2024年8月26日发(作者：逯彩)

2007年上海高考理科数学真题及答案

考生注意：

1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．

2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将

答案直接写在试卷上．

一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对

得4分，否则一律得零分．

1．函数

y



lg(4



x)

的定义域是 ．

x



3

2．若直线

l

1

：2xmy10

与直线

l

2

：y3x1

平行，则

m

．

3．函数

f(x)



x

的反函数

f

x



1



1

(x)

．

4．方程

9

x

63

x

70

的解是 ．

5．若

x

，

y

R

+

，且

x4y1

，则

xy

的最大值是 ．

6．函数

y



sin



x







π



π





sin



x





的最小正周期

T

．

3



2



7．在五个数字

1，，，，2345

中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是

（结果用数值表示）．

x

2

y

2

8．以双曲线

1

的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是

45

．

9．对于非零实数

a，b

，以下四个命题都成立：

①

a



1

0

； ②

(ab)

2

a

2

2abb

2

；

a

2

③ 若

|a||b|

，则

ab

； ④ 若

aab

，则

ab

．

那么，对于非零复数

a，b

，仍然成立的命题的所有序号是 ．

10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知



，



是两个

相交平面，空间两条直线

l

1

，l

2

在



上的射影是直线

s

1

，s

2

，

l

1

，l

2

在



上的射影是

直线

t

1

，t

2

．用

s

1

与

s

2

，

t

1

与

t

2

的位置关系，写出一个总能确定

l

1

与

l

2

是异

面直线的充分条件：

．

11．已知

P

为圆

x(y1)1

上任意

一点（原点

O

除外），直线

OP

的倾斜角为



弧度，记

d|OP|

．

在右侧的坐标系中，画出以

(



，d)

为坐标的点的轨迹的大致图形为

二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D的四个

结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选

对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零

分．

12．已知

a，bR

，且

2ai,

2

22

bi

（

i

是虚数单位）是实系数一元二次方程

xpxq0

的两个根，那么

p，q

的值分别是（　　）

Ａ．

p4，q5

Ｃ．

p4，q5

Ｂ．

p4，q3

Ｄ．

p4，q3

13．设

a，b

是非零实数，若

ab

，则下列不等式成立的是（　　）

Ａ．

ab

Ｂ．

ab



ab

Ｃ．

2222



14．直角坐标系

xOy

中，

i，j

分别是与

x，y

轴正方向同向的单位向量．在直角三角形

11ba



Ｄ．

22

ab

abab

ABC

中，若

AB2ij,



AC3ikj

，则

k

的可能值个数是（　　）

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4

15．设

f(x)

是定义在正整数集上的函数，且

f(x)

满足：“当

f(k)≥k

2

成立时，总可推

出

f(k1)≥

(k1)

成立”．那么，下列命题总成立的是（　　）

Ａ．若

f(3)≥9

成立，则当

k≥1

时，均有

f(k)≥k

2

成立

Ｂ．若

f(5)≥25

成立，则当

k≤5

时，均有

f(k)≥k

2

成立

2

Ｃ．若

f(7)49

成立，则当

k≥8

时，均有

f(k)k

成立

Ｄ．若

f(4)25

成立，则当

k≥4

时，均有

f(k)≥k

2

成立

三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

16．（本题满分12分）

如图，在体积为1的直三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，

ACB90,

直线

A

1

B

与平面

BB

1

C

1

C

所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

17．（本题满分14分）



2

ACBC1

．求

C

1

B

1

A

1

C

B

A

在

△ABC

中，

a，b，c

分别是三个内角

A，B，C

的对边．若

a2,C

π

，

4

cos

B25

，求

△ABC

的面积

S

．



25

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670

兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003

年的年生产量的增长率为36%）．

（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；

（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安

装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010

年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太

阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

已知函数

f

(

x

)

x



2

a

x

(x0

，常数

aR)

．

（1）讨论函数

f(x)

的奇偶性，并说明理由；

（2）若函数

f(x)

在

x[2，)

上为增函数，求

a

的取值范围．

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小

题满分9分．

如果有穷数列

a

1

，a

2

，a

3

，，a

n

（

n

为正整数）满足条件

a

1

a

n

，

a

2



a

n1

，…，

，我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的

2，n

）

a

n



a

1

，即

a

i



a

ni1

（

i1，，

01m

，C

m

，，C

m

数列

C

m

就是“对称数列”．

（1）设



b

n



是项数为7的“对称数列”，其中

b

1

，b

2

，b

3

，b

4

是等差数列，且

b

1



2

，

b

4

11

．依次写出



b

n



的每一项；

（2）设



c

n



是项数为

2k1

(正整数

k1

)的“对称数列”，其中

c

k

，

c

k



1

，，

c

2k



1

是首项

为

50

，公差为

4

的等差数列．记



c

n



各项的和为

S

2k1

．当

k

为何值时，

S

2k1

取得最大

值？并求出

S

2k1

的最大值；

（3）对于确定的正整数

m1

，写出所有项数不超过

2m

的“对称数列”，使得

；当

m1500

时，求其中一个“对称数列”前

2008

1

，，

22

2

，，

2

m1

依次是该数列中连续的项

项的和

S

2008

．

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

题满分8分．

x

2

y

2

y

2

x

2

我们把由半椭圆

2



2

1

(x≥0)

与半椭圆

2



2



1

(x≤0)

合成的曲线称作

abbc

“果圆”，其中

abc

，

a0

，

bc0

．

如图，点

F

0

，

F

1

，

F

2

是相应椭圆的焦点，

A

1

，

A

2

和

B

1

，

B

2

分别是“果圆”与

x

，

y

y

轴的交点．

B

2

（1）若

△F

0

F

1

F

2

是边长为1的等边三角形，求

“果圆”的方程；

222

.

F

A

1

O

2

b

（2）当

A

1

A

2



B

1

B

2

时，求的取值范围；

a

（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”

的弦．试研究：是否存在实数

k

，使斜率为

k

的“果圆”

.

.

F

0

A

2

x

F

1

B

1

平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的

k

值；若不存在，说明理

由．

2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）

数学试卷(理工农医类)答案要点

一、填空题（第1题至第11题）

1．

xx4且x3

5．



2．



2

3

3．

x

（

x

1）

x



1

4．

log

3

7

9．②④

1

2

6．

π

7．

0.3

8．

y

12(

x

3)

16

10．

s

1

//s

2

，并且

t

1

与

t

2

相交（

t

1

//t

2

，并且

s

1

与

s

2

相交）

11．

二、选择题（第12题至第15题）

题 号 12

答 案

三、解答题（第16题至第21题）

16．解法一： 由题意，可得体积

A

13

C

14

15

B D

C

1

B

1

11

VCC

1

S

△

ABC

CC

1

ACBCCC

1

1

，

22

A

1



AA

1

CC

1

2

．

连接

BC

1

．

A

1

C

1

B

1

C

1

，A

1

C

1

CC

1

，

C

B



A

1

C

1



平面

BB

1

C

1

C

，

A

1

BC

1

是直线

A

1

B

与平面

BB

1

C

1

C

所成的角．

BC

1



A

CC

1

BC

2

5

，

2



tan



A

1

BC

1



A

1

C

1

51

，则

A

1

BC

1

＝

arctan

．



5BC

1

5

即直线

A

1

B

与平面

BB

1

C

1

C

所成角的大小为

arctan

解法二： 由题意，可得

11

体积

V



CC

1



S



ABC



CC

1



AC



BC



CC

1



1

，

22

5

．

5

z

C

1

B

1

CC

1

2

，

如图，建立空间直角坐标系． 得点

B(0，1，0)

，



C

1

(0，，02)

，

A

1

(1，，02)

． 则

A

1

B(1

，

1

，

2)

，



平面

BB

1

C

1

C

的法向量为

n(1

，，

00)

．

A

1

C

B

y

x

A

设直线

A

1

B

与平面

BB

1

C

1

C

所成的角为



，

A

1

B

与

n

的夹角为



，



6

A

1

B



n

6

则

cos







，

sin



|cos



|,





6

6

A

1

B



n



arcsin

6

，

6

即直线

A

1

B

与平面

BB

1

C

1

C

所成角的大小为

arcsin

6

．

6

4

3

17．解： 由题意，得

cosB，B

为锐角，

sinB

，

5

5

sin

A

sin(π

BC

)



sin



由正弦定理得

c



3π



72

，

B







4



10

10

111048

，



SacsinB2

．

22757

7

18．解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为

36%

，

38%

，

40%

，

42%

．

则2006年全球太阳电池的年生产量为

6701.361.381.401.422499.8

(兆瓦)．

1420(1x)

4

≥

95%

． （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为

x

，则

2499.8(1



42%)

4

解得

x≥0.615

．

因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到

61.5%

．

19．解：（1）当

a0

时，

f(x)x

，

对任意

x(，0)(0，)

，

f

(

x

)



(

x

)

xf

(

x

)

，



22

2

f(x)

为偶函数．

当

a0

时，

f(x)



x

2



a

(a



0

，

x



0)

，

x

取

x1

，得

f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0

，

f(1)f(1)，f(1)f(1)

，



函数

f(x)

既不是奇函数，也不是偶函数．

（2）解法一：设

2≤x

1

x

2

，

f(x

1

)f(x

2

)x

1



2

(x



x

2

)

aa

2



x

1

x

2

(

x

1



x

2

)

a



，

x

2





1

x

1

x

2

x

1

x

2

要使函数

f(x)

在

x[2，)

上为增函数，必须

f(x

1

)f(x

2

)0

恒成立．

x

1

x

2

0，x

1

x

2

4

，即

ax

1

x

2

(x

1

x

2

)

恒成立．

又

x

1

x

2

4

，

x

1

x

2

(x

1

x

2

)16

．

a

的取值范围是

(，16]

．

解法二：当

a0

时，

f(x)x

，显然在

[2，)

为增函数．

当

a0

时，反比例函数

2

a

在

[2，)

为增函数，

x

f(x)x

2



a

在

[2，)

为增函数．

x

当

a0

时，同解法一．

20．解：（1）设



b

n



的公差为

d

，则

b

4

b

1



3

d

2



3

d

11

，解得

d3

，



数列



b

n



为

2，，，5811，，，852

．

（2）

S

2k1



c

1



c

2







c

k1



c

k



c

k1







c

2k1

2(c

k

c

k



1





c

2k



1

)c

k

，

S

2k



1

4(

k

13)41350

，



当

k13

时，

S

2k1

取得最大值．

22

S

2k1

的最大值为626．

（3）所有可能的“对称数列”是：

22

2

，，

2

m2

，

2

m1

，

2

m2

，，

2

2

，，

21

； ①

1

，，

22

2

，，

2

m2

，

2

m1

，

2

m1

，

2

m2

，，

2

2

，，

21

； ②

1

，，

2

m2

，，

2

2

，，

21

，，

22

2

，，

2

m2

，

2

m1

； ③

2

m1

，

2

m2

，，

2

2

，，

21

，

1

，，

22

2

，，

2

m2

，

2

m1

． ④

2

m1

，

对于①，当

m≥2008

时，

S

2008

1222

当

1500m≤2007

时，

S

2008



1



2







2



2



1



2

mm



1

22007

2

2008

1

．

m



2



2

m



1



2

m



2







2

2m



2009



2

2m



2009



2

m



2

m

1



2

2

m

2009



1

．

2008

对于②，当

m≥2008

时，

S

2008

2

当

1500m≤2007

时，

S

2008



2

1

．

m

1



2

2

m

2008



1

．

m



2008

对于③，当

m≥2008

时，

S

2008



2



2

当

1500m≤2007

时，

S

2008



2



2

m

m

m

．

2009

m



3

．

． 对于④，当

m≥2008

时，

S

2008



2



2

当

1500m≤2007

时，

S

2008



2



2

m

m



2008

2008

m



2

．

21． 解：（1）



F

0

(c，0)，F

1

0，b

2

c

2

，F

2

0，b

2

c

2

，

F

0

F

2













b

2

c

2



c

2

b1，F

1

F

2

2b

2

c

2

1

，

37

于是

c

2

，a

2

b

2

c

2



，所求“果圆”方程为

44

44

x

2

y

2

1(x≥0)

，

y

2

x

2

1(x≤0)

．

73

（2）由题意，得

ac2b

，即

ab2ba

．

(2b)bca

，

ab(2ba)

，得

2222222

22

b4



．

a5

b

2

1

b



24

又

b



c



a



b,



．





，



a



25

a

2

2



2222







．



x

2

y

2

y

2

x

2

（3）设“果圆”

C

的方程为

2



2



1(x

≥

0)

，

2



2



1(x

≤

0)

．

abbc

记平行弦的斜率为

k

．

x

2

y

2

当

k0

时，直线

yt(b≤t≤b)

与半椭圆

2



2



1(x

≥

0)

的交点是

ab



y

2

x

2

t

2



P



a1



2

，

t



，与半椭圆

2



2



1(x

≤

0)

的交点是

Q



bcb





a



ct

2



x





1



2

,



P，Q

的中点

M

(x，y)

满足



2b



y



t

，





t

2

t



．





c1



2

，



b



得







y

2



2

1

．

2

b

a



c





2



2

x

2

a



c



2ba



c



2b



a



c



2



a2b

，







b







0

．



22



2



综上所述，当

k0

时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．

x

2

y

2

当

k0

时，以

k

为斜率过

B

1

的直线

l

与半椭圆

2



2



1(x

≥

0)

的交点是

ab



2ka

2

bk

2

a

2

b



b

3



．

，

22



2222



ka



bka



b



b

2

由此，在直线

l

右侧，以

k

为斜率的平行弦的中点轨迹在直线

y



2

x

上，即不在

ka

某一椭圆上．

当

k0

时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．

2024年8月26日发(作者：逯彩)

2007年上海高考理科数学真题及答案

考生注意：

1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．

2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将

答案直接写在试卷上．

一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对

得4分，否则一律得零分．

1．函数

y



lg(4



x)

的定义域是 ．

x



3

2．若直线

l

1

：2xmy10

与直线

l

2

：y3x1

平行，则

m

．

3．函数

f(x)



x

的反函数

f

x



1



1

(x)

．

4．方程

9

x

63

x

70

的解是 ．

5．若

x

，

y

R

+

，且

x4y1

，则

xy

的最大值是 ．

6．函数

y



sin



x







π



π





sin



x





的最小正周期

T

．

3



2



7．在五个数字

1，，，，2345

中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是

（结果用数值表示）．

x

2

y

2

8．以双曲线

1

的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是

45

．

9．对于非零实数

a，b

，以下四个命题都成立：

①

a



1

0

； ②

(ab)

2

a

2

2abb

2

；

a

2

③ 若

|a||b|

，则

ab

； ④ 若

aab

，则

ab

．

那么，对于非零复数

a，b

，仍然成立的命题的所有序号是 ．

10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知



，



是两个

相交平面，空间两条直线

l

1

，l

2

在



上的射影是直线

s

1

，s

2

，

l

1

，l

2

在



上的射影是

直线

t

1

，t

2

．用

s

1

与

s

2

，

t

1

与

t

2

的位置关系，写出一个总能确定

l

1

与

l

2

是异

面直线的充分条件：

．

11．已知

P

为圆

x(y1)1

上任意

一点（原点

O

除外），直线

OP

的倾斜角为



弧度，记

d|OP|

．

在右侧的坐标系中，画出以

(



，d)

为坐标的点的轨迹的大致图形为

二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D的四个

结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选

对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零

分．

12．已知

a，bR

，且

2ai,

2

22

bi

（

i

是虚数单位）是实系数一元二次方程

xpxq0

的两个根，那么

p，q

的值分别是（　　）

Ａ．

p4，q5

Ｃ．

p4，q5

Ｂ．

p4，q3

Ｄ．

p4，q3

13．设

a，b

是非零实数，若

ab

，则下列不等式成立的是（　　）

Ａ．

ab

Ｂ．

ab



ab

Ｃ．

2222



14．直角坐标系

xOy

中，

i，j

分别是与

x，y

轴正方向同向的单位向量．在直角三角形

11ba



Ｄ．

22

ab

abab

ABC

中，若

AB2ij,



AC3ikj

，则

k

的可能值个数是（　　）

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4

15．设

f(x)

是定义在正整数集上的函数，且

f(x)

满足：“当

f(k)≥k

2

成立时，总可推

出

f(k1)≥

(k1)

成立”．那么，下列命题总成立的是（　　）

Ａ．若

f(3)≥9

成立，则当

k≥1

时，均有

f(k)≥k

2

成立

Ｂ．若

f(5)≥25

成立，则当

k≤5

时，均有

f(k)≥k

2

成立

2

Ｃ．若

f(7)49

成立，则当

k≥8

时，均有

f(k)k

成立

Ｄ．若

f(4)25

成立，则当

k≥4

时，均有

f(k)≥k

2

成立

三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

16．（本题满分12分）

如图，在体积为1的直三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，

ACB90,

直线

A

1

B

与平面

BB

1

C

1

C

所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

17．（本题满分14分）



2

ACBC1

．求

C

1

B

1

A

1

C

B

A

在

△ABC

中，

a，b，c

分别是三个内角

A，B，C

的对边．若

a2,C

π

，

4

cos

B25

，求

△ABC

的面积

S

．



25

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670

兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003

年的年生产量的增长率为36%）．

（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；

（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安

装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010

年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太

阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

已知函数

f

(

x

)

x



2

a

x

(x0

，常数

aR)

．

（1）讨论函数

f(x)

的奇偶性，并说明理由；

（2）若函数

f(x)

在

x[2，)

上为增函数，求

a

的取值范围．

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小

题满分9分．

如果有穷数列

a

1

，a

2

，a

3

，，a

n

（

n

为正整数）满足条件

a

1

a

n

，

a

2



a

n1

，…，

，我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的

2，n

）

a

n



a

1

，即

a

i



a

ni1

（

i1，，

01m

，C

m

，，C

m

数列

C

m

就是“对称数列”．

（1）设



b

n



是项数为7的“对称数列”，其中

b

1

，b

2

，b

3

，b

4

是等差数列，且

b

1



2

，

b

4

11

．依次写出



b

n



的每一项；

（2）设



c

n



是项数为

2k1

(正整数

k1

)的“对称数列”，其中

c

k

，

c

k



1

，，

c

2k



1

是首项

为

50

，公差为

4

的等差数列．记



c

n



各项的和为

S

2k1

．当

k

为何值时，

S

2k1

取得最大

值？并求出

S

2k1

的最大值；

（3）对于确定的正整数

m1

，写出所有项数不超过

2m

的“对称数列”，使得

；当

m1500

时，求其中一个“对称数列”前

2008

1

，，

22

2

，，

2

m1

依次是该数列中连续的项

项的和

S

2008

．

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

题满分8分．

x

2

y

2

y

2

x

2

我们把由半椭圆

2



2

1

(x≥0)

与半椭圆

2



2



1

(x≤0)

合成的曲线称作

abbc

“果圆”，其中

abc

，

a0

，

bc0

．

如图，点

F

0

，

F

1

，

F

2

是相应椭圆的焦点，

A

1

，

A

2

和

B

1

，

B

2

分别是“果圆”与

x

，

y

y

轴的交点．

B

2

（1）若

△F

0

F

1

F

2

是边长为1的等边三角形，求

“果圆”的方程；

222

.

F

A

1

O

2

b

（2）当

A

1

A

2



B

1

B

2

时，求的取值范围；

a

（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”

的弦．试研究：是否存在实数

k

，使斜率为

k

的“果圆”

.

.

F

0

A

2

x

F

1

B

1

平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的

k

值；若不存在，说明理

由．

2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）

数学试卷(理工农医类)答案要点

一、填空题（第1题至第11题）

1．

xx4且x3

5．



2．



2

3

3．

x

（

x

1）

x



1

4．

log

3

7

9．②④

1

2

6．

π

7．

0.3

8．

y

12(

x

3)

16

10．

s

1

//s

2

，并且

t

1

与

t

2

相交（

t

1

//t

2

，并且

s

1

与

s

2

相交）

11．

二、选择题（第12题至第15题）

题 号 12

答 案

三、解答题（第16题至第21题）

16．解法一： 由题意，可得体积

A

13

C

14

15

B D

C

1

B

1

11

VCC

1

S

△

ABC

CC

1

ACBCCC

1

1

，

22

A

1



AA

1

CC

1

2

．

连接

BC

1

．

A

1

C

1

B

1

C

1

，A

1

C

1

CC

1

，

C

B



A

1

C

1



平面

BB

1

C

1

C

，

A

1

BC

1

是直线

A

1

B

与平面

BB

1

C

1

C

所成的角．

BC

1



A

CC

1

BC

2

5

，

2



tan



A

1

BC

1



A

1

C

1

51

，则

A

1

BC

1

＝

arctan

．



5BC

1

5

即直线

A

1

B

与平面

BB

1

C

1

C

所成角的大小为

arctan

解法二： 由题意，可得

11

体积

V



CC

1



S



ABC



CC

1



AC



BC



CC

1



1

，

22

5

．

5

z

C

1

B

1

CC

1

2

，

如图，建立空间直角坐标系． 得点

B(0，1，0)

，



C

1

(0，，02)

，

A

1

(1，，02)

． 则

A

1

B(1

，

1

，

2)

，



平面

BB

1

C

1

C

的法向量为

n(1

，，

00)

．

A

1

C

B

y

x

A

设直线

A

1

B

与平面

BB

1

C

1

C

所成的角为



，

A

1

B

与

n

的夹角为



，



6

A

1

B



n

6

则

cos







，

sin



|cos



|,





6

6

A

1

B



n



arcsin

6

，

6

即直线

A

1

B

与平面

BB

1

C

1

C

所成角的大小为

arcsin

6

．

6

4

3

17．解： 由题意，得

cosB，B

为锐角，

sinB

，

5

5

sin

A

sin(π

BC

)



sin



由正弦定理得

c



3π



72

，

B







4



10

10

111048

，



SacsinB2

．

22757

7

18．解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为

36%

，

38%

，

40%

，

42%

．

则2006年全球太阳电池的年生产量为

6701.361.381.401.422499.8

(兆瓦)．

1420(1x)

4

≥

95%

． （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为

x

，则

2499.8(1



42%)

4

解得

x≥0.615

．

因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到

61.5%

．

19．解：（1）当

a0

时，

f(x)x

，

对任意

x(，0)(0，)

，

f

(

x

)



(

x

)

xf

(

x

)

，



22

2

f(x)

为偶函数．

当

a0

时，

f(x)



x

2



a

(a



0

，

x



0)

，

x

取

x1

，得

f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0

，

f(1)f(1)，f(1)f(1)

，



函数

f(x)

既不是奇函数，也不是偶函数．

（2）解法一：设

2≤x

1

x

2

，

f(x

1

)f(x

2

)x

1



2

(x



x

2

)

aa

2



x

1

x

2

(

x

1



x

2

)

a



，

x

2





1

x

1

x

2

x

1

x

2

要使函数

f(x)

在

x[2，)

上为增函数，必须

f(x

1

)f(x

2

)0

恒成立．

x

1

x

2

0，x

1

x

2

4

，即

ax

1

x

2

(x

1

x

2

)

恒成立．

又

x

1

x

2

4

，

x

1

x

2

(x

1

x

2

)16

．

a

的取值范围是

(，16]

．

解法二：当

a0

时，

f(x)x

，显然在

[2，)

为增函数．

当

a0

时，反比例函数

2

a

在

[2，)

为增函数，

x

f(x)x

2



a

在

[2，)

为增函数．

x

当

a0

时，同解法一．

20．解：（1）设



b

n



的公差为

d

，则

b

4

b

1



3

d

2



3

d

11

，解得

d3

，



数列



b

n



为

2，，，5811，，，852

．

（2）

S

2k1



c

1



c

2







c

k1



c

k



c

k1







c

2k1

2(c

k

c

k



1





c

2k



1

)c

k

，

S

2k



1

4(

k

13)41350

，



当

k13

时，

S

2k1

取得最大值．

22

S

2k1

的最大值为626．

（3）所有可能的“对称数列”是：

22

2

，，

2

m2

，

2

m1

，

2

m2

，，

2

2

，，

21

； ①

1

，，

22

2

，，

2

m2

，

2

m1

，

2

m1

，

2

m2

，，

2

2

，，

21

； ②

1

，，

2

m2

，，

2

2

，，

21

，，

22

2

，，

2

m2

，

2

m1

； ③

2

m1

，

2

m2

，，

2

2

，，

21

，

1

，，

22

2

，，

2

m2

，

2

m1

． ④

2

m1

，

对于①，当

m≥2008

时，

S

2008

1222

当

1500m≤2007

时，

S

2008



1



2







2



2



1



2

mm



1

22007

2

2008

1

．

m



2



2

m



1



2

m



2







2

2m



2009



2

2m



2009



2

m



2

m

1



2

2

m

2009



1

．

2008

对于②，当

m≥2008

时，

S

2008

2

当

1500m≤2007

时，

S

2008



2

1

．

m

1



2

2

m

2008



1

．

m



2008

对于③，当

m≥2008

时，

S

2008



2



2

当

1500m≤2007

时，

S

2008



2



2

m

m

m

．

2009

m



3

．

． 对于④，当

m≥2008

时，

S

2008



2



2

当

1500m≤2007

时，

S

2008



2



2

m

m



2008

2008

m



2

．

21． 解：（1）



F

0

(c，0)，F

1

0，b

2

c

2

，F

2

0，b

2

c

2

，

F

0

F

2













b

2

c

2



c

2

b1，F

1

F

2

2b

2

c

2

1

，

37

于是

c

2

，a

2

b

2

c

2



，所求“果圆”方程为

44

44

x

2

y

2

1(x≥0)

，

y

2

x

2

1(x≤0)

．

73

（2）由题意，得

ac2b

，即

ab2ba

．

(2b)bca

，

ab(2ba)

，得

2222222

22

b4



．

a5

b

2

1

b



24

又

b



c



a



b,



．





，



a



25

a

2

2



2222







．



x

2

y

2

y

2

x

2

（3）设“果圆”

C

的方程为

2



2



1(x

≥

0)

，

2



2



1(x

≤

0)

．

abbc

记平行弦的斜率为

k

．

x

2

y

2

当

k0

时，直线

yt(b≤t≤b)

与半椭圆

2



2



1(x

≥

0)

的交点是

ab



y

2

x

2

t

2



P



a1



2

，

t



，与半椭圆

2



2



1(x

≤

0)

的交点是

Q



bcb





a



ct

2



x





1



2

,



P，Q

的中点

M

(x，y)

满足



2b



y



t

，





t

2

t



．





c1



2

，



b



得







y

2



2

1

．

2

b

a



c





2



2

x

2

a



c



2ba



c



2b



a



c



2



a2b

，







b







0

．



22



2



综上所述，当

k0

时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．

x

2

y

2

当

k0

时，以

k

为斜率过

B

1

的直线

l

与半椭圆

2



2



1(x

≥

0)

的交点是

ab



2ka

2

bk

2

a

2

b



b

3



．

，

22



2222



ka



bka



b



b

2

由此，在直线

l

右侧，以

k

为斜率的平行弦的中点轨迹在直线

y



2

x

上，即不在

ka

某一椭圆上．

当

k0

时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．