2024年5月20日发(作者：昝韵磬)
浅谈Sn=An2+Bn
摘 要:利用二次函数的有关性质讨论等差数列求和的一些问题。
关键字:等差数列的最大(小)值抛物线对称轴单调性
对于sn=an2+bn大家都知道它是等差数列{an}以a1为首项,以d
为公差的等差数列的前n项和sn=na1+■,整理得 sn=■n■+(a1■-
■)n,令a=■,b=a1-■,简记sn=an2+bn,这在高考中经常会用到。
(一)当a=■=0即d=0(等差数列为常数数列),sn与n就是一次函
数,sn=na1,它的定义域是n+过原点且以a1为斜率的直线上水平等
距的离散点。这种情况比较简单。
(二)当a=■≠0时,即d≠0(等差数列为非常数数列),此时sn与
n就是二次函数,它的定义域是n+,它是均匀分布在y=ax2+bx,x∈r
上的离散点,这是下来讨论的关键。而二次函数的性质我们经常会
注意抛物线的开口方向,对称性,单调性,以及零点问题。下来重点
讨论这种情况:
1.等差数列{an}前n项和的最值及单调性的问题。
(1)a1>0,d>0,sn=■n■+(a1■-■)n,a=■>0,离散点所在的抛物
线开口向上。
■
对称轴n=-■=-■=■-■,
因为a1>0,d>0,所以■>0,所以■-■0。
(2)a1>0,d>0,sn=■n■+(a1■-■),a=■>0,离散点所在的抛物
线开口向下。
■
对称轴n=-■=-■=■-■,
因为a10,所以■-■0,d0且a■0且a■0a■+n■d0,一定存在n0,
使得:
a. a■0,a=■0,得到
a■+(n■-1)d0 ?圯n■-10
即得对称轴:n■-■0,离散点所在抛物线向上,
■
对称轴n=-■=-■=■-■,
因为a■=0得n■-1=-■,
则对称轴n=n■-■,
sn=an2+bn在{n|1≤n≤n■-1且n∈n+}是单调递减,{n|n≥n■且
n∈n+}是单调递增。
(n■-1,s■)与(n■,s■)关于对称轴对称的,所以sn有最小值
sn=sn■=s■
例题{an}中,a10
sn=na1+■=-10nd+■=■(n-■)■-■n∈n+,s10=s11是sn中最小
值。
解二:因为s12=a10+a11+a12+s9
又因为s9=s12,所以a10+a11+a12=0
因为{an}是等差数列,2a11=a10+a12
易得a11=0,又因a10
s9=s12,得点(9,s9)和(12,s12)关于n=a对称
得a=■=10.5,这两点(10,s10)、(11,s11)是离对称轴n=10.5距
离最近的。
所以s10=s11是sn中的最小值。
点评:①方法1是用等差数列的基本量来解决。方法2是用等差
中项来解决。方法3是用图像的对称性来解决。
②等差数列前n项和最值问题:
a.从项入手是找正、负项的分界,这是数列本身特征。
b.从解析式入手,配方加距法,从图像入手是根据图像的对称性。
2.等差数列{an}前n项和sn=an2+bn,n∈n+二次函数的零点问题。
y=an2+bn,n∈r是一个没有常数的二次函数,零点(0,0)和(-
■,0),这两点是关于x=-■对称的。(0,0)的一定不是sn=an2+bn,n
∈n+上的点,而(-■,0)不一定是an2+bn,n∈n+上的点,但这两点是
很有作用的。
例如:若{an}是等差数列a1>0,
a2003+a2004>0,a2003×a20040成立的最大自然数n是()。
a.4005 b.4006
c.4007 d.4008
分析①如果解一个零点n=■=1-■,则需题已知a1和d的关系。
②用图像的对称性解。设对称轴n=a,则(0,0)点与(2a,0)点是关
于n=a对称的两点。
■
由上可知sn中s2003是最大值,实数a离所有正整数中是最近的,
由对称轴2002.5■
■
即2004-a>a-2002?圯2a0且s4006<0
所以此题选择a
在新课程学习中需要老师和学生能把知识点相互连接起来,找出
关系,发现规律,函数在数列求和中应用充分体现了二次函数图像
性质,简化了计算。也说明了数形结合思想在高中数学中的重要性。
参考文献:
[1]高中数学必修五.北京师范大学出版社,2007年5月第3版.
[2]2004年重庆高考题.文理9.
作者单位:陕西白河一中
2024年5月20日发(作者：昝韵磬)
浅谈Sn=An2+Bn
摘 要:利用二次函数的有关性质讨论等差数列求和的一些问题。
关键字:等差数列的最大(小)值抛物线对称轴单调性
对于sn=an2+bn大家都知道它是等差数列{an}以a1为首项,以d
为公差的等差数列的前n项和sn=na1+■,整理得 sn=■n■+(a1■-
■)n,令a=■,b=a1-■,简记sn=an2+bn,这在高考中经常会用到。
(一)当a=■=0即d=0(等差数列为常数数列),sn与n就是一次函
数,sn=na1,它的定义域是n+过原点且以a1为斜率的直线上水平等
距的离散点。这种情况比较简单。
(二)当a=■≠0时,即d≠0(等差数列为非常数数列),此时sn与
n就是二次函数,它的定义域是n+,它是均匀分布在y=ax2+bx,x∈r
上的离散点,这是下来讨论的关键。而二次函数的性质我们经常会
注意抛物线的开口方向,对称性,单调性,以及零点问题。下来重点
讨论这种情况:
1.等差数列{an}前n项和的最值及单调性的问题。
(1)a1>0,d>0,sn=■n■+(a1■-■)n,a=■>0,离散点所在的抛物
线开口向上。
■
对称轴n=-■=-■=■-■,
因为a1>0,d>0,所以■>0,所以■-■0。
(2)a1>0,d>0,sn=■n■+(a1■-■),a=■>0,离散点所在的抛物
线开口向下。
■
对称轴n=-■=-■=■-■,
因为a10,所以■-■0,d0且a■0且a■0a■+n■d0,一定存在n0,
使得:
a. a■0,a=■0,得到
a■+(n■-1)d0 ?圯n■-10
即得对称轴:n■-■0,离散点所在抛物线向上,
■
对称轴n=-■=-■=■-■,
因为a■=0得n■-1=-■,
则对称轴n=n■-■,
sn=an2+bn在{n|1≤n≤n■-1且n∈n+}是单调递减,{n|n≥n■且
n∈n+}是单调递增。
(n■-1,s■)与(n■,s■)关于对称轴对称的,所以sn有最小值
sn=sn■=s■
例题{an}中,a10
sn=na1+■=-10nd+■=■(n-■)■-■n∈n+,s10=s11是sn中最小
值。
解二:因为s12=a10+a11+a12+s9
又因为s9=s12,所以a10+a11+a12=0
因为{an}是等差数列,2a11=a10+a12
易得a11=0,又因a10
s9=s12,得点(9,s9)和(12,s12)关于n=a对称
得a=■=10.5,这两点(10,s10)、(11,s11)是离对称轴n=10.5距
离最近的。
所以s10=s11是sn中的最小值。
点评:①方法1是用等差数列的基本量来解决。方法2是用等差
中项来解决。方法3是用图像的对称性来解决。
②等差数列前n项和最值问题:
a.从项入手是找正、负项的分界,这是数列本身特征。
b.从解析式入手,配方加距法,从图像入手是根据图像的对称性。
2.等差数列{an}前n项和sn=an2+bn,n∈n+二次函数的零点问题。
y=an2+bn,n∈r是一个没有常数的二次函数,零点(0,0)和(-
■,0),这两点是关于x=-■对称的。(0,0)的一定不是sn=an2+bn,n
∈n+上的点,而(-■,0)不一定是an2+bn,n∈n+上的点,但这两点是
很有作用的。
例如:若{an}是等差数列a1>0,
a2003+a2004>0,a2003×a20040成立的最大自然数n是()。
a.4005 b.4006
c.4007 d.4008
分析①如果解一个零点n=■=1-■,则需题已知a1和d的关系。
②用图像的对称性解。设对称轴n=a,则(0,0)点与(2a,0)点是关
于n=a对称的两点。
■
由上可知sn中s2003是最大值,实数a离所有正整数中是最近的,
由对称轴2002.5■
■
即2004-a>a-2002?圯2a0且s4006<0
所以此题选择a
在新课程学习中需要老师和学生能把知识点相互连接起来,找出
关系,发现规律,函数在数列求和中应用充分体现了二次函数图像
性质,简化了计算。也说明了数形结合思想在高中数学中的重要性。
参考文献:
[1]高中数学必修五.北京师范大学出版社,2007年5月第3版.
[2]2004年重庆高考题.文理9.
作者单位:陕西白河一中