握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。
小结
：
1常用凑微分公式
积分类型 换元公式
1
1. J f (ax +b)dx =— [ f (ax +b)d(ax +b) (a MO) a
u = ax + b
■
2. Jf
&*卩妆=£
Jf (xbd(xb
(卩式
0)
u = X
u = 1 n x
u =e
1
3j f (In x) —dx = [ f (In x)d (In x) x
第
4.. J f (e) edx = J f (e)de
xxxx
x
5jf (a) adx =-^ f f (a)da
L
换 • ln a
元
6
」
f (sin x) cosxdx = J f (sin x)d sin x
积
7j f (cosx) sin xdx = — J f (cosx)d cosx
分
法 8j f (tan x)sec xdx = J f (tan x)d tan x
xxxx
u =a
u =sin x
u =cosx
u = ta nx
u = cot X
x
9J f (cot x) csc xdx = - J f (cot x)d cot x
1
u =
arcta n
10.
『
f (arctanx) -- dx — f f (arctanx)d(arctan x)
x
2
• 1
十
x
1
u = arcs in
11. j f (arcsin x) - dx — —j
T
(arcsin
x
x)d(arcsin x)
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