2024年6月5日发(作者：羊尔柳)

【数学科普】欧拉公式的推导

欧拉公式是数学中一个非常重要的公式，它连接了三角

函数和复数。以下是欧拉公式的推导过程：

第一步，我们设 z=x+yi，其中 x 和 y 是实数，

i 是虚数单位，满足 i2=−1。

第二步，根据复数的三角形式，我们可以将 z 写

成 ρ(cosθ+isinθ) 的形式，其中 ρ=x2+y2，

θ 是 z 在复平面上的辐角。

第三步，根据三角函数的加法公式，我们有：

cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

第四步，令 A=θ，B=2nπ（其中 n 是整数），则：

cos(A+B)=cos(θ+2nπ)=cosθ

sin(A+B)=sin(θ+2nπ)=sinθ

第五步，由于 ρ 和 θ 是 z 的极坐标表示中

的两个变量，我们可以将 ρ 和 θ 分别替换

为 r 和 t，其中 r=∣z∣。

第六步，根据第五步的替换，我们可以得到：

z=r(cost+isint)

第七步，根据复数的模长和辐角，我们有：

r=∣z∣=x2+y2

t=arctan(xy)

第八步，将第七步中的 r 和

式，得到：

z=r(cost+isint)

综上，我们得到了欧拉公式：

z=x+yi=r(cost+isint)

t 代入第六步中的公

2024年6月5日发(作者：羊尔柳)

【数学科普】欧拉公式的推导

欧拉公式是数学中一个非常重要的公式，它连接了三角

函数和复数。以下是欧拉公式的推导过程：

第一步，我们设 z=x+yi，其中 x 和 y 是实数，

i 是虚数单位，满足 i2=−1。

第二步，根据复数的三角形式，我们可以将 z 写

成 ρ(cosθ+isinθ) 的形式，其中 ρ=x2+y2，

θ 是 z 在复平面上的辐角。

第三步，根据三角函数的加法公式，我们有：

cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

第四步，令 A=θ，B=2nπ（其中 n 是整数），则：

cos(A+B)=cos(θ+2nπ)=cosθ

sin(A+B)=sin(θ+2nπ)=sinθ

第五步，由于 ρ 和 θ 是 z 的极坐标表示中

的两个变量，我们可以将 ρ 和 θ 分别替换

为 r 和 t，其中 r=∣z∣。

第六步，根据第五步的替换，我们可以得到：

z=r(cost+isint)

第七步，根据复数的模长和辐角，我们有：

r=∣z∣=x2+y2

t=arctan(xy)

第八步，将第七步中的 r 和

式，得到：

z=r(cost+isint)

综上，我们得到了欧拉公式：

z=x+yi=r(cost+isint)

t 代入第六步中的公