2024年6月6日发(作者：帛灵松)
2021年普通高等学校招生全国统一考试
数学北京卷(参考答案)
本试卷共5页,150分,考试用时120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,
将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题共40分)
一、选择题：本题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选择符合题目要求的一项.
1.已知集合A={x|−1 A：{x|0⩽x<1} 答案：B. 解析：由集合的基本定义可得A∪B={x|−1 2.在复平面内,复数z满足(1−i)·z=2,则z=(). A：1 答案：D. 解析：由题意可得z= 2·(1+i)2 ==1+i,故选D. 1−i(1−i)(1+i) B：iC：1−iD：1+i B：{x|−1 3.设函数f(x)的定义域为[0,1],则“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为 f(1)”的(). A：充分不必要条件 C：充分必要条件 答案：A. 解析：前推后,一定成立. 后推前,若f(x)在[0,1]上的最大值为f(1),找反例,开口向上对称轴为x= 4.某四面体的三视图如图所示,该四面体的表面积为(). √√ 3+311+3 A：B：C： 222 1 的二次函数. 4 √ D： 3 2 B：必要不充分条件 D：既不充分也不必要条件 1 1 1 1 1 1 (第4题图) 2021年高考数学北京卷真题解析 72 答案：A. 解析：根据图示三视图画正方体,删点,剩下的4个点就是三棱锥的顶点,如图所示,故 S 表 √√ 13+33 =3× ×1×1+×(1+1)= . 242 √√ x 2 y 2 5.双曲线 2 − 2 =1过点(2,3),离心率为2,则双曲线的解析式为(). ab x 2 −y 2 =1A： 3 答案：B. y 2 B：x − =1 3 2 x 2 y 2 C： − =1 23 x 2 y 2 D： − =1 32 √√√ 31c2 解析：双曲线离心率e= =2,故c=2a,b=3a,将点(2,3)代入双曲线方程,得 2 − 2 = 2 =1, aa3aa 2 √ y 故a=1,b=3,故双曲线方程为x 2 − =1. 3 a k 6.已知{a n }和{b n }是两个等差数列,且 (1⩽k⩽5)是常值,若a 1 =288,a 5 =96,b 1 =192,则b 3 的值 b k 为(). A：64 答案：C. 解析：由题意可得 a 1 192+64a 5 b 1 +b 5 ==128.=,则b 5 =64,故b 3 = b 1 b 5 22 7.已知函数f(x)=cosx−cos2x,则该函数(). B：偶函数,最大值为2 9 D：偶函数,最大值为 8 B：100C：128D：132 A：奇函数,最大值为2 9 C：奇函数,最大值为 8 答案：D. 解析：函数f(x)定义域为R,且f(−x)=f(x),则f(x)为偶函数, 19 f(x)=cosx−cos2x=cosx−(2cos 2 x−1)=−2cos 2 x+cosx+1=−2(cosx−) 2 +, 48 9 故最大值为,故选D. 8 8.对 24 小时内降水在平地上的积水厚度 (mm) 进行如下定义 : 0∼10 小雨 10∼25 中雨 25∼50 大雨 50∼100 暴雨 小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水,则这一天的雨水属于哪个等级(). A：小雨B：中雨C：大雨D：暴雨 73 200mm 300mm 150mm (第8题图) 200 1 解析：由相似关系可得,小圆锥的底面半径r= 2 =50,故V 小锥 = ×π×50 2 ×150=50 3 ·π,从而可得 23 3 V 50 ·π =12.5,属于中雨.积水厚度h= 小锥 = S 大圆 π·100 2 9.已知圆C:x 2 +y 2 =4,直线L:y=kx+m,则当k的值发生变化时,直线被圆C所截的弦长的最小值 为1,则m的取值为(). A：±2 答案：C. √ B：±2 √ C：±3D：±3 答案：B. √ √ 22 解析：数形结合,m为直线在y轴上的截距,m=± 2 −1 =±3. 10.数列{a n }是递增的整数数列,且a 1 ⩾3,a 1 +a 2 +a 3 +···+a n =100,则n的最大值为(). A：9 答案：C. 解析：要想n最大,前面的项应该越小越好,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14前12项和为102超过了100,故 n的最大值为11.如3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,25. B：10C：11D：12 第二部分(非选择题共110分) 二、填空题：本题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(x 3 − 1 4 )的展开式中常数项是 x . 答案：−4. 1 331 ·(x ) ·(− 解析：由二项式展开公式可得C 3 )=−4. 4 x 12.已知抛物线C:y 2 =4x,C焦点为F,点M在C上,且|FM|=6,则M的横坐标是 MN⊥x轴于N,则S △FMN = √ 答案：5;4 5. . ;作
2024年6月6日发(作者：帛灵松) 2021年普通高等学校招生全国统一考试 数学北京卷(参考答案) 本试卷共5页,150分,考试用时120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题共40分) 一、选择题：本题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选择符合题目要求的一项. 1.已知集合A={x|−1 A：{x|0⩽x<1} 答案：B. 解析：由集合的基本定义可得A∪B={x|−1 2.在复平面内,复数z满足(1−i)·z=2,则z=(). A：1 答案：D. 解析：由题意可得z= 2·(1+i)2 ==1+i,故选D. 1−i(1−i)(1+i) B：iC：1−iD：1+i B：{x|−1 3.设函数f(x)的定义域为[0,1],则“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为 f(1)”的(). A：充分不必要条件 C：充分必要条件 答案：A. 解析：前推后,一定成立. 后推前,若f(x)在[0,1]上的最大值为f(1),找反例,开口向上对称轴为x= 4.某四面体的三视图如图所示,该四面体的表面积为(). √√ 3+311+3 A：B：C： 222 1 的二次函数. 4 √ D： 3 2 B：必要不充分条件 D：既不充分也不必要条件 1 1 1 1 1 1 (第4题图) 2021年高考数学北京卷真题解析 72 答案：A. 解析：根据图示三视图画正方体,删点,剩下的4个点就是三棱锥的顶点,如图所示,故 S 表 √√ 13+33 =3× ×1×1+×(1+1)= . 242 √√ x 2 y 2 5.双曲线 2 − 2 =1过点(2,3),离心率为2,则双曲线的解析式为(). ab x 2 −y 2 =1A： 3 答案：B. y 2 B：x − =1 3 2 x 2 y 2 C： − =1 23 x 2 y 2 D： − =1 32 √√√ 31c2 解析：双曲线离心率e= =2,故c=2a,b=3a,将点(2,3)代入双曲线方程,得 2 − 2 = 2 =1, aa3aa 2 √ y 故a=1,b=3,故双曲线方程为x 2 − =1. 3 a k 6.已知{a n }和{b n }是两个等差数列,且 (1⩽k⩽5)是常值,若a 1 =288,a 5 =96,b 1 =192,则b 3 的值 b k 为(). A：64 答案：C. 解析：由题意可得 a 1 192+64a 5 b 1 +b 5 ==128.=,则b 5 =64,故b 3 = b 1 b 5 22 7.已知函数f(x)=cosx−cos2x,则该函数(). B：偶函数,最大值为2 9 D：偶函数,最大值为 8 B：100C：128D：132 A：奇函数,最大值为2 9 C：奇函数,最大值为 8 答案：D. 解析：函数f(x)定义域为R,且f(−x)=f(x),则f(x)为偶函数, 19 f(x)=cosx−cos2x=cosx−(2cos 2 x−1)=−2cos 2 x+cosx+1=−2(cosx−) 2 +, 48 9 故最大值为,故选D. 8 8.对 24 小时内降水在平地上的积水厚度 (mm) 进行如下定义 : 0∼10 小雨 10∼25 中雨 25∼50 大雨 50∼100 暴雨 小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水,则这一天的雨水属于哪个等级(). A：小雨B：中雨C：大雨D：暴雨 73 200mm 300mm 150mm (第8题图) 200 1 解析：由相似关系可得,小圆锥的底面半径r= 2 =50,故V 小锥 = ×π×50 2 ×150=50 3 ·π,从而可得 23 3 V 50 ·π =12.5,属于中雨.积水厚度h= 小锥 = S 大圆 π·100 2 9.已知圆C:x 2 +y 2 =4,直线L:y=kx+m,则当k的值发生变化时,直线被圆C所截的弦长的最小值 为1,则m的取值为(). A：±2 答案：C. √ B：±2 √ C：±3D：±3 答案：B. √ √ 22 解析：数形结合,m为直线在y轴上的截距,m=± 2 −1 =±3. 10.数列{a n }是递增的整数数列,且a 1 ⩾3,a 1 +a 2 +a 3 +···+a n =100,则n的最大值为(). A：9 答案：C. 解析：要想n最大,前面的项应该越小越好,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14前12项和为102超过了100,故 n的最大值为11.如3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,25. B：10C：11D：12 第二部分(非选择题共110分) 二、填空题：本题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(x 3 − 1 4 )的展开式中常数项是 x . 答案：−4. 1 331 ·(x ) ·(− 解析：由二项式展开公式可得C 3 )=−4. 4 x 12.已知抛物线C:y 2 =4x,C焦点为F,点M在C上,且|FM|=6,则M的横坐标是 MN⊥x轴于N,则S △FMN = √ 答案：5;4 5. . ;作