2024年5月24日发(作者：漆明洁)
微积分在初等几何中的应用一例
【摘要】：我们学习了微积分，然而只学习不行的，学了的目的是为
了应用，本篇论文主要讲微积分在初等几何中的应用一例，有哪些应用，
怎么应用的。主要集中几何，经济以及我们在生活中的应用
【关键词】：微积分，几何，经济学，物理学，极限，求导
一、微积分在几何中的应用
微积分在我看来在几何中主要是为了研究函数的图像，面积，体积，
近似值等问题，对工程制图以及设计有不可替代的作用。
1.1求平面图形的面积
(1)求平面图形的面积
由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积
分等于由函数y=f(x)，x=a，x=b和轴所围成的图形的面积的代数和。由
此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。
例如：求曲线和直线x=l，x=2及x轴所围成的图形的面积。
分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于
由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。
所以该曲边梯形的面积为f=
二、微积分在经济学的应用
高等数学在经济学中运用十分基础和广泛，经济学与数学是密不可分
息息相关的。高等数学方法在经济学中的运用增强了经济学的严密性和说
理性，将经济问题转化为数学问题，用数学方法对经济学问题进行分析，
将数学中的极限，导数、微分方程知识在经济中的运用。
1关于最值问题
例
设：生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C（0）=1000
元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为
多少时利润最大？并求最大利润
解:总成本函数为
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x 2+1000
总收益函数为R(x)=500x
总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得
x=200，因为L’’(200)<0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最
大利润为L(200)=400×200-2002-1000=390009（元）。
在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量
就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。
2关于增长率问题
例：
设变量y是时间t的函数y=f(t)，则比值为函数f(t)在时间区间上
的相对改变量；如果f(t)可微，则定义极限为函数f(t)在时间点t的瞬
时增长率。
对指数函数而言，由于，因此，该函数在任何时间点t上都以常数比
率r增长。
这样，关系式（*）就不仅可作为复利公式，在经济学中还有广泛的
应用。如企业的资金、投资、国民收入、人口、劳动力等这些变量都是时
间t的函数，若这些变量在一个较长的时间内以常数比率增长，都可以用
（*）式来描述。因此，指数函数中的“r”在经济学中就一般的解释为在
任意时刻点t的增长率。如果当函数中的r取负值时，也认为是瞬时增长
率，这是负增长，这时也称r为衰减率。贴现问题就是负增长。
3.弹性函数
设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-
f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx→0时的极限称为函数
y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx= lim
δx→0。
Δ yy Δ xx= lim δx→0 Δ y Δ x．xy=f’(x)xf(x)
在点x=x 0处，弹性函数值Ef(x 0)Ex=f’(x 0)xf(x 0)称为f（x）
在点x=x 0处的弹性值，简称弹性。EE xf(x 0)%表示在点x=x 0处，当
x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EE xf(x 0)%。
经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需
求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特
殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)。
例设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；
(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e -p5 .pe -p5 =p5；
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6<1，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求
变动的幅度小于价格变动的幅度。
η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求
变动的幅度相同。
除了上述几个例子之外，还有“规模报酬、等无数的经济概念和原理
是在充分运用导数、积分、全微分等各种微积分知识构建的。他们极大的
丰富了经济学内涵，为政府的宏观调控提供了重要帮助
三、总结与展望
数学学习是一种培养学生综合素质的有效手段,在教学实践中给学生
树立建模的思想对学生的综合素质发展有很大的帮助,也有助于提高我们
的学习积极性，因此，我们当代大学生学习高等数学的重要性就显而以见
的了，我们要想在21世纪的社会有一个立足之地就需要全面的发展自己，
而我们学习的高等数学又是这里面的重中重！我们只有认清当今社会的人
才培养目标，深入的学习高等数学，使高等数学在我们的人生中其到应有
的作用，为社会做到最大的效益!
2024年5月24日发(作者：漆明洁)
微积分在初等几何中的应用一例
【摘要】：我们学习了微积分，然而只学习不行的，学了的目的是为
了应用，本篇论文主要讲微积分在初等几何中的应用一例，有哪些应用，
怎么应用的。主要集中几何，经济以及我们在生活中的应用
【关键词】：微积分，几何，经济学，物理学，极限，求导
一、微积分在几何中的应用
微积分在我看来在几何中主要是为了研究函数的图像，面积，体积，
近似值等问题，对工程制图以及设计有不可替代的作用。
1.1求平面图形的面积
(1)求平面图形的面积
由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积
分等于由函数y=f(x)，x=a，x=b和轴所围成的图形的面积的代数和。由
此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。
例如：求曲线和直线x=l，x=2及x轴所围成的图形的面积。
分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于
由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。
所以该曲边梯形的面积为f=
二、微积分在经济学的应用
高等数学在经济学中运用十分基础和广泛，经济学与数学是密不可分
息息相关的。高等数学方法在经济学中的运用增强了经济学的严密性和说
理性，将经济问题转化为数学问题，用数学方法对经济学问题进行分析，
将数学中的极限，导数、微分方程知识在经济中的运用。
1关于最值问题
例
设：生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C（0）=1000
元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为
多少时利润最大？并求最大利润
解:总成本函数为
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x 2+1000
总收益函数为R(x)=500x
总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得
x=200，因为L’’(200)<0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最
大利润为L(200)=400×200-2002-1000=390009（元）。
在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量
就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。
2关于增长率问题
例：
设变量y是时间t的函数y=f(t)，则比值为函数f(t)在时间区间上
的相对改变量；如果f(t)可微，则定义极限为函数f(t)在时间点t的瞬
时增长率。
对指数函数而言，由于，因此，该函数在任何时间点t上都以常数比
率r增长。
这样，关系式（*）就不仅可作为复利公式，在经济学中还有广泛的
应用。如企业的资金、投资、国民收入、人口、劳动力等这些变量都是时
间t的函数，若这些变量在一个较长的时间内以常数比率增长，都可以用
（*）式来描述。因此，指数函数中的“r”在经济学中就一般的解释为在
任意时刻点t的增长率。如果当函数中的r取负值时，也认为是瞬时增长
率，这是负增长，这时也称r为衰减率。贴现问题就是负增长。
3.弹性函数
设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-
f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx→0时的极限称为函数
y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx= lim
δx→0。
Δ yy Δ xx= lim δx→0 Δ y Δ x．xy=f’(x)xf(x)
在点x=x 0处，弹性函数值Ef(x 0)Ex=f’(x 0)xf(x 0)称为f（x）
在点x=x 0处的弹性值，简称弹性。EE xf(x 0)%表示在点x=x 0处，当
x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EE xf(x 0)%。
经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需
求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特
殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)。
例设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；
(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e -p5 .pe -p5 =p5；
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6<1，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求
变动的幅度小于价格变动的幅度。
η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求
变动的幅度相同。
除了上述几个例子之外，还有“规模报酬、等无数的经济概念和原理
是在充分运用导数、积分、全微分等各种微积分知识构建的。他们极大的
丰富了经济学内涵，为政府的宏观调控提供了重要帮助
三、总结与展望
数学学习是一种培养学生综合素质的有效手段,在教学实践中给学生
树立建模的思想对学生的综合素质发展有很大的帮助,也有助于提高我们
的学习积极性，因此，我们当代大学生学习高等数学的重要性就显而以见
的了，我们要想在21世纪的社会有一个立足之地就需要全面的发展自己，
而我们学习的高等数学又是这里面的重中重！我们只有认清当今社会的人
才培养目标，深入的学习高等数学，使高等数学在我们的人生中其到应有
的作用，为社会做到最大的效益!