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完整word版概率论公式总结

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2024年7月15日发(作者:司空令婧)

概率论与数理统计

1

章随机事件及其概率

加法公式

P (A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

P(AB)

=

0

时,

P(A+B)=P(A)+P(B)

P (A-B)=P(A)-P(AB)

B A

时,

P(A-B)=P(A)-P(B)

减法公式

A=Q

时,

P(

B

)=1- P(B)

乘法公式:

P (AB) P(A) P(B/A)

乘法公式

更一般地,对事件

A, A,

A,

P (A

1

A

2

A

n-1

)> 0

,则有

P(A

1

A

2

A

n

) P(A

1

) P(A

2

| A

1

) P(A

3

| A

1

A

2

) ...... P (A

n

| A

1

A

2

A

n 1

)

① 两个事件的独立性

设事件

A

B

满足

P(A)

,则有

独立性

0

P(AB) P(A)P(B)

,则称事件

A

B

是相互独立的。 若事件

A

B

相互独立,

P(B|A)

P(AB) P(A)P(B)

P(B)

P(A)

② 多个事件的独立性

P(A)

ABC

是三个事件,如果满足两两独立的条件,

P(AB)=P(A)P(B)

;

P(BC)=P(B)P(C)

;

P(CA)=P(C)P(A)

并且同时满足

P(ABC)=P(A)P(B)P(C

)

全概公式

P(A) P(B

1

)P(A|B

1

)P(B

2

)P(A|B

2

)

P(B

i

/A)

n

P

P(B

n

)P(A|B

n

)

(B

i

)(

i

)

i=1

2

,.

n

PA/B

P(B

j

) P(A/B

j

)

j 1

此公式即为贝叶斯公式。

贝叶斯公 式

P(B

i

)

, (

i 1

,

2

,…,),通常叫先验概率。

P(B

j

/A)

, (

i 1

,

2

,…,

n

n

),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了 “因果”的概率规律,并作出了

“由果朔因”的推断。

第二章随机变量及其分布

连续型 随

机 量的

布密度

x

F(x)

是随机变量

X

的分布函数,若存在非负函数

则称

X

为连续型随机变量。

函数或密度函数,简称概率密度。

f(x)

,对任意实数

x

,有

称为

X

的概率密度

f (x)

F(x) f (x)dx

密度函数具有下面性质:

中所起的作用与

P(X

f(

X)

0

f(x)dx 1

P(X x) P(x X x dx) f (x)dx

积分元

f (x)dx

在连续型随机变量理论

xk)

P

k

在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

-1 -

概率论与数理统计

0-1

分布

P (X=1)=P,P (X=0)=q

X

为随机变量,

x

是任意实数,则函数

F(x) P(X x)

称为随机变量

X

的分布函数,

本质上是一个累积函数。

P

在刃重贝努里试式验中:

b)

设事件

a) A

可以得到概率落入区间事件

,bA

发生

12n

率。分布函数

F(x)

表示随机变量是随区变量,设为内的概率。能取值为

O,,, ,

n

PX< k)

P°(k)F(C

是单

q

调不减的函数,

X

1

X

其时,有中

1.

0 F(x) 1,

(

5

)八

3

F( 1 )P,0imPF(%)k 00,1,2,F(,n ,)

lim F(x) 1

;

大分布

)

巳项分布

°

F(x)

,即

F(x

则是右连续机变量

5

X

服从参

X

数年衣)

F(x 0)

X

二(项。分对于离散

记为

P

随机变量,

F(x)

X

k

X

X - B(n, P)

。当

n 1

时,

P(X k)

P

k

;对于连续型随机变量, 。

F(X)

设随机变量

X

的分布律为

xp

;加 .,这

01

就是(

0-1

)分布,所以(

0-1

)分布是二项分布的特例。

P(X

k

泊松分布

k) —e

,

k!

则称随机变量

X

服从参数为

P( )

°

0

,

k 0,1,2

,

的泊松分布,记为

X ~ ()

超几何分布

P(X k)

C k o c

n k

k

0,1,2 ,l

C

C

M

?

N M f

1

l min(M,n) C

N

随机变量

X

服从参数为

n,N,M

的超几何分布,记为

H(n,N,M)

°

几何分布

P(X k)

k 1

q P,k 1,2,3,

,其中

pA0

,

q=1-p

°

G(P)

°

f

随机变量

X

服从参数为

P

的几何分布,记为

设随机变量

X

的值只落在

[a

,

1

b]

内,其密度函数

(X)

[a

,

b]

上为常数— —,即

均匀分布

b a

aw X

1

2

W b

时,

X

洛在区间

aw Xw b

1

f (X) b

---

(为,

X

2

)内的概率为

J

0,

a

其他

P(X

1

X X

2

)

X

2

X-

i

'

1

b a

-2 -

2024年7月15日发(作者:司空令婧)

概率论与数理统计

1

章随机事件及其概率

加法公式

P (A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

P(AB)

=

0

时,

P(A+B)=P(A)+P(B)

P (A-B)=P(A)-P(AB)

B A

时,

P(A-B)=P(A)-P(B)

减法公式

A=Q

时,

P(

B

)=1- P(B)

乘法公式:

P (AB) P(A) P(B/A)

乘法公式

更一般地,对事件

A, A,

A,

P (A

1

A

2

A

n-1

)> 0

,则有

P(A

1

A

2

A

n

) P(A

1

) P(A

2

| A

1

) P(A

3

| A

1

A

2

) ...... P (A

n

| A

1

A

2

A

n 1

)

① 两个事件的独立性

设事件

A

B

满足

P(A)

,则有

独立性

0

P(AB) P(A)P(B)

,则称事件

A

B

是相互独立的。 若事件

A

B

相互独立,

P(B|A)

P(AB) P(A)P(B)

P(B)

P(A)

② 多个事件的独立性

P(A)

ABC

是三个事件,如果满足两两独立的条件,

P(AB)=P(A)P(B)

;

P(BC)=P(B)P(C)

;

P(CA)=P(C)P(A)

并且同时满足

P(ABC)=P(A)P(B)P(C

)

全概公式

P(A) P(B

1

)P(A|B

1

)P(B

2

)P(A|B

2

)

P(B

i

/A)

n

P

P(B

n

)P(A|B

n

)

(B

i

)(

i

)

i=1

2

,.

n

PA/B

P(B

j

) P(A/B

j

)

j 1

此公式即为贝叶斯公式。

贝叶斯公 式

P(B

i

)

, (

i 1

,

2

,…,),通常叫先验概率。

P(B

j

/A)

, (

i 1

,

2

,…,

n

n

),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了 “因果”的概率规律,并作出了

“由果朔因”的推断。

第二章随机变量及其分布

连续型 随

机 量的

布密度

x

F(x)

是随机变量

X

的分布函数,若存在非负函数

则称

X

为连续型随机变量。

函数或密度函数,简称概率密度。

f(x)

,对任意实数

x

,有

称为

X

的概率密度

f (x)

F(x) f (x)dx

密度函数具有下面性质:

中所起的作用与

P(X

f(

X)

0

f(x)dx 1

P(X x) P(x X x dx) f (x)dx

积分元

f (x)dx

在连续型随机变量理论

xk)

P

k

在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

-1 -

概率论与数理统计

0-1

分布

P (X=1)=P,P (X=0)=q

X

为随机变量,

x

是任意实数,则函数

F(x) P(X x)

称为随机变量

X

的分布函数,

本质上是一个累积函数。

P

在刃重贝努里试式验中:

b)

设事件

a) A

可以得到概率落入区间事件

,bA

发生

12n

率。分布函数

F(x)

表示随机变量是随区变量,设为内的概率。能取值为

O,,, ,

n

PX< k)

P°(k)F(C

是单

q

调不减的函数,

X

1

X

其时,有中

1.

0 F(x) 1,

(

5

)八

3

F( 1 )P,0imPF(%)k 00,1,2,F(,n ,)

lim F(x) 1

;

大分布

)

巳项分布

°

F(x)

,即

F(x

则是右连续机变量

5

X

服从参

X

数年衣)

F(x 0)

X

二(项。分对于离散

记为

P

随机变量,

F(x)

X

k

X

X - B(n, P)

。当

n 1

时,

P(X k)

P

k

;对于连续型随机变量, 。

F(X)

设随机变量

X

的分布律为

xp

;加 .,这

01

就是(

0-1

)分布,所以(

0-1

)分布是二项分布的特例。

P(X

k

泊松分布

k) —e

,

k!

则称随机变量

X

服从参数为

P( )

°

0

,

k 0,1,2

,

的泊松分布,记为

X ~ ()

超几何分布

P(X k)

C k o c

n k

k

0,1,2 ,l

C

C

M

?

N M f

1

l min(M,n) C

N

随机变量

X

服从参数为

n,N,M

的超几何分布,记为

H(n,N,M)

°

几何分布

P(X k)

k 1

q P,k 1,2,3,

,其中

pA0

,

q=1-p

°

G(P)

°

f

随机变量

X

服从参数为

P

的几何分布,记为

设随机变量

X

的值只落在

[a

,

1

b]

内,其密度函数

(X)

[a

,

b]

上为常数— —,即

均匀分布

b a

aw X

1

2

W b

时,

X

洛在区间

aw Xw b

1

f (X) b

---

(为,

X

2

)内的概率为

J

0,

a

其他

P(X

1

X X

2

)

X

2

X-

i

'

1

b a

-2 -

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