笔画

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题目描述

　　咱们来玩一笔画游戏吧，规则是这样的：有一个连通的图，能否找到一个恰好包含了所有的边，并且没有重复的路径。

1.1 输入描述:

　　输入包含多组数据。每组数据的第一行包含两个整数n和m (2≤n, m≤1000)，其中n是顶点的个数，m是边的条数。紧接着有m行，每行包含两个整数from和to (1 ≤ from, to ≤ n, from != to)，分别代表边的两端顶点。边是双向的，并且两个顶点之间可能不止一条边。

1.2 输出描述:

　　对应每一组输入，如果能一笔画则输出“Yes”；否则输出“No”。

1.3 输入例子:

3 3
1 2
2 3
1 3
4 7
1 2
2 1
1 3
1 4
1 4
2 3
4 3

1.4 输出例子:

Yes
No

2 解题思路

　　题目要求一个连通的有向图是否可以一笔画完。这是一个可行遍性问题，即从图中一个顶点出发不重复地遍历完所有的边并回到起始顶点，这种回路是欧拉回路。在解答该问题前先对欧拉回路相关的内容进行介绍。

2.1 欧拉回路

2.1.1 欧拉通路、欧拉回路、欧拉图

　　无向图：
　　1) 设G 是连通无向图，则称经过G 的每条边一次并且仅一次的路径为欧拉通路；
　　2) 如果欧拉通路是回路（起点和终点是同一个顶点），则称此回路为欧拉回路（Euler circuit）；
　　3) 具有欧拉回路的无向图G 称为欧拉图（Euler graph）。
有向图：
　　1) 设D是有向图，D的基图连通，则称经过D的每条边一次并且仅一次的有向路径为有向欧拉通路；
　　2) 如果有向欧拉通路是有向回路，则称此有向回路为有向欧拉回路（directed Euler circuit）；
　　3) 具有有向欧拉回路的有向图D称为有向欧拉图（directed Euler graph）。
　　图1是有向图。

图1 有向图和无向图

2.1.2 定理及推论

　　欧拉通路和欧拉回路的判定是很简单的，请看下面的定理及推论。
　　定理2.1　无向图G存在欧拉通路的充要条件是：
　　G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或者无奇度结点。
　　推论2.1：
　　1) 当G是仅有两个奇度结点的连通图时，G的欧拉通路必以此两个结点为端点。
　　2) 当G是无奇度结点的连通图时，G必有欧拉回路。
　　3) G为欧拉图（存在欧拉回路）的充分必要条件是G为无奇度结点的连通图。
　　例如图1(a)所示的无向图，存在两个奇度顶点v2和v5，所以存在欧拉通路，且欧拉通路必以这两个顶点为起始顶点和终止顶点；该无向图不存在欧拉回路。图2-1(b)所示的无向图为欧拉图。
　　定理2.2　有向图D存在欧拉通路的充要条件是：
　　D为有向图，D的基图连通，并且所有顶点的出度与入度都相等；或者除两个顶点外，其余顶点的出度与入度都相等，而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的出度与入度之差为-1。
　　推论2.2：
　　1) 当D除出、入度之差为1，-1的两个顶点之外，其余顶点的出度与入度都相等时，D的有向欧拉通路必以出、入度之差为1的顶点作为始点，以出、入度之差为-1的顶点作为终点。
　　2) 当D的所有顶点的出、入度都相等时，D中存在有向欧拉回路。
　　3) 有向图D为有向欧拉图的充分必要条件是D的基图为连通图，并且所有顶点的出、入度都相等。
　　例如图1(c)所示的有向图，顶点v2和v4入度和出度均为1；顶点v1的出度为2、入度为1，二者差值为1；顶点v3的出度为1、入度为2，二者相差为-1；所以该有向图只存在有向欧拉通路，且必须以顶点v1为始点，以顶点v3为终点。图1(d)所示的有向图不存在有向欧拉通路。

2.2 解题步骤

　　首先根据输入构造图的邻接矩阵，通过邻接矩阵判断图是否连通，不连通说明不可以一笔画完，如果连通，再判断图是否有奇度顶点，有就不能一笔画完，没有就说明可以一笔画完。

3 算法实现

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;/*** Declaration: All Rights Reserved !!!*/
public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);
//        Scanner scanner = new Scanner(Main.class.getClassLoader().getResourceAsStream("data3.txt"));while (scanner.hasNext()) {int n = scanner.nextInt();int m = scanner.nextInt();// 记录边int[] edge = new int[m * 2];for (int i = 0; i < edge.length; i++) {edge[i] = scanner.nextInt();}if (draw(n, edge)) {System.out.println("Yes");} else {System.out.println("No");}}scanner.close();}/*** 图是否可以笔画完（判断无向图是否存在欧拉通路）** @param n    顶点点个数，顶点的编号从1到n* @param edge 边的连接数组，两个一起表示一条边* @return true：可以一笔画完，false：不可以一笔画完*/private static boolean draw(int n, int[] edge) {int[] vertex = new int[n + 1];// 统计每个顶点的度数for (int i : edge) {vertex[i]++;}///// 无向图G存在欧拉通路的充要条件是：G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或者无奇度结点。///// 统计奇度顶点个数int count = 0;for (int i = 1; i < vertex.length; i++) {if (vertex[i] % 2 != 0) {count++;}}// 奇度顶点不为0且不为2说明不存在欧拉通路if (count != 0 && count != 2) {return false;}// 构造边的邻接矩阵int[][] graph = new int[n + 1][n + 1];for (int i = 0; i < edge.length; i += 2) {int v = edge[i];int w = edge[i + 1];graph[v][w]++;graph[w][v]++;}// 清空顶号入度标记，将它作为访问标记使用，0表示没有访问过，1表示访问过for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {vertex[0] = 0;}List<Integer> list = new ArrayList<>(n);// 有向图连通，那么从任意一个顶点都可以访问到其它的顶点// 从第一个顶点开始访问，进行广度优先遍历vertex[1] = 1;list.add(1);while (!list.isEmpty()) {int v = list.remove(0);for (int i = 1; i <= n; i++) {// 边(v, i)，t为0说明v不能直接到iint t = graph[v][i];// 如果(v, i)可达，且顶点i没有被访问过，就标记已经访问过，添加到访问队列中if (t != 0 && vertex[i] == 0) {vertex[i] = 1;list.add(i);}}}for (int i = 1; i < vertex.length; i++) {// 还有顶点没有访问到，说明图不连通if (vertex[i] == 0) {return false;}}return true;}
}

4 测试结果

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题目描述

　　咱们来玩一笔画游戏吧，规则是这样的：有一个连通的图，能否找到一个恰好包含了所有的边，并且没有重复的路径。

1.1 输入描述:

　　输入包含多组数据。每组数据的第一行包含两个整数n和m (2≤n, m≤1000)，其中n是顶点的个数，m是边的条数。紧接着有m行，每行包含两个整数from和to (1 ≤ from, to ≤ n, from != to)，分别代表边的两端顶点。边是双向的，并且两个顶点之间可能不止一条边。

1.2 输出描述:

　　对应每一组输入，如果能一笔画则输出“Yes”；否则输出“No”。

1.3 输入例子:

3 3
1 2
2 3
1 3
4 7
1 2
2 1
1 3
1 4
1 4
2 3
4 3

1.4 输出例子:

Yes
No

2 解题思路

　　题目要求一个连通的有向图是否可以一笔画完。这是一个可行遍性问题，即从图中一个顶点出发不重复地遍历完所有的边并回到起始顶点，这种回路是欧拉回路。在解答该问题前先对欧拉回路相关的内容进行介绍。

2.1 欧拉回路

2.1.1 欧拉通路、欧拉回路、欧拉图

　　无向图：
　　1) 设G 是连通无向图，则称经过G 的每条边一次并且仅一次的路径为欧拉通路；
　　2) 如果欧拉通路是回路（起点和终点是同一个顶点），则称此回路为欧拉回路（Euler circuit）；
　　3) 具有欧拉回路的无向图G 称为欧拉图（Euler graph）。
有向图：
　　1) 设D是有向图，D的基图连通，则称经过D的每条边一次并且仅一次的有向路径为有向欧拉通路；
　　2) 如果有向欧拉通路是有向回路，则称此有向回路为有向欧拉回路（directed Euler circuit）；
　　3) 具有有向欧拉回路的有向图D称为有向欧拉图（directed Euler graph）。
　　图1是有向图。

图1 有向图和无向图

2.1.2 定理及推论

　　欧拉通路和欧拉回路的判定是很简单的，请看下面的定理及推论。
　　定理2.1　无向图G存在欧拉通路的充要条件是：
　　G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或者无奇度结点。
　　推论2.1：
　　1) 当G是仅有两个奇度结点的连通图时，G的欧拉通路必以此两个结点为端点。
　　2) 当G是无奇度结点的连通图时，G必有欧拉回路。
　　3) G为欧拉图（存在欧拉回路）的充分必要条件是G为无奇度结点的连通图。
　　例如图1(a)所示的无向图，存在两个奇度顶点v2和v5，所以存在欧拉通路，且欧拉通路必以这两个顶点为起始顶点和终止顶点；该无向图不存在欧拉回路。图2-1(b)所示的无向图为欧拉图。
　　定理2.2　有向图D存在欧拉通路的充要条件是：
　　D为有向图，D的基图连通，并且所有顶点的出度与入度都相等；或者除两个顶点外，其余顶点的出度与入度都相等，而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的出度与入度之差为-1。
　　推论2.2：
　　1) 当D除出、入度之差为1，-1的两个顶点之外，其余顶点的出度与入度都相等时，D的有向欧拉通路必以出、入度之差为1的顶点作为始点，以出、入度之差为-1的顶点作为终点。
　　2) 当D的所有顶点的出、入度都相等时，D中存在有向欧拉回路。
　　3) 有向图D为有向欧拉图的充分必要条件是D的基图为连通图，并且所有顶点的出、入度都相等。
　　例如图1(c)所示的有向图，顶点v2和v4入度和出度均为1；顶点v1的出度为2、入度为1，二者差值为1；顶点v3的出度为1、入度为2，二者相差为-1；所以该有向图只存在有向欧拉通路，且必须以顶点v1为始点，以顶点v3为终点。图1(d)所示的有向图不存在有向欧拉通路。

2.2 解题步骤

　　首先根据输入构造图的邻接矩阵，通过邻接矩阵判断图是否连通，不连通说明不可以一笔画完，如果连通，再判断图是否有奇度顶点，有就不能一笔画完，没有就说明可以一笔画完。

3 算法实现

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;/*** Declaration: All Rights Reserved !!!*/
public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);
//        Scanner scanner = new Scanner(Main.class.getClassLoader().getResourceAsStream("data3.txt"));while (scanner.hasNext()) {int n = scanner.nextInt();int m = scanner.nextInt();// 记录边int[] edge = new int[m * 2];for (int i = 0; i < edge.length; i++) {edge[i] = scanner.nextInt();}if (draw(n, edge)) {System.out.println("Yes");} else {System.out.println("No");}}scanner.close();}/*** 图是否可以笔画完（判断无向图是否存在欧拉通路）** @param n    顶点点个数，顶点的编号从1到n* @param edge 边的连接数组，两个一起表示一条边* @return true：可以一笔画完，false：不可以一笔画完*/private static boolean draw(int n, int[] edge) {int[] vertex = new int[n + 1];// 统计每个顶点的度数for (int i : edge) {vertex[i]++;}///// 无向图G存在欧拉通路的充要条件是：G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或者无奇度结点。///// 统计奇度顶点个数int count = 0;for (int i = 1; i < vertex.length; i++) {if (vertex[i] % 2 != 0) {count++;}}// 奇度顶点不为0且不为2说明不存在欧拉通路if (count != 0 && count != 2) {return false;}// 构造边的邻接矩阵int[][] graph = new int[n + 1][n + 1];for (int i = 0; i < edge.length; i += 2) {int v = edge[i];int w = edge[i + 1];graph[v][w]++;graph[w][v]++;}// 清空顶号入度标记，将它作为访问标记使用，0表示没有访问过，1表示访问过for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {vertex[0] = 0;}List<Integer> list = new ArrayList<>(n);// 有向图连通，那么从任意一个顶点都可以访问到其它的顶点// 从第一个顶点开始访问，进行广度优先遍历vertex[1] = 1;list.add(1);while (!list.isEmpty()) {int v = list.remove(0);for (int i = 1; i <= n; i++) {// 边(v, i)，t为0说明v不能直接到iint t = graph[v][i];// 如果(v, i)可达，且顶点i没有被访问过，就标记已经访问过，添加到访问队列中if (t != 0 && vertex[i] == 0) {vertex[i] = 1;list.add(i);}}}for (int i = 1; i < vertex.length; i++) {// 还有顶点没有访问到，说明图不连通if (vertex[i] == 0) {return false;}}return true;}
}

4 测试结果

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