2024年5月27日发(作者：军桂枫)
《运筹学》试题样卷（一）
题号
得分
一、判断题（共计10分，每小题1分，对的打√，错的打X）
1.无孤立点的图一定是连通图。
2.对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，
另一个也一定有最优解。
3.如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。
4．对偶问题的对偶问题一定是原问题。
5．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与
都可以被选作换入变量。
6．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷
多个最优解。
7.度为0的点称为悬挂点。
8.表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。
9.一个图G是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。
10.任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨
一二三四五六七八九十总分
j
0
对应的变量
二、建立下面问题的线性规划模型（8分）
某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500
人日；春夏季4000人日。如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为25元/人
日，秋冬季收入为20元/人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶
牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3元。
养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50
人日，年净收入900元/每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季0.6
人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元/每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养1500只
鸡，牛栏允许最多养200头。三种作物每年需要的人工及收入情况如下表所示：
大豆玉米麦子
10
40
4600
秋冬季需人日数
2035
春夏季需人日数
5075
年净收入（元/公顷）
30004100
试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。
x,x
三、已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中
45
为
松弛变量，问题的约束为
形式（共8分）
x
1
x
3
x
1
5/2
5/2
0
1
0
x
2
1/2
－1/2
－４
x
3
1
0
0
x
4
1/2
－1/6
－４
x
5
０
1/3
－２
c
j
z
j
(1)写出原线性规划问题；（4分）
(2)写出原问题的对偶问题；（3分）
(3)直接由上表写出对偶问题的最优解。（1分）
四、用单纯形法解下列线性规划问题（16分）
maxZ2x
1
x
2
x
3
s.t.
3x
1
+
x
2
+
x
3
60
-
x
2
+
2x
3
10
x
1
+
x
2
-
x
3
20
x
1
,
x
2
,
x
3
0
x
1
五、求解下面运输问题。（18分）
某公司从三个产地A
1
、A
2
、A
3
将物品运往四个销地B
1
、B
2
、B
3
、B
4
，各产地的产量、各
销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示：
问：应如何调运，可使得总运输费最小?
B
1
B
2
销地
产地
B
3
B
4
产量
A
1
A
2
A
3
销量
六、灵敏度分析（共8分）
10
8
9
15
5
2
3
20
6
7
4
30
7
6
8
35
25
25
50
100
线性规划
maxz=10x
1
+6x
2
+4x
3
s.t.x
1
+x
2
+x
3
100
10x
1
+4x
2
+5x
3
600
2x
1
+2x
2
+6x
3
300
x
1
,x
2
,x
3
0
的最优单纯形表如下：
6x
2
200/305/615/3–1/60
10
0
x
1
x
6
j
100/3
100
1
0
0
1/6
4
–8/3
0
0
0
-2/3
-2
-10/3
1/6
0
–2/3
0
1
0
(1)C
1
在何范围内变化，最优计划不变？(4分)
(2)b
1
在什么范围内变化，最优基不变？(4分)
七、试建立一个动态规划模型。（共8分）
某工厂购进100台机器，准备生产p1,p2两种产品。若生产产品p1，每台机器每年可收
入45万元，损坏率为65%；若生产产品p2，每台机器每年可收入35万元，损坏率为
35%；估计三年后将有新的机器出现，旧的机器将全部淘汰。试问每年应如何安排生产，
使在三年内收入最多？
八、求解对策问题。（共10分）
某种子商店希望订购一批种子。据已往经验，种子的销售量可能为500，1000，1500或2000
公斤。假定每公斤种子的订购价为6元，销售价为9元，剩余种子的处理价为每公斤3元。
要求：
（1）建立损益矩阵；（3分）
（2）用悲观法决定该商店应订购的种子数。（2分）
（3）建立后悔矩阵，并用后悔值法决定商店应订购的种子数。（5分）
九、求下列网络计划图的各时间参数并找出关键问题和关键路径。（8分）
工序
2
8
时间
6
7
8
7
6
3
3
5
2
3
3
7
4
9
8
一二三四五六七八九十总分
V
3
4
2
4
7
3
8
6
5
最早开
工时间
3
5
最晚开
工时间
4
十、用标号法求
V
1
到V
6
的最
短路。（6分）
工序
代号
1-2
1
1-3
1-4
2-4
2-5
3-4
3-6
4-5
4-6
4-7
5-7
6-7
题号
最早完
工时间
3
最晚完
工时间
9
7
机动
时间
《运筹学》
试题样卷
3
（二）
V
1
5
V
2
4
6
6
6
得分
一、判断题（对的打√，错的打X.共计10分，答在下面的表格中）
1、单纯形法计算中，选取最大正检验数
得到最快的减少。
2、单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个
基变量的值是负的。
3、对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。
k
对应的变量
x
k
作为换入变量，可使目标函数值
x
4、应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量
i
都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。
0
，且
x
i
所在行的所有元素
5、用位势法计算检验数时，每一行（或列）的位势的值是唯一的，所以每一个空格的检验
数是唯一的。
6、动态规划的最短路问题也可以用图论中求最短路问题的方法求解。
7、图论中的图是为了研究问题中有哪些对象及对象之间的关系，它与图的几何形状无关。
8、动态规划只是用来解决和时间有关的问题。
9、在画网络计划图时，允许有多个起点和多个终点。
10、因为运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求其解也可能出现下列四种情况：有
唯一最优解；有无穷多个最优解；无界解；无可行解。
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨10
二、试建立此问题的数学模型。（8分）
某工厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品在下一年个季度的合同预定数如下表所示，该三种产品第一季
度初无库存，要求在在第四季度末每种产品的库存为150件。已知该厂每季度生产工时为
15000小时，生产产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ每件需3，4，3小时。因更换工艺装备，产品Ⅰ在第二季
度无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品Ⅰ、Ⅱ每件每迟交一个季度赔偿20元，产
品Ⅲ赔偿15元，又生产出来的产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费为5元。问应
如何安排生产，使总的赔偿加库存费用最小。
产品
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
季度
1
1500
1500
1500
2
1000
1500
2000
3
2000
1200
1500
4
1200
1500
2500
三、用单纯形法求解线性规划问题（16分）
MaxZ=1500
x
1
+2500
x
2
s.t.
3x
1
+2x
2
65
2x
1
+x
2
40
3x
2
75
x
1
,x
2
0
四、写出下面线性规划的对偶问题(8分)
minzx
1
x
2
2x
3
2
x
1
x
2
2
x
3
7
2
x
3
x
x
5
123
3
x
1
5
x
2
4
x
3
3
x
1
,
x
2
0,
x
3
无约束
；
五、求解下面运输问题。（18分）
某公司从三个产地A
1
、A
2
、A
3
将物品运往四个销地B
1
、B
2
、B
3
、B
4
，各产地的产量、各
销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示
销地
产地
B
1
A
1
A
2
A
3
B
2
B
3
B
4
产量
问：应如何调
运，可使得总
3
1
7
3
11
9
4
6
3
2
10
5
10
8
5
6
7
4
9
20
运输费最小?
六、灵敏度分
析（8分）
线性规划
maxz4x
1
x
2
5x
3
6
x
1
3
x
2
5
x
3
45
3
x
1
4
x
2
5
x
3
30
x
,
x
,
x
0
123
销量
的最终单纯形表如下：
c
j
C
B
4
5
41500
X
B
x
1
x
3
j
b
5
3
x
1
１
0
0
x
2
－1/3
1
－8/3
x
3
0
1
０
x
4
1/3
－1/5
－１/3
x
5
－1/3
2/5
－2/3
1
的系数C
1
在什么范围变化，上述最优解不变？（4分）
（1）
（2）b
2
在什么范围变化，最优基不变？（4分）
x
七、建动态规划模型。（8分）
某公司拥有资金10万元，若投资于项目i(i＝1，2，3)的投资额为xi时，其收益分别为
g1(x1)=4x1,g2(x2)=9x2,g3(x3)=2x32,问应如何分配投资数额才能使总收益最大?
八、解决对策问题。（10分）
根据已往的资料，一家超级商场每天所需面包数（当天市场需求量）可能是下列当中的某
一个：100，150，200，250，300，但其概率分布不知道。如果一个面包当天卖不掉，则可
在当天结束时每个0.5元处理掉。新鲜面包每个售价1.2元，进价0.9元，假设进货量限制
在需求量中的某一个，要求
（1）建立面包进货问题的损益矩阵；（3分）
（2）用乐观法确定进货量。（2分）
（3）建立后悔矩阵，并用后悔值法确定进货量。（5分）
九、用双标号法求下列图中
V
1
到
V
9
的最短路线及其长度。（6分）
十、下图是商业中心建设项目的网络计划图，请用标号法计算出表中的各个参数，最后指
V
5
出关键问题，并画出关键线路。（8分，直接答在下面）
V
1
运筹
4
20
V
2
3
A
工序时间
1
2
3
10
最早
6
14
开工时间
3
G
10
V
6
A（20）
B（10
B
）
C（8）
D（24）
E（8）
F（14）
G（10）
H（6）
I（12）
J（6）
①
X
②
√
③
X
3
F
最晚
8
2
6
学样卷（一）答案
7
H
3
最晚
8
8
4
V
4
C
V
3
4
3
最早
24
1
完工时间
2
8
12
机动时间
I
V
9
一、
6
判断
题。共计
D
V
7
5
2
E
V
8
1
9
J
小题1分
10分，每
10
④
√
⑤
√
⑥
√
⑦
X
⑧
√
⑨
X
10
√
二、建线性规划模型。共计8分（酌情扣分）
x,x,xx,x
解：用
123
分别表示大豆、玉米、麦子的种植公顷数；
45
分别表示奶牛和鸡的
x,x
饲养数；
67
分别表示秋冬季和春夏季的劳动力（人日）数，则有
maxZ3000x
1
4100x
2
4600x
3
900x
4
20x
5
20x
6
25x
7
100(
土地限制
)
x
1
x
2
x
3
1.5
x
4
400
x
4
3
x
5
15000(
资金限制
)
20
x
1
35
x
2
10
x
3
100
x
4
0.6
x
5
x
6
3500(
劳动力限制
)
50
x
1
175
x
2
40
x
3
50
x
4
0.3
x
5
x
7
4000(
劳动力限制
)
x
4
200(
牛栏限制
)
x
5
1500(
鸡舍限制
)
x
0(
j
1,2,
,7)
j
三、对偶问题。共计8分
解：（１）原线性规划问题：
maxz6x
1
2x
2
10x
3
x
2
2
x
2
5
3
x
1
x
2
x
3
10
x
,
x
0
12
；……4分
（２）原问题的对偶规划问题为：
minw5y
1
10y
2
3
y
2
6
y
y
2
12
2
y
1
y
2
10
y
1
,
y
2
0
；
Y
(4,2)
T
。……1分（３）对偶规划问题的最优解为：
……3分
四、单纯形表求解线性规划。共计16分
解：引入松弛变量
x
4
、
x
5
、
x
6
，
标准化得，
maxZ2x
1
x
2
x
3
s.t.3
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
=
60
-
x
2
+
2x
3
+
x
5
=
10
x
1
+
x
2
-
x
3
+
x
6
=
0
x
1
,
x
2
,
x
3
，
x
4
、
x
5
、
x
6
，
≥0
……………3分
x
1
建初始单纯形表，进行迭代运算：…………………………9分
C
B
0
0
0
1
0x
4
X
b
x
4
x
5
x
6
b’
60
10
20
0
30
2
x
1
3
[1]
1
2*
0
-1
x
2
1
-1
1
-1
4
1
x
3
1
2
-1
1
-5
0
x
4
1
0
0
0
1
0
x
5
0
1
0
0
-3
0
x
6
0
0
1
0
07.5
θ
20
10*
20
2024年5月27日发(作者：军桂枫)
《运筹学》试题样卷（一）
题号
得分
一、判断题（共计10分，每小题1分，对的打√，错的打X）
1.无孤立点的图一定是连通图。
2.对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，
另一个也一定有最优解。
3.如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。
4．对偶问题的对偶问题一定是原问题。
5．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与
都可以被选作换入变量。
6．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷
多个最优解。
7.度为0的点称为悬挂点。
8.表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。
9.一个图G是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。
10.任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨
一二三四五六七八九十总分
j
0
对应的变量
二、建立下面问题的线性规划模型（8分）
某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500
人日；春夏季4000人日。如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为25元/人
日，秋冬季收入为20元/人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶
牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3元。
养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50
人日，年净收入900元/每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季0.6
人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元/每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养1500只
鸡，牛栏允许最多养200头。三种作物每年需要的人工及收入情况如下表所示：
大豆玉米麦子
10
40
4600
秋冬季需人日数
2035
春夏季需人日数
5075
年净收入（元/公顷）
30004100
试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。
x,x
三、已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中
45
为
松弛变量，问题的约束为
形式（共8分）
x
1
x
3
x
1
5/2
5/2
0
1
0
x
2
1/2
－1/2
－４
x
3
1
0
0
x
4
1/2
－1/6
－４
x
5
０
1/3
－２
c
j
z
j
(1)写出原线性规划问题；（4分）
(2)写出原问题的对偶问题；（3分）
(3)直接由上表写出对偶问题的最优解。（1分）
四、用单纯形法解下列线性规划问题（16分）
maxZ2x
1
x
2
x
3
s.t.
3x
1
+
x
2
+
x
3
60
-
x
2
+
2x
3
10
x
1
+
x
2
-
x
3
20
x
1
,
x
2
,
x
3
0
x
1
五、求解下面运输问题。（18分）
某公司从三个产地A
1
、A
2
、A
3
将物品运往四个销地B
1
、B
2
、B
3
、B
4
，各产地的产量、各
销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示：
问：应如何调运，可使得总运输费最小?
B
1
B
2
销地
产地
B
3
B
4
产量
A
1
A
2
A
3
销量
六、灵敏度分析（共8分）
10
8
9
15
5
2
3
20
6
7
4
30
7
6
8
35
25
25
50
100
线性规划
maxz=10x
1
+6x
2
+4x
3
s.t.x
1
+x
2
+x
3
100
10x
1
+4x
2
+5x
3
600
2x
1
+2x
2
+6x
3
300
x
1
,x
2
,x
3
0
的最优单纯形表如下：
6x
2
200/305/615/3–1/60
10
0
x
1
x
6
j
100/3
100
1
0
0
1/6
4
–8/3
0
0
0
-2/3
-2
-10/3
1/6
0
–2/3
0
1
0
(1)C
1
在何范围内变化，最优计划不变？(4分)
(2)b
1
在什么范围内变化，最优基不变？(4分)
七、试建立一个动态规划模型。（共8分）
某工厂购进100台机器，准备生产p1,p2两种产品。若生产产品p1，每台机器每年可收
入45万元，损坏率为65%；若生产产品p2，每台机器每年可收入35万元，损坏率为
35%；估计三年后将有新的机器出现，旧的机器将全部淘汰。试问每年应如何安排生产，
使在三年内收入最多？
八、求解对策问题。（共10分）
某种子商店希望订购一批种子。据已往经验，种子的销售量可能为500，1000，1500或2000
公斤。假定每公斤种子的订购价为6元，销售价为9元，剩余种子的处理价为每公斤3元。
要求：
（1）建立损益矩阵；（3分）
（2）用悲观法决定该商店应订购的种子数。（2分）
（3）建立后悔矩阵，并用后悔值法决定商店应订购的种子数。（5分）
九、求下列网络计划图的各时间参数并找出关键问题和关键路径。（8分）
工序
2
8
时间
6
7
8
7
6
3
3
5
2
3
3
7
4
9
8
一二三四五六七八九十总分
V
3
4
2
4
7
3
8
6
5
最早开
工时间
3
5
最晚开
工时间
4
十、用标号法求
V
1
到V
6
的最
短路。（6分）
工序
代号
1-2
1
1-3
1-4
2-4
2-5
3-4
3-6
4-5
4-6
4-7
5-7
6-7
题号
最早完
工时间
3
最晚完
工时间
9
7
机动
时间
《运筹学》
试题样卷
3
（二）
V
1
5
V
2
4
6
6
6
得分
一、判断题（对的打√，错的打X.共计10分，答在下面的表格中）
1、单纯形法计算中，选取最大正检验数
得到最快的减少。
2、单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个
基变量的值是负的。
3、对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。
k
对应的变量
x
k
作为换入变量，可使目标函数值
x
4、应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量
i
都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。
0
，且
x
i
所在行的所有元素
5、用位势法计算检验数时，每一行（或列）的位势的值是唯一的，所以每一个空格的检验
数是唯一的。
6、动态规划的最短路问题也可以用图论中求最短路问题的方法求解。
7、图论中的图是为了研究问题中有哪些对象及对象之间的关系，它与图的几何形状无关。
8、动态规划只是用来解决和时间有关的问题。
9、在画网络计划图时，允许有多个起点和多个终点。
10、因为运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求其解也可能出现下列四种情况：有
唯一最优解；有无穷多个最优解；无界解；无可行解。
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨10
二、试建立此问题的数学模型。（8分）
某工厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品在下一年个季度的合同预定数如下表所示，该三种产品第一季
度初无库存，要求在在第四季度末每种产品的库存为150件。已知该厂每季度生产工时为
15000小时，生产产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ每件需3，4，3小时。因更换工艺装备，产品Ⅰ在第二季
度无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品Ⅰ、Ⅱ每件每迟交一个季度赔偿20元，产
品Ⅲ赔偿15元，又生产出来的产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费为5元。问应
如何安排生产，使总的赔偿加库存费用最小。
产品
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
季度
1
1500
1500
1500
2
1000
1500
2000
3
2000
1200
1500
4
1200
1500
2500
三、用单纯形法求解线性规划问题（16分）
MaxZ=1500
x
1
+2500
x
2
s.t.
3x
1
+2x
2
65
2x
1
+x
2
40
3x
2
75
x
1
,x
2
0
四、写出下面线性规划的对偶问题(8分)
minzx
1
x
2
2x
3
2
x
1
x
2
2
x
3
7
2
x
3
x
x
5
123
3
x
1
5
x
2
4
x
3
3
x
1
,
x
2
0,
x
3
无约束
；
五、求解下面运输问题。（18分）
某公司从三个产地A
1
、A
2
、A
3
将物品运往四个销地B
1
、B
2
、B
3
、B
4
，各产地的产量、各
销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示
销地
产地
B
1
A
1
A
2
A
3
B
2
B
3
B
4
产量
问：应如何调
运，可使得总
3
1
7
3
11
9
4
6
3
2
10
5
10
8
5
6
7
4
9
20
运输费最小?
六、灵敏度分
析（8分）
线性规划
maxz4x
1
x
2
5x
3
6
x
1
3
x
2
5
x
3
45
3
x
1
4
x
2
5
x
3
30
x
,
x
,
x
0
123
销量
的最终单纯形表如下：
c
j
C
B
4
5
41500
X
B
x
1
x
3
j
b
5
3
x
1
１
0
0
x
2
－1/3
1
－8/3
x
3
0
1
０
x
4
1/3
－1/5
－１/3
x
5
－1/3
2/5
－2/3
1
的系数C
1
在什么范围变化，上述最优解不变？（4分）
（1）
（2）b
2
在什么范围变化，最优基不变？（4分）
x
七、建动态规划模型。（8分）
某公司拥有资金10万元，若投资于项目i(i＝1，2，3)的投资额为xi时，其收益分别为
g1(x1)=4x1,g2(x2)=9x2,g3(x3)=2x32,问应如何分配投资数额才能使总收益最大?
八、解决对策问题。（10分）
根据已往的资料，一家超级商场每天所需面包数（当天市场需求量）可能是下列当中的某
一个：100，150，200，250，300，但其概率分布不知道。如果一个面包当天卖不掉，则可
在当天结束时每个0.5元处理掉。新鲜面包每个售价1.2元，进价0.9元，假设进货量限制
在需求量中的某一个，要求
（1）建立面包进货问题的损益矩阵；（3分）
（2）用乐观法确定进货量。（2分）
（3）建立后悔矩阵，并用后悔值法确定进货量。（5分）
九、用双标号法求下列图中
V
1
到
V
9
的最短路线及其长度。（6分）
十、下图是商业中心建设项目的网络计划图，请用标号法计算出表中的各个参数，最后指
V
5
出关键问题，并画出关键线路。（8分，直接答在下面）
V
1
运筹
4
20
V
2
3
A
工序时间
1
2
3
10
最早
6
14
开工时间
3
G
10
V
6
A（20）
B（10
B
）
C（8）
D（24）
E（8）
F（14）
G（10）
H（6）
I（12）
J（6）
①
X
②
√
③
X
3
F
最晚
8
2
6
学样卷（一）答案
7
H
3
最晚
8
8
4
V
4
C
V
3
4
3
最早
24
1
完工时间
2
8
12
机动时间
I
V
9
一、
6
判断
题。共计
D
V
7
5
2
E
V
8
1
9
J
小题1分
10分，每
10
④
√
⑤
√
⑥
√
⑦
X
⑧
√
⑨
X
10
√
二、建线性规划模型。共计8分（酌情扣分）
x,x,xx,x
解：用
123
分别表示大豆、玉米、麦子的种植公顷数；
45
分别表示奶牛和鸡的
x,x
饲养数；
67
分别表示秋冬季和春夏季的劳动力（人日）数，则有
maxZ3000x
1
4100x
2
4600x
3
900x
4
20x
5
20x
6
25x
7
100(
土地限制
)
x
1
x
2
x
3
1.5
x
4
400
x
4
3
x
5
15000(
资金限制
)
20
x
1
35
x
2
10
x
3
100
x
4
0.6
x
5
x
6
3500(
劳动力限制
)
50
x
1
175
x
2
40
x
3
50
x
4
0.3
x
5
x
7
4000(
劳动力限制
)
x
4
200(
牛栏限制
)
x
5
1500(
鸡舍限制
)
x
0(
j
1,2,
,7)
j
三、对偶问题。共计8分
解：（１）原线性规划问题：
maxz6x
1
2x
2
10x
3
x
2
2
x
2
5
3
x
1
x
2
x
3
10
x
,
x
0
12
；……4分
（２）原问题的对偶规划问题为：
minw5y
1
10y
2
3
y
2
6
y
y
2
12
2
y
1
y
2
10
y
1
,
y
2
0
；
Y
(4,2)
T
。……1分（３）对偶规划问题的最优解为：
……3分
四、单纯形表求解线性规划。共计16分
解：引入松弛变量
x
4
、
x
5
、
x
6
，
标准化得，
maxZ2x
1
x
2
x
3
s.t.3
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
=
60
-
x
2
+
2x
3
+
x
5
=
10
x
1
+
x
2
-
x
3
+
x
6
=
0
x
1
,
x
2
,
x
3
，
x
4
、
x
5
、
x
6
，
≥0
……………3分
x
1
建初始单纯形表，进行迭代运算：…………………………9分
C
B
0
0
0
1
0x
4
X
b
x
4
x
5
x
6
b’
60
10
20
0
30
2
x
1
3
[1]
1
2*
0
-1
x
2
1
-1
1
-1
4
1
x
3
1
2
-1
1
-5
0
x
4
1
0
0
0
1
0
x
5
0
1
0
0
-3
0
x
6
0
0
1
0
07.5
θ
20
10*
20