2024年5月31日发(作者：裔纬)

维普资讯

第１卷第５期　

２Ｏｃｒ７年９月　

铜仁学院学报　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｔｏｎｇｒｅｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　

整数的一种表示形式　

冉光华　

（铜仁学院数学系，贵州铜仁５５４３００）　

摘要：本文探讨整数的一种表示形式：整数均能表示为两个非负整数的平方差形式吗？（１）　

任何奇数均能表示为两个非负整数的平方差；（２）形如４ｎ＋２（ｎ∈Ｚ）的整数不能表示为两个非负整　

数的平方差；（３）形如４ｎ（ｎ∈Ｚ）的整数能表示为两个非负整数的平方差。此外，整数的平方差形　

式是不唯一的。　

关键词：　整数；　表示；　平方差；　形式　

文章编号：１６７３—９６３９（２００７）０５－００９１—０２　中图分类号：Ｏ１５６．１　文献标识码：Ａ　

在数论里。有许多探讨自然数或整数的表示形式的　

＝

问题。例如，著名的华林问题：每个自然数均可表示成　

四个非负整数的平方和、九个非负整数的立方和及十九　

．

．

．　

Ｉ　Ｉ　，　

．

是奇数，￣１１＝　２Ｉ（　±１），ＩＦ．Ｍ　＋Ｉ

是整数，于是，　

个非负整数的四次方之和；著名的歌德巴赫猜想：（Ｉ）　

每个不小于６的偶数均能表示成两个奇素数之和；（Ⅱ）　

每个不小于９的奇数均可表示成三个奇素数之和；等等。　

数论的发展表明，探讨整数的表示形式是十分有趣而有　

意义的。　

本文提出整数的另一种表示形式：整数表示为两个　

非负整数的平方差的形式。　

问题归结为解决：　

１．每个整数均能表示为两个非负整数的平方差的　

形式吗？如果有不能表示的，这些整数有何特征？　

２．化整数为两个非负整数的平方差的形式是轻而　

易举吗？即能否寻找一种化整数为非负整数的平方差　

形式的一般方法？　

’

．．

命题得证。　

定理２．　形如４，ｌ＋２（，ｌ∈Ｚ）的整数不能表示为两个　

非负整数的平方差。　

证明：（反证法）假设

均为非负整数。则　

４，ｌ＋２＝（Ａ＋Ｂ）（Ａ—Ｂ）　

’

．

４　ｒｌ＋２＝Ａ　一Ｂ　，Ａ、Ｂ　

’

２Ｉ４，ｌ＋２．　

・

．．

２Ｉ（Ａ＋Ｂ）（Ａ—Ｂ），Ａ＋Ｂ中必有一个能被２　

整除。而该两数同奇偶性，于是　

４Ｉ（Ａ＋Ｂ）（Ａ—Ｂ）　

４Ｉ４ｎ＋２。　

下面，我们来逐步解决上述问题。　

引理．（Ｉ）曲：（　）２（　）　。　

这与４不能整除４ｎ＋２相矛盾。　

故原命题成立。　

定理３．形如４　ｎ（ｎ∈ｚ）的整数能表示成两个非负整　

（Ⅱ）（２口　ｃ：（口＋半）　一（口＋竿）　。　

定理１Ｉ　若　是奇数，则　能表示为两个非负整数的　

平方差。　

数的平方差。　

证明：由引理（Ｉ），有（，ｌ∈Ｚ）　

４ｎ＝２ｎｘ２　

＝

证明：由引理（Ｉ）。有　

＝

‘Ｔ２ｎ＋２　（等）２　

［ｒｔ＋ｌＩ２一Ｉ甩一ｌＩ　２Ｊ　

Ｍ：Ｍ　ｘ１：（　）　一（　）　

故命题得证。　

收稿日期：２００７—０１—０９　

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２００７年第５期　铜仁学院学报　

Ｚ＝｛奇数｝ｕ｛　Ｉ　Ｘ＝４　ｎ＋２，ｎ∈Ｚ｝ｕ｛Ｘ　Ｉ　Ｘ＝　

１６１５　２：３２３２×５　２：１０４３２９ｘ２５　

４，ｌ，，ｌ∈Ｚ｝，所以，仪有２（２ｎ＋１）形的整数不能表示为　

（　（１０４３２

９－２５　

＝

两个非负整数的平方差的形式，其余整数均能表示为两　

２

个非负整数的平方差之形式。　

＝

５２１７７　一５２１５２　

引理给出了化整数为两个非负整数的平方差之形　

・

１６１５　２＋５２１５２２：５２１７７２

．．

，　

式的一般方法。　

故（Ｘ，Ｙ）＝（５２１５２，５２１７７）就是所求８９－－４＂自然数　

例１．化９６、一１０５６为非负整数的平方差之形式。　

解。　

解：运用引理（Ｉ）：　

例４．求方程６０＋ｘ２＋　；＋　；＿－ｘ４的一个正整　

９６　×８－（　（　）　

数解（Ｘ１，Ｘ２，Ｘ３，Ｘ４）。　

：

１０２—２２

．　

解：６ｏ＝（　（　ｌ６２＿ｌ４２，　

或９６＝４￣２４：（　（　）　

・

．

＝１４２

—

１０２　

肌ｌ４２　Ｉ２２×８２＝（华　（竿）　

运用引理（Ⅱ）：　

：

３４２

—

３０２

．　

－

１０５６：５２８・（一２）　

．

６０＋１４２＋３０２：３４２：１７　２×２×２　

．．

＝（５２０＋８）（一２）　

＝

ｃ　ｃ

：（２６０＋　（２６０＋半）　

半　

：

２９０２—２８８　２

．　

：

２６３２—２６５　２６０＋１４２＋３０　２＋２８８２＝２９０２

。　

．　

或　一１０５６＝２６４ｘ（一４）　

－

．

．

（　ｌ，　２，　３，　４）＝（１４，３０，２８８，２９０）是所求的　

＝

（２５２＋１２）×（一４）　

一

个正整数解。　

＝（２５２＋　（２５２＋　）　

例４的求解是一个很有趣的问题。它反映了：若　

Ｍ是奇数或４的倍数，则不定方程　

：

２５６２—２６０２

。　

Ｍ＋ｘ２＋ｘ２＋

．．．

实际上，引理（Ｉ）、（１Ｉ）是等价的。由于整数的　

＋　：＝　ｎ２＋ｌ　

分解式是不一定是唯一的，因而一个整数表示为两个非　

总有非负整数解（　ｌ，　２，…　，　＋１）存在。　

负整数的平方差之形式也不一定是唯～的，由例１便可　

特别是：Ｐ∈Ｚ，不定方程　

窥见。　

例２．　求自然数　的两个值，使Ｘ　＋６０是完全平　

Ｐ　＋　＋…＋　：＝Ｘ，２ｌ十ｌ　

方数。　

总存在非负整数解（Ｘｌ，Ｘ２，…Ｘ　，Ｘ　＋ｌ　ｏ　

解：　６０＝３０×２　

例５．作出长度为无理数　、、／＿　的几何线段。　

＝

（　（　１６２＿１４２

，　

又　６０＝１０×６　

解：　＝　＝　，　

＝（　）２（　８　－２２，　

问题转化为等价命题：已知斜边为４，一条直角边　

为３的直角三角形，求作另一直角边。（作图略。）　

・

．

．　

１４　＋６０＝１６　，２　十６０＝８　，于是，１４平“２为满　

＝　

足题意的　的两值。　

丽＝　￣　。‘（。。７　。４。。＋。——４’　．。‘　２‘。　‘　‘。。７。‘４。ｆ。。。’４。。）。—２—　

问题转化为等价命题：已知斜边为３９，一条直角边　

例３．求方程１６１５　＋　＝Ｙ　的一个自然数解。　

为３５的直角三角形，求作另一直角边。（作图略。）　

解：由引理有　

例５表明，整数表示　（下转９５页）　

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王少英王少鲮：对称法求积分　

奇、偶函数，亦有相应的结论。　

注：第二型曲线积分和曲面积分涉及到方向问题。　

以上结论不适用。　

解：　关于坐标面　＝０、Ｙ＝０对称，Ｘ　Ｙ是Ｘ或Ｙ　

的奇函数，故Ⅱ　），ｄ　＝０，因此，　

原式　

Ｓ　Ｄ　

。

Ｚ２ｄＳ＝

￣（８－ｘ２－ｙ２）　

、Ｊ　一一岛Ｙ一　　一　ｄ　ｄｙ　

参考文献：　

Ｘ　

＝２　ｒ、　了３２　一　）

【１】华东师大数学系．数学分析（第二版）【Ｍ】．北京：高等教育出版　

社，１９９９．３１０．　

。　

同理，分块光滑曲面Ｓ关于坐标面Ｙ＝０、ｚ＝０，　

【２】刘鸿基．数学分析习题课讲义【Ｍ】．江苏徐州：中国矿业出版社，　

１９９３．３４６－３４８．　

或原点对称，而被积函数ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ）为关于相应变量的　

Ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ　ｌａｗ　ｓｅｅｋｓ　ａｃｃｕｍｕｌａｔｅ　ｐｏｉｎｔｓ　

ＷＡＮＧ　Ｓｈａｏ—ｙｉｎｇ　ａｎｄＷＡＮＧ　Ｓｈａｏ－ｙｕ　

（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈａｎｄａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｎｄａｎ，Ｈｅｂｅｉ　０５６００１，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ａｒｔｉｃｌｅ　ｓｕｍｍａｒｉｅｓ　ｈｅ　ｔｓｙｍｍｅｔｒｙ　ｍｅｔｈｏｄ　ｗｈｉｃｈ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　ａｄｏｐｔｓ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ；　ｉｎｔｅｇｒａｌ；　ａｘｉｓ　

（责任编辑全宏发）　

（上接９２页）　

为两个非负整数的平方差之形式，使一类无理数的几何　

作图不但变成现实，而且变得轻而易举了。　

【１】闵嗣鹤，严士健．初等数论【Ｍ】．北京：高等教育出版社，１９８５　

【２】陈景润．初等数论．北京：科学出版社，１９８８．　

【３】华罗庚．数论导引．北京：科学出版社，１９７９．　

参考文献：　

Ｏｎ　Ｏｎｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｆｏｒｍｓ　ｏｆ　Ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ　ｏｆ　Ｉｎｔｅｇｅｒｓ　

ＲＡＮＧｕａｎｇ－ｈｕａ　

（Ｍａｔｈｅｍａｉｔｃｓ　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｔｏｎｇｒｅｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔｏｎｇｒｅｎ，Ｇｕｉｚｈｏｕ　５５４３００，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ａｕｔｈｏｒ　ｅｘｐｌｏｒｅｓ　ｏｎｅ　ｏｆ　ｈｅ　ｔｆｏｒｍｓ　ｏｆ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ　ｏｆ　ｉｎｔｅｇｅｒｓ：Ｄｏ　ｉｎｔｅｇｅｒｓ　ｃａｌｌ　ｂｅ　ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ　ａｓ　ｈｅ　ｔｆｏｒｍ　ｏｆ　ｈｅ　ｔ

ｓｑｕａｒｅ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｗｏ　ｎｅｇａｔｉｖｅ　ｎｔｉｅｇｅｒｓ？（１）Ａｎｙ　ｏｄｄ　ｎｕｍｂｅｒ　ｃａｌｌ　ｂｅ　ｅｘｐｒｅｓｓｄ　ｅａｓ　ｈｅ　ｔｓｑｕａｒｅ　ｄｉｆｅｅｎｃｅ　ｒｏｆ　ｔｗｏ　ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ　

ｉｎｔｅｇｅｓ；（ｒ２）Ｔｈｅ　ｉｎｔｅｇｅｒ　ｎ　ｉｈｅ　ｔｏｒｆｍ　ｏｆ　４，ｌ＋２（，ｌ∈Ｚ）ｃａｎｎｏｔ　ｂｅ　ｅｘｐｒｅｓｓｄ　ａｓｅ　ｔｈｅ　ｓｑｕａｒｅ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｗｏ　ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ　

ｎｔｉｅｇｅｒｓ；（３）Ｔｈｅ　ｎｔｉｅｇｅｒ　ｉｎ　ｈｅ　ｔｏｒｆｍ　ｏｆ４，ｌ（，ｌ∈Ｚ）Ｃａｎ　ｅ　ｂｅｘｐｒｅｓｓｄ　ｅｓ　ｔａｈｅ　ｓｑｕａｒｅ　ｉｆｄｅｒｅｎｃｅ　ｏｆｔｗｏ　ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ　ｎｔｉｅｇｅｒｓ　

Ｂｅｓｉｄｅｓ，ｔｈｅｒｅ　Ｃａｎ’ｔｂｅｏｎｌｙｏｎｅｆｏｒｍｏｆｔｈｅ　ｓｑｕａｒｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｏｆｉｎｔｅｇｅｒｓ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：　ｉｎｔｅｇｅｒｓ；　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ；　ｓｑｕａｒｅ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ，　ｆｏｒｍ　

（责任编辑全宏发）　

2024年5月31日发(作者：裔纬)

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第１卷第５期　

２Ｏｃｒ７年９月　

铜仁学院学报　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｔｏｎｇｒｅｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　

整数的一种表示形式　

冉光华　

（铜仁学院数学系，贵州铜仁５５４３００）　

摘要：本文探讨整数的一种表示形式：整数均能表示为两个非负整数的平方差形式吗？（１）　

任何奇数均能表示为两个非负整数的平方差；（２）形如４ｎ＋２（ｎ∈Ｚ）的整数不能表示为两个非负整　

数的平方差；（３）形如４ｎ（ｎ∈Ｚ）的整数能表示为两个非负整数的平方差。此外，整数的平方差形　

式是不唯一的。　

关键词：　整数；　表示；　平方差；　形式　

文章编号：１６７３—９６３９（２００７）０５－００９１—０２　中图分类号：Ｏ１５６．１　文献标识码：Ａ　

在数论里。有许多探讨自然数或整数的表示形式的　

＝

问题。例如，著名的华林问题：每个自然数均可表示成　

四个非负整数的平方和、九个非负整数的立方和及十九　

．

．

．　

Ｉ　Ｉ　，　

．

是奇数，￣１１＝　２Ｉ（　±１），ＩＦ．Ｍ　＋Ｉ

是整数，于是，　

个非负整数的四次方之和；著名的歌德巴赫猜想：（Ｉ）　

每个不小于６的偶数均能表示成两个奇素数之和；（Ⅱ）　

每个不小于９的奇数均可表示成三个奇素数之和；等等。　

数论的发展表明，探讨整数的表示形式是十分有趣而有　

意义的。　

本文提出整数的另一种表示形式：整数表示为两个　

非负整数的平方差的形式。　

问题归结为解决：　

１．每个整数均能表示为两个非负整数的平方差的　

形式吗？如果有不能表示的，这些整数有何特征？　

２．化整数为两个非负整数的平方差的形式是轻而　

易举吗？即能否寻找一种化整数为非负整数的平方差　

形式的一般方法？　

’

．．

命题得证。　

定理２．　形如４，ｌ＋２（，ｌ∈Ｚ）的整数不能表示为两个　

非负整数的平方差。　

证明：（反证法）假设

均为非负整数。则　

４，ｌ＋２＝（Ａ＋Ｂ）（Ａ—Ｂ）　

’

．

４　ｒｌ＋２＝Ａ　一Ｂ　，Ａ、Ｂ　

’

２Ｉ４，ｌ＋２．　

・

．．

２Ｉ（Ａ＋Ｂ）（Ａ—Ｂ），Ａ＋Ｂ中必有一个能被２　

整除。而该两数同奇偶性，于是　

４Ｉ（Ａ＋Ｂ）（Ａ—Ｂ）　

４Ｉ４ｎ＋２。　

下面，我们来逐步解决上述问题。　

引理．（Ｉ）曲：（　）２（　）　。　

这与４不能整除４ｎ＋２相矛盾。　

故原命题成立。　

定理３．形如４　ｎ（ｎ∈ｚ）的整数能表示成两个非负整　

（Ⅱ）（２口　ｃ：（口＋半）　一（口＋竿）　。　

定理１Ｉ　若　是奇数，则　能表示为两个非负整数的　

平方差。　

数的平方差。　

证明：由引理（Ｉ），有（，ｌ∈Ｚ）　

４ｎ＝２ｎｘ２　

＝

证明：由引理（Ｉ）。有　

＝

‘Ｔ２ｎ＋２　（等）２　

［ｒｔ＋ｌＩ２一Ｉ甩一ｌＩ　２Ｊ　

Ｍ：Ｍ　ｘ１：（　）　一（　）　

故命题得证。　

收稿日期：２００７—０１—０９　

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２００７年第５期　铜仁学院学报　

Ｚ＝｛奇数｝ｕ｛　Ｉ　Ｘ＝４　ｎ＋２，ｎ∈Ｚ｝ｕ｛Ｘ　Ｉ　Ｘ＝　

１６１５　２：３２３２×５　２：１０４３２９ｘ２５　

４，ｌ，，ｌ∈Ｚ｝，所以，仪有２（２ｎ＋１）形的整数不能表示为　

（　（１０４３２

９－２５　

＝

两个非负整数的平方差的形式，其余整数均能表示为两　

２

个非负整数的平方差之形式。　

＝

５２１７７　一５２１５２　

引理给出了化整数为两个非负整数的平方差之形　

・

１６１５　２＋５２１５２２：５２１７７２

．．

，　

式的一般方法。　

故（Ｘ，Ｙ）＝（５２１５２，５２１７７）就是所求８９－－４＂自然数　

例１．化９６、一１０５６为非负整数的平方差之形式。　

解。　

解：运用引理（Ｉ）：　

例４．求方程６０＋ｘ２＋　；＋　；＿－ｘ４的一个正整　

９６　×８－（　（　）　

数解（Ｘ１，Ｘ２，Ｘ３，Ｘ４）。　

：

１０２—２２

．　

解：６ｏ＝（　（　ｌ６２＿ｌ４２，　

或９６＝４￣２４：（　（　）　

・

．

＝１４２

—

１０２　

肌ｌ４２　Ｉ２２×８２＝（华　（竿）　

运用引理（Ⅱ）：　

：

３４２

—

３０２

．　

－

１０５６：５２８・（一２）　

．

６０＋１４２＋３０２：３４２：１７　２×２×２　

．．

＝（５２０＋８）（一２）　

＝

ｃ　ｃ

：（２６０＋　（２６０＋半）　

半　

：

２９０２—２８８　２

．　

：

２６３２—２６５　２６０＋１４２＋３０　２＋２８８２＝２９０２

。　

．　

或　一１０５６＝２６４ｘ（一４）　

－

．

．

（　ｌ，　２，　３，　４）＝（１４，３０，２８８，２９０）是所求的　

＝

（２５２＋１２）×（一４）　

一

个正整数解。　

＝（２５２＋　（２５２＋　）　

例４的求解是一个很有趣的问题。它反映了：若　

Ｍ是奇数或４的倍数，则不定方程　

：

２５６２—２６０２

。　

Ｍ＋ｘ２＋ｘ２＋

．．．

实际上，引理（Ｉ）、（１Ｉ）是等价的。由于整数的　

＋　：＝　ｎ２＋ｌ　

分解式是不一定是唯一的，因而一个整数表示为两个非　

总有非负整数解（　ｌ，　２，…　，　＋１）存在。　

负整数的平方差之形式也不一定是唯～的，由例１便可　

特别是：Ｐ∈Ｚ，不定方程　

窥见。　

例２．　求自然数　的两个值，使Ｘ　＋６０是完全平　

Ｐ　＋　＋…＋　：＝Ｘ，２ｌ十ｌ　

方数。　

总存在非负整数解（Ｘｌ，Ｘ２，…Ｘ　，Ｘ　＋ｌ　ｏ　

解：　６０＝３０×２　

例５．作出长度为无理数　、、／＿　的几何线段。　

＝

（　（　１６２＿１４２

，　

又　６０＝１０×６　

解：　＝　＝　，　

＝（　）２（　８　－２２，　

问题转化为等价命题：已知斜边为４，一条直角边　

为３的直角三角形，求作另一直角边。（作图略。）　

・

．

．　

１４　＋６０＝１６　，２　十６０＝８　，于是，１４平“２为满　

＝　

足题意的　的两值。　

丽＝　￣　。‘（。。７　。４。。＋。——４’　．。‘　２‘。　‘　‘。。７。‘４。ｆ。。。’４。。）。—２—　

问题转化为等价命题：已知斜边为３９，一条直角边　

例３．求方程１６１５　＋　＝Ｙ　的一个自然数解。　

为３５的直角三角形，求作另一直角边。（作图略。）　

解：由引理有　

例５表明，整数表示　（下转９５页）　

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王少英王少鲮：对称法求积分　

奇、偶函数，亦有相应的结论。　

注：第二型曲线积分和曲面积分涉及到方向问题。　

以上结论不适用。　

解：　关于坐标面　＝０、Ｙ＝０对称，Ｘ　Ｙ是Ｘ或Ｙ　

的奇函数，故Ⅱ　），ｄ　＝０，因此，　

原式　

Ｓ　Ｄ　

。

Ｚ２ｄＳ＝

￣（８－ｘ２－ｙ２）　

、Ｊ　一一岛Ｙ一　　一　ｄ　ｄｙ　

参考文献：　

Ｘ　

＝２　ｒ、　了３２　一　）

【１】华东师大数学系．数学分析（第二版）【Ｍ】．北京：高等教育出版　

社，１９９９．３１０．　

。　

同理，分块光滑曲面Ｓ关于坐标面Ｙ＝０、ｚ＝０，　

【２】刘鸿基．数学分析习题课讲义【Ｍ】．江苏徐州：中国矿业出版社，　

１９９３．３４６－３４８．　

或原点对称，而被积函数ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ）为关于相应变量的　

Ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ　ｌａｗ　ｓｅｅｋｓ　ａｃｃｕｍｕｌａｔｅ　ｐｏｉｎｔｓ　

ＷＡＮＧ　Ｓｈａｏ—ｙｉｎｇ　ａｎｄＷＡＮＧ　Ｓｈａｏ－ｙｕ　

（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈａｎｄａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｎｄａｎ，Ｈｅｂｅｉ　０５６００１，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ａｒｔｉｃｌｅ　ｓｕｍｍａｒｉｅｓ　ｈｅ　ｔｓｙｍｍｅｔｒｙ　ｍｅｔｈｏｄ　ｗｈｉｃｈ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　ａｄｏｐｔｓ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ；　ｉｎｔｅｇｒａｌ；　ａｘｉｓ　

（责任编辑全宏发）　

（上接９２页）　

为两个非负整数的平方差之形式，使一类无理数的几何　

作图不但变成现实，而且变得轻而易举了。　

【１】闵嗣鹤，严士健．初等数论【Ｍ】．北京：高等教育出版社，１９８５　

【２】陈景润．初等数论．北京：科学出版社，１９８８．　

【３】华罗庚．数论导引．北京：科学出版社，１９７９．　

参考文献：　

Ｏｎ　Ｏｎｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｆｏｒｍｓ　ｏｆ　Ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ　ｏｆ　Ｉｎｔｅｇｅｒｓ　

ＲＡＮＧｕａｎｇ－ｈｕａ　

（Ｍａｔｈｅｍａｉｔｃｓ　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｔｏｎｇｒｅｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔｏｎｇｒｅｎ，Ｇｕｉｚｈｏｕ　５５４３００，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ａｕｔｈｏｒ　ｅｘｐｌｏｒｅｓ　ｏｎｅ　ｏｆ　ｈｅ　ｔｆｏｒｍｓ　ｏｆ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ　ｏｆ　ｉｎｔｅｇｅｒｓ：Ｄｏ　ｉｎｔｅｇｅｒｓ　ｃａｌｌ　ｂｅ　ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ　ａｓ　ｈｅ　ｔｆｏｒｍ　ｏｆ　ｈｅ　ｔ

ｓｑｕａｒｅ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｗｏ　ｎｅｇａｔｉｖｅ　ｎｔｉｅｇｅｒｓ？（１）Ａｎｙ　ｏｄｄ　ｎｕｍｂｅｒ　ｃａｌｌ　ｂｅ　ｅｘｐｒｅｓｓｄ　ｅａｓ　ｈｅ　ｔｓｑｕａｒｅ　ｄｉｆｅｅｎｃｅ　ｒｏｆ　ｔｗｏ　ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ　

ｉｎｔｅｇｅｓ；（ｒ２）Ｔｈｅ　ｉｎｔｅｇｅｒ　ｎ　ｉｈｅ　ｔｏｒｆｍ　ｏｆ　４，ｌ＋２（，ｌ∈Ｚ）ｃａｎｎｏｔ　ｂｅ　ｅｘｐｒｅｓｓｄ　ａｓｅ　ｔｈｅ　ｓｑｕａｒｅ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｗｏ　ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ　

ｎｔｉｅｇｅｒｓ；（３）Ｔｈｅ　ｎｔｉｅｇｅｒ　ｉｎ　ｈｅ　ｔｏｒｆｍ　ｏｆ４，ｌ（，ｌ∈Ｚ）Ｃａｎ　ｅ　ｂｅｘｐｒｅｓｓｄ　ｅｓ　ｔａｈｅ　ｓｑｕａｒｅ　ｉｆｄｅｒｅｎｃｅ　ｏｆｔｗｏ　ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ　ｎｔｉｅｇｅｒｓ　

Ｂｅｓｉｄｅｓ，ｔｈｅｒｅ　Ｃａｎ’ｔｂｅｏｎｌｙｏｎｅｆｏｒｍｏｆｔｈｅ　ｓｑｕａｒｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｏｆｉｎｔｅｇｅｒｓ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：　ｉｎｔｅｇｅｒｓ；　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ；　ｓｑｕａｒｅ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ，　ｆｏｒｍ　

（责任编辑全宏发）