2024年6月11日发(作者：韩春)
Black-Scholes期权定价模型
摘要
：
期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题之一。第一个完整的期权定价模型由Fisher Black和
Myron Scholes创立并于1973年公之于世。B—S期权定价模型发表的时间和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准化
期权合约几乎是同时。不久，德克萨斯仪器公司就推出了装有根据这一模型计算期权价值程序的计算器。现在，
几乎所有从事期权交易的经纪人都持有各家公司出品的此类计算机，利用按照这一模型开发的程序对交易估价。
这项工作对金融创新和各种新兴金融产品的面世起到了重大的推动作用。有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟
最早采用的方法，至今仍被广泛运用，该方法是一种直接将微分问题变为代数 问题的近似数值解法，数学概念
直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
关键词：
期权定价；有限差分方法
一、引言
期权，也即期货合约的选择权，指的是其购买者在交付一定数量的权利金之后，所拥有的在未来一定时间内
以一定价格买进或卖出一定数量相关商品合约（不论是实物商品，金融证券或期货）的权利，但不负有必须买进
或卖出的义务。在国际衍生金融市场的形成发展过程中，期权的合理定价是困扰投资者的一大难题。随着计算机、
先进通讯技术的应用，复杂期权定价公式的运用成为可能。在过去的20年中，投资者通过运用布莱克——斯克尔
斯期权定价模型，将这一抽象的数字公式转变成了大量的财富。
二、期权定价
（一）期权定价的概念
期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来允许的时间买或卖一定数量的基础商品(underlying
-assets)的选择权。期权价格是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的
盈亏状况，是期权交易的核心问题。早在1900年法国金融专家劳雷斯·巴舍利耶就发表了第一篇关于期权定价的
文章。此后，各种经验公式或计量定价模型纷纷面世，但因种种局限难于得到普遍认同。70年代以来，伴随着期
权市场的迅速发展，期权定价理论的研究取得了突破性进展。
（二）期权定价理论基本思想
1.金融交易的核心技术是对所交易的金融工具进行正确的估值和定价。交易者既担心错估金融工具的价值 ,
又担心未估计到的因素使价格背离估值和期望值。
2.金融衍生物的价值依附于其标的物 ,其价格却受制于并反作用于标的物的价格。金融衍生物如期货、远期
等用于基本金融工具和金融现货反向交易手法 ,可规避风险免除交易者的担心。股票期权是股票现货的衍生物 ,
分为“看涨期权”和“看跌期权”两种。例如 ,一个持有福特汽车公司股票的投资者可能担心股票在未来几个月
会下跌 ,于是就购买其“看跌期权”,这样他将来就有权以事先协定的价格出售股票。如果这种股票的价格真的
下跌 ,那么投资者就可以事先协定的较高价位售出该股票而获得利润。若股票价格上升 ,期权就变得分文不值 ,
但投资者只是损失了购买期权的少量期权费 ,却在股票上获利。但大量的投机者往往脱离基本金融工具和金融现
货的基础进行投机交易 ,而这种交易又只需交纳少量保证金即可博取大量交易 ,所以风险大且频繁。
3.期权的“或有性”可防范其他金融衍生工具的风险 ,但又使他的估值和定价非常复杂和困难。所谓“或有”
即是在所期望的情况发生时 ,行使其对标的物的买权或卖权才有意义。期权的作用一是保险 :买者可以一个可能
性很大的小损失换取一个可能性很小的大收入 ,卖者可以一个可能性很大的小收益换取一个可能性很大的小损
失 ;二是转移风险 :期权购买者有利则履约 ,无利则不履约。期权卖者以权利金弥补接受履约的损失 ,若不需接
受履约 ,则净赚期权费。期权是对标的物的买权或卖权 ,期权交易是对标的物的买权或卖权进行竞价。期权并不
直接代表其期权定价理论及其运用标的物 ,所以其定价和估值不能直接依据其标的物的价格和价值。期权既然是
一种权利 ,那么就有一种时间价值和内涵价值。“有权不用 ,过期作废”,是指权利的时间价值。有效期时间越
长 ,权利的时间价值越大。“谁的官大 ,就听谁的”,是指权利的内涵价值。“官位”(标的物价格 )越高 ,权利
的内涵价值越大。从“官位”看 ,期权的内涵价值与其标的物价格和价值是相关的 ,但为非线形相关 ;而时间价
值既与有效期时间的长短有关 ,也与在有效期内竞争状况和获利时机的把握有关。所以期权的定价要用到随机过
程和随机微分方程等相当艰深的数学工具 ,因此非常困难。
4.期权的风险在标的物的价格及其运动中就得到反映 ,而且标的物的价格还反映了市场对未来的预期。刻画
标的物的价格运动规律既是研究期权定价的出发点又是关键。经典的期权分为欧式期权和美式期权 ,欧式期权在
到期日才可执行 ,美式期权在到期日之前的任何一天都可以执行。他们的原始研究是面向以不分红股票作为标的
物的欧式期权。在对标的物的特性、期权及标的物的交易规则给出一系列的假设条件后 ,对作为标的物的股票价
格运动的规律作了一个基本的假定 :即股票价格的运动是连续变化的 ,遵循一种称作带漂移的几何布朗运动规
律 ,在数学上则表现为称作伊藤过程的随机过程。布莱克和斯科尔斯用期权、标的物股票、和一种无风险证券构
筑成一个无套利均衡组合头寸。这个组合头寸要不断地进行动态调整才能保持住无套利均衡的条件。依据伊藤过
程的研究结果 ,他们建立起 Black-Scholes随机微分方程。这个随机微分方程刻画了动态调整组合头寸保持无套
利均衡的规律。按照期权到期时的情况 ,可以定出这个随机微分方程的终端条件 ,再倒向解出这个微分方程的初
始值的表达式 ,就得出期权定价公式。一种方法是对基础金融资产在期权有效期内的价格变动作出假定，进而估
计期权到期时的预期价格。利用这种方法对期权定价就是著名的布莱克—斯科尔斯模型。
另一种定价方法是在出售期权时，设计一种无风险保值方案，然后根据基础金融资产市场价格的变化，对这
种保值方案不断进行调整，直至期权到期。这种期权定价方法就是所谓的“双向式模型”。
（三）期权定价的基本方法
—Scholes公式
1.1、B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件
2024年6月11日发(作者：韩春)
Black-Scholes期权定价模型
摘要
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期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题之一。第一个完整的期权定价模型由Fisher Black和
Myron Scholes创立并于1973年公之于世。B—S期权定价模型发表的时间和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准化
期权合约几乎是同时。不久，德克萨斯仪器公司就推出了装有根据这一模型计算期权价值程序的计算器。现在，
几乎所有从事期权交易的经纪人都持有各家公司出品的此类计算机，利用按照这一模型开发的程序对交易估价。
这项工作对金融创新和各种新兴金融产品的面世起到了重大的推动作用。有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟
最早采用的方法，至今仍被广泛运用，该方法是一种直接将微分问题变为代数 问题的近似数值解法，数学概念
直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
关键词：
期权定价；有限差分方法
一、引言
期权，也即期货合约的选择权，指的是其购买者在交付一定数量的权利金之后，所拥有的在未来一定时间内
以一定价格买进或卖出一定数量相关商品合约（不论是实物商品，金融证券或期货）的权利，但不负有必须买进
或卖出的义务。在国际衍生金融市场的形成发展过程中，期权的合理定价是困扰投资者的一大难题。随着计算机、
先进通讯技术的应用，复杂期权定价公式的运用成为可能。在过去的20年中，投资者通过运用布莱克——斯克尔
斯期权定价模型，将这一抽象的数字公式转变成了大量的财富。
二、期权定价
（一）期权定价的概念
期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来允许的时间买或卖一定数量的基础商品(underlying
-assets)的选择权。期权价格是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的
盈亏状况，是期权交易的核心问题。早在1900年法国金融专家劳雷斯·巴舍利耶就发表了第一篇关于期权定价的
文章。此后，各种经验公式或计量定价模型纷纷面世，但因种种局限难于得到普遍认同。70年代以来，伴随着期
权市场的迅速发展，期权定价理论的研究取得了突破性进展。
（二）期权定价理论基本思想
1.金融交易的核心技术是对所交易的金融工具进行正确的估值和定价。交易者既担心错估金融工具的价值 ,
又担心未估计到的因素使价格背离估值和期望值。
2.金融衍生物的价值依附于其标的物 ,其价格却受制于并反作用于标的物的价格。金融衍生物如期货、远期
等用于基本金融工具和金融现货反向交易手法 ,可规避风险免除交易者的担心。股票期权是股票现货的衍生物 ,
分为“看涨期权”和“看跌期权”两种。例如 ,一个持有福特汽车公司股票的投资者可能担心股票在未来几个月
会下跌 ,于是就购买其“看跌期权”,这样他将来就有权以事先协定的价格出售股票。如果这种股票的价格真的
下跌 ,那么投资者就可以事先协定的较高价位售出该股票而获得利润。若股票价格上升 ,期权就变得分文不值 ,
但投资者只是损失了购买期权的少量期权费 ,却在股票上获利。但大量的投机者往往脱离基本金融工具和金融现
货的基础进行投机交易 ,而这种交易又只需交纳少量保证金即可博取大量交易 ,所以风险大且频繁。
3.期权的“或有性”可防范其他金融衍生工具的风险 ,但又使他的估值和定价非常复杂和困难。所谓“或有”
即是在所期望的情况发生时 ,行使其对标的物的买权或卖权才有意义。期权的作用一是保险 :买者可以一个可能
性很大的小损失换取一个可能性很小的大收入 ,卖者可以一个可能性很大的小收益换取一个可能性很大的小损
失 ;二是转移风险 :期权购买者有利则履约 ,无利则不履约。期权卖者以权利金弥补接受履约的损失 ,若不需接
受履约 ,则净赚期权费。期权是对标的物的买权或卖权 ,期权交易是对标的物的买权或卖权进行竞价。期权并不
直接代表其期权定价理论及其运用标的物 ,所以其定价和估值不能直接依据其标的物的价格和价值。期权既然是
一种权利 ,那么就有一种时间价值和内涵价值。“有权不用 ,过期作废”,是指权利的时间价值。有效期时间越
长 ,权利的时间价值越大。“谁的官大 ,就听谁的”,是指权利的内涵价值。“官位”(标的物价格 )越高 ,权利
的内涵价值越大。从“官位”看 ,期权的内涵价值与其标的物价格和价值是相关的 ,但为非线形相关 ;而时间价
值既与有效期时间的长短有关 ,也与在有效期内竞争状况和获利时机的把握有关。所以期权的定价要用到随机过
程和随机微分方程等相当艰深的数学工具 ,因此非常困难。
4.期权的风险在标的物的价格及其运动中就得到反映 ,而且标的物的价格还反映了市场对未来的预期。刻画
标的物的价格运动规律既是研究期权定价的出发点又是关键。经典的期权分为欧式期权和美式期权 ,欧式期权在
到期日才可执行 ,美式期权在到期日之前的任何一天都可以执行。他们的原始研究是面向以不分红股票作为标的
物的欧式期权。在对标的物的特性、期权及标的物的交易规则给出一系列的假设条件后 ,对作为标的物的股票价
格运动的规律作了一个基本的假定 :即股票价格的运动是连续变化的 ,遵循一种称作带漂移的几何布朗运动规
律 ,在数学上则表现为称作伊藤过程的随机过程。布莱克和斯科尔斯用期权、标的物股票、和一种无风险证券构
筑成一个无套利均衡组合头寸。这个组合头寸要不断地进行动态调整才能保持住无套利均衡的条件。依据伊藤过
程的研究结果 ,他们建立起 Black-Scholes随机微分方程。这个随机微分方程刻画了动态调整组合头寸保持无套
利均衡的规律。按照期权到期时的情况 ,可以定出这个随机微分方程的终端条件 ,再倒向解出这个微分方程的初
始值的表达式 ,就得出期权定价公式。一种方法是对基础金融资产在期权有效期内的价格变动作出假定，进而估
计期权到期时的预期价格。利用这种方法对期权定价就是著名的布莱克—斯科尔斯模型。
另一种定价方法是在出售期权时，设计一种无风险保值方案，然后根据基础金融资产市场价格的变化，对这
种保值方案不断进行调整，直至期权到期。这种期权定价方法就是所谓的“双向式模型”。
（三）期权定价的基本方法
—Scholes公式
1.1、B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件