2024年5月30日发(作者：己颖初)
word
第6讲 排列、组合、二项式定理
一、选择题
1．设i为虚数单位，则(
x
＋i)的展开式中含
x
的项为( )
A．－15
x
C．－20i
x
解析：(
x
＋i)的展开式的通项为
T
r
＋1
＝C
6
x
为C
6
x
i＝－15
x
，故选A.
答案：A
2．用0,1，…，9这十个数字可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A．243
C．261
B．252
D．279
2424
6
4
4
64
B．15
x
D．20i
x
r
6－
rr
4
4
i(
r
＝0,1,2，…，6)，令
r
＝2，得含
x
的项
4
解析：0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有
9×9×8＝648(个)，
所以有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．
答案：B
3．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多
少种坐法( )
A．10
C．20
B．16
D．24
解析：一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座．因为要求每人左右均有空座，所
以在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A
5
＝20种坐法．
答案：C
2
9
x
－
1
9
的展开式中
x
的系数等于( ) 4．二项式
3
3
x
A．84
C．6
1
r
9－
r
解析：根据二项式定理可知，
T
r
＋1
＝C
9
－
9
3
B．24
D．－24
4
令9－
3
＝
63
r
＝1，得
r
＝6，所以
x
的系数为C
6
9
－
×9＝84，故选A.
3
1
word
答案：A
5．小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出3瓶或4瓶啤
酒，那么小明取出啤酒的方式共有( )
A．18种
C．37种
B．27种
D．212种
解析：由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；
第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，
取法为C
7
，为35种．共计37种取法．故选C.
答案：C
6．已知(1＋
ax
)(1＋
x
)的展开式中
x
的系数为5，则
a
＝( )
A．－4
C．－2
521
52
3
B．－3
D．－1
2222
解析：(1＋
x
)中含有
x
与
x
的项为
T
2
＝C
5
x
＝5
x
，
T
3
＝C
5
x
＝10
x
，所以
x
的系数为10＋5
a
＝5，所以
a
＝－1，故选D.
答案：D
7．在二项式(1－2
x
)的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的
系数为( )
A．－960
C．1 120
B．960
D．1 680
n
n
解析：根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2
x
)的展开式中，二项
式系数之和为256，即2＝256，
n
＝8，则(1－2
x
)的展开式的中间项为第5项，且
T
5
＝C
8
(－
2)
x
＝1 120
x
，即展开式的中间项的系数为1 120，故选C.
答案：C
8．若
x
(
x
＋3)＝
a
0
＋
a
1
(
x
＋2)＋
a
2
(
x
＋2)＋…＋
a
12
(
x
＋2)，则log
2
(
a
1
＋
a
3
＋
a
5
＋…＋
a
11
)
等于( )
A．2
C．7
48
7
48212
444
n
84
B．2
D．8
8
解析：取
x
＝－1得(－1)(－1＋3)＝
a
0
＋
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
11
＋
a
12
， ①
取
x
＝－3得(－3)(－3＋3)＝
a
0
－
a
1
＋
a
2
－…－
a
11
＋
a
12
， ②
①与②两式左、右两边分别相减得2＝2(
a
1
＋
a
3
＋
a
5
＋…＋
a
11
)，所以
a
1
＋
a
3
＋
a
5
＋…＋
a
11
＝
2，所以log
2
(
a
1
＋
a
3
＋
a
5
＋…＋
a
11
)＝7.
7
8
48
word
答案：C
9．从8名网络歌手中选派4名同时去4个地区演出(每地1人)，其中甲和乙只能同去或同
不去，甲和丙不同去，则不同的选派方案共有( )
A．240种
C．480种
B．360种
D．600种
解析：分两步，第一步，先选4名网络歌手，又分两类，第一类，甲去，则乙一定去，丙一
定不去，有C
5
＝10种不同选法，第二类，甲不去，则乙一定不去，丙可能去也可能不去，
有C
6
＝15种不同选法，所以不同的选法有10＋15＝25(种)．第二步，4名网络歌手同时去4
个地区演出，有A
4
＝24种方案．由分步乘法计数原理知不同的选派方案共有25×24＝
600(种)．
答案：D
10．若(
x
＋2＋
m
)＝
a
0
＋
a
1
(
x
＋1)＋
a
2
(
x
＋1)＋…＋
a
9
·(
x
＋1)，且(
a
0
＋
a
2
＋…＋
a
8
)－(
a
1
＋
a
3
＋…＋
a
9
)＝3，则实数
m
的值为( )
A．1或－3
C．1
9
29
9292
4
4
2
B．－1或3
D．－3
解析：令
x
＝0，得
a
0
＋
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
9
＝(2＋
m
)，令
x
＝－2，得
a
0
－
a
1
＋
a
2
－
a
3
＋…－
a
9
＝
m
9
，所以(2＋
m
)
9
m
9
＝3
9
，即
m
2
＋2
m
＝3，解得
m
＝1或－3.
答案：A
11．某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教
师，则不同的分配方法有( )
A．80种
C．120种
B．90种
D．150种
33
解析：有两类情况：①其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有C
5
A
3
＝60
C
4
3
种；②其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有C××A
3
＝90种．所以共
2
1
5
2
有60＋90＝150种．故选D.
答案：D
12．两对夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一
定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为( )
A．48
C．24
B．36
D．12
2024年5月30日发(作者：己颖初)
word
第6讲 排列、组合、二项式定理
一、选择题
1．设i为虚数单位，则(
x
＋i)的展开式中含
x
的项为( )
A．－15
x
C．－20i
x
解析：(
x
＋i)的展开式的通项为
T
r
＋1
＝C
6
x
为C
6
x
i＝－15
x
，故选A.
答案：A
2．用0,1，…，9这十个数字可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A．243
C．261
B．252
D．279
2424
6
4
4
64
B．15
x
D．20i
x
r
6－
rr
4
4
i(
r
＝0,1,2，…，6)，令
r
＝2，得含
x
的项
4
解析：0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有
9×9×8＝648(个)，
所以有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．
答案：B
3．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多
少种坐法( )
A．10
C．20
B．16
D．24
解析：一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座．因为要求每人左右均有空座，所
以在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A
5
＝20种坐法．
答案：C
2
9
x
－
1
9
的展开式中
x
的系数等于( ) 4．二项式
3
3
x
A．84
C．6
1
r
9－
r
解析：根据二项式定理可知，
T
r
＋1
＝C
9
－
9
3
B．24
D．－24
4
令9－
3
＝
63
r
＝1，得
r
＝6，所以
x
的系数为C
6
9
－
×9＝84，故选A.
3
1
word
答案：A
5．小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出3瓶或4瓶啤
酒，那么小明取出啤酒的方式共有( )
A．18种
C．37种
B．27种
D．212种
解析：由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；
第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，
取法为C
7
，为35种．共计37种取法．故选C.
答案：C
6．已知(1＋
ax
)(1＋
x
)的展开式中
x
的系数为5，则
a
＝( )
A．－4
C．－2
521
52
3
B．－3
D．－1
2222
解析：(1＋
x
)中含有
x
与
x
的项为
T
2
＝C
5
x
＝5
x
，
T
3
＝C
5
x
＝10
x
，所以
x
的系数为10＋5
a
＝5，所以
a
＝－1，故选D.
答案：D
7．在二项式(1－2
x
)的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的
系数为( )
A．－960
C．1 120
B．960
D．1 680
n
n
解析：根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2
x
)的展开式中，二项
式系数之和为256，即2＝256，
n
＝8，则(1－2
x
)的展开式的中间项为第5项，且
T
5
＝C
8
(－
2)
x
＝1 120
x
，即展开式的中间项的系数为1 120，故选C.
答案：C
8．若
x
(
x
＋3)＝
a
0
＋
a
1
(
x
＋2)＋
a
2
(
x
＋2)＋…＋
a
12
(
x
＋2)，则log
2
(
a
1
＋
a
3
＋
a
5
＋…＋
a
11
)
等于( )
A．2
C．7
48
7
48212
444
n
84
B．2
D．8
8
解析：取
x
＝－1得(－1)(－1＋3)＝
a
0
＋
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
11
＋
a
12
， ①
取
x
＝－3得(－3)(－3＋3)＝
a
0
－
a
1
＋
a
2
－…－
a
11
＋
a
12
， ②
①与②两式左、右两边分别相减得2＝2(
a
1
＋
a
3
＋
a
5
＋…＋
a
11
)，所以
a
1
＋
a
3
＋
a
5
＋…＋
a
11
＝
2，所以log
2
(
a
1
＋
a
3
＋
a
5
＋…＋
a
11
)＝7.
7
8
48
word
答案：C
9．从8名网络歌手中选派4名同时去4个地区演出(每地1人)，其中甲和乙只能同去或同
不去，甲和丙不同去，则不同的选派方案共有( )
A．240种
C．480种
B．360种
D．600种
解析：分两步，第一步，先选4名网络歌手，又分两类，第一类，甲去，则乙一定去，丙一
定不去，有C
5
＝10种不同选法，第二类，甲不去，则乙一定不去，丙可能去也可能不去，
有C
6
＝15种不同选法，所以不同的选法有10＋15＝25(种)．第二步，4名网络歌手同时去4
个地区演出，有A
4
＝24种方案．由分步乘法计数原理知不同的选派方案共有25×24＝
600(种)．
答案：D
10．若(
x
＋2＋
m
)＝
a
0
＋
a
1
(
x
＋1)＋
a
2
(
x
＋1)＋…＋
a
9
·(
x
＋1)，且(
a
0
＋
a
2
＋…＋
a
8
)－(
a
1
＋
a
3
＋…＋
a
9
)＝3，则实数
m
的值为( )
A．1或－3
C．1
9
29
9292
4
4
2
B．－1或3
D．－3
解析：令
x
＝0，得
a
0
＋
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
9
＝(2＋
m
)，令
x
＝－2，得
a
0
－
a
1
＋
a
2
－
a
3
＋…－
a
9
＝
m
9
，所以(2＋
m
)
9
m
9
＝3
9
，即
m
2
＋2
m
＝3，解得
m
＝1或－3.
答案：A
11．某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教
师，则不同的分配方法有( )
A．80种
C．120种
B．90种
D．150种
33
解析：有两类情况：①其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有C
5
A
3
＝60
C
4
3
种；②其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有C××A
3
＝90种．所以共
2
1
5
2
有60＋90＝150种．故选D.
答案：D
12．两对夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一
定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为( )
A．48
C．24
B．36
D．12