2024年2月22日发(作者：柏亦云)

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《第1章二次函数》同步能力达标测评（附答案）

一．选择题（共6小题，每小题3分，共计18分）

1．对抛物线y＝﹣x2+4x﹣3而言，下列结论正确的是（ ）

A．开口向上 B．与y轴的交点坐标是（0，3）

C．与两坐标轴有两个交点 D．顶点坐标是（2，1）

2．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（ ）A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5

3．若抛物线y＝2x2﹣bx+c的对称轴为直线x＝2，且该抛物线与x轴交于A、B两点，若AB的长是6，则该抛物线的顶点坐标为（ ）

A．（2，10） B．（2，18） C．（2，﹣10） D．（2，﹣18）

4．二次函数y＝ax2+bx+c图象如图，下列结论中：①b2＞4ac；②abc＜0；③2a+b﹣c＞0；④a﹣b+c＜0．正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝﹣x2﹣（2m+2n）x﹣6n+9与y＝x2+（5m﹣n）x+m2关于x轴对称，则m2+n2的值为（ ）

A．13 B．18 C．24 D．36

6．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝﹣2x2+8x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）

A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2

二．填空题（共14小题，每小题3分，共计42分）

7．已知抛物线y＝x2﹣ax+a﹣1的顶点恰好在x轴上，则a＝ ．

8．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴是x＝﹣1，若y≥3，则x的取值范围是 ．

9．设抛物线y＝x2+（a+1）x+a，其中a为实数．

（1）若抛物线经过点（﹣1，m），则m＝ ；

（2）将抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ．

10．某网店某种商品成本为50元/件，售价为60元/件时，每天可销售100件；售价单价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少2件．据此，当销售单价为 元时，网店该商品每天盈利最多．

11．抛物线y＝mx2+（1﹣4m）x+1﹣5m一定经过非坐标轴上的一点P，则点P的坐标为 ．

12．如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为 ．

13．二次函数y＝mx2+2mx+c（m、c是常数，且m≠0）的图象过点A（3，0），则方程mx2+2mx+c＝0的根为 ．

14．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是 米．

15．如图，抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．若抛物线y＝x2﹣2x+k上有点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，则点Q的坐标为 ．

16．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 ．

17．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移一个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于y轴对称，则抛物线C3的表达式为 ．

18．在抛物线形拱桥中，以抛物线的对称轴为y轴，顶点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线解析式为y＝ax2，水面宽AB＝6m，AB与y轴交于点C，OC＝3m，当水面上升1m时，水面宽为 m．

19．已知二次函数y1＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位得到抛物线y2的图象，则阴影部分的面积为 ．

20．已知抛物线y＝（x﹣m）2+n与x轴交于点（1，0），（4，0），则关于x的一元二次方程（x﹣m﹣3）2+n＝0的解是 ．

三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）

21．抛物线y＝x2+bx+c经过点A，B，已知A（﹣1，0），B（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为C，直线AC交y轴于点D，连接AC、BC、BD，求△BCD的面积．

22．某建筑公司有甲、乙两位师傅建造养鸡场，建造时按养鸡场的建造面积收费．已知甲师傅建造2m2的费用与乙师傅建造3m2的费用总和为440元，甲师傅建造3m2的费用与乙师傅建造2m2的费用总和为460元．

（1）分别求出甲、乙两位师傅建造1m2养鸡场的费用；

（2）若乙师傅计划用总长度为24米的材料建造两个一侧靠墙且位置相邻的矩形养鸡场（如图），已知墙的长为9米，则养鸡场的宽AB为多少时，建造费用最多？最多为多少元？

23．某商店销售一种纪念册，每本进价30元，规定销售单价不低于32元，且获利不高于60%，在销售期间发现销售数量y（件）与销售单价x（元）的关系如下表：

x

y

32

420

33

410

34

400

35

390

（1）请你根据表格直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当每本纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利3400元？

（3）将这种纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？

24．如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大，若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．

25．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．

（1）填空：点A的坐标为 ，点D的坐标为 ，抛物线的解析式为 ；

（2）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值；

（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

26．如图，抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B（3，0）．

（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；

（2）P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；

（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．

参考答案

一．选择题（共6小题，每小题3分，共计18分）

1．解：A、二次项系数a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，结论错误，不符合题意；

B、当x＝0时，y＝﹣3，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），结论错误，不符合题意；

C、Δ＝42﹣4×（﹣1）×（﹣3）＝4＞0，抛物线与x轴有两个交点，与y轴有1个交点，即与两坐标轴有3个交点，结论错误，不符合题意；

D、由y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1知，抛物线顶点坐标为（2，1），结论正确，符合题意；

故选：D．

2．解：如图

∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），

∴可画出上图，

∵抛物线对称轴x＝＝1，

∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5），

∴当x＝2时，y的值为﹣5．

故选：A．

3．解：∵抛物线y＝2x2﹣bx+c的对称轴为直线x＝2，

∴x＝2＝﹣，解得b＝8，

故抛物线的表达式为y＝2x2﹣8x+c，

令y＝2x2﹣8x+c＝0，解得x＝2±则AB＝2+解得c＝﹣10，

﹣2+＝2，

＝6，

故抛物线的表达式为y＝2x2﹣8x﹣10，

当x＝2时，y＝2x2﹣8x﹣10＝﹣18，

故顶点的坐标为（2，﹣18），

故选：D．

4．解：（1）由图象与x轴有两个交点可判别，①正确；

（2）开口向下则a＜0，对称轴“左同右异”则b＜0，与y轴交于正半轴则c＞0，则abc＞0，②错误；

（3）由对称轴x＝﹣1可得b＝2a，则2a+b﹣c＝4a﹣c，由a＜0，c＞0可知4a﹣c＜0，③错误；

（4）当x＝﹣1时y＝a﹣b+c＞0，④错误．

故选：A．

5．解：∵抛物线y＝﹣x2﹣（2m+2n）x﹣6n+9与y＝x2+（5m﹣n）x+m2关于x轴对称，

∴﹣y＝x2+（2m+2n）x+6n﹣9，

∴x2+（2m+2n）x+6n﹣9＝x2+（5m﹣n）x+m2，

∴，

解得m＝3，n＝3，

∴m2+n2＝18．

故选：B．

6．解：∵抛物线y＝﹣2x2+8x+c中a＝﹣2＜0，

∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝∵点A（﹣1，y1）的对称点为（5，y1），

又∵5＞3＞2，即A、B、C三个点都位于对称轴右边，函数值随自变量增大而减小．

∴y1＜y3＜y2，

故选：C．

二．填空题（共14小题，每小题3分，共计42分）

7．解：x2﹣ax+a﹣1＝0中判别式Δ＝a2﹣4（a﹣1），

由题意得a2﹣4（a﹣1）＝0，

解得a＝2．

＝2，

故答案为：2．

8．解：由图象可得抛物线对称轴为直线x＝﹣1，

∵抛物线经过点（0，3），

由对称性可得抛物线经过点（﹣2，3），

∴y≥3时x的取值范围是﹣2≤x≤0．

故答案为：﹣2≤x≤0．

9．解：（1）点（﹣1，m）代入抛物线解析式y＝x2+（a+1）x+a，

得（﹣1）2+（a+1）×（﹣1）+a＝m，解得m＝0．

故答案为：0．

（2）y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位可得，y＝x2+（a+1）x+a+2，

∴y＝（x+）2﹣（a﹣1）2+2，

∴抛物线顶点的纵坐标n＝﹣（a﹣1）2+2，

∵﹣＜0，

∴n的最大值为2．

故答案为：2．

10．解：设销售单价为x元，则每天可销售100﹣2（x﹣60）＝（220﹣2x）件，每天盈利w元，

依题意得：w＝（x﹣50）（220﹣2x）＝﹣2x2+320x﹣11000＝﹣2（x﹣80）2+1800，

∵﹣2＜0，

∴当x＝80时，w有最大值，最大值为1800元，

故答案为：80．

11．解：y＝mx2+（1﹣4m）x+1﹣5m＝（x2﹣4x﹣5）m+x+1，

令x2﹣4x﹣5＝0，解得x＝﹣1或x＝5，

当x＝﹣1时，y＝0；

当x＝5时，y＝6；

∴非坐标轴上的点P的坐标为（5，6）．

故答案为：（5，6）．

12．解：设△PCD的面积为y，

由题意得：AP＝t，PD＝5﹣t，

∴y＝∵四边形EFPC是正方形，

＝5﹣t，

∴S△DEF+S△PDC＝S正方形EFPC，

∵PC2＝PD2+CD2，

∴PC2＝22+（5﹣t）2＝t2﹣10t+29，

∴S△DEF＝（t2﹣10t+29）﹣（5﹣t）＝t2﹣4t+当t为4时，△DEF的面积最小，且最小值为．

故答案为：．

13．解：函数的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝﹣1

＝（t﹣4）2+，

设抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（x，0），

∵抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，

∴（3+x）＝﹣1，

解得：x＝﹣5，

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（﹣5，0），

∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是3或﹣5，

故答案为：3或﹣5．

14．解：建立坐标系，如图所示：

由题意得：A（0，1.68），B（2，2），点B为抛物线的顶点，

设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，

把A（0，1.68）代入得：

4a+2＝1.68，

解得a＝﹣0.08，

∴y＝﹣0.08（x﹣2）2+2，

令y＝0，得﹣0.08（x﹣2）2+2＝0，

解得x1＝7，x2＝﹣3（舍），

∴小丁此次投掷的成绩是7米．

故答案为：7．

15．解：∵抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．

∴y＝x2﹣2x﹣3，B点坐标为（3，0），

假设存在一点Q，则QC⊥BC与C，

设经过C点和Q点的直线可以表示为：y＝mx﹣3，

而直线BC可以表示为：y＝x﹣3，

∵QC⊥BC，

∴m＝﹣1

∴直线CQ解析式为：y＝﹣x﹣3，

联立方程组：解得x＝0或者x＝1，

舍去x＝0（与点C重合，应舍去）的解，

从而可得点Q为（1，﹣4）；

同理如果点B为直角定点，同样得到两点（3，0）（同理舍去）和（﹣2，5），

从而可得：点Q的坐标为：（1，﹣4）和（﹣2，5）．

16．解：∵对称轴为直线x＝2，

∴b＝﹣4，

∴y＝x2﹣4x，

关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，

∵﹣1＜x＜4，

∴二次函数y的取值为﹣4≤y＜5，

∴﹣4≤t＜5；

故答案为：﹣4≤t＜5．

17．解：∵抛物线C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，

∴抛物线C1的顶点为（1，2），

，

∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，

∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2），

∵抛物线C2与抛物线C3关于y轴对称，

∴抛物线C3的开口方向相同，顶点为（0，2），

∴抛物线C3的解析式为y＝x2+2．

故答案是：y＝x2+2．

18．解：∵AB＝6m，OC＝3m，

∴点B坐标为（3，﹣3），

将B（3，﹣3）代入y＝ax2得：

﹣3＝a×32，

∴a＝﹣，

∴y＝﹣x2．

∴当水面上升1m时，即纵坐标y＝﹣2时，有：

﹣2＝﹣x2，

∴x2＝6，

∴x1＝﹣，x2＝．

）＝2（m）． ∴水面宽为：故答案为：2﹣（﹣．

19．解：设点M为抛物线y1的顶点，点N为抛物线y2的顶点，

连接MA、NB，

则四边形AMNB的面积和阴影部分的面积相等，

∵二次函数y1＝（x+1）2﹣3，

∴该函数的顶点M的坐标为（﹣1，﹣3），

∴点M到x轴的距离为3，

∵MN＝2，

∴四边形AMNB的面积是2×3＝6，

∴阴影部分的面积是6，

故答案为：6．

20．解：抛物线y＝（x﹣m）2+n与x轴交于点（1，0），（4，0），

将抛物线y＝（x﹣m）2+n向右平移3个单位得到y＝（x﹣m﹣3）2+n，

则平移后的抛物线与x轴的交点为（4，0）、（7，0），

故一元二次方程（x﹣m﹣3）2+n＝0的解是x1＝4，x2＝7，

故答案为x1＝4，x2＝7．

三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）

21．解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c得：

，解得b＝﹣2，c＝﹣3，

∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，

（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴C（1，﹣4），

设AC解析式为y＝mx+n，将A（﹣1，0），C（1，﹣4）代入得：

，解得，

∴AC解析式为y＝﹣2x﹣2，

令x＝0得y＝﹣2，

∴D（0，﹣2），

∴S△BCD＝S△ABC﹣S△ABD＝×[3﹣（﹣1）]×4﹣×[3﹣（﹣1）]×2＝4，

22．解：（1）设甲、乙两位师傅建造1m2养鸡场的费用分别为x元和y元，

根据题意得：解得：

，

答：甲、乙两位师傅建造1m2养鸡场的费用分别为100元和80元；

（2）设AB为z，面积为S，则BC＝（24﹣3z）米，

∵墙长为9米，

∴24﹣3z≤9，

解得：z≥5，

根据题意得：S＝z（24﹣3z）＝﹣3（z﹣4）2+48，

∵a＝﹣3＜0，对称轴为z＝4，

∴当z＞4时S随着z的增大而减小，

∴当z＝5时面积最大为45m2，

费用为45×80＝3600元，

∴养鸡场的宽AB为5米时，建造费用最多；最多为3600元．

23．解：（1）由表中数据可知，销售单价每上涨一元，每天销售量减少10本，

∴y与x之间的函数关系式是一次函数，

设y＝hx+b，把（32，420）和（33，410）代入，得：

，

解得：，

∵销售单价不低于32元，且获利不高于60%，

∴≤60%，即x≤48，

∴32≤x≤48，

∴y＝﹣10x+740（32≤x≤48）；

（2）由题意，可列出方程为：（x﹣30）（﹣10x+740）＝3400，

整理并化简得，x2﹣104x+2560＝0，

解得，x1＝40，x2＝64，

∵32≤x≤48，

答：销售单价是40元时，商店每天获利3400元；

（3）w＝（x﹣30）y＝﹣10x2+1040x﹣22200＝﹣10（x﹣52）2+4840，

∵a＝﹣10＜0，

∴开口向下，

∵对车轴为x＝52，

∴当32≤x≤48时，w随x的增大而增大

∴当x＝48时，w最大＝﹣10（48﹣52）2+4840＝4680（元），

答：销售单价定为48元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大，最大利润是4680元．

24．（1）设该抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣1），

将点C（0，﹣2）坐标代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a＝∴y＝﹣（x﹣4）（x﹣1）＝﹣x2+x﹣2，

故该抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x﹣2，

（2）如图，

，

设存在点D在抛物线上，连接AD、CD，过点D作DE⊥x轴且与直线AC交于点E，

设直线AC表达式为：y＝kx+b（k≠0），将A（4，0），C（0，﹣2）代入其表达式得：

，解得，

∴直线AC：y＝x﹣2，

设点D坐标为（x，﹣x2+x﹣2），则点E坐标为（x，x﹣2），

S△DCA＝S△DCE+S△DAE＝×DE×xE+×DE×（xA﹣xE）＝×DE×xA＝×DE×4＝2DE，

∵DE＝（﹣x2+x﹣2）﹣（x﹣2）＝﹣x2+2x，

∴S△DCA＝2DE＝2×（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，

∴当x＝2时，y＝﹣x2+x﹣2═﹣2+5﹣2＝1，即点D坐标为（2，1），

此时△DCA的面积最大，最大值为4．

25．解：（1）∵对称轴为直线x＝2，

∴b＝﹣4，

∴y＝x2﹣4x+c，

∵点B（3，0）是抛物线与x轴的交点，

∴9﹣12+c＝0，

∴c＝3，

∴y＝x2﹣4x+3，

令y＝0，x2﹣4x+3＝0，

∴x＝3或x＝1，

∴A（1，0），

∵D是抛物线的顶点，

∴D（2，﹣1），

故答案为（1，0），（2，﹣1），y＝x2﹣4x+3；

（2）当m+2＜2时，即m＜0，

此时当x＝m+2时，y有最小值，

则（m+2）2﹣4（m+2）+3＝，

解得m＝∴m＝﹣；

当m＞2时，此时当x＝m时，y有最小值，

则m2﹣4m+3＝，

解得m＝或m＝，

∴m＝；

当0≤m≤2时，此时当x＝2时，y有最小值为﹣1，与题意不符；

综上所述：m的值为或﹣；

（3）存在，理由如下：

A（1，0），C（0，3），

∴AC＝，AC的中点为E（，），

，

设P（2，t），

∵△PAC是以AC为斜边的直角三角形，

∴PE＝AC，

∴∴t＝2或t＝1，

＝，

∴P（2，2）或P（2，1），

∴使△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，P点坐标为（2，2）或（2，1）．

26．解：（1）将B（3，0）代入y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9），化简得，m2+m＝0，

则m＝0（舍）或m＝﹣1，

∴m＝﹣1，

∴y＝﹣x2+4x﹣3．

∴C（0，﹣3），

设直线BC的函数表达式为y＝kx+b，

将B（3，0），C（0，﹣3）代入表达式，可得，

，解得，，

∴直线BC的函数表达式为y＝x﹣3．

（2）如图，过点A作AP1∥BC，设直线AP1交y轴于点G，将直线BC向下平移GC个单位，得到直线P2P3．

由（1）得直线BC的表达式为y＝x﹣3，A（1，0），

∴直线AG的表达式为y＝x﹣1，

联立，解得，或，

∴P1（2，1）或（1，0），

由直线AG的表达式可得G（0，﹣1），

∴GC＝2，CH＝2，

∴直线P2P3的表达式为：y＝x﹣5，

联立，

解得，，或，，

∴P2（，），P3（，），；

，），（，综上可得，符合题意的点P的坐标为：（2，1），（1，0），（）；

（3）如图，取点Q使∠ACQ＝45°，作直线CQ，过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，

则△ACD是等腰直角三角形，

∴AD＝CD，

∴△CDE≌△DAF（AAS），

∴AF＝DE，CE＝DF．

设DE＝AF＝a，则CE＝DF＝a+1，

由OC＝3，则DF＝3﹣a，

∴a+1＝3﹣a，解得a＝1．

∴D（2，﹣2），又C（0，﹣3），

∴直线CD对应的表达式为y＝x﹣3，

设Q（n，n﹣3），代人y＝﹣x2+4x﹣3，

∴n﹣3＝﹣n2+4n﹣3，整理得n2﹣n＝0．

又n≠0，则n＝．

∴Q（，﹣）．

2024年2月22日发(作者：柏亦云)

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《第1章二次函数》同步能力达标测评（附答案）

一．选择题（共6小题，每小题3分，共计18分）

1．对抛物线y＝﹣x2+4x﹣3而言，下列结论正确的是（ ）

A．开口向上 B．与y轴的交点坐标是（0，3）

C．与两坐标轴有两个交点 D．顶点坐标是（2，1）

2．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（ ）A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5

3．若抛物线y＝2x2﹣bx+c的对称轴为直线x＝2，且该抛物线与x轴交于A、B两点，若AB的长是6，则该抛物线的顶点坐标为（ ）

A．（2，10） B．（2，18） C．（2，﹣10） D．（2，﹣18）

4．二次函数y＝ax2+bx+c图象如图，下列结论中：①b2＞4ac；②abc＜0；③2a+b﹣c＞0；④a﹣b+c＜0．正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝﹣x2﹣（2m+2n）x﹣6n+9与y＝x2+（5m﹣n）x+m2关于x轴对称，则m2+n2的值为（ ）

A．13 B．18 C．24 D．36

6．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝﹣2x2+8x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）

A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2

二．填空题（共14小题，每小题3分，共计42分）

7．已知抛物线y＝x2﹣ax+a﹣1的顶点恰好在x轴上，则a＝ ．

8．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴是x＝﹣1，若y≥3，则x的取值范围是 ．

9．设抛物线y＝x2+（a+1）x+a，其中a为实数．

（1）若抛物线经过点（﹣1，m），则m＝ ；

（2）将抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ．

10．某网店某种商品成本为50元/件，售价为60元/件时，每天可销售100件；售价单价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少2件．据此，当销售单价为 元时，网店该商品每天盈利最多．

11．抛物线y＝mx2+（1﹣4m）x+1﹣5m一定经过非坐标轴上的一点P，则点P的坐标为 ．

12．如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为 ．

13．二次函数y＝mx2+2mx+c（m、c是常数，且m≠0）的图象过点A（3，0），则方程mx2+2mx+c＝0的根为 ．

14．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是 米．

15．如图，抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．若抛物线y＝x2﹣2x+k上有点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，则点Q的坐标为 ．

16．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 ．

17．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移一个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于y轴对称，则抛物线C3的表达式为 ．

18．在抛物线形拱桥中，以抛物线的对称轴为y轴，顶点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线解析式为y＝ax2，水面宽AB＝6m，AB与y轴交于点C，OC＝3m，当水面上升1m时，水面宽为 m．

19．已知二次函数y1＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位得到抛物线y2的图象，则阴影部分的面积为 ．

20．已知抛物线y＝（x﹣m）2+n与x轴交于点（1，0），（4，0），则关于x的一元二次方程（x﹣m﹣3）2+n＝0的解是 ．

三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）

21．抛物线y＝x2+bx+c经过点A，B，已知A（﹣1，0），B（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为C，直线AC交y轴于点D，连接AC、BC、BD，求△BCD的面积．

22．某建筑公司有甲、乙两位师傅建造养鸡场，建造时按养鸡场的建造面积收费．已知甲师傅建造2m2的费用与乙师傅建造3m2的费用总和为440元，甲师傅建造3m2的费用与乙师傅建造2m2的费用总和为460元．

（1）分别求出甲、乙两位师傅建造1m2养鸡场的费用；

（2）若乙师傅计划用总长度为24米的材料建造两个一侧靠墙且位置相邻的矩形养鸡场（如图），已知墙的长为9米，则养鸡场的宽AB为多少时，建造费用最多？最多为多少元？

23．某商店销售一种纪念册，每本进价30元，规定销售单价不低于32元，且获利不高于60%，在销售期间发现销售数量y（件）与销售单价x（元）的关系如下表：

x

y

32

420

33

410

34

400

35

390

（1）请你根据表格直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当每本纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利3400元？

（3）将这种纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？

24．如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大，若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．

25．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．

（1）填空：点A的坐标为 ，点D的坐标为 ，抛物线的解析式为 ；

（2）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值；

（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

26．如图，抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B（3，0）．

（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；

（2）P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；

（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．

参考答案

一．选择题（共6小题，每小题3分，共计18分）

1．解：A、二次项系数a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，结论错误，不符合题意；

B、当x＝0时，y＝﹣3，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），结论错误，不符合题意；

C、Δ＝42﹣4×（﹣1）×（﹣3）＝4＞0，抛物线与x轴有两个交点，与y轴有1个交点，即与两坐标轴有3个交点，结论错误，不符合题意；

D、由y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1知，抛物线顶点坐标为（2，1），结论正确，符合题意；

故选：D．

2．解：如图

∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），

∴可画出上图，

∵抛物线对称轴x＝＝1，

∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5），

∴当x＝2时，y的值为﹣5．

故选：A．

3．解：∵抛物线y＝2x2﹣bx+c的对称轴为直线x＝2，

∴x＝2＝﹣，解得b＝8，

故抛物线的表达式为y＝2x2﹣8x+c，

令y＝2x2﹣8x+c＝0，解得x＝2±则AB＝2+解得c＝﹣10，

﹣2+＝2，

＝6，

故抛物线的表达式为y＝2x2﹣8x﹣10，

当x＝2时，y＝2x2﹣8x﹣10＝﹣18，

故顶点的坐标为（2，﹣18），

故选：D．

4．解：（1）由图象与x轴有两个交点可判别，①正确；

（2）开口向下则a＜0，对称轴“左同右异”则b＜0，与y轴交于正半轴则c＞0，则abc＞0，②错误；

（3）由对称轴x＝﹣1可得b＝2a，则2a+b﹣c＝4a﹣c，由a＜0，c＞0可知4a﹣c＜0，③错误；

（4）当x＝﹣1时y＝a﹣b+c＞0，④错误．

故选：A．

5．解：∵抛物线y＝﹣x2﹣（2m+2n）x﹣6n+9与y＝x2+（5m﹣n）x+m2关于x轴对称，

∴﹣y＝x2+（2m+2n）x+6n﹣9，

∴x2+（2m+2n）x+6n﹣9＝x2+（5m﹣n）x+m2，

∴，

解得m＝3，n＝3，

∴m2+n2＝18．

故选：B．

6．解：∵抛物线y＝﹣2x2+8x+c中a＝﹣2＜0，

∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝∵点A（﹣1，y1）的对称点为（5，y1），

又∵5＞3＞2，即A、B、C三个点都位于对称轴右边，函数值随自变量增大而减小．

∴y1＜y3＜y2，

故选：C．

二．填空题（共14小题，每小题3分，共计42分）

7．解：x2﹣ax+a﹣1＝0中判别式Δ＝a2﹣4（a﹣1），

由题意得a2﹣4（a﹣1）＝0，

解得a＝2．

＝2，

故答案为：2．

8．解：由图象可得抛物线对称轴为直线x＝﹣1，

∵抛物线经过点（0，3），

由对称性可得抛物线经过点（﹣2，3），

∴y≥3时x的取值范围是﹣2≤x≤0．

故答案为：﹣2≤x≤0．

9．解：（1）点（﹣1，m）代入抛物线解析式y＝x2+（a+1）x+a，

得（﹣1）2+（a+1）×（﹣1）+a＝m，解得m＝0．

故答案为：0．

（2）y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位可得，y＝x2+（a+1）x+a+2，

∴y＝（x+）2﹣（a﹣1）2+2，

∴抛物线顶点的纵坐标n＝﹣（a﹣1）2+2，

∵﹣＜0，

∴n的最大值为2．

故答案为：2．

10．解：设销售单价为x元，则每天可销售100﹣2（x﹣60）＝（220﹣2x）件，每天盈利w元，

依题意得：w＝（x﹣50）（220﹣2x）＝﹣2x2+320x﹣11000＝﹣2（x﹣80）2+1800，

∵﹣2＜0，

∴当x＝80时，w有最大值，最大值为1800元，

故答案为：80．

11．解：y＝mx2+（1﹣4m）x+1﹣5m＝（x2﹣4x﹣5）m+x+1，

令x2﹣4x﹣5＝0，解得x＝﹣1或x＝5，

当x＝﹣1时，y＝0；

当x＝5时，y＝6；

∴非坐标轴上的点P的坐标为（5，6）．

故答案为：（5，6）．

12．解：设△PCD的面积为y，

由题意得：AP＝t，PD＝5﹣t，

∴y＝∵四边形EFPC是正方形，

＝5﹣t，

∴S△DEF+S△PDC＝S正方形EFPC，

∵PC2＝PD2+CD2，

∴PC2＝22+（5﹣t）2＝t2﹣10t+29，

∴S△DEF＝（t2﹣10t+29）﹣（5﹣t）＝t2﹣4t+当t为4时，△DEF的面积最小，且最小值为．

故答案为：．

13．解：函数的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝﹣1

＝（t﹣4）2+，

设抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（x，0），

∵抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，

∴（3+x）＝﹣1，

解得：x＝﹣5，

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（﹣5，0），

∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是3或﹣5，

故答案为：3或﹣5．

14．解：建立坐标系，如图所示：

由题意得：A（0，1.68），B（2，2），点B为抛物线的顶点，

设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，

把A（0，1.68）代入得：

4a+2＝1.68，

解得a＝﹣0.08，

∴y＝﹣0.08（x﹣2）2+2，

令y＝0，得﹣0.08（x﹣2）2+2＝0，

解得x1＝7，x2＝﹣3（舍），

∴小丁此次投掷的成绩是7米．

故答案为：7．

15．解：∵抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．

∴y＝x2﹣2x﹣3，B点坐标为（3，0），

假设存在一点Q，则QC⊥BC与C，

设经过C点和Q点的直线可以表示为：y＝mx﹣3，

而直线BC可以表示为：y＝x﹣3，

∵QC⊥BC，

∴m＝﹣1

∴直线CQ解析式为：y＝﹣x﹣3，

联立方程组：解得x＝0或者x＝1，

舍去x＝0（与点C重合，应舍去）的解，

从而可得点Q为（1，﹣4）；

同理如果点B为直角定点，同样得到两点（3，0）（同理舍去）和（﹣2，5），

从而可得：点Q的坐标为：（1，﹣4）和（﹣2，5）．

16．解：∵对称轴为直线x＝2，

∴b＝﹣4，

∴y＝x2﹣4x，

关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，

∵﹣1＜x＜4，

∴二次函数y的取值为﹣4≤y＜5，

∴﹣4≤t＜5；

故答案为：﹣4≤t＜5．

17．解：∵抛物线C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，

∴抛物线C1的顶点为（1，2），

，

∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，

∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2），

∵抛物线C2与抛物线C3关于y轴对称，

∴抛物线C3的开口方向相同，顶点为（0，2），

∴抛物线C3的解析式为y＝x2+2．

故答案是：y＝x2+2．

18．解：∵AB＝6m，OC＝3m，

∴点B坐标为（3，﹣3），

将B（3，﹣3）代入y＝ax2得：

﹣3＝a×32，

∴a＝﹣，

∴y＝﹣x2．

∴当水面上升1m时，即纵坐标y＝﹣2时，有：

﹣2＝﹣x2，

∴x2＝6，

∴x1＝﹣，x2＝．

）＝2（m）． ∴水面宽为：故答案为：2﹣（﹣．

19．解：设点M为抛物线y1的顶点，点N为抛物线y2的顶点，

连接MA、NB，

则四边形AMNB的面积和阴影部分的面积相等，

∵二次函数y1＝（x+1）2﹣3，

∴该函数的顶点M的坐标为（﹣1，﹣3），

∴点M到x轴的距离为3，

∵MN＝2，

∴四边形AMNB的面积是2×3＝6，

∴阴影部分的面积是6，

故答案为：6．

20．解：抛物线y＝（x﹣m）2+n与x轴交于点（1，0），（4，0），

将抛物线y＝（x﹣m）2+n向右平移3个单位得到y＝（x﹣m﹣3）2+n，

则平移后的抛物线与x轴的交点为（4，0）、（7，0），

故一元二次方程（x﹣m﹣3）2+n＝0的解是x1＝4，x2＝7，

故答案为x1＝4，x2＝7．

三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）

21．解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c得：

，解得b＝﹣2，c＝﹣3，

∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，

（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴C（1，﹣4），

设AC解析式为y＝mx+n，将A（﹣1，0），C（1，﹣4）代入得：

，解得，

∴AC解析式为y＝﹣2x﹣2，

令x＝0得y＝﹣2，

∴D（0，﹣2），

∴S△BCD＝S△ABC﹣S△ABD＝×[3﹣（﹣1）]×4﹣×[3﹣（﹣1）]×2＝4，

22．解：（1）设甲、乙两位师傅建造1m2养鸡场的费用分别为x元和y元，

根据题意得：解得：

，

答：甲、乙两位师傅建造1m2养鸡场的费用分别为100元和80元；

（2）设AB为z，面积为S，则BC＝（24﹣3z）米，

∵墙长为9米，

∴24﹣3z≤9，

解得：z≥5，

根据题意得：S＝z（24﹣3z）＝﹣3（z﹣4）2+48，

∵a＝﹣3＜0，对称轴为z＝4，

∴当z＞4时S随着z的增大而减小，

∴当z＝5时面积最大为45m2，

费用为45×80＝3600元，

∴养鸡场的宽AB为5米时，建造费用最多；最多为3600元．

23．解：（1）由表中数据可知，销售单价每上涨一元，每天销售量减少10本，

∴y与x之间的函数关系式是一次函数，

设y＝hx+b，把（32，420）和（33，410）代入，得：

，

解得：，

∵销售单价不低于32元，且获利不高于60%，

∴≤60%，即x≤48，

∴32≤x≤48，

∴y＝﹣10x+740（32≤x≤48）；

（2）由题意，可列出方程为：（x﹣30）（﹣10x+740）＝3400，

整理并化简得，x2﹣104x+2560＝0，

解得，x1＝40，x2＝64，

∵32≤x≤48，

答：销售单价是40元时，商店每天获利3400元；

（3）w＝（x﹣30）y＝﹣10x2+1040x﹣22200＝﹣10（x﹣52）2+4840，

∵a＝﹣10＜0，

∴开口向下，

∵对车轴为x＝52，

∴当32≤x≤48时，w随x的增大而增大

∴当x＝48时，w最大＝﹣10（48﹣52）2+4840＝4680（元），

答：销售单价定为48元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大，最大利润是4680元．

24．（1）设该抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣1），

将点C（0，﹣2）坐标代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a＝∴y＝﹣（x﹣4）（x﹣1）＝﹣x2+x﹣2，

故该抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x﹣2，

（2）如图，

，

设存在点D在抛物线上，连接AD、CD，过点D作DE⊥x轴且与直线AC交于点E，

设直线AC表达式为：y＝kx+b（k≠0），将A（4，0），C（0，﹣2）代入其表达式得：

，解得，

∴直线AC：y＝x﹣2，

设点D坐标为（x，﹣x2+x﹣2），则点E坐标为（x，x﹣2），

S△DCA＝S△DCE+S△DAE＝×DE×xE+×DE×（xA﹣xE）＝×DE×xA＝×DE×4＝2DE，

∵DE＝（﹣x2+x﹣2）﹣（x﹣2）＝﹣x2+2x，

∴S△DCA＝2DE＝2×（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，

∴当x＝2时，y＝﹣x2+x﹣2═﹣2+5﹣2＝1，即点D坐标为（2，1），

此时△DCA的面积最大，最大值为4．

25．解：（1）∵对称轴为直线x＝2，

∴b＝﹣4，

∴y＝x2﹣4x+c，

∵点B（3，0）是抛物线与x轴的交点，

∴9﹣12+c＝0，

∴c＝3，

∴y＝x2﹣4x+3，

令y＝0，x2﹣4x+3＝0，

∴x＝3或x＝1，

∴A（1，0），

∵D是抛物线的顶点，

∴D（2，﹣1），

故答案为（1，0），（2，﹣1），y＝x2﹣4x+3；

（2）当m+2＜2时，即m＜0，

此时当x＝m+2时，y有最小值，

则（m+2）2﹣4（m+2）+3＝，

解得m＝∴m＝﹣；

当m＞2时，此时当x＝m时，y有最小值，

则m2﹣4m+3＝，

解得m＝或m＝，

∴m＝；

当0≤m≤2时，此时当x＝2时，y有最小值为﹣1，与题意不符；

综上所述：m的值为或﹣；

（3）存在，理由如下：

A（1，0），C（0，3），

∴AC＝，AC的中点为E（，），

，

设P（2，t），

∵△PAC是以AC为斜边的直角三角形，

∴PE＝AC，

∴∴t＝2或t＝1，

＝，

∴P（2，2）或P（2，1），

∴使△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，P点坐标为（2，2）或（2，1）．

26．解：（1）将B（3，0）代入y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9），化简得，m2+m＝0，

则m＝0（舍）或m＝﹣1，

∴m＝﹣1，

∴y＝﹣x2+4x﹣3．

∴C（0，﹣3），

设直线BC的函数表达式为y＝kx+b，

将B（3，0），C（0，﹣3）代入表达式，可得，

，解得，，

∴直线BC的函数表达式为y＝x﹣3．

（2）如图，过点A作AP1∥BC，设直线AP1交y轴于点G，将直线BC向下平移GC个单位，得到直线P2P3．

由（1）得直线BC的表达式为y＝x﹣3，A（1，0），

∴直线AG的表达式为y＝x﹣1，

联立，解得，或，

∴P1（2，1）或（1，0），

由直线AG的表达式可得G（0，﹣1），

∴GC＝2，CH＝2，

∴直线P2P3的表达式为：y＝x﹣5，

联立，

解得，，或，，

∴P2（，），P3（，），；

，），（，综上可得，符合题意的点P的坐标为：（2，1），（1，0），（）；

（3）如图，取点Q使∠ACQ＝45°，作直线CQ，过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，

则△ACD是等腰直角三角形，

∴AD＝CD，

∴△CDE≌△DAF（AAS），

∴AF＝DE，CE＝DF．

设DE＝AF＝a，则CE＝DF＝a+1，

由OC＝3，则DF＝3﹣a，

∴a+1＝3﹣a，解得a＝1．

∴D（2，﹣2），又C（0，﹣3），

∴直线CD对应的表达式为y＝x﹣3，

设Q（n，n﹣3），代人y＝﹣x2+4x﹣3，

∴n﹣3＝﹣n2+4n﹣3，整理得n2﹣n＝0．

又n≠0，则n＝．

∴Q（，﹣）．