2024年5月30日发(作者：謇令婧)
第一章 线性规划
习题1.1 （生产计划问题）某企业利用A、B、C三种资源，在计划期内生产甲、
乙两种产品，已知生产单位产品资源的消耗、单位产品利润等数据如下表，问如何
安排生产计划使企业利润最大？
表1—1
产 品
单耗
资 源
A
B
C
单位产品利润（元/件）
甲
1
2
0
50
乙
1
1
1
100
资源限制
300kg
400kg
250kg
解：设x
1
、x
2
分别代表甲、乙两种产品的生产数量（件），z表示公司总利润。依题
意，问题可转换成求变量x
1
、x
2
的值，使总利润最大，即
max z=50x
1
+100x
2
且称z=50x
1
+100x
2
为目标函数。
同时满足甲、乙两种产品所消耗的A、B、C三种资源的数量不能超过它们的限量，
即可分别表示为
x
1
+ x
2
≤300
2x
1
+ x
2
≤400
x
2
≤250
且称上述三式为约束条件。此外，一般实际问题都要满足非负条件，即x
1
≥0、x
2
≥
0。
这样有
max z=50x
1
+100x
2
x
1
+ x
2
≤300
2x
1
+ x
2
≤400
x
2
≤250
x
1
、x
2
≥0
习题1.2 靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m
3
，
在两个工厂之间有一条流量为200万m
3
的支流。两化工厂每天排放某种有害物质的
工业污水分别为2万m
3
和1.4万m
3
。从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂
以前，有20%可以自然净化。环保要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。两化工
厂处理工业污水的成本分别为1000元/万m
3
和800元/万m
3
。现在要问在满足环保
要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水的总费用
最小。
工厂1
工厂2
33
500万m 200万m
图1—1
解：设x
1
、x
2
分别代表工厂1和工厂2处理污水的数量(万m
3
)。则问题的目标可描
述为
min z=1000x
1
+800x
2
约束条件有
第一段河流（工厂1——工厂2之间）环保要求
(2－x
1
)/500 ≤0.2%
第二段河流（工厂2以下河段）环保要求
[0.8(2－x
1
) +(1.4－x
2
)]/700≤0.2%
此外有
x
1
≤2； x
2
≤1.4
化简得到
min z=1000x
1
+800x
2
x
1
≥1
0.8x
1
+ x
2
≥1.6
x
1
≤2
x
2
≤1.4
x
2
x
1
、x
2
≥0
2x
1
+ x
2
≤400
习题1.3
max z=50x
1
+100x
2
x
2
≤250
A
B
C
x
1
+ x
2
≤300
z
*
=50x
1
+100x
2
=27500
2x
1
+ x
2
≤400
x
1
+ x
2
≤300
D
x
2
≤250
x
1
z
2
=14000
O
z
1
=50x
1
+100x
2
=0
图1—2
2024年5月30日发(作者：謇令婧)
第一章 线性规划
习题1.1 （生产计划问题）某企业利用A、B、C三种资源，在计划期内生产甲、
乙两种产品，已知生产单位产品资源的消耗、单位产品利润等数据如下表，问如何
安排生产计划使企业利润最大？
表1—1
产 品
单耗
资 源
A
B
C
单位产品利润（元/件）
甲
1
2
0
50
乙
1
1
1
100
资源限制
300kg
400kg
250kg
解：设x
1
、x
2
分别代表甲、乙两种产品的生产数量（件），z表示公司总利润。依题
意，问题可转换成求变量x
1
、x
2
的值，使总利润最大，即
max z=50x
1
+100x
2
且称z=50x
1
+100x
2
为目标函数。
同时满足甲、乙两种产品所消耗的A、B、C三种资源的数量不能超过它们的限量，
即可分别表示为
x
1
+ x
2
≤300
2x
1
+ x
2
≤400
x
2
≤250
且称上述三式为约束条件。此外，一般实际问题都要满足非负条件，即x
1
≥0、x
2
≥
0。
这样有
max z=50x
1
+100x
2
x
1
+ x
2
≤300
2x
1
+ x
2
≤400
x
2
≤250
x
1
、x
2
≥0
习题1.2 靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m
3
，
在两个工厂之间有一条流量为200万m
3
的支流。两化工厂每天排放某种有害物质的
工业污水分别为2万m
3
和1.4万m
3
。从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂
以前，有20%可以自然净化。环保要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。两化工
厂处理工业污水的成本分别为1000元/万m
3
和800元/万m
3
。现在要问在满足环保
要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水的总费用
最小。
工厂1
工厂2
33
500万m 200万m
图1—1
解：设x
1
、x
2
分别代表工厂1和工厂2处理污水的数量(万m
3
)。则问题的目标可描
述为
min z=1000x
1
+800x
2
约束条件有
第一段河流（工厂1——工厂2之间）环保要求
(2－x
1
)/500 ≤0.2%
第二段河流（工厂2以下河段）环保要求
[0.8(2－x
1
) +(1.4－x
2
)]/700≤0.2%
此外有
x
1
≤2； x
2
≤1.4
化简得到
min z=1000x
1
+800x
2
x
1
≥1
0.8x
1
+ x
2
≥1.6
x
1
≤2
x
2
≤1.4
x
2
x
1
、x
2
≥0
2x
1
+ x
2
≤400
习题1.3
max z=50x
1
+100x
2
x
2
≤250
A
B
C
x
1
+ x
2
≤300
z
*
=50x
1
+100x
2
=27500
2x
1
+ x
2
≤400
x
1
+ x
2
≤300
D
x
2
≤250
x
1
z
2
=14000
O
z
1
=50x
1
+100x
2
=0
图1—2