2024年6月4日发(作者：仍昌盛)

2023

年高考数学全真模拟卷四（全国卷）

理科数学

（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第

I

卷（选择题）

一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求）

1

．已知复数

z

满足

z2zi3i0

，则

z

的共轭复数

z

（

A．

1i

B．

1i

）

1

C．



i

5

3

1

D．



i

5

）

2．设集合

A





x,y



yx



，

B

A．1

C．3





x,y



yx



，则

AB

的元素个数是（

B．2

D．4

3．设命题

p

：若

x,yR

，则“

xy0

”是“

x

2

y

2

”的必要不充分条件；命题

q

：“

x0

，

2

x



1

”

的否定是

“

x0

，

2

x



1

”

，则下列命题为真命题的是（）

D

．

p(q)

A

．

pq

B

．

(p)(q)

C

．

pq

4．已知

f



x



是偶函数，在(－∞，0)上满足

xf





x



0

恒成立，则下列不等式成立的是

（）

B．

f



4



f



3



f



5



D．

f



4



f



5



f



3



A．

f(3)f



4



f(5)

C．

f



5



f



3



f



4



5．在长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，点E为

AC

1

的中点，

ABAA

1

2

，且

AD22

，则

异面直线

AE

与

BC

所成角的余弦值为（

A．

）

C．

2

3

B．

3

3

2

2

D．

3

2

6．美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲､

乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一

个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方

式一共有（

A．96

）种

B．120C．180D．216



π



7．将函数

ysin2x

的图象向左平移



(



0)

个单位长度后，所得图象经过点



,1



，



2



则



的最小值为（）

试卷第1页，共4页

A．

π

12

B．

π

4

C．

3π

4

D．

11π

12

）

2



上随机取一个数

k

，

8．在区间



2,

使直线

yk



x2



与圆

x

2

y

2

1

相交的概率为（

A．

3

3

B．

3

12

C．

3

6

D．

3

4

9

．某班同学利用课外实践课，测量北京延庆会展中心冬奥会火炬台

“

大雪花

”

的垂直高

N

在

A

的度

MN

.

在过

N

点的水平面上确定两观测点

A,B

，在

A

处测得

M

的仰角为

30°

，

北偏东

60°

方向上，

B

在

A

的正东方向

30

米处，在

B

处测得

N

在北偏西

60°

方向上，则

MN

（）

A．10米B．12米C．16米D．18米

322

10．已知函数

f



x



xbxcxb



b0



在

x=



1

处有极值，且极值为8，则

f



x



的

零点个数为（）

A．1B．2C．3D．4

11

．两个长轴在

x

轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆

.

若

A

，

B

分别为外层椭圆

的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线

AC

，

BD

，切点分别为

C

，

D

，且两切线斜

2

率之积等于



，则椭圆的离心率为（

3

）

C．A．

1

3

B．

3

3

3

2

）

D．

6

3

12

．已知

a



e



3

，

bln1.01

，

csin0.02

，则（

A

．

abc

C

．

cba

B

．

bac

D

．

b

第II卷（非选择题）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若双曲线

x

2

my

2

1

的焦距等于虚轴长的3倍，则

m

的值为______．



r



r

rr

14．向量

a



2,1



，

b



2,3



，

c



m,1



，

cb

，则

ac

___．





A



B



a,b,c

A,B,C

m

,1



，且

15．在

ABC

中，角

所对的边分别为，已知向量





cos

2



试卷第2页，共4页



2

5

m

．若

c2

，且

ABC

是锐角三角形，则

a

2

b

2

的取值范围为______．

4

16

．如图，

ED

是边长为

2

的正三角形

ABC

的一条中位线，将

VADE

沿

DE

折起，构成四棱锥

FBCDE

，若

EF



CD

，则四棱锥

FBCDE

外

接球的表面积为

__________

．

三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第

17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求

作答）

（一）必考题：共

60

分

17．2022年卡塔尔世界杯开幕式在美丽的海湾球场举行，中国制造在这届世界杯中闪

亮登场，由中国铁建承建的卢赛尔球场是全球首个在全生命周期深入应用建筑信息模型

技术的世界杯主场馆项目．场馆的空调是我们国家的海信空调，海信空调为了了解市场

情况，随机调查了某个销售点五天空调销售量y（单位：台）和销售价格x（单位：百

元）之间的关系，得到如下的统计数据：

销售价格x

销售量y

24

340

28

330

30

300

32

270

36

260

(1)通过散点图发现销售量y与销售价格x之间有较好的线性相关关系，求出y关于x的

ˆ

a

ˆ

bx

ˆ

．

线性回归方程

y

(2)若公司希望每天的销售额到达最大，请你利用所学知识帮公司制定一个销售价格（注：

销售额=销售价格×销售量）．

ˆ



附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

b





x



x



y

i



1

i

n

i



1

i

n

i



y



2

，





x



x



ˆ

．

ˆ

ybxa

18．已知数列



a

n



的前n项和为

S

n

，且

S

n



1



S

n



2

a

n



3

，

a

1

1

．

(1)证明：数列



a

n



3



是等比数列，并求数列



a

n



的通项公式；

(2)若

b

n

a

n



log

2



a

n



3



，求数列



b

n



的前n项和

T

n

．

试卷第3页，共4页

19

．如图，在四棱锥

MABCD

中，底面

ABCD

是平行四

边形，

AB4

，

AD22

，

MC22

，



ADC=45

，点

M

在底面

ABCD

上的射影为

CD

的中点

O

，

E

为线段

AD

上

的点

(

含端点

)

．

(1)

若

E

为线段

AD

的中点，证明：平面

MOE

平面

MAD

；

(2)

若

3AEDE

，求二面角

DMEO

的余弦值．

x

2

20．已知函数

f

(

x

)





x

4



e

x

6

x

，

g(x)lnx



a1



x

，

a1

．

(1)求

f



x



的极值；

23

e

(2)若存在

x

1





1,3



，对任意的

x

2







,e





，使得不等式

g



x

2



f



x

1



成立，求实数

a

的

取值范围．（

e

3

20.09

）

2

21．已知抛物线

C:x2py



p0



的焦点为

F

，准线为

l

，点

P

是直线

l

1

:yx2

上一

动点，直线

l

与直线

l

1

交于点

Q

，

QF5

.

(1)

求抛物线

C

的方程；



(2)

过点

P

作抛物线

C

的两条切线

PA,PB

，切点为

A,B

，且

9FAFB5

，求

PAB

面

积的取值范围

.

（二）选考题：共

10

分．请考生在第

22

、

23

题中任选一题作答．如果多做，则按所做

的第一题计分．

[

选修

4-4

：坐标系与参数方程

]



x



2cos





22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为



（为参数）．

y



sin





(1)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C极坐标方程；

(2)若点A，B为曲线C上的两个点且

OAOB

，求证：

11



为定值．

|OA|

2

|OB|

2

[

选修

4-5

：不等式选讲

]

23

．已知函数

f(x)|2x||x3|

．

(1)

求函数

yf(x)

的最小值

M

；

(2)若

a0,b0

且

abM

，求

1

a



1

b

的最小值．

试卷第4页，共4页

2023年高考数学全真模拟卷四（全国卷）

理科数学

（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求）

1

．已知复数

z

满足

z2zi3i0

，则

z

的共轭复数

z

（

A．

1i

【答案】

B

【分析】由复数的除法运算求出

z

，再根据共轭复数的概念可得

z

.

【详解】由

z2zi3i0

，得

z



所以

z1i

.

故选：

B

2．设集合

A





x,y



yx



，

B

A

．

1

C

．

3

【答案】

C

【分析】联立

yx,yx

3

求出交点坐标，从而得到答案.

(3



i)(1



2i)

5



5i

3



i





1



i

，

1



2i

(1



2i)(1



2i)

5

）

B．

1i

1

C．



i

5

1

D．



i

5





x,y



yx



，则

AB

的元素个数是（

3

）

B

．

2

D

．

4



y



x

3

【详解】联立



3

，即

xx

，解得：

x0

或

1

，



y



x

即

AB





0,0



,



1,1



,



1,1





，故

AB

的元素个数为3.故选：C

3．设命题

p

：若

x,yR

，则“

xy0

”是“

x

2

y

2

”的必要不充分条件；命题

q

：“

x0

，

2

x



1

”

的否定是

“

x0

，

2

x



1

”

，则下列命题为真命题的是（）

D

．

p(q)

A

．

pq

【答案】

B

B

．

(p)(q)

C

．

pq

【分析】先判断命题

p

和命题

q

的真假，再根据复合命题真假的判定方法，即可得出结果

.

【详解】根据不等式的性质，若

xy0

，则

x

2

y

2

；

反之，若

x

2

y

2

，则

x

2

y

2

0

，即



xy



xy



0

，因为

x,y

正负不确定，所以不能推

出

xy0

，

试卷第1页，共17页

因此“

xy0

”是“

x

2

y

2

”的充分不必要条件，即命题

p

为假命题；所以

p

为真命题；

命题

q

：

“

x0

，

2

x



1

”

的否定是

“

x0

，

2

x



1

”

，故命题

q

为假命题；

q

为真命题；

所以

pq

为假，

pq

为假，

p(q)

为假，

(p)(q)

为真

.

即

ACD

错，

B

正确

.

故选：

B.

4．已知

f



x



是偶函数，在(－∞，0)上满足

xf





x



0

恒成立，则下列不等式成立的是（

A．

f(3)f



4



f(5)

C．

f



5



f



3



f



4



【答案】

A

【分析】由题干条件得到

x



,0



时，

f





x



0

，故

f



x



在







,0



上单调递减，结合

f



x



为偶函数，得到

f



x



在



0,





上单调递增，从而判断出大小关系.

）

B．

f



4



f



3



f



5



D．

f



4



f



5



f



3



【详解】

x



,0



时，

xf





x



0

即

f





x



0

，

∴

f



x



在







,0



上单调递减，又

f



x



为偶函数，

∴

f



x



在



0,





上单调递增．

∴

f



3



f



4



f



5



，∴

f



3



f



4



f



5



.故选：A．

5．在长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，点E为

AC

1

的中点，

ABAA

1

2

，且

AD22

，则异

面直线

AE

与

BC

所成角的余弦值为（

A．

）

C．

2

3

B．

3

3

2

2

D．

3

2

【答案】

C

【分析】将异面直线

AE

与

BC

所成角转化为

EAD

或其补角，再通过边的计算得到



EAD





4

，即可求解.

【详解】

连接

DE,AC,A

1

D

，由

BC∥AD

可得

EAD

或其补角即为异面直线AE与BC所成角，又

A

1

A

面

ABCD

，

AC



面

ABCD

，则

A

1

AAC

，

试卷第2页，共17页

11

则

AEA

1

C

2

2



2

2



22

22



AC

2

，则





2

，同理可得

ADDC

，

DE

1

2

2

1

1

AE

2

DE

2

AD

2

，



EAD





4

，



4



2

.故选：C.

2

则异面直线AE与BC所成角的余弦值为

cos

6

．美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲､乙

的

5

个工程师到华为总部的

4

个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部

门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共

有（

A

．

96

【答案】

D

【解析】根据题意，先将

5

人分成

4

组，减去甲乙在一起的

1

组，然后

4

组再安排到

4

个

不同的部门可得答案

.

24

【详解】由



C

5

1



A

4

216

故选：D.

）种

B

．

120C

．

180D

．

216



π



7．将函数

ysin2x

的图象向左平移



(



0)

个单位长度后，所得图象经过点



,1



，则





2



的最小值为（

A．

）

B．

π

4

π

12

C．

3π

4

D．

11π

12

【答案】

C

【分析】利用三角函数图象平移规律得到函数

ysin



2(x



)



的图象，由所得图象经过点



π







,1



和的范围可得答案.



2



【详解】将函数

ysin2x

的图象向左平移



(



0)

个单位长度后，



π



得到函数

ysin



2(x



)



的图象，由所得图象经过点



,1



，可得

sin



π2





1

，



2



π

3π

π

则

π



2





2

k

π

，

kZ

，则



k

π

，

kZ

，又



0

，所以



的最小值为．

4

4

2

故选：

C

．

2



上随机取一个数

k

，

8．在区间



2,

使直线

yk



x2



与圆

x

2

y

2

1

相交的概率为（）

A．

3

3

B．

3

12

C．

3

6

D．

3

4

【答案】

C

【分析】求出直线与圆相交时

k

的取值范围，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的

概率

.

【详解】因为圆

x

2

y

2

1

的圆心为



0,0



，半径

r1

，

试卷第3页，共17页

直线

yk



x2



与圆

x

2

y

2

1

相交，

所以圆心到直线

yk



x2



的距离

d



1

，解得



3

k

3

，

33

1



k

2

2

k

23

所以，直线

yk



x2



与圆

xy1

相交的概率为

3

，故选：C．

P

3



46

22

9

．某班同学利用课外实践课，测量北京延庆会展中心冬奥会火炬台

“

大雪花

”

的垂直高度

MN

.

在过

N

点的水平面上确定两观测点

A,B

，在

A

处测得

M

的仰角为

30°

，

N

在

A

的北

偏东

60°

方向上，

B

在

A

的正东方向

30

米处，在

B

处测得

N

在北偏西

60°

方向上，则

MN

（）

A

．

10

米

【答案】

A

B

．

12

米

C

．

16

米

D

．

18

米

【分析】由已知分析数据，在

△NAB

中，由正弦定理可求得

NA

，在直角

△MNA

中，可求

得

MN

.

【详解】由已知得，

MAN30

，

NABNBA30

，

AB30

米

在

△NAB

中，由正弦定理可得

30

NA



，求得

NA103

米

sin120



sin30



3



10

米故选：A

3

在直角

△MNA

中，

MNNA

tan30



103



322

10．已知函数

f



x



xbxcxb



b0



在

x=



1

处有极值，且极值为8，则

f



x



的零

点个数为（）

A

．

1

【答案】

C

B

．

2C

．

3D

．

4



b



2

【分析】根据题意求导后结合已知极值，得出



，即可根据导数得出其单调性，再



c



7

结合特值得出其零点个数

.

2

【详解】由题意得

f

¢

(

x

)

=

3x

+

2bx

+

c

，

322

因为函数

f



x



xbxcxb



b0



在

x=



1

处有极值，且极值为8，

试卷第4页，共17页

2

则

f



1



1bcb8

，

f





1



32bc0

，



b



2



b



3

解得



(经检验适合题意)，或



（经检验不合题意舍去）

c



7

c



3





32

2

故

f



x



x2x7x4

，

f





x



3x4x7



x1



3x7



，



7



当

x



,1



或



,





时，

f

¢

(

x

)

>

0

，即函数

f



x



单调递增，



3



7



当

x







1,



时，

f





x



0

，即函数

f



x



单调递减，

3



又因为

f



3



0

，

f



1



0

，

f



1



0

，

f



4



0

，则

f



x



有3个零点，故选：C.

11

．两个长轴在

x

轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆

.

若

A

，

B

分别为外层椭圆的

左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线

AC

，

BD

，切点分别为

C

，

D

，且两切线斜率之

2

积等于



，则椭圆的离心率为（

3

）

C．A．

1

3

B．

3

3

3

2

D．

6

3

【答案】

B

2

b

2

2

【分析】法一，用判别式等于零求两条切线得斜率，因为它们相乘等于



，可得

2



，

3

a

3

所以椭圆的离心率为

e



即得

.

3

；法二，用极点极线得方法得到两条切线得斜率，再根据条件

3

x

2

y

2

x

2

y

2

【详解】法一：设内椭圆方程为

2



2



1



a



b



0



，外椭圆为

2



2



m

2



m



0



，

ab

ab

切线

AC

的方程为

yk

1



xma



，



y



k

1



x



ma



,

y

可得：



b

2

a

2

k

1

2



x

2

2ma

3

k

1

2

xm

2

a

4

k

1

2

a

2

b

2

0

，联立



222222

消去



bx



ay



ab

,

26422224222

因为直线

AC

为椭圆的切线，所以

Δ4mak

1

4



bak

1



mak

1

ab



0

，

b

2

b

2

1

2

化简可得：

k



2



2

，设直线

BD

的方程为：

yk

2

xmb

，同理可得

k

2



2



m

2



1



，

a

am



1

2

b

2

2

3

因为两切线斜率之积等于



，所以

2



，所以椭圆的离心率为

e



.故选：B.

3

a

3

3

x

2

y

2

x

2

y

2

法二；设内层椭圆：

2



2



1

，外层椭圆：

2



2



m

2

.

abab

2

1

设切点

P

1



x

1

,y

1



，

P

2



x

2

,y

2



，

A



ma,0



，

B



0,mb



，

切线

l

1

：

x

2

xy

2

y

x

1

xy

1

y



1

l



2



1

，，切线

：

2

a

2

b

2

a

2

b

试卷第5页，共17页

b

2

x

1

b

2

x

2

∴

k

1



2



①，

k

2



2



②，

ay

2

ay

1

y

1

b

2

x

1

222222

又∵

k

1

k

AP

1

，即



2



，即

bx

1

bmax

1

ay

1

，即

ay

1

x

1



ma

b

2

m

2

ax

1

a

2

y

1

2

b

2

x

1

2

a

2

b

2

，

∴

mx

1

a

，同理

k

2

k

BP

2

，∴

my

2

b

，∴

y

2

b



，

x

1

a

y

1

b

y

1

2

b

2

x

2

y

2





P

将

P

，代入椭圆中得：，经分析得：，



1

1

2

2

x

2

a

x

2

a

2

a

2

b

2



b

2



x

1

x

2

b

2

b

2

2

b

2

1

3

2



2

，∴

2



，∴

e



1



2



，∴

e



由①②可知

k

1

k

2





2





.故选：B.

ayya

a

3

a

3

3



12

2

12

．已知

a



e



3

，

bln1.01

，

csin0.02

，则（

A

．

abc

C

．

cba

【答案】

D

）

B

．

bac

D

．

b

【分析】先利用不等式

xsinx



x0



比较a，c的大小，再构造函数，利用函数的单调性

比较

b

，

c

的大小，即可得到结果．

【详解】如图，单位圆

A

中，

BAC



，

BDAC

于

D

，

则

BC

的长度

l



，

BD=sinθ

，则由图易得，

l>BC>BD

，即



sin



，



3

所以

a



e



111



2



0.02



sin0.02



c

.

3

e350

11









1



0

，所以

f



x



设

f



x



sin2xln



1x



，

x





0,



，则

f





x





2cos2

x



6

1



x

1



x









在



0,



上单调递增，



6



则

f



0.01



0

，即

sin0.02ln1.01

，即

bc

.综上，

b

.故选：D．

第II卷（非选择题）

二、填空题（本题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分）

试卷第6页，共17页

13．若双曲线

x

2

my

2

1

的焦距等于虚轴长的3倍，则

m

的值为______．

【答案】



8

22

【分析】先将双曲线化为标准形式，进而得到

a



1,b



1

1

2

，

c



1



，根据题意列出

m

m

方程，求出

m

的值

.

y

2

x



1

【详解】

x

2

my

2

1

化为标准方程：

，

1



m

2

22

则

a



1,b



1

1

11

2

，故

c



1



，则可得：

21



6



，解得：

m8

，

m

m

mm

故答案为：



8



r



r

rr

a

cm,1

14．向量

a



2,1



，

b



2,3



，



，

cb

，则

c

___．

【答案】

17

2

【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可求得实数

m

的值，再利用平面向量的坐标运算以

及向量模的坐标运算可求得结果

.





3



3



c

m

【详解】由已知可得

cb2m30

，解得

，则







,



1



，

2



2



2





1





17

117



所以，

a



c







,2



，因此，

a



c











2

2



.故答案为：.



2



2

2



2







A



B



a,b,c

A,B,C

m

,1



，且

15．在

ABC

中，角

所对的边分别为，已知向量





cos

2





2

5

m

．若

c2

，且

ABC

是锐角三角形，则

a

2

b

2

的取值范围为______．

4



20



【答案】



,8





3





2

5

π

2π

【分析】化简

m

可得

AB

，即

C

，由正弦定理可得

3

43

a

2



b

2



168



π



ππ



sin



2

A





，再结合

ABC

是锐角三角形，即可求出

A

，则可写出

33



6



62

a

2

b

2

的取值范围

.



2

1



cos



A



B



A



B

5

【详解】由题意得

m



cos

2



1



1



，

224

1

所以

cos



AB





，

2

因为

0ABπ

，所以

AB

由正弦定理得

π

2π

，所以

C

π





AB





，

3

3

abc

43

，



sin

A

sin

B

sin

C

3

所以

a

4343



2π



43

sin

B



sin





A



，

sin

A

，

b



3

33



3



试卷第7页，共17页

2024年6月4日发(作者：仍昌盛)

2023

年高考数学全真模拟卷四（全国卷）

理科数学

（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第

I

卷（选择题）

一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求）

1

．已知复数

z

满足

z2zi3i0

，则

z

的共轭复数

z

（

A．

1i

B．

1i

）

1

C．



i

5

3

1

D．



i

5

）

2．设集合

A





x,y



yx



，

B

A．1

C．3





x,y



yx



，则

AB

的元素个数是（

B．2

D．4

3．设命题

p

：若

x,yR

，则“

xy0

”是“

x

2

y

2

”的必要不充分条件；命题

q

：“

x0

，

2

x



1

”

的否定是

“

x0

，

2

x



1

”

，则下列命题为真命题的是（）

D

．

p(q)

A

．

pq

B

．

(p)(q)

C

．

pq

4．已知

f



x



是偶函数，在(－∞，0)上满足

xf





x



0

恒成立，则下列不等式成立的是

（）

B．

f



4



f



3



f



5



D．

f



4



f



5



f



3



A．

f(3)f



4



f(5)

C．

f



5



f



3



f



4



5．在长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，点E为

AC

1

的中点，

ABAA

1

2

，且

AD22

，则

异面直线

AE

与

BC

所成角的余弦值为（

A．

）

C．

2

3

B．

3

3

2

2

D．

3

2

6．美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲､

乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一

个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方

式一共有（

A．96

）种

B．120C．180D．216



π



7．将函数

ysin2x

的图象向左平移



(



0)

个单位长度后，所得图象经过点



,1



，



2



则



的最小值为（）

试卷第1页，共4页

A．

π

12

B．

π

4

C．

3π

4

D．

11π

12

）

2



上随机取一个数

k

，

8．在区间



2,

使直线

yk



x2



与圆

x

2

y

2

1

相交的概率为（

A．

3

3

B．

3

12

C．

3

6

D．

3

4

9

．某班同学利用课外实践课，测量北京延庆会展中心冬奥会火炬台

“

大雪花

”

的垂直高

N

在

A

的度

MN

.

在过

N

点的水平面上确定两观测点

A,B

，在

A

处测得

M

的仰角为

30°

，

北偏东

60°

方向上，

B

在

A

的正东方向

30

米处，在

B

处测得

N

在北偏西

60°

方向上，则

MN

（）

A．10米B．12米C．16米D．18米

322

10．已知函数

f



x



xbxcxb



b0



在

x=



1

处有极值，且极值为8，则

f



x



的

零点个数为（）

A．1B．2C．3D．4

11

．两个长轴在

x

轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆

.

若

A

，

B

分别为外层椭圆

的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线

AC

，

BD

，切点分别为

C

，

D

，且两切线斜

2

率之积等于



，则椭圆的离心率为（

3

）

C．A．

1

3

B．

3

3

3

2

）

D．

6

3

12

．已知

a



e



3

，

bln1.01

，

csin0.02

，则（

A

．

abc

C

．

cba

B

．

bac

D

．

b

第II卷（非选择题）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若双曲线

x

2

my

2

1

的焦距等于虚轴长的3倍，则

m

的值为______．



r



r

rr

14．向量

a



2,1



，

b



2,3



，

c



m,1



，

cb

，则

ac

___．





A



B



a,b,c

A,B,C

m

,1



，且

15．在

ABC

中，角

所对的边分别为，已知向量





cos

2



试卷第2页，共4页



2

5

m

．若

c2

，且

ABC

是锐角三角形，则

a

2

b

2

的取值范围为______．

4

16

．如图，

ED

是边长为

2

的正三角形

ABC

的一条中位线，将

VADE

沿

DE

折起，构成四棱锥

FBCDE

，若

EF



CD

，则四棱锥

FBCDE

外

接球的表面积为

__________

．

三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第

17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求

作答）

（一）必考题：共

60

分

17．2022年卡塔尔世界杯开幕式在美丽的海湾球场举行，中国制造在这届世界杯中闪

亮登场，由中国铁建承建的卢赛尔球场是全球首个在全生命周期深入应用建筑信息模型

技术的世界杯主场馆项目．场馆的空调是我们国家的海信空调，海信空调为了了解市场

情况，随机调查了某个销售点五天空调销售量y（单位：台）和销售价格x（单位：百

元）之间的关系，得到如下的统计数据：

销售价格x

销售量y

24

340

28

330

30

300

32

270

36

260

(1)通过散点图发现销售量y与销售价格x之间有较好的线性相关关系，求出y关于x的

ˆ

a

ˆ

bx

ˆ

．

线性回归方程

y

(2)若公司希望每天的销售额到达最大，请你利用所学知识帮公司制定一个销售价格（注：

销售额=销售价格×销售量）．

ˆ



附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

b





x



x



y

i



1

i

n

i



1

i

n

i



y



2

，





x



x



ˆ

．

ˆ

ybxa

18．已知数列



a

n



的前n项和为

S

n

，且

S

n



1



S

n



2

a

n



3

，

a

1

1

．

(1)证明：数列



a

n



3



是等比数列，并求数列



a

n



的通项公式；

(2)若

b

n

a

n



log

2



a

n



3



，求数列



b

n



的前n项和

T

n

．

试卷第3页，共4页

19

．如图，在四棱锥

MABCD

中，底面

ABCD

是平行四

边形，

AB4

，

AD22

，

MC22

，



ADC=45

，点

M

在底面

ABCD

上的射影为

CD

的中点

O

，

E

为线段

AD

上

的点

(

含端点

)

．

(1)

若

E

为线段

AD

的中点，证明：平面

MOE

平面

MAD

；

(2)

若

3AEDE

，求二面角

DMEO

的余弦值．

x

2

20．已知函数

f

(

x

)





x

4



e

x

6

x

，

g(x)lnx



a1



x

，

a1

．

(1)求

f



x



的极值；

23

e

(2)若存在

x

1





1,3



，对任意的

x

2







,e





，使得不等式

g



x

2



f



x

1



成立，求实数

a

的

取值范围．（

e

3

20.09

）

2

21．已知抛物线

C:x2py



p0



的焦点为

F

，准线为

l

，点

P

是直线

l

1

:yx2

上一

动点，直线

l

与直线

l

1

交于点

Q

，

QF5

.

(1)

求抛物线

C

的方程；



(2)

过点

P

作抛物线

C

的两条切线

PA,PB

，切点为

A,B

，且

9FAFB5

，求

PAB

面

积的取值范围

.

（二）选考题：共

10

分．请考生在第

22

、

23

题中任选一题作答．如果多做，则按所做

的第一题计分．

[

选修

4-4

：坐标系与参数方程

]



x



2cos





22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为



（为参数）．

y



sin





(1)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C极坐标方程；

(2)若点A，B为曲线C上的两个点且

OAOB

，求证：

11



为定值．

|OA|

2

|OB|

2

[

选修

4-5

：不等式选讲

]

23

．已知函数

f(x)|2x||x3|

．

(1)

求函数

yf(x)

的最小值

M

；

(2)若

a0,b0

且

abM

，求

1

a



1

b

的最小值．

试卷第4页，共4页

2023年高考数学全真模拟卷四（全国卷）

理科数学

（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求）

1

．已知复数

z

满足

z2zi3i0

，则

z

的共轭复数

z

（

A．

1i

【答案】

B

【分析】由复数的除法运算求出

z

，再根据共轭复数的概念可得

z

.

【详解】由

z2zi3i0

，得

z



所以

z1i

.

故选：

B

2．设集合

A





x,y



yx



，

B

A

．

1

C

．

3

【答案】

C

【分析】联立

yx,yx

3

求出交点坐标，从而得到答案.

(3



i)(1



2i)

5



5i

3



i





1



i

，

1



2i

(1



2i)(1



2i)

5

）

B．

1i

1

C．



i

5

1

D．



i

5





x,y



yx



，则

AB

的元素个数是（

3

）

B

．

2

D

．

4



y



x

3

【详解】联立



3

，即

xx

，解得：

x0

或

1

，



y



x

即

AB





0,0



,



1,1



,



1,1





，故

AB

的元素个数为3.故选：C

3．设命题

p

：若

x,yR

，则“

xy0

”是“

x

2

y

2

”的必要不充分条件；命题

q

：“

x0

，

2

x



1

”

的否定是

“

x0

，

2

x



1

”

，则下列命题为真命题的是（）

D

．

p(q)

A

．

pq

【答案】

B

B

．

(p)(q)

C

．

pq

【分析】先判断命题

p

和命题

q

的真假，再根据复合命题真假的判定方法，即可得出结果

.

【详解】根据不等式的性质，若

xy0

，则

x

2

y

2

；

反之，若

x

2

y

2

，则

x

2

y

2

0

，即



xy



xy



0

，因为

x,y

正负不确定，所以不能推

出

xy0

，

试卷第1页，共17页

因此“

xy0

”是“

x

2

y

2

”的充分不必要条件，即命题

p

为假命题；所以

p

为真命题；

命题

q

：

“

x0

，

2

x



1

”

的否定是

“

x0

，

2

x



1

”

，故命题

q

为假命题；

q

为真命题；

所以

pq

为假，

pq

为假，

p(q)

为假，

(p)(q)

为真

.

即

ACD

错，

B

正确

.

故选：

B.

4．已知

f



x



是偶函数，在(－∞，0)上满足

xf





x



0

恒成立，则下列不等式成立的是（

A．

f(3)f



4



f(5)

C．

f



5



f



3



f



4



【答案】

A

【分析】由题干条件得到

x



,0



时，

f





x



0

，故

f



x



在







,0



上单调递减，结合

f



x



为偶函数，得到

f



x



在



0,





上单调递增，从而判断出大小关系.

）

B．

f



4



f



3



f



5



D．

f



4



f



5



f



3



【详解】

x



,0



时，

xf





x



0

即

f





x



0

，

∴

f



x



在







,0



上单调递减，又

f



x



为偶函数，

∴

f



x



在



0,





上单调递增．

∴

f



3



f



4



f



5



，∴

f



3



f



4



f



5



.故选：A．

5．在长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，点E为

AC

1

的中点，

ABAA

1

2

，且

AD22

，则异

面直线

AE

与

BC

所成角的余弦值为（

A．

）

C．

2

3

B．

3

3

2

2

D．

3

2

【答案】

C

【分析】将异面直线

AE

与

BC

所成角转化为

EAD

或其补角，再通过边的计算得到



EAD





4

，即可求解.

【详解】

连接

DE,AC,A

1

D

，由

BC∥AD

可得

EAD

或其补角即为异面直线AE与BC所成角，又

A

1

A

面

ABCD

，

AC



面

ABCD

，则

A

1

AAC

，

试卷第2页，共17页

11

则

AEA

1

C

2

2



2

2



22

22



AC

2

，则





2

，同理可得

ADDC

，

DE

1

2

2

1

1

AE

2

DE

2

AD

2

，



EAD





4

，



4



2

.故选：C.

2

则异面直线AE与BC所成角的余弦值为

cos

6

．美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲､乙

的

5

个工程师到华为总部的

4

个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部

门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共

有（

A

．

96

【答案】

D

【解析】根据题意，先将

5

人分成

4

组，减去甲乙在一起的

1

组，然后

4

组再安排到

4

个

不同的部门可得答案

.

24

【详解】由



C

5

1



A

4

216

故选：D.

）种

B

．

120C

．

180D

．

216



π



7．将函数

ysin2x

的图象向左平移



(



0)

个单位长度后，所得图象经过点



,1



，则





2



的最小值为（

A．

）

B．

π

4

π

12

C．

3π

4

D．

11π

12

【答案】

C

【分析】利用三角函数图象平移规律得到函数

ysin



2(x



)



的图象，由所得图象经过点



π







,1



和的范围可得答案.



2



【详解】将函数

ysin2x

的图象向左平移



(



0)

个单位长度后，



π



得到函数

ysin



2(x



)



的图象，由所得图象经过点



,1



，可得

sin



π2





1

，



2



π

3π

π

则

π



2





2

k

π

，

kZ

，则



k

π

，

kZ

，又



0

，所以



的最小值为．

4

4

2

故选：

C

．

2



上随机取一个数

k

，

8．在区间



2,

使直线

yk



x2



与圆

x

2

y

2

1

相交的概率为（）

A．

3

3

B．

3

12

C．

3

6

D．

3

4

【答案】

C

【分析】求出直线与圆相交时

k

的取值范围，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的

概率

.

【详解】因为圆

x

2

y

2

1

的圆心为



0,0



，半径

r1

，

试卷第3页，共17页

直线

yk



x2



与圆

x

2

y

2

1

相交，

所以圆心到直线

yk



x2



的距离

d



1

，解得



3

k

3

，

33

1



k

2

2

k

23

所以，直线

yk



x2



与圆

xy1

相交的概率为

3

，故选：C．

P

3



46

22

9

．某班同学利用课外实践课，测量北京延庆会展中心冬奥会火炬台

“

大雪花

”

的垂直高度

MN

.

在过

N

点的水平面上确定两观测点

A,B

，在

A

处测得

M

的仰角为

30°

，

N

在

A

的北

偏东

60°

方向上，

B

在

A

的正东方向

30

米处，在

B

处测得

N

在北偏西

60°

方向上，则

MN

（）

A

．

10

米

【答案】

A

B

．

12

米

C

．

16

米

D

．

18

米

【分析】由已知分析数据，在

△NAB

中，由正弦定理可求得

NA

，在直角

△MNA

中，可求

得

MN

.

【详解】由已知得，

MAN30

，

NABNBA30

，

AB30

米

在

△NAB

中，由正弦定理可得

30

NA



，求得

NA103

米

sin120



sin30



3



10

米故选：A

3

在直角

△MNA

中，

MNNA

tan30



103



322

10．已知函数

f



x



xbxcxb



b0



在

x=



1

处有极值，且极值为8，则

f



x



的零

点个数为（）

A

．

1

【答案】

C

B

．

2C

．

3D

．

4



b



2

【分析】根据题意求导后结合已知极值，得出



，即可根据导数得出其单调性，再



c



7

结合特值得出其零点个数

.

2

【详解】由题意得

f

¢

(

x

)

=

3x

+

2bx

+

c

，

322

因为函数

f



x



xbxcxb



b0



在

x=



1

处有极值，且极值为8，

试卷第4页，共17页

2

则

f



1



1bcb8

，

f





1



32bc0

，



b



2



b



3

解得



(经检验适合题意)，或



（经检验不合题意舍去）

c



7

c



3





32

2

故

f



x



x2x7x4

，

f





x



3x4x7



x1



3x7



，



7



当

x



,1



或



,





时，

f

¢

(

x

)

>

0

，即函数

f



x



单调递增，



3



7



当

x







1,



时，

f





x



0

，即函数

f



x



单调递减，

3



又因为

f



3



0

，

f



1



0

，

f



1



0

，

f



4



0

，则

f



x



有3个零点，故选：C.

11

．两个长轴在

x

轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆

.

若

A

，

B

分别为外层椭圆的

左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线

AC

，

BD

，切点分别为

C

，

D

，且两切线斜率之

2

积等于



，则椭圆的离心率为（

3

）

C．A．

1

3

B．

3

3

3

2

D．

6

3

【答案】

B

2

b

2

2

【分析】法一，用判别式等于零求两条切线得斜率，因为它们相乘等于



，可得

2



，

3

a

3

所以椭圆的离心率为

e



即得

.

3

；法二，用极点极线得方法得到两条切线得斜率，再根据条件

3

x

2

y

2

x

2

y

2

【详解】法一：设内椭圆方程为

2



2



1



a



b



0



，外椭圆为

2



2



m

2



m



0



，

ab

ab

切线

AC

的方程为

yk

1



xma



，



y



k

1



x



ma



,

y

可得：



b

2

a

2

k

1

2



x

2

2ma

3

k

1

2

xm

2

a

4

k

1

2

a

2

b

2

0

，联立



222222

消去



bx



ay



ab

,

26422224222

因为直线

AC

为椭圆的切线，所以

Δ4mak

1

4



bak

1



mak

1

ab



0

，

b

2

b

2

1

2

化简可得：

k



2



2

，设直线

BD

的方程为：

yk

2

xmb

，同理可得

k

2



2



m

2



1



，

a

am



1

2

b

2

2

3

因为两切线斜率之积等于



，所以

2



，所以椭圆的离心率为

e



.故选：B.

3

a

3

3

x

2

y

2

x

2

y

2

法二；设内层椭圆：

2



2



1

，外层椭圆：

2



2



m

2

.

abab

2

1

设切点

P

1



x

1

,y

1



，

P

2



x

2

,y

2



，

A



ma,0



，

B



0,mb



，

切线

l

1

：

x

2

xy

2

y

x

1

xy

1

y



1

l



2



1

，，切线

：

2

a

2

b

2

a

2

b

试卷第5页，共17页

b

2

x

1

b

2

x

2

∴

k

1



2



①，

k

2



2



②，

ay

2

ay

1

y

1

b

2

x

1

222222

又∵

k

1

k

AP

1

，即



2



，即

bx

1

bmax

1

ay

1

，即

ay

1

x

1



ma

b

2

m

2

ax

1

a

2

y

1

2

b

2

x

1

2

a

2

b

2

，

∴

mx

1

a

，同理

k

2

k

BP

2

，∴

my

2

b

，∴

y

2

b



，

x

1

a

y

1

b

y

1

2

b

2

x

2

y

2





P

将

P

，代入椭圆中得：，经分析得：，



1

1

2

2

x

2

a

x

2

a

2

a

2

b

2



b

2



x

1

x

2

b

2

b

2

2

b

2

1

3

2



2

，∴

2



，∴

e



1



2



，∴

e



由①②可知

k

1

k

2





2





.故选：B.

ayya

a

3

a

3

3



12

2

12

．已知

a



e



3

，

bln1.01

，

csin0.02

，则（

A

．

abc

C

．

cba

【答案】

D

）

B

．

bac

D

．

b

【分析】先利用不等式

xsinx



x0



比较a，c的大小，再构造函数，利用函数的单调性

比较

b

，

c

的大小，即可得到结果．

【详解】如图，单位圆

A

中，

BAC



，

BDAC

于

D

，

则

BC

的长度

l



，

BD=sinθ

，则由图易得，

l>BC>BD

，即



sin



，



3

所以

a



e



111



2



0.02



sin0.02



c

.

3

e350

11









1



0

，所以

f



x



设

f



x



sin2xln



1x



，

x





0,



，则

f





x





2cos2

x



6

1



x

1



x









在



0,



上单调递增，



6



则

f



0.01



0

，即

sin0.02ln1.01

，即

bc

.综上，

b

.故选：D．

第II卷（非选择题）

二、填空题（本题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分）

试卷第6页，共17页

13．若双曲线

x

2

my

2

1

的焦距等于虚轴长的3倍，则

m

的值为______．

【答案】



8

22

【分析】先将双曲线化为标准形式，进而得到

a



1,b



1

1

2

，

c



1



，根据题意列出

m

m

方程，求出

m

的值

.

y

2

x



1

【详解】

x

2

my

2

1

化为标准方程：

，

1



m

2

22

则

a



1,b



1

1

11

2

，故

c



1



，则可得：

21



6



，解得：

m8

，

m

m

mm

故答案为：



8



r



r

rr

a

cm,1

14．向量

a



2,1



，

b



2,3



，



，

cb

，则

c

___．

【答案】

17

2

【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可求得实数

m

的值，再利用平面向量的坐标运算以

及向量模的坐标运算可求得结果

.





3



3



c

m

【详解】由已知可得

cb2m30

，解得

，则







,



1



，

2



2



2





1





17

117



所以，

a



c







,2



，因此，

a



c











2

2



.故答案为：.



2



2

2



2







A



B



a,b,c

A,B,C

m

,1



，且

15．在

ABC

中，角

所对的边分别为，已知向量





cos

2





2

5

m

．若

c2

，且

ABC

是锐角三角形，则

a

2

b

2

的取值范围为______．

4



20



【答案】



,8





3





2

5

π

2π

【分析】化简

m

可得

AB

，即

C

，由正弦定理可得

3

43

a

2



b

2



168



π



ππ



sin



2

A





，再结合

ABC

是锐角三角形，即可求出

A

，则可写出

33



6



62

a

2

b

2

的取值范围

.



2

1



cos



A



B



A



B

5

【详解】由题意得

m



cos

2



1



1



，

224

1

所以

cos



AB





，

2

因为

0ABπ

，所以

AB

由正弦定理得

π

2π

，所以

C

π





AB





，

3

3

abc

43

，



sin

A

sin

B

sin

C

3

所以

a

4343



2π



43

sin

B



sin





A



，

sin

A

，

b



3

33



3



试卷第7页，共17页