2024年5月17日发(作者：扬飞章)

分部积分法不定积分例题

不定积分是积分计算中较为复杂的一块领域，有时候在积分计算

中，由于待积函数的复杂性，原本的定积分无法求解，则使用不定积

分来解决。所以，在学习积分计算中，不定积分也是一个重要的部分。

本文将利用分部积分法，结合实例来进行不定积分的计算，以期能够

帮助大家对不定积分有一个更加全面的理解。

一、什么是分部积分

分部积分也叫分段积分，是指在一定的区间上，将其划分成N个

子区间，以近似的方式求解无法取得精确答案的积分，可以将复杂的

积分问题分割成许多容易求解的积分问题，以达到快速精确求解的思

想。

二、分部积分法不定积分实例

例1：求下列不定积分：

$$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx$$

解：

首先，将区间[2,3]划分为N段，即将[2,3]划分为[2,2.5]和

[2.5,3]两段，则可得：

$$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx=int_{2}^{2.5}3x^2+2x+1dx+int_{2.5}

^{3}3x^2+2x+1dx$$

设此时此刻区间[2,2.5]及[2.5,3]最左端的点分别为$a_i$和

$b_i$，此时取$a_i$=$b_i$=2.5，且求得：

- 1 -

$$int_{2}^{2.5}3x^2+2x+1dx=int_{2}^{2.5}(9.375+5+1)dx=83.12

5$$

$$int_{2.5}^{3}3x^2+2x+1dx=int_{2.5}^{3}(14.0625+7.5+1)dx=1

49.0625$$

则最后，可得：

$$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx=83.125+149.0625=232.1875$$

例2：求下列不定积分：

$$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx$$

解：

同样，将区间[-2,4]划分为N段，即将[-2,4]划分为[-2,1]和

[1,4]两段，则可得：

$$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx=int_{-2}^{1}4x^3+3x^2+1dx+int_{

1}^{4}4x^3+3x^2+1dx$$

设此时此刻区间[-2,1]及[1,4]最左端的点分别为$a_i$和$b_i$，

此时取$a_i$=$b_i$=1，且求得：

$$int_{-2}^{1}4x^3+3x^2+1dx=int_{-2}^{1}(4+3+1)dx=-22$$

$$int_{1}^{4}4x^3+3x^2+1dx=int_{1}^{4}(64+12+1)dx=63$$

则最后，可得：

$$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx=-22+63=41$$

- 2 -

三、实例总结

通过上述两个实例，我们更好的理解了分部积分法的手段，也更

加清楚了它的计算流程，即将一个复杂的不定积分，利用区间划分的

方法分割成小的不定积分，最终求得总的不定积分的值。同时，利用

实例的方法进行学习，也能更好的帮助大家理解不定积分的计算流程，

有利于以后更加有效的解决类似的问题。

总之，本文主要介绍了分部积分法不定积分的计算流程，以及一

些相关的实例，以供大家参考。在复杂的积分计算中，不定积分是一

个重要的领域，且分部积分是一种比较实用的积分计算方法，它可以

将一个复杂的积分分割成一系列容易求解的积分，从而更快更准确的

求解整个积分。

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2024年5月17日发(作者：扬飞章)

分部积分法不定积分例题

不定积分是积分计算中较为复杂的一块领域，有时候在积分计算

中，由于待积函数的复杂性，原本的定积分无法求解，则使用不定积

分来解决。所以，在学习积分计算中，不定积分也是一个重要的部分。

本文将利用分部积分法，结合实例来进行不定积分的计算，以期能够

帮助大家对不定积分有一个更加全面的理解。

一、什么是分部积分

分部积分也叫分段积分，是指在一定的区间上，将其划分成N个

子区间，以近似的方式求解无法取得精确答案的积分，可以将复杂的

积分问题分割成许多容易求解的积分问题，以达到快速精确求解的思

想。

二、分部积分法不定积分实例

例1：求下列不定积分：

$$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx$$

解：

首先，将区间[2,3]划分为N段，即将[2,3]划分为[2,2.5]和

[2.5,3]两段，则可得：

$$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx=int_{2}^{2.5}3x^2+2x+1dx+int_{2.5}

^{3}3x^2+2x+1dx$$

设此时此刻区间[2,2.5]及[2.5,3]最左端的点分别为$a_i$和

$b_i$，此时取$a_i$=$b_i$=2.5，且求得：

- 1 -

$$int_{2}^{2.5}3x^2+2x+1dx=int_{2}^{2.5}(9.375+5+1)dx=83.12

5$$

$$int_{2.5}^{3}3x^2+2x+1dx=int_{2.5}^{3}(14.0625+7.5+1)dx=1

49.0625$$

则最后，可得：

$$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx=83.125+149.0625=232.1875$$

例2：求下列不定积分：

$$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx$$

解：

同样，将区间[-2,4]划分为N段，即将[-2,4]划分为[-2,1]和

[1,4]两段，则可得：

$$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx=int_{-2}^{1}4x^3+3x^2+1dx+int_{

1}^{4}4x^3+3x^2+1dx$$

设此时此刻区间[-2,1]及[1,4]最左端的点分别为$a_i$和$b_i$，

此时取$a_i$=$b_i$=1，且求得：

$$int_{-2}^{1}4x^3+3x^2+1dx=int_{-2}^{1}(4+3+1)dx=-22$$

$$int_{1}^{4}4x^3+3x^2+1dx=int_{1}^{4}(64+12+1)dx=63$$

则最后，可得：

$$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx=-22+63=41$$

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三、实例总结

通过上述两个实例，我们更好的理解了分部积分法的手段，也更

加清楚了它的计算流程，即将一个复杂的不定积分，利用区间划分的

方法分割成小的不定积分，最终求得总的不定积分的值。同时，利用

实例的方法进行学习，也能更好的帮助大家理解不定积分的计算流程，

有利于以后更加有效的解决类似的问题。

总之，本文主要介绍了分部积分法不定积分的计算流程，以及一

些相关的实例，以供大家参考。在复杂的积分计算中，不定积分是一

个重要的领域，且分部积分是一种比较实用的积分计算方法，它可以

将一个复杂的积分分割成一系列容易求解的积分，从而更快更准确的

求解整个积分。

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