2024年6月11日发(作者：仙凡波)

2.9 克里斯托弗尔符号

在基矢量组

g

1

，

g

2

，

g

3

中把



i

g

j

按下式分解



i

g

j



ijp

g

p

(2.9.01)



ij

k





i

g

j

g

k





i

g

j

g

kr

g

r

g

kr



i

g

j

g

r

g

kr



ijr

(2.9.08)

同样地，



ijk

g

kr



ij

r

(2.9.09)

(4)在直线坐标系中，



ijk

0

，



ij

k

0

(2.9.10)

事实上，因为在斜角和直角坐标系中基矢量

i

i

和

e

i

均为常量，故



ijk

0

和



ij

k

0

。



i

g

j



p

ij

g

p

(2.9.02)

(5)克里斯托弗尔符号可用度量张量表示。

这里分解系数



ijp

和



p

ij

分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔(Christoffel)符号。在某些文献中，

事实上，由于



g

ij,k





k

g

i

g

j







k

g

i

g

j

g

i





k

g

j



kij



kji

第一类和第二类克里斯托弗尔符号分别用



ij,p



和





p





表示。

对指标进行轮换，则有



ij



g

jk,i



ijk



ikj

用

g

k

g

ki,j



jki



jik

k

和

g

分别点乘式(2.9.01)和式(2.9.02)两边，则得

把式(2.9.12)和式(2.9.13)相加，再减去式(2.9.11)，则得



pp

ijp

gg

k



ijp



k



ijk





i

g

j

g

k

(2.9.03)



k

ij





k

i

g

j

g

(2.9.04)



1

ijk



2



g

jk,i

g

ki,j

g

ji,k



现述克里斯托弗尔符号的性质如下。

另外，

(1)克里斯托弗尔符号不是张量。



k

ij

g

kr



ijr



1

现以



k

2

g

kr



g

jr,i

g

ri,j

g

ij,r



'

ij

为例加以说明，设两个坐标系

y

i

和

y

i

间的变换系数为

A

i

i

和

A

i

i

'

，于是



k

'

k

'

k

'

k

(6)



r

ir





i



logg



i

'

j

'





i

'

g

j

'

g



i

'







A

j

j

'

g

j





A

k

g

A

j

k

'

'

事实上，由式(2.8.36)知，

j

'

A

k



i

'

g

j

g

k







i

'

A

j

j

'

g

k

A

k

k

g

j'

g

k

g



g

1

g

2

g

3



，故有

A

j

k

'

i

j

'

A

k

A

i

'



i

g

j

g

k









j



i

g



i



g

1

g

2

g

3



i

'

A

j

'



A

k

'

j

A

i

A

j

A

k

'

k

A

j

k

'







i

g

1

g

2

g

3







g

1



i

g

2

g

3







g

1

g

2



i

g

3



i

'

j' k



ij







i

'

j

'



A

j

(2.9.05)



rrr

i1



g

r

g

2

g

3





i2



g

1

g

r

g

3





i3



g

1

g

2

g

r



由于上式中右边第二项的存在，说明



k

ij

不是张量。同样，可证



ijk

也不是张量。



r

ir



g

r

g

2

g

3



(2)



ijk

和



k

ij

关于指标i和j对称。



r

事实上，由于

ir

g



ijk





i

g

j

g

k





i



P

,j



g

k

p

,ji

g

k

(2.9.06)

由此可得

和



r

g

ir





i





i



logg





ijk

P

,ij

g

k

(2.9.07)

g

根据偏导数的性质，

P

,ij

ijkjik

ij

kk

,ji

P

，故有



。同样地，



ji

。

(7)由于



kk

l

g

j

g

，故有

(3)



ijk

和



k

ij

的指标可用度量张量升降。



i



g

k

j

g







i

g

j

g

k





k

i

gg

j

0

事实上，

于是

34

(2.9.11)

(2.9.12)

(2.9.13)

(2.9.14)

(2.9.15)

(2.9.16)

(2.9.17)

(2.9.18)

(2.9.19)



i

g

k

g

j



ij

k

(2.9.20)



i

g

j



ip

j

g

p

(2.9.21)

kp

g

i



i

a

k

g

k

a

k



ip

g

p





i

a

k

a

p



ik

g

i

g

k











i

a

k

g

i

g

k

(2.10.07)

这里



i

a

k

a

k;i

a

ki

k

(2.10.08)





i

a

k

a

p



ip

2.10 协变导数逆变导数

在曲线坐标系下，哈密顿算子定义为

称为协变矢量

a

k

的协变导数。

另一方面，我们也可以写出

g

r



r

(2.10.01)

1.协变导数

设T为任意张量，则

T

构成新的张量，称为T的梯度。为简单起见，现以

TTg

i

g

j

g

为例给出它的梯度的并矢形式如下：

ij

k

k





k





ag



i



ag

k







i

g

i



i

a

k

g

k

a

k



ik

p

g

p

k





i

a

k

a

p



ip

g

i

g

k













ij





k



t

Tg



t



T

k

g

i

g

j

g























ijij

tkkk



g





t

T

k

g

i

g

j

gT

k



t

g

i

g

j

gg

i



t

g

j

gg

i

g

j



t

g

k















k

g

t



t

T

k

ij

g

i

g

j

g

k

T

k

ij



ti

p

g

p

g

j

g

k



tj

p

g

i

g

p

g

k



tp

g

i

g

j

g

p

iij





t

T

k

ij



tp

T

k

pj



tp

j

T

k

ip



tk

p

T

p

g

t

g

i

g

j

g

k



i

a

k

g

i

g

k

(2.10.09)

这里

k



i

a

k

a

;

k

i

a

k

i

k

(2.10.10)





i

a

k

a

p



ip













称为逆变矢量

a

的协变导数。

2.逆变导数

由于协变导数的指标是张量指标，故可应用逆变度量张量把它的指标升高而得到逆变导数如

下：



t

T

k

ij

g

t

g

i

g

j

g

k

(2.10.02)

其中

iij



t

T

k

ij





t

T

k

ij



tp

(2.10.03)

T

k

pj



tp

j

T

k

ip



tk

p

T

p



r

T

k

ij

g

r



t

T

k

ij

(2.10.11)

称为张量

T

ijk

的协变导数。在某些文献中，有的把协变导数写成

2.11 不变性微分算子

任意张量T(为书写简单起见，以三阶混合张量为例)在曲线坐标系下的不变性微分算子定义

如下。

1.梯度



t

T

k

ij

T

k

ij

;

t

(2.10.04)

或



t

T

k

ij

T

k

ij

t

(2.10.05)

ijk

不难证明下列结果：



t

g

ij

0

，



t

g

ij

0

，



t



i

j



，



t



t

0

，



t



ijk

0

(2.10.06)

gradTT

r

T

k

ij

g

r

g

i

g

j

g

k

(2.11.01)

2.散度

可见，度量张量和爱丁顿张量对于



t

或



有如常数可以移进或移出于其内或外。

对于矢量a，这是特殊情形。此时，我们可写出







i

ag



i





a

k

g

k







35

divTT

r

T

k

rj

g

j

g

k

(2.11.02)

若T为矢量a，则由式(2.10.10)知

2024年6月11日发(作者：仙凡波)

2.9 克里斯托弗尔符号

在基矢量组

g

1

，

g

2

，

g

3

中把



i

g

j

按下式分解



i

g

j



ijp

g

p

(2.9.01)



ij

k





i

g

j

g

k





i

g

j

g

kr

g

r

g

kr



i

g

j

g

r

g

kr



ijr

(2.9.08)

同样地，



ijk

g

kr



ij

r

(2.9.09)

(4)在直线坐标系中，



ijk

0

，



ij

k

0

(2.9.10)

事实上，因为在斜角和直角坐标系中基矢量

i

i

和

e

i

均为常量，故



ijk

0

和



ij

k

0

。



i

g

j



p

ij

g

p

(2.9.02)

(5)克里斯托弗尔符号可用度量张量表示。

这里分解系数



ijp

和



p

ij

分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔(Christoffel)符号。在某些文献中，

事实上，由于



g

ij,k





k

g

i

g

j







k

g

i

g

j

g

i





k

g

j



kij



kji

第一类和第二类克里斯托弗尔符号分别用



ij,p



和





p





表示。

对指标进行轮换，则有



ij



g

jk,i



ijk



ikj

用

g

k

g

ki,j



jki



jik

k

和

g

分别点乘式(2.9.01)和式(2.9.02)两边，则得

把式(2.9.12)和式(2.9.13)相加，再减去式(2.9.11)，则得



pp

ijp

gg

k



ijp



k



ijk





i

g

j

g

k

(2.9.03)



k

ij





k

i

g

j

g

(2.9.04)



1

ijk



2



g

jk,i

g

ki,j

g

ji,k



现述克里斯托弗尔符号的性质如下。

另外，

(1)克里斯托弗尔符号不是张量。



k

ij

g

kr



ijr



1

现以



k

2

g

kr



g

jr,i

g

ri,j

g

ij,r



'

ij

为例加以说明，设两个坐标系

y

i

和

y

i

间的变换系数为

A

i

i

和

A

i

i

'

，于是



k

'

k

'

k

'

k

(6)



r

ir





i



logg



i

'

j

'





i

'

g

j

'

g



i

'







A

j

j

'

g

j





A

k

g

A

j

k

'

'

事实上，由式(2.8.36)知，

j

'

A

k



i

'

g

j

g

k







i

'

A

j

j

'

g

k

A

k

k

g

j'

g

k

g



g

1

g

2

g

3



，故有

A

j

k

'

i

j

'

A

k

A

i

'



i

g

j

g

k









j



i

g



i



g

1

g

2

g

3



i

'

A

j

'



A

k

'

j

A

i

A

j

A

k

'

k

A

j

k

'







i

g

1

g

2

g

3







g

1



i

g

2

g

3







g

1

g

2



i

g

3



i

'

j' k



ij







i

'

j

'



A

j

(2.9.05)



rrr

i1



g

r

g

2

g

3





i2



g

1

g

r

g

3





i3



g

1

g

2

g

r



由于上式中右边第二项的存在，说明



k

ij

不是张量。同样，可证



ijk

也不是张量。



r

ir



g

r

g

2

g

3



(2)



ijk

和



k

ij

关于指标i和j对称。



r

事实上，由于

ir

g



ijk





i

g

j

g

k





i



P

,j



g

k

p

,ji

g

k

(2.9.06)

由此可得

和



r

g

ir





i





i



logg





ijk

P

,ij

g

k

(2.9.07)

g

根据偏导数的性质，

P

,ij

ijkjik

ij

kk

,ji

P

，故有



。同样地，



ji

。

(7)由于



kk

l

g

j

g

，故有

(3)



ijk

和



k

ij

的指标可用度量张量升降。



i



g

k

j

g







i

g

j

g

k





k

i

gg

j

0

事实上，

于是

34

(2.9.11)

(2.9.12)

(2.9.13)

(2.9.14)

(2.9.15)

(2.9.16)

(2.9.17)

(2.9.18)

(2.9.19)



i

g

k

g

j



ij

k

(2.9.20)



i

g

j



ip

j

g

p

(2.9.21)

kp

g

i



i

a

k

g

k

a

k



ip

g

p





i

a

k

a

p



ik

g

i

g

k











i

a

k

g

i

g

k

(2.10.07)

这里



i

a

k

a

k;i

a

ki

k

(2.10.08)





i

a

k

a

p



ip

2.10 协变导数逆变导数

在曲线坐标系下，哈密顿算子定义为

称为协变矢量

a

k

的协变导数。

另一方面，我们也可以写出

g

r



r

(2.10.01)

1.协变导数

设T为任意张量，则

T

构成新的张量，称为T的梯度。为简单起见，现以

TTg

i

g

j

g

为例给出它的梯度的并矢形式如下：

ij

k

k





k





ag



i



ag

k







i

g

i



i

a

k

g

k

a

k



ik

p

g

p

k





i

a

k

a

p



ip

g

i

g

k













ij





k



t

Tg



t



T

k

g

i

g

j

g























ijij

tkkk



g





t

T

k

g

i

g

j

gT

k



t

g

i

g

j

gg

i



t

g

j

gg

i

g

j



t

g

k















k

g

t



t

T

k

ij

g

i

g

j

g

k

T

k

ij



ti

p

g

p

g

j

g

k



tj

p

g

i

g

p

g

k



tp

g

i

g

j

g

p

iij





t

T

k

ij



tp

T

k

pj



tp

j

T

k

ip



tk

p

T

p

g

t

g

i

g

j

g

k



i

a

k

g

i

g

k

(2.10.09)

这里

k



i

a

k

a

;

k

i

a

k

i

k

(2.10.10)





i

a

k

a

p



ip













称为逆变矢量

a

的协变导数。

2.逆变导数

由于协变导数的指标是张量指标，故可应用逆变度量张量把它的指标升高而得到逆变导数如

下：



t

T

k

ij

g

t

g

i

g

j

g

k

(2.10.02)

其中

iij



t

T

k

ij





t

T

k

ij



tp

(2.10.03)

T

k

pj



tp

j

T

k

ip



tk

p

T

p



r

T

k

ij

g

r



t

T

k

ij

(2.10.11)

称为张量

T

ijk

的协变导数。在某些文献中，有的把协变导数写成

2.11 不变性微分算子

任意张量T(为书写简单起见，以三阶混合张量为例)在曲线坐标系下的不变性微分算子定义

如下。

1.梯度



t

T

k

ij

T

k

ij

;

t

(2.10.04)

或



t

T

k

ij

T

k

ij

t

(2.10.05)

ijk

不难证明下列结果：



t

g

ij

0

，



t

g

ij

0

，



t



i

j



，



t



t

0

，



t



ijk

0

(2.10.06)

gradTT

r

T

k

ij

g

r

g

i

g

j

g

k

(2.11.01)

2.散度

可见，度量张量和爱丁顿张量对于



t

或



有如常数可以移进或移出于其内或外。

对于矢量a，这是特殊情形。此时，我们可写出







i

ag



i





a

k

g

k







35

divTT

r

T

k

rj

g

j

g

k

(2.11.02)

若T为矢量a，则由式(2.10.10)知