2024年5月20日发(作者：昌凝雪)
２０１０年第８期
本期问题
初２７９如图１，过圆外一点Ｐ作圆的切
线ＰＡ和割线
Ｐ Ａ
ＰＢ１ ，切点
为Ａ，交点为
、 ，
再过
点Ｐ作圆的
另一条割线
图１
ＰｃＤ交圆于
Ｃ、Ｄ两点，过Ｂ 、 分别作 的平行线分
别交直线ＡＣ、ＡＤ于点Ｅ 和Ｆ 、Ｅ 和 ．证
明：Ｂｌ ｔ・Ｂ２Ｅ２＝Ｂ１Ｆｌ・Ｂ２Ｆ２．
初２８０ 求Ｙ ＝８ｘ ＋２ｘ。Ｙ—Ｙ 在 ∈
［０，１０］时的所有整数解组（ ，Ｙ）．
高２７９已知正实数 、Ｙ、 满足
（√３＋１）ｘｙ＋２Ｊ３ｙｚ＋（√３＋１） ＝１．
（１）求 ＋Ｙ＋ｚ的最小值；
（２）４５－￣ｙ
（８－４，／￣－）ｙｚ
＋．＋
丝的最
ｚ Ｙ
小值．
高２８０如图２，从ｏ０外一点Ｐ作ｏ０
的两条切线，切
点为Ａ、Ｂ，再过
点尸作ｏ０的一
条割线，交ｏ ０
于点Ｃ、Ｄ（ＰＣ＜
肋）．设ＡＣ与
ＤＢ交于点Ｅ，ＣＤ
与ＡＢ交于点Ｆ，
ＥＦ与ＰＢ交干
Ｄ
Ｋ，ＥＦ与ＢＣ交于
图２
点Ｇ，ＡＧ与ＤＥ
交于点ｓ．求证：ＫＳ是ｏ０的切线，切点为Ｃ．
４５
上期问题解答
初２７７全国初中数学竞赛共有１４道
题（５道选择题，５道填空题，４道解答题），满
分１５０分，其中选择题和填空题每题答对得
７分，答错得０分，没有其他分值；解答题每
题２０分，步骤分只能是０、５、１０、１５、２０分，没
有其他分值．则所有可能得到的不同分值共
有多少个？
解分值可以在ｌ６个５分和１０个７分
中选取，设５分和７分共选ｋ个．
因为选与不选是相对的，即选ｍ个５，ｎ
个７所得到的分值与选１６一ｒ／＇ｔ个５，１０一ｎ
个７所得到的分值的和是１５０，所以，只要考
虑一半的分值即可．设０～７４之间可以得到
的不同分值共有口个．由于７５可以取到，因
此，所有可能得到的不同分值共有２口＋１个．
从而，只需讨论到ｋ＝１４．
（１）当ｋ＝０时，分值为０；
（２）当ｋ：２，４，６，８ ｌ０时，分值分别为
１０～ｌ４，２０～２８，３０～４２，４０～５６，５０～７０之
间的所有偶数；
（３）当ｋ：１２，１４时，分值分别为６０～
８０，７０～９０之间的所有偶数；
（４）当ｋ＝１时，分值为５～７之间的所有
奇数；
（５）当ｋ＝３，５，７，９时，分值分别为ｌ５～
２１，２５～３５，３５～４９，４５～６３之间的所有奇
数；
（６）当ｋ＝１１，１３时，分值分别为５５～
７５，６５～８５之间的所有奇数．
综上可知，能够取到０～７４的奇数有３１
个，偶数有３２个．故０＝６３．
于是，２ａ＋１＝１２７．
（李建泉天津师范大学数学教育科学
中等数学
与数学奥林匹克研究所，３００３８７）
初２７８用三种边长相等的正多边形地
砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地
面．求这三种多边形的边数．
解设这三种多边形的边数分别为 、
八ｚ，并设在一个顶点周围有ｋ．个 边形，
（２）ｋｌ＋｜ｉ｝２＋后３＝４．
’ 由对称性可令 ：｜ｉ｝ ：１，Ｊｊ｝３＝２， ＞ｙ．
故 ＋ ＋ ：１
ｊ ≥ｌ一了１一 １＝ ５ ｊｚ≤４ ｚ＝３
４．
ｋ 个Ｙ边形，后，个ｚ边形．于是，
ｋ，． ＋ｋ，． ＋
。。
Ｙ
毛．●●１ ：３６０。。一 ‘
即ｋＩ￣譬 ・孚＋ｋ３￣孚
则ｋ１． ＋ｋ ． ＋ｋ ．
， ｚ
ｋｌ＋ｋ２＋ｋ３—２
２
＜寺（ Ｉ＋ｋ２＋ｋ３）．
故ｋｌ ４－ｋ２＋ ３＜６．
又因为ｋｌ＋后２＋七３Ｉ＞３，所以，
３≤后ｌ＋ｋ２＋Ｊｊ｝３≤５．
（１）后ｌ＋后２＋后３＝３．
于是，ｋｌ＝ｋ２＝．ｊ｝３＝１．
则÷＋专＋÷＝＇， ．Ｚ
由对称性可设 ＞Ｙ＞ｚ．
则÷＞÷÷Ｚ ３＝ ．Ｏ
故ｚ＝３，４，５．
（ ＝３，则÷＋ ＶＩ＝ Ｏ Ｉ， 即
６（ｘ＋，，）＝ （ 一６）（Ｙ一６）＝３６
ｆ 一６＝３６，１８，１２，９， ｆ ＝４２，２４，１８，１５，
— ‘ ＿＿，
（ｉｉ）ｚ：４，则 ＋一１： １
。
同趣，得
（ｉｉｉ） ＝５，则 ＋ １＝ ３
ｙ １Ｕ ．
类似讨论知无正整数解．
经检验。只有当（ ．，，． ）：（１２．６．４）时．
，
（ｉ）ｚ：３，则 ＋一１： １
，
即
（ 一３）（Ｙ一３）＝９
ｘ－３＝９’ ’
￣
｛
．
（ｉｉ）ｚ：４，则 ＋～１： １
．
同理，得 ＝６，Ｙ＝３．
经检验，当（ ，），， ）＝（１２，４，３），（６，３，４）
时，可以铺满地面．
（３）ｋ１＋ｋ２＋ｋ３＝５．
（ｉ）由列硐’性可令后ｌ＝ｋ２：１，詹３＝３， ＞
于是， ＋ ＋三：
．
则÷≥ ３一了１一 １＝ ： ≤３．
故 ＝３．
／Ｘ￣ｉ，， ＋ ： ．
所以， ＝６，，，＝３．
此时，Ｙ－－Ｚ，，与题意矛盾．
（ｉｉ）由对称性可令Ｊ］｝ ＝１，Ｊｊ｝ ＝２，ｋ３＝２．
于是， ＋ ＋一２： ３
．
但÷＋号＋ｘ ｖ ｚ ≤÷＋手＋了 ３ ４ ３２＝ ｊ ４ｕ１＜吾， ｚ
矛盾．
暖 偿
注：上述讨论略去ｋ ＝０的情况，结论不
受影响．
（王婉好 天津市新华中学七年六班，
高２７７如图３，Ｄ为△ＡＢＣ内任意一
点，过Ｄ的直线分别交△ＡＢＤ、△ＢＣＤ、
２０１０年第８期 ４７
＝
△ＣＡＤ的外接圆ｏＤｌ、ｏｏ：、ｏＤ 于点Ｅ、Ｆ、
Ｇ，Ｌ为△ＡＢＣ的外接圆ｏ０ 上任意点， 、
ＬＦ、ＬＧ分别对应地交ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ于点 、＾，、
０．求证： 、Ｎ、０三点共线．
＝
［１＋２（ｉ一１）］［１＋２（／／，＋１一ｉ）］
１＋２ｎ＋４（ｉ一１）（ｎ＋１一ｉ）
１ １
Ｊ．～
≥２ｎ＋１．
一
２ｉ一１。２（／＇ｔ＋２一 ）一１
２ｆ ｎ＋１、
一
（２ 一１）［２（／／，＋２一ｉ）一１］
≤ ．
因为ｃ： 一＝ｃ： ” 。＝ｃ ，所以，
ｃ ｃ：＋１
二＿『＋
ｃ：一
十
ｃ
图３
证明辅助线见图３．
则 ＥＡＢ＝ ＥＤＢ＝ ＢＣＦ．
同理， ＥＢＭ＝ ＡＣＧ，
ＦＢＣ＝ ＧＡＬ．
＝ｃ ［ ＋
≤ｃ：～・ ：～・
】
．
又 ＢＡＬ＝ ＢＣＬ，则 Ｌ＝ ＦＣＬ．
同理， ＦＢＬ＝ ＧＡＬ， ＧＣＬ＝ ＥＢＬ．
Ｍ ＢＮ Ｃ０
蚁 。 。
在 ＋ 芒
≤２ｃ ～・
中，令ｉ＝１，２，…，／７，＋１，得
ｓ ｓ ｓ
ｓ ＢＬ ｓ ｌ｜Ｆ ｓ
ｓ ＡＬ ｓ ＦＬ Ｓ ｃＬ
ＳＡｃｆＪＦ ｓ
ＡＥ・ＡＬｓｉｎ
ＣＦ・ＣＬｓｉｎ
ＧＣ・ＣＬｓｉｎ
ｓ ８Ｌ
ＥＡＬ ＢＦ・ＢＬｓｉｎ
ＦＣＬ ＡＧ・ＡＬｓｉｎ
ＧＣＬ
ＦＢＬ
ＧＡＬ
孚＋
孚＋
譬＋
＋Ｔ
ｏ ，
１ ，
２ 丽ｎ＋ｌ，
：丽ｎ＋１
．
瓦
ＡＥ ＢＦ ＣＧ
＝一●一
ＥＢ ＦＣ ＧＡ
ｓｉｎ ＥＢＭ ｓｉｎ ＢＣＦ ｓｉｎ ＧＡＣ
把这ｎ＋１个不等式相加并整理得
ＦＢＣ ｓｉｎ ＡＣＧ ｓｉｎ
＝
ＥＡＢ ｓｉｎ
２（譬＋譬＋譬＋…＋ ）
｛２（ｃｏ＋ｃ ＋ｃ ｚ＋．．．＋ｃ：）
一
１．
由梅涅劳斯定理的逆定理知 、Ｎ、０三
点共线．
（金磊西安交大附中，７１００４９）
，） ．
！ ± ２
２ｎ＋１’ 一‘
高２７８设／７，为正整数．求证：
竽＋丁＋孚＋了＋ ＋譬＋…＋ ≤丽≤ 。２ｎ． 丽‘．
证明设ｉ∈Ｎ 且ｉ≤ｎ＋１．则
（２ｉ一１）［２（ｎ＋２一 ）一１］
故竿＋ｃ了ｉ＋ ．．＋
２３９４６ｌ
． ．
当ｎ＝１时，上式等号成立．
（盛宏礼 安徽省明光市涧溪中学，
2024年5月20日发(作者：昌凝雪)
２０１０年第８期
本期问题
初２７９如图１，过圆外一点Ｐ作圆的切
线ＰＡ和割线
Ｐ Ａ
ＰＢ１ ，切点
为Ａ，交点为
、 ，
再过
点Ｐ作圆的
另一条割线
图１
ＰｃＤ交圆于
Ｃ、Ｄ两点，过Ｂ 、 分别作 的平行线分
别交直线ＡＣ、ＡＤ于点Ｅ 和Ｆ 、Ｅ 和 ．证
明：Ｂｌ ｔ・Ｂ２Ｅ２＝Ｂ１Ｆｌ・Ｂ２Ｆ２．
初２８０ 求Ｙ ＝８ｘ ＋２ｘ。Ｙ—Ｙ 在 ∈
［０，１０］时的所有整数解组（ ，Ｙ）．
高２７９已知正实数 、Ｙ、 满足
（√３＋１）ｘｙ＋２Ｊ３ｙｚ＋（√３＋１） ＝１．
（１）求 ＋Ｙ＋ｚ的最小值；
（２）４５－￣ｙ
（８－４，／￣－）ｙｚ
＋．＋
丝的最
ｚ Ｙ
小值．
高２８０如图２，从ｏ０外一点Ｐ作ｏ０
的两条切线，切
点为Ａ、Ｂ，再过
点尸作ｏ０的一
条割线，交ｏ ０
于点Ｃ、Ｄ（ＰＣ＜
肋）．设ＡＣ与
ＤＢ交于点Ｅ，ＣＤ
与ＡＢ交于点Ｆ，
ＥＦ与ＰＢ交干
Ｄ
Ｋ，ＥＦ与ＢＣ交于
图２
点Ｇ，ＡＧ与ＤＥ
交于点ｓ．求证：ＫＳ是ｏ０的切线，切点为Ｃ．
４５
上期问题解答
初２７７全国初中数学竞赛共有１４道
题（５道选择题，５道填空题，４道解答题），满
分１５０分，其中选择题和填空题每题答对得
７分，答错得０分，没有其他分值；解答题每
题２０分，步骤分只能是０、５、１０、１５、２０分，没
有其他分值．则所有可能得到的不同分值共
有多少个？
解分值可以在ｌ６个５分和１０个７分
中选取，设５分和７分共选ｋ个．
因为选与不选是相对的，即选ｍ个５，ｎ
个７所得到的分值与选１６一ｒ／＇ｔ个５，１０一ｎ
个７所得到的分值的和是１５０，所以，只要考
虑一半的分值即可．设０～７４之间可以得到
的不同分值共有口个．由于７５可以取到，因
此，所有可能得到的不同分值共有２口＋１个．
从而，只需讨论到ｋ＝１４．
（１）当ｋ＝０时，分值为０；
（２）当ｋ：２，４，６，８ ｌ０时，分值分别为
１０～ｌ４，２０～２８，３０～４２，４０～５６，５０～７０之
间的所有偶数；
（３）当ｋ：１２，１４时，分值分别为６０～
８０，７０～９０之间的所有偶数；
（４）当ｋ＝１时，分值为５～７之间的所有
奇数；
（５）当ｋ＝３，５，７，９时，分值分别为ｌ５～
２１，２５～３５，３５～４９，４５～６３之间的所有奇
数；
（６）当ｋ＝１１，１３时，分值分别为５５～
７５，６５～８５之间的所有奇数．
综上可知，能够取到０～７４的奇数有３１
个，偶数有３２个．故０＝６３．
于是，２ａ＋１＝１２７．
（李建泉天津师范大学数学教育科学
中等数学
与数学奥林匹克研究所，３００３８７）
初２７８用三种边长相等的正多边形地
砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地
面．求这三种多边形的边数．
解设这三种多边形的边数分别为 、
八ｚ，并设在一个顶点周围有ｋ．个 边形，
（２）ｋｌ＋｜ｉ｝２＋后３＝４．
’ 由对称性可令 ：｜ｉ｝ ：１，Ｊｊ｝３＝２， ＞ｙ．
故 ＋ ＋ ：１
ｊ ≥ｌ一了１一 １＝ ５ ｊｚ≤４ ｚ＝３
４．
ｋ 个Ｙ边形，后，个ｚ边形．于是，
ｋ，． ＋ｋ，． ＋
。。
Ｙ
毛．●●１ ：３６０。。一 ‘
即ｋＩ￣譬 ・孚＋ｋ３￣孚
则ｋ１． ＋ｋ ． ＋ｋ ．
， ｚ
ｋｌ＋ｋ２＋ｋ３—２
２
＜寺（ Ｉ＋ｋ２＋ｋ３）．
故ｋｌ ４－ｋ２＋ ３＜６．
又因为ｋｌ＋后２＋七３Ｉ＞３，所以，
３≤后ｌ＋ｋ２＋Ｊｊ｝３≤５．
（１）后ｌ＋后２＋后３＝３．
于是，ｋｌ＝ｋ２＝．ｊ｝３＝１．
则÷＋专＋÷＝＇， ．Ｚ
由对称性可设 ＞Ｙ＞ｚ．
则÷＞÷÷Ｚ ３＝ ．Ｏ
故ｚ＝３，４，５．
（ ＝３，则÷＋ ＶＩ＝ Ｏ Ｉ， 即
６（ｘ＋，，）＝ （ 一６）（Ｙ一６）＝３６
ｆ 一６＝３６，１８，１２，９， ｆ ＝４２，２４，１８，１５，
— ‘ ＿＿，
（ｉｉ）ｚ：４，则 ＋一１： １
。
同趣，得
（ｉｉｉ） ＝５，则 ＋ １＝ ３
ｙ １Ｕ ．
类似讨论知无正整数解．
经检验。只有当（ ．，，． ）：（１２．６．４）时．
，
（ｉ）ｚ：３，则 ＋一１： １
，
即
（ 一３）（Ｙ一３）＝９
ｘ－３＝９’ ’
￣
｛
．
（ｉｉ）ｚ：４，则 ＋～１： １
．
同理，得 ＝６，Ｙ＝３．
经检验，当（ ，），， ）＝（１２，４，３），（６，３，４）
时，可以铺满地面．
（３）ｋ１＋ｋ２＋ｋ３＝５．
（ｉ）由列硐’性可令后ｌ＝ｋ２：１，詹３＝３， ＞
于是， ＋ ＋三：
．
则÷≥ ３一了１一 １＝ ： ≤３．
故 ＝３．
／Ｘ￣ｉ，， ＋ ： ．
所以， ＝６，，，＝３．
此时，Ｙ－－Ｚ，，与题意矛盾．
（ｉｉ）由对称性可令Ｊ］｝ ＝１，Ｊｊ｝ ＝２，ｋ３＝２．
于是， ＋ ＋一２： ３
．
但÷＋号＋ｘ ｖ ｚ ≤÷＋手＋了 ３ ４ ３２＝ ｊ ４ｕ１＜吾， ｚ
矛盾．
暖 偿
注：上述讨论略去ｋ ＝０的情况，结论不
受影响．
（王婉好 天津市新华中学七年六班，
高２７７如图３，Ｄ为△ＡＢＣ内任意一
点，过Ｄ的直线分别交△ＡＢＤ、△ＢＣＤ、
２０１０年第８期 ４７
＝
△ＣＡＤ的外接圆ｏＤｌ、ｏｏ：、ｏＤ 于点Ｅ、Ｆ、
Ｇ，Ｌ为△ＡＢＣ的外接圆ｏ０ 上任意点， 、
ＬＦ、ＬＧ分别对应地交ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ于点 、＾，、
０．求证： 、Ｎ、０三点共线．
＝
［１＋２（ｉ一１）］［１＋２（／／，＋１一ｉ）］
１＋２ｎ＋４（ｉ一１）（ｎ＋１一ｉ）
１ １
Ｊ．～
≥２ｎ＋１．
一
２ｉ一１。２（／＇ｔ＋２一 ）一１
２ｆ ｎ＋１、
一
（２ 一１）［２（／／，＋２一ｉ）一１］
≤ ．
因为ｃ： 一＝ｃ： ” 。＝ｃ ，所以，
ｃ ｃ：＋１
二＿『＋
ｃ：一
十
ｃ
图３
证明辅助线见图３．
则 ＥＡＢ＝ ＥＤＢ＝ ＢＣＦ．
同理， ＥＢＭ＝ ＡＣＧ，
ＦＢＣ＝ ＧＡＬ．
＝ｃ ［ ＋
≤ｃ：～・ ：～・
】
．
又 ＢＡＬ＝ ＢＣＬ，则 Ｌ＝ ＦＣＬ．
同理， ＦＢＬ＝ ＧＡＬ， ＧＣＬ＝ ＥＢＬ．
Ｍ ＢＮ Ｃ０
蚁 。 。
在 ＋ 芒
≤２ｃ ～・
中，令ｉ＝１，２，…，／７，＋１，得
ｓ ｓ ｓ
ｓ ＢＬ ｓ ｌ｜Ｆ ｓ
ｓ ＡＬ ｓ ＦＬ Ｓ ｃＬ
ＳＡｃｆＪＦ ｓ
ＡＥ・ＡＬｓｉｎ
ＣＦ・ＣＬｓｉｎ
ＧＣ・ＣＬｓｉｎ
ｓ ８Ｌ
ＥＡＬ ＢＦ・ＢＬｓｉｎ
ＦＣＬ ＡＧ・ＡＬｓｉｎ
ＧＣＬ
ＦＢＬ
ＧＡＬ
孚＋
孚＋
譬＋
＋Ｔ
ｏ ，
１ ，
２ 丽ｎ＋ｌ，
：丽ｎ＋１
．
瓦
ＡＥ ＢＦ ＣＧ
＝一●一
ＥＢ ＦＣ ＧＡ
ｓｉｎ ＥＢＭ ｓｉｎ ＢＣＦ ｓｉｎ ＧＡＣ
把这ｎ＋１个不等式相加并整理得
ＦＢＣ ｓｉｎ ＡＣＧ ｓｉｎ
＝
ＥＡＢ ｓｉｎ
２（譬＋譬＋譬＋…＋ ）
｛２（ｃｏ＋ｃ ＋ｃ ｚ＋．．．＋ｃ：）
一
１．
由梅涅劳斯定理的逆定理知 、Ｎ、０三
点共线．
（金磊西安交大附中，７１００４９）
，） ．
！ ± ２
２ｎ＋１’ 一‘
高２７８设／７，为正整数．求证：
竽＋丁＋孚＋了＋ ＋譬＋…＋ ≤丽≤ 。２ｎ． 丽‘．
证明设ｉ∈Ｎ 且ｉ≤ｎ＋１．则
（２ｉ一１）［２（ｎ＋２一 ）一１］
故竿＋ｃ了ｉ＋ ．．＋
２３９４６ｌ
． ．
当ｎ＝１时，上式等号成立．
（盛宏礼 安徽省明光市涧溪中学，