2024年7月15日发(作者:司空令婧)
概率论与数理统计
第
1
章随机事件及其概率
加法公式
P (A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当
P(AB)
=
0
时,
P(A+B)=P(A)+P(B)
P (A-B)=P(A)-P(AB)
当
B A
时,
P(A-B)=P(A)-P(B)
减法公式
当
A=Q
时,
P(
B
)=1- P(B)
乘法公式:
P (AB) P(A) P(B/A)
乘法公式
更一般地,对事件
A, A,
…
A,
若
P (A
1
A
2
…
A
n-1
)> 0
,则有
P(A
1
A
2
…
A
n
) P(A
1
) P(A
2
| A
1
) P(A
3
| A
1
A
2
) ...... P (A
n
| A
1
A
2
…
A
n 1
)
① 两个事件的独立性
设事件
A
、
B
满足
且
P(A)
,则有
独立性
0
P(AB) P(A)P(B)
,则称事件
A
、
B
是相互独立的。 若事件
A
、
B
相互独立,
P(B|A)
P(AB) P(A)P(B)
P(B)
P(A)
② 多个事件的独立性
P(A)
设
ABC
是三个事件,如果满足两两独立的条件,
P(AB)=P(A)P(B)
;
P(BC)=P(B)P(C)
;
P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足
P(ABC)=P(A)P(B)P(C
)
全概公式
P(A) P(B
1
)P(A|B
1
)P(B
2
)P(A|B
2
)
P(B
i
/A)
n
P
P(B
n
)P(A|B
n
)
。
(B
i
)(
i
)
,
i=1
,
2
,.
n
。
PA/B
P(B
j
) P(A/B
j
)
j 1
此公式即为贝叶斯公式。
贝叶斯公 式
P(B
i
)
, (
i 1
,
2
,…,),通常叫先验概率。
P(B
j
/A)
, (
i 1
,
2
,…,
n
n
),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了 “因果”的概率规律,并作出了
“由果朔因”的推断。
第二章随机变量及其分布
连续型 随
机 量的
布密度
x
设
F(x)
是随机变量
X
的分布函数,若存在非负函数
则称
X
为连续型随机变量。
函数或密度函数,简称概率密度。
f(x)
,对任意实数
x
,有
称为
X
的概率密度
f (x)
F(x) f (x)dx
密度函数具有下面性质:
离
散
与
连
续
型
随
机
变
量
的
关
系
中所起的作用与
P(X
f(
X)
0
f(x)dx 1
P(X x) P(x X x dx) f (x)dx
。
积分元
f (x)dx
在连续型随机变量理论
xk)
P
k
在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
-1 -
概率论与数理统计
0-1
分布
P (X=1)=P,P (X=0)=q
设
X
为随机变量,
x
是任意实数,则函数
F(x) P(X x)
称为随机变量
X
的分布函数,
本质上是一个累积函数。
P
在刃重贝努里试式验中:
b)
设事件
a) A
可以得到概率落入区间事件
,bA
发生
12n
率。分布函数
F(x)
表示随机变量是随区变量,设为内的概率。能取值为
O,,, ,
。
n
PX< k)
;
P°(k)F(C
是单
q
调不减的函数,
X
1
X
其时,有中
1.
0 F(x) 1,
即
(
5
)八
3
F( 1 )P,0imPF(%)k 00,1,2,F(,n ,)
lim F(x) 1
;
大分布
)
巳项分布
°
F(x)
,即
F(x
则是右连续机变量
5
X
服从参
X
数年衣)
F(x 0)
的
X
二(项。分对于离散
记为
P
随机变量,
F(x)
X
k
X
X - B(n, P)
。当
n 1
时,
P(X k)
P
k
;对于连续型随机变量, 。
F(X)
设随机变量
X
的分布律为
xp
;加 .,这
01
就是(
0-1
)分布,所以(
0-1
)分布是二项分布的特例。
P(X
k
泊松分布
k) —e
,
k!
则称随机变量
畫
X
服从参数为
者
P( )
°
0
,
k 0,1,2
,
的泊松分布,记为
X ~ ()
或
超几何分布
P(X k)
C k o c
n k
k
0,1,2 ,l
C
C
M
?
N M f
1
l min(M,n) C
N
随机变量
X
服从参数为
n,N,M
的超几何分布,记为
H(n,N,M)
°
几何分布
P(X k)
k 1
q P,k 1,2,3,
,其中
pA0
,
q=1-p
°
G(P)
°
f
随机变量
X
服从参数为
P
的几何分布,记为
设随机变量
X
的值只落在
[a
,
1
b]
内,其密度函数
(X)
在
[a
,
b]
上为常数— —,即
均匀分布
b a
当
aw X
1
2 W b 时, X 洛在区间 aw Xw b 1 f (X) b --- (为, X 2 )内的概率为 J 0, a 其他 P(X 1 X X 2 ) X 2 X- i ' 1 b a -2 -
2024年7月15日发(作者:司空令婧)
概率论与数理统计
第
1
章随机事件及其概率
加法公式
P (A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当
P(AB)
=
0
时,
P(A+B)=P(A)+P(B)
P (A-B)=P(A)-P(AB)
当
B A
时,
P(A-B)=P(A)-P(B)
减法公式
当
A=Q
时,
P(
B
)=1- P(B)
乘法公式:
P (AB) P(A) P(B/A)
乘法公式
更一般地,对事件
A, A,
…
A,
若
P (A
1
A
2
…
A
n-1
)> 0
,则有
P(A
1
A
2
…
A
n
) P(A
1
) P(A
2
| A
1
) P(A
3
| A
1
A
2
) ...... P (A
n
| A
1
A
2
…
A
n 1
)
① 两个事件的独立性
设事件
A
、
B
满足
且
P(A)
,则有
独立性
0
P(AB) P(A)P(B)
,则称事件
A
、
B
是相互独立的。 若事件
A
、
B
相互独立,
P(B|A)
P(AB) P(A)P(B)
P(B)
P(A)
② 多个事件的独立性
P(A)
设
ABC
是三个事件,如果满足两两独立的条件,
P(AB)=P(A)P(B)
;
P(BC)=P(B)P(C)
;
P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足
P(ABC)=P(A)P(B)P(C
)
全概公式
P(A) P(B
1
)P(A|B
1
)P(B
2
)P(A|B
2
)
P(B
i
/A)
n
P
P(B
n
)P(A|B
n
)
。
(B
i
)(
i
)
,
i=1
,
2
,.
n
。
PA/B
P(B
j
) P(A/B
j
)
j 1
此公式即为贝叶斯公式。
贝叶斯公 式
P(B
i
)
, (
i 1
,
2
,…,),通常叫先验概率。
P(B
j
/A)
, (
i 1
,
2
,…,
n
n
),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了 “因果”的概率规律,并作出了
“由果朔因”的推断。
第二章随机变量及其分布
连续型 随
机 量的
布密度
x
设
F(x)
是随机变量
X
的分布函数,若存在非负函数
则称
X
为连续型随机变量。
函数或密度函数,简称概率密度。
f(x)
,对任意实数
x
,有
称为
X
的概率密度
f (x)
F(x) f (x)dx
密度函数具有下面性质:
离
散
与
连
续
型
随
机
变
量
的
关
系
中所起的作用与
P(X
f(
X)
0
f(x)dx 1
P(X x) P(x X x dx) f (x)dx
。
积分元
f (x)dx
在连续型随机变量理论
xk)
P
k
在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
-1 -
概率论与数理统计
0-1
分布
P (X=1)=P,P (X=0)=q
设
X
为随机变量,
x
是任意实数,则函数
F(x) P(X x)
称为随机变量
X
的分布函数,
本质上是一个累积函数。
P
在刃重贝努里试式验中:
b)
设事件
a) A
可以得到概率落入区间事件
,bA
发生
12n
率。分布函数
F(x)
表示随机变量是随区变量,设为内的概率。能取值为
O,,, ,
。
n
PX< k)
;
P°(k)F(C
是单
q
调不减的函数,
X
1
X
其时,有中
1.
0 F(x) 1,
即
(
5
)八
3
F( 1 )P,0imPF(%)k 00,1,2,F(,n ,)
lim F(x) 1
;
大分布
)
巳项分布
°
F(x)
,即
F(x
则是右连续机变量
5
X
服从参
X
数年衣)
F(x 0)
的
X
二(项。分对于离散
记为
P
随机变量,
F(x)
X
k
X
X - B(n, P)
。当
n 1
时,
P(X k)
P
k
;对于连续型随机变量, 。
F(X)
设随机变量
X
的分布律为
xp
;加 .,这
01
就是(
0-1
)分布,所以(
0-1
)分布是二项分布的特例。
P(X
k
泊松分布
k) —e
,
k!
则称随机变量
畫
X
服从参数为
者
P( )
°
0
,
k 0,1,2
,
的泊松分布,记为
X ~ ()
或
超几何分布
P(X k)
C k o c
n k
k
0,1,2 ,l
C
C
M
?
N M f
1
l min(M,n) C
N
随机变量
X
服从参数为
n,N,M
的超几何分布,记为
H(n,N,M)
°
几何分布
P(X k)
k 1
q P,k 1,2,3,
,其中
pA0
,
q=1-p
°
G(P)
°
f
随机变量
X
服从参数为
P
的几何分布,记为
设随机变量
X
的值只落在
[a
,
1
b]
内,其密度函数
(X)
在
[a
,
b]
上为常数— —,即
均匀分布
b a
当
aw X
1
2 W b 时, X 洛在区间 aw Xw b 1 f (X) b --- (为, X 2 )内的概率为 J 0, a 其他 P(X 1 X X 2 ) X 2 X- i ' 1 b a -2 -