2024年6月2日发(作者：励萍韵)

圣才电子书

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第5章 成本函数

1．一个厂商有两个车间。一个车间按照成本函数

c

1



y

1



y

1

2

来生产；另一个车间按照

成本函数

c

2



y

2



y

2

2

来生产。要素价格固定，所以从讨论中省略掉。该厂商的成本函数是什

么？

A firm has two plants. One plant produces according to a cost function

c

1



y

1



y

1

2

.The other plant produces according to a cost function

c

2



y

2



y

2

2

.The

factor prices are fixed and so are omitted from the discussion. What is the cost

function for the firm?

解：企业的成本最小化问题是：

2

c



y



miny

1

2

y

2

y

1

,y

2

s..ty

1

y

2

y

解得：

y

1

y

2

y/2

，代入目标函数，得到：

c



y







y/2







y/2



y

2

/2

22

2．一个厂商有两个车间，成本函数分别是

c

1



y

1



3y

1

2

和

c

2



y

2



y

2

2

。该厂商的成本函

数是什么？

A firm has two plants with cost functions

c

1



y

1



3y

1

2

and

c

2



y

2



y

2

2

.What is

the cost function for the firm?

1 / 22

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解：厂商想使生产既定产出水平的成本最小化，则有：

2

c



y



min3y

1

2

y

2

y

1

0,y

2

0

s..ty

1

y

2

y

一阶条件是：

MC

1

6y

1

，MC

2

2y

2

。厂商最优化选择必使

MC

1

MC

2

，则有

y

2

3y

1

。

联立

y

2

y

1

y

，得：

y

1

y/4

，

y

2



3

y

。由于成本函数为凸函数，因此最优解为一内点解。

4

则成本函数为：

3y

2



y



3y



c



y



3









4



4



4



22

3．一个厂商的生产函数由

f



x

1

,x

2

,x

3

,x

4



min



2x

1

x

2

,x

3

2x

4



给出。该技术的成本函

数是什么？作为要素价格



w

1

,w

2

,w

3

,w

4



和产出

y

的函数的要素1和2的条件要素需求函数

是什么？

A firm has a production function given by

f



x

1

,x

2

,x

3

,x

4



min



2x

1

x

2

,x

3

2x

4



.

What is the cost function for this technology? What is the conditional demand

function for factors 1 and 2 as a function of factor prices



w

1

,w

2

,w

3

,w

4



and output

y

?

答：首先，在生产函数中，两种技术是互补的。考虑第一种技术，有

y2x

1

x

2

。因为

生产函数是线性的，因此两种要素是相互替代的，厂商将选择便宜的要素来生产。因此，这

种技术的成本函数为：

c



w

1

,w

2

,y



y min



w

1

/2,w

2



同理，第二种技术的成本函数为：

2 / 22

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c



w

3

,w

4

,y



y min



w

3

,w

4

/2



因为两种技术是互补的，所以成本函数为：

c



w

1

,w

2

,w

3

,w

4

,y



y





min



w

1

/2,w

2



min



w

3

,w

4

/2







要素1和2的条件要素需求函数分别是：

3．一个厂商的生产函数由

f



x

1

,x

2



min



2x

1

x

2

,x

1

2x

2



给出。该技术的成本函数是

什么？作为要素价格



w

1

,w

2



和产出

y

的函数的要素1和2的条件要素需求函数是什么？

A firm has a production function given by

f



x

1

,x

2



min



2x

1

x

2

,x

1

2x

2



.What is

the cost function for this technology? What is the conditional demand function for

factors 1 and 2 as a function of factor prices



w

1

,w

2



and output

y

?

解：令

2x

1

x

2

y

和

x

1

2x

2

y

，分别画出这两条曲线如图5-1所示。等产量线就是斜

率为-2的曲线上位于这两条曲线交点以左的部分和斜率为-1/2的曲线上位于交点以右部分

所组成的折线。

3 / 22

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图5-1 折弯的等产量线

当

w

1

/w

2

＞2

时， 最佳生产点位于：

x

1

0,x

2

y

，此时成本为

w

1

x

1

w

2

x

2

w

2

y

；

当

w

1

/w

2

＜1/2

时，最佳生产点位于：

x

1

y，x

2

0

，此时成本为

w

1

x

1

w

2

x

2

w

1

y

；

当

1/2＜w

1

/w

2

＜2

时，最佳生产点位于：

x

1

x

2

y/3

，此时成本为

w

1

x

1

w

2

x

2





w

1

w

2



y/3

。

厂商会选择最小的成本来进行生产，因此，成本函数为：

cw



w

1

,w

2

,y



y min



w

1

,w

2

,



w

1

w

2



/3



要素1的条件要素需求函数是：

要素2的条件要素需求函数是：

5．一个厂商的生产函数形式为

f



x

1

,x

2



max



x

1

,x

2



。这个厂商有凸的还是非凸的投入

要求集？要素1的条件要素需求函数是什么？成本函数是什么？

4 / 22

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A firm has a production function of the form

f



x

1

,x

2



max



x

1

,x

2



.Does this firm

have a convex or a nonconvex input requirement set? What is the factor demand

function for factor 1? What is its cost function?

解：厂商的投入要求集

V



y









x

1

,x

2



:f



x

1

,x

2



y



如图5-2中的阴影部分，易见它是

非凸的。

图5-2 厂商的投入要求集

下面求成本函数：

minwxw

2

x

2

x

1

,

x

2

11

s..maxt



x

1

,x

2



y

显然厂商的最优选择是只使用一种生产要素，这是因为厂商的产量只和使用数量多的那

种要素有关，从而增加使用数量少的要素不会增加产量，只会提高成本。由于厂商只用一种

要素生产，而且两种要素可以按照1∶1的比例完全替代，所以厂商只会使用价格便宜的那

种要素，这样厂商的成本函数为：

c



w

1

,w

2

,y



y min



w

1

,w

2



条件要素需求函数为：

5 / 22

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6．考虑一个有如下条件要素需求函数形式的厂商

1

2

a

x

1

13w

1

w

2

c

x

2

1bww

2

1

2

1



为方便起见，设产出等于1。参数

a

、

b

、

c

的取值是什么？为什么？

Consider a firm with conditional factor demand functions of the form

1

2

a

x

1

13w

1

w

2

c

x

2

1bww

2

1

2

1



Output has been set equal to 1 for convenience. What are the values of the

parameters

a

,

b

, and

c

and why？

解：根据条件要素需求函数的性质：函数是关于价格

w

的零次齐次性函数，则有：

11

a0a

22

11

c0c

22

又根据“交叉价格效应的对称性”：

x

1

/w

2

x

2

/w

1

，得到：

b3

。

7．一个厂商的生产函数为

yx

1

x

2

。

w

1

w

2

1

时，生产的最小成本等于4，

y

等于什

么？

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第5章 成本函数

1．一个厂商有两个车间。一个车间按照成本函数

c

1



y

1



y

1

2

来生产；另一个车间按照

成本函数

c

2



y

2



y

2

2

来生产。要素价格固定，所以从讨论中省略掉。该厂商的成本函数是什

么？

A firm has two plants. One plant produces according to a cost function

c

1



y

1



y

1

2

.The other plant produces according to a cost function

c

2



y

2



y

2

2

.The

factor prices are fixed and so are omitted from the discussion. What is the cost

function for the firm?

解：企业的成本最小化问题是：

2

c



y



miny

1

2

y

2

y

1

,y

2

s..ty

1

y

2

y

解得：

y

1

y

2

y/2

，代入目标函数，得到：

c



y







y/2







y/2



y

2

/2

22

2．一个厂商有两个车间，成本函数分别是

c

1



y

1



3y

1

2

和

c

2



y

2



y

2

2

。该厂商的成本函

数是什么？

A firm has two plants with cost functions

c

1



y

1



3y

1

2

and

c

2



y

2



y

2

2

.What is

the cost function for the firm?

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解：厂商想使生产既定产出水平的成本最小化，则有：

2

c



y



min3y

1

2

y

2

y

1

0,y

2

0

s..ty

1

y

2

y

一阶条件是：

MC

1

6y

1

，MC

2

2y

2

。厂商最优化选择必使

MC

1

MC

2

，则有

y

2

3y

1

。

联立

y

2

y

1

y

，得：

y

1

y/4

，

y

2



3

y

。由于成本函数为凸函数，因此最优解为一内点解。

4

则成本函数为：

3y

2



y



3y



c



y



3









4



4



4



22

3．一个厂商的生产函数由

f



x

1

,x

2

,x

3

,x

4



min



2x

1

x

2

,x

3

2x

4



给出。该技术的成本函

数是什么？作为要素价格



w

1

,w

2

,w

3

,w

4



和产出

y

的函数的要素1和2的条件要素需求函数

是什么？

A firm has a production function given by

f



x

1

,x

2

,x

3

,x

4



min



2x

1

x

2

,x

3

2x

4



.

What is the cost function for this technology? What is the conditional demand

function for factors 1 and 2 as a function of factor prices



w

1

,w

2

,w

3

,w

4



and output

y

?

答：首先，在生产函数中，两种技术是互补的。考虑第一种技术，有

y2x

1

x

2

。因为

生产函数是线性的，因此两种要素是相互替代的，厂商将选择便宜的要素来生产。因此，这

种技术的成本函数为：

c



w

1

,w

2

,y



y min



w

1

/2,w

2



同理，第二种技术的成本函数为：

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c



w

3

,w

4

,y



y min



w

3

,w

4

/2



因为两种技术是互补的，所以成本函数为：

c



w

1

,w

2

,w

3

,w

4

,y



y





min



w

1

/2,w

2



min



w

3

,w

4

/2







要素1和2的条件要素需求函数分别是：

3．一个厂商的生产函数由

f



x

1

,x

2



min



2x

1

x

2

,x

1

2x

2



给出。该技术的成本函数是

什么？作为要素价格



w

1

,w

2



和产出

y

的函数的要素1和2的条件要素需求函数是什么？

A firm has a production function given by

f



x

1

,x

2



min



2x

1

x

2

,x

1

2x

2



.What is

the cost function for this technology? What is the conditional demand function for

factors 1 and 2 as a function of factor prices



w

1

,w

2



and output

y

?

解：令

2x

1

x

2

y

和

x

1

2x

2

y

，分别画出这两条曲线如图5-1所示。等产量线就是斜

率为-2的曲线上位于这两条曲线交点以左的部分和斜率为-1/2的曲线上位于交点以右部分

所组成的折线。

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图5-1 折弯的等产量线

当

w

1

/w

2

＞2

时， 最佳生产点位于：

x

1

0,x

2

y

，此时成本为

w

1

x

1

w

2

x

2

w

2

y

；

当

w

1

/w

2

＜1/2

时，最佳生产点位于：

x

1

y，x

2

0

，此时成本为

w

1

x

1

w

2

x

2

w

1

y

；

当

1/2＜w

1

/w

2

＜2

时，最佳生产点位于：

x

1

x

2

y/3

，此时成本为

w

1

x

1

w

2

x

2





w

1

w

2



y/3

。

厂商会选择最小的成本来进行生产，因此，成本函数为：

cw



w

1

,w

2

,y



y min



w

1

,w

2

,



w

1

w

2



/3



要素1的条件要素需求函数是：

要素2的条件要素需求函数是：

5．一个厂商的生产函数形式为

f



x

1

,x

2



max



x

1

,x

2



。这个厂商有凸的还是非凸的投入

要求集？要素1的条件要素需求函数是什么？成本函数是什么？

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A firm has a production function of the form

f



x

1

,x

2



max



x

1

,x

2



.Does this firm

have a convex or a nonconvex input requirement set? What is the factor demand

function for factor 1? What is its cost function?

解：厂商的投入要求集

V



y









x

1

,x

2



:f



x

1

,x

2



y



如图5-2中的阴影部分，易见它是

非凸的。

图5-2 厂商的投入要求集

下面求成本函数：

minwxw

2

x

2

x

1

,

x

2

11

s..maxt



x

1

,x

2



y

显然厂商的最优选择是只使用一种生产要素，这是因为厂商的产量只和使用数量多的那

种要素有关，从而增加使用数量少的要素不会增加产量，只会提高成本。由于厂商只用一种

要素生产，而且两种要素可以按照1∶1的比例完全替代，所以厂商只会使用价格便宜的那

种要素，这样厂商的成本函数为：

c



w

1

,w

2

,y



y min



w

1

,w

2



条件要素需求函数为：

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6．考虑一个有如下条件要素需求函数形式的厂商

1

2

a

x

1

13w

1

w

2

c

x

2

1bww

2

1

2

1



为方便起见，设产出等于1。参数

a

、

b

、

c

的取值是什么？为什么？

Consider a firm with conditional factor demand functions of the form

1

2

a

x

1

13w

1

w

2

c

x

2

1bww

2

1

2

1



Output has been set equal to 1 for convenience. What are the values of the

parameters

a

,

b

, and

c

and why？

解：根据条件要素需求函数的性质：函数是关于价格

w

的零次齐次性函数，则有：

11

a0a

22

11

c0c

22

又根据“交叉价格效应的对称性”：

x

1

/w

2

x

2

/w

1

，得到：

b3

。

7．一个厂商的生产函数为

yx

1

x

2

。

w

1

w

2

1

时，生产的最小成本等于4，

y

等于什

么？

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