2024年3月3日发(作者：娄孤)
解题策略 ２０ｌ２年３月 ⑩浙江省宁波市北仑区顾国和中学“数形结合”是一种重要的数学思想方法．在初中数学中，存 在着大量与图形有关的问题难以用几何方法解决，而用代数方 则在海上相遇． 张良江 这是一道典型的构造函数图像解决代数问题的实例，体现 法却能轻松化解．同样，又不乏用图形等几何方法解决代数问题 的经典范例．本文试从一道数学趣题说开去，谈谈如何巧构图形 使代数问题几何化，即用构造图形（图像）的方法解决代数问题， 以期窥一斑而见全豹． 柳卡趣题 了数形结合思想的精髓．本题为构造图形（图像）解决代数问题 提供了方向． １．巧构函数图像 １．１ 构造一次函数图像．迁移“柳卡趣题” １９世纪法国数学家柳卡在一次国际数学会议上提出了一道 有趣的题目，它难倒了在场的所有数学家，连柳卡本人也没有彻 底解决．这道有趣的题目一般称作“柳卡趣题”，原题是这样的： 每天中午，某航运公司有一艘轮船从巴黎的外港——塞纳 河口的勒阿佛尔开往纽约．在每天的同一时间也有该公司的一 艘轮船从纽约开往勒阿佛尔．轮船在横渡大西洋途中所花时间 例１ 长途汽车在甲、乙两座城市之间往返行驶，每辆汽车 需要经过４小时到达对方城市．从上午６时开始，每隔１小时，从 甲、乙两座城市同时发出一辆长途汽车，最后一班车在下午４时 发出，那么从甲城发车的司机在途中最多能看到几辆迎面驶来 的从乙城发出的同一线路的车？ 解析：根据题意，画图，用竖线表示甲城到乙城的路，用横线 正好是七天七夜，并且假设在全部航程中轮船都是匀速行驶的， 轮船在大西洋上按照一定航线航行，在近距离内彼此可以看得 表示发车时间，用斜线表示汽车在途中的任何时刻的行驶位置， 两条斜线的相交点就是与对方车站发出的车的相遇点．因此，要 求从甲城发车的司机在途中最多能看到几辆迎面驶来的从乙城 到．那么，当今天中午从勒阿佛尔开出去的船Ａ到达纽约时，将会 遇到多少艘同一公司的轮船从对面开来？ 解析：以时间ｔ（天）为白变量，以轮船与勒阿佛尔港问的距 发出的同一线路的车，画出一天全部车辆的运行图（如图２）． 离ｓ为囚变量，显然，船Ａ及从纽约出发的各船的ｓ均是ｔ的一次函 数．在同一直角坐标系内分别作出它们的图像（如图１所示），其 中ｆ．为船Ａ相应的函数图像，ｍ 为比船Ａ早５天从纽约出发的船相 应的函数图象．ｆ 与ｍ 交于Ｐ （ｔ ），表示船Ａ与从纽约同时出发 的船在ｔ。天后相遇．图中与ｆ】相交的共有１５条线，故该船将遇到同 一乙城８ 甲城２ ７ ８ ９１０ １１ １２ １３１４ １ 图２ 公司的１５艘船． 从图２可以求出，从甲城开出的一辆车在途中最多能看Ｎ７ 辆迎面驶来的从乙城发出的同一线路的车（有７个相遇点），最少 也能在途中看到４辆（有４个相遇点）． 评注：通过构造一次函数图像，把一个数量关系极其复杂的 代数问题直观、形象地呈现出来．通过观察就可以对问题作出回 ． —－８－７—．６——５－４——３－－２——１（３ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１１２ １３１４１５ 答．足以说明，构造图形（图像）在解决某些代数问题时具有不可 替代的作用． 图１ 从图中可以看出，有１艘是在出发时遇到（从纽约港到达勒 １．２构造反比例函数图像．巧证不等式 １ １ １ 阿佛尔），１艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下的１３艘 例２已知ｎ∈Ｒ ，证明不等式＿Ｉ＋ｌ＿一＞ ． 中。 毒幺－？初中版
２０１２年３月 解析：由 联想到反比例 几 解题策略 ／－ｍ￣１＜—ｍ＋１＋Ｘ＋－ｆ＜２． ４ ± 二 ４ 此不等式组解起来十分困难． 函数 ： ，如图３，画出函数ｙ： ＜１ ＿＿ｌ＿（ ＞０）的图像在 轴上取两点 ．设 ＝ 一（ｍ＋１） —ｍ，由于方 程２ｘ 一（ｍ＋ｌ —ｍ＝Ｏ的一根在１ ＼ ｌ ０ ／Ｉ ２ Ａ（ｎ，０）、Ｂ（ｎ＋２，０），过Ａ、曰分另Ｕ 作 轴的垂线交图像于Ａ 、日 ，则 与２之间，另一根小于１．并且系 数ａ＝２＞Ｏ．则函数Ｙ所代表的抛物 线如图５所示，它开口向上，并且 图５ 斗．．． ４Ａ ＝ ，ＢＢ ＝— ＝．连接４曰得梯形Ａ日 Ａ ．再取线ＤＡＢ的中点Ｃ 几 凡十Ｚ （ｎ＋ｌ，０），作 轴的垂线段ＣＣ ，交Ａ Ｂ 于点Ｃ ，交曲线于点 Ｄ，则ｃｃ ￣ｆ．ＡＢＢ Ａ 的中位线．所以ｃｃ Ｉ（ＡＡ ＋ＢＢ ） ２＝ １（ ＋ １ ），且。ｃ＝ ．由于 ＝÷在（０，＋ ）上是凹的 所 ＩＡ）ＣＣ＇＞Ｄｃ，Ｂｐ （ ＋ １）＞ ｎ＋ｌ所以 ＋ ２． 本题如用代数的“比差法”或“比商法”证明也比较简单，以 “比差法”的思路展现如下： ２＋ 。 一 ＝丽２丽得 ｏ， ｎ叶ｌ ｎ（叶１）（ ）… …ｅ … ，ｎ（叶１）（ ）… 可得 ＋ 一＞ 一． 评注：本例虽然用代数方法也很简单．但是构造反比例函数 图像，进而与梯形的相关知识联系起来，省却了通分化简等繁琐 计算过程，给人以耳目一新的感觉． １．３构造二次函数图像。巧求参数值（或范围） 例３ 已知函数 ＝【（（ ｘ－１）Ｌｌ（ ｘ＜￣３）一５）２－１（＞３）’则使ｙ＝ 成立的 值恰 ，好有三个，则 的值为（ ）． Ａ ０ Ｂ １ Ｃ ２ Ｄ ３ ｝３ ／ 一 ２ Ｄ６ 一１ ／＿．蔓一 图４ 解析：在同一坐标系中分别画出二次函数，，。：（ 一１）２＿１（ ≤３） 和 ＝（ 一５）ｚ－１（ｘ＞３）的图像（如图４），抛物线Ｙ 和 的交点Ｑ在直 线ｘ＝３上（其中ｙ２与直线ｘ＝３的交点为空心点）．点９坐标为（３，３）． 过点Ｑ作 的平行线分别和Ｙ 和Ｙ２相交于点Ｐ、Ｓ，则点Ｐ、Ｑ、ｓ的纵 坐标相等．此时可知，使，，：３成立的 值恰好有三个，分别是Ｘｌ＝－－１， ｘ２＝３，ｘ３＝７．因此ｋ的值为３，选Ｄ． 例４ 已知关于 的方程２ｘｚ一（ｍ＋ｌ —ｍ＝０的一个根在１和 ２之间（不包括１、２），另一根小于１，求ｍ的取值范围． 解析：利用求根公式 １，２＇－—ｍ＋ｌ＋Ｘ／ｍ％ｌＯｍ＋ｌ——，依题意有 与确自有交点，一个在点（１，０）的左侧，一个在点（１，０）和点（２，０） 之间．这样，抛物线总在点（１，０）的下方和点（２，０）的上方通过， 即把 ＝ｌ代人函数解析式后，ｙ＜Ｏ，把 ＝２代人函数解析式后，ｙ＞Ｏ． ２ｘｌＬ（ｍ＋ｌ）ｘｌ－ｍ………＜０，解得｛胁 锄 ２． 评注：通过构造二次函数图像。把难以解决的问题很轻松化 解．可见适时地构造恰当的函数图像，可以将比较复杂的代数问 题图像化（几何化），使“数”的问题扎根在“形”的基础上，更加直 观形象，这种独辟蹊径的解题方式耐人寻味． １．４构造多种函数图像。判断高次方程根的情况 例５方程 叫ｚ＝三的正根个数为（ ）． Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ＿３ 解析：若按常规思路，将分式方 程去分母后得一元三次方程，求解有 一定的难度．如果令Ｙ，＝ ＋ ． ＝三，＾ 在同一坐标系里画出它们的图像（如 图６ 图６）．由于Ｙ。＝２ｘ－ｘ 的顶点Ｐ的坐标为（１，１），过点Ｐ作抛物线的对 称轴交曲线于ｙ 点ｐ，所以点Ｑ的坐标为（１，２）．由于抛物线开口 向下，所以点胁位于点ｐ的下方，即两函数图像在第一象限没 １ 有交点，故方程 ＝三的正根个数为０个，选Ａ． 评注：根据“正难则反”的原则。＇３一个问题我们按照常规思 －路从正面难以突破时，可以考虑转换角度进行尝试．上述例题通 过构造二次函数图像和反比例函数图像．把一个在初中知识范 围内难以解决的高次方程的问题轻松化解．使力不能及的任务 “一览见底”．真有 ｊ夺天工之妙． ２．巧构几何图形 ２．１ 构造数轴分段图，巧求代数式的最小值 例６求ｌｘ＋４『＋Ｉ 一２ｌ＋ｌ 一１ｌ的最小值． 图７ 勋 解析：因为不清楚 是怎样的实数，所以无法求出原式的值， 初中版中。 毒ｉ：・？ 圈嗣＿一
解题策略 也无从计算最小值．一般地，若数轴上两点表示的数分别为ａ、６， ａ（１—６）＋６（１一ｃ）＋ｃ（１－ａ）＜１． ２０１２年３月 则此两点之间的距离为ｌｎ—ｂ１．由此可知：ｌｘ＋４Ｉ即表示 与一４之 间的距离；ｌ 一２ｌ、ｌ 一１ １分别表示 与２、 与ｌ之间的距离．据此将 数轴以一４，２，１为界分为四段（如图７中的①、②、③、④），即 ≤一 ４，一４＜ｘ≤ｌ，ｌ＜ｘ≤２，ｘ＞２，然后逐段进行讨论． 解析：此不等式若用代数方法展开，需要用到平均数不等式 和不等式缩放等初中没有涉及的内 容，超出了初中生的知识和能力范围． 由式中的（１一ａ）、（１－ｂ）、（１一ｃ）想到构 造边长为１的正三角形，如图９所示． ＡＡＢＣ是边长为的正三角形，在边 结合图形进行观察分析可知，若 取在①处（比如 ），则 所 对应的点到一４，２，１的距离之和为一１—３ｘ≥１１；若 取在②处（比 如 ：），则 撕对血的点到一４，２，１的距离之和为７一 ，其中６４７一 ≤１０．依此类推，当 取１时，所对应的点到一４，２，１的距离之和最 短为６． 评注：有关绝对值的化简、求值或证明，经常利用数轴这一 ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ上分别取点Ｄ、Ｅ、Ｆ，依次 连接得ＡＤＥＦ，相关线段的长度如图所示 由于ＪＳＩ＋ｓ２＋５３＜５△ ｍ ，所以＿二 斗 图９ Ｉａ（１－ｂ）＋６（１一ｃ）＋ｃ（１－ａ）１＜ 图形工具一般地，对于 ＝ｌ — ｌ１＋ｌ ２ｌ＋…＋Ｉ Ｉ，我们把 １， ４ ×１ ｚ． ２，…， 称为绝对值“零点”（简称零点，如本例中的一４，１，２），将 数轴按零点进行分段．然后逐段进行讨论．当有奇数个零点时， 取最中间的一个零点时可使该点到各零点的距离之和最短，即 代数式 的值最小：当有偶数个零点时，则取最中间的两个零点 及这两个零点之间的任何数值均使该点到各零点的距离之和最 短．即代数式Ｍ的值最小． 所以０（１－ｂ）＋６（１－ｃ）＋ｃ（１－ａ）＜１． 评注：此题的求解给人一种酣畅淋漓的痛快之感，恰如一场 局部战役，不费“一枪一弹”而轻取城池，达到了“不战而屈人之 兵”的境界！巧构图形（图像）求解代数题，其优越性窥此一斑可 见全豹！ ２ｌ２构造勾股图。为不等式的证明巧助力 著名数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，割裂分家万事 休”，深刻地指出了数学解题过程中数形相依，互为利用的密切 关系．本文所述各例，足见数形结合的思想方法在解决数学问 题中不可替代的优越性．当某些代数问题很难用代数方法正面 解决时，我们可以尝试换个角度，通过构造图形（图像），用几何 所谓“勾股图”，是指利用勾股定理构造出的线段或三角形 ． 例７ 已知正数ｍ、ｎ、ｐ．求证：、／ Ｖ ２（ｍ＋ｎ＋ｐ）． ＋、ｖ／ ＋ｖ ≥ 解析：本题用初中代数知识很难解决，考虑到、／ｍ。＋ｎ 可以 看成是以ｍ、ｎ为直角边的直角三角形的斜边长，由＼厂’ （ｍ＋ｎ＋ Ｐ）想到它是以ｍ ＋ｆＪ为边长的正方形的对角线长，那么构造一 的方法对其进行转化，只要转换合理，构造的图形（图像）得当， 往往会收到事半功倍的效果．当然，最重要的是善于总结和提 炼，领会数形结合思想的深刻内涵，这样才能举一反三，得心应 手． 参考文献： １．孙维刚．初中数学．北京大学出版社．２００５，０ｌ ＿２．杭顺清，何强．沈军，袁海斌．初中数学解题高手．华东师 范大学出版社．２０１０．０６． 个如图８所示的图肜，由“两点之间，线段最短”有、／２（ｍ＋ｎ＋ｐ） Ｉ４ｃ≤ＡＥ＋Ｅｎ ＝￣／ｍ２＋ｎ２＋俪Ｅ、 Ｃ上，￣Ｏｍ＝ｎ＝ｐ时成立． ＋、 ，其中“＝”号只当 ３．潘小梅．数学课型及教学案例剖析（ＰＰＴ）．浙江宁波市北 仑区数学教师暑期培训．名师讲堂．２０１１，０８．● 图８ 中。 擞・？初中版
2024年3月3日发(作者：娄孤)
解题策略 ２０ｌ２年３月 ⑩浙江省宁波市北仑区顾国和中学“数形结合”是一种重要的数学思想方法．在初中数学中，存 在着大量与图形有关的问题难以用几何方法解决，而用代数方 则在海上相遇． 张良江 这是一道典型的构造函数图像解决代数问题的实例，体现 法却能轻松化解．同样，又不乏用图形等几何方法解决代数问题 的经典范例．本文试从一道数学趣题说开去，谈谈如何巧构图形 使代数问题几何化，即用构造图形（图像）的方法解决代数问题， 以期窥一斑而见全豹． 柳卡趣题 了数形结合思想的精髓．本题为构造图形（图像）解决代数问题 提供了方向． １．巧构函数图像 １．１ 构造一次函数图像．迁移“柳卡趣题” １９世纪法国数学家柳卡在一次国际数学会议上提出了一道 有趣的题目，它难倒了在场的所有数学家，连柳卡本人也没有彻 底解决．这道有趣的题目一般称作“柳卡趣题”，原题是这样的： 每天中午，某航运公司有一艘轮船从巴黎的外港——塞纳 河口的勒阿佛尔开往纽约．在每天的同一时间也有该公司的一 艘轮船从纽约开往勒阿佛尔．轮船在横渡大西洋途中所花时间 例１ 长途汽车在甲、乙两座城市之间往返行驶，每辆汽车 需要经过４小时到达对方城市．从上午６时开始，每隔１小时，从 甲、乙两座城市同时发出一辆长途汽车，最后一班车在下午４时 发出，那么从甲城发车的司机在途中最多能看到几辆迎面驶来 的从乙城发出的同一线路的车？ 解析：根据题意，画图，用竖线表示甲城到乙城的路，用横线 正好是七天七夜，并且假设在全部航程中轮船都是匀速行驶的， 轮船在大西洋上按照一定航线航行，在近距离内彼此可以看得 表示发车时间，用斜线表示汽车在途中的任何时刻的行驶位置， 两条斜线的相交点就是与对方车站发出的车的相遇点．因此，要 求从甲城发车的司机在途中最多能看到几辆迎面驶来的从乙城 到．那么，当今天中午从勒阿佛尔开出去的船Ａ到达纽约时，将会 遇到多少艘同一公司的轮船从对面开来？ 解析：以时间ｔ（天）为白变量，以轮船与勒阿佛尔港问的距 发出的同一线路的车，画出一天全部车辆的运行图（如图２）． 离ｓ为囚变量，显然，船Ａ及从纽约出发的各船的ｓ均是ｔ的一次函 数．在同一直角坐标系内分别作出它们的图像（如图１所示），其 中ｆ．为船Ａ相应的函数图像，ｍ 为比船Ａ早５天从纽约出发的船相 应的函数图象．ｆ 与ｍ 交于Ｐ （ｔ ），表示船Ａ与从纽约同时出发 的船在ｔ。天后相遇．图中与ｆ】相交的共有１５条线，故该船将遇到同 一乙城８ 甲城２ ７ ８ ９１０ １１ １２ １３１４ １ 图２ 公司的１５艘船． 从图２可以求出，从甲城开出的一辆车在途中最多能看Ｎ７ 辆迎面驶来的从乙城发出的同一线路的车（有７个相遇点），最少 也能在途中看到４辆（有４个相遇点）． 评注：通过构造一次函数图像，把一个数量关系极其复杂的 代数问题直观、形象地呈现出来．通过观察就可以对问题作出回 ． —－８－７—．６——５－４——３－－２——１（３ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１１２ １３１４１５ 答．足以说明，构造图形（图像）在解决某些代数问题时具有不可 替代的作用． 图１ 从图中可以看出，有１艘是在出发时遇到（从纽约港到达勒 １．２构造反比例函数图像．巧证不等式 １ １ １ 阿佛尔），１艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下的１３艘 例２已知ｎ∈Ｒ ，证明不等式＿Ｉ＋ｌ＿一＞ ． 中。 毒幺－？初中版
２０１２年３月 解析：由 联想到反比例 几 解题策略 ／－ｍ￣１＜—ｍ＋１＋Ｘ＋－ｆ＜２． ４ ± 二 ４ 此不等式组解起来十分困难． 函数 ： ，如图３，画出函数ｙ： ＜１ ＿＿ｌ＿（ ＞０）的图像在 轴上取两点 ．设 ＝ 一（ｍ＋１） —ｍ，由于方 程２ｘ 一（ｍ＋ｌ —ｍ＝Ｏ的一根在１ ＼ ｌ ０ ／Ｉ ２ Ａ（ｎ，０）、Ｂ（ｎ＋２，０），过Ａ、曰分另Ｕ 作 轴的垂线交图像于Ａ 、日 ，则 与２之间，另一根小于１．并且系 数ａ＝２＞Ｏ．则函数Ｙ所代表的抛物 线如图５所示，它开口向上，并且 图５ 斗．．． ４Ａ ＝ ，ＢＢ ＝— ＝．连接４曰得梯形Ａ日 Ａ ．再取线ＤＡＢ的中点Ｃ 几 凡十Ｚ （ｎ＋ｌ，０），作 轴的垂线段ＣＣ ，交Ａ Ｂ 于点Ｃ ，交曲线于点 Ｄ，则ｃｃ ￣ｆ．ＡＢＢ Ａ 的中位线．所以ｃｃ Ｉ（ＡＡ ＋ＢＢ ） ２＝ １（ ＋ １ ），且。ｃ＝ ．由于 ＝÷在（０，＋ ）上是凹的 所 ＩＡ）ＣＣ＇＞Ｄｃ，Ｂｐ （ ＋ １）＞ ｎ＋ｌ所以 ＋ ２． 本题如用代数的“比差法”或“比商法”证明也比较简单，以 “比差法”的思路展现如下： ２＋ 。 一 ＝丽２丽得 ｏ， ｎ叶ｌ ｎ（叶１）（ ）… …ｅ … ，ｎ（叶１）（ ）… 可得 ＋ 一＞ 一． 评注：本例虽然用代数方法也很简单．但是构造反比例函数 图像，进而与梯形的相关知识联系起来，省却了通分化简等繁琐 计算过程，给人以耳目一新的感觉． １．３构造二次函数图像。巧求参数值（或范围） 例３ 已知函数 ＝【（（ ｘ－１）Ｌｌ（ ｘ＜￣３）一５）２－１（＞３）’则使ｙ＝ 成立的 值恰 ，好有三个，则 的值为（ ）． Ａ ０ Ｂ １ Ｃ ２ Ｄ ３ ｝３ ／ 一 ２ Ｄ６ 一１ ／＿．蔓一 图４ 解析：在同一坐标系中分别画出二次函数，，。：（ 一１）２＿１（ ≤３） 和 ＝（ 一５）ｚ－１（ｘ＞３）的图像（如图４），抛物线Ｙ 和 的交点Ｑ在直 线ｘ＝３上（其中ｙ２与直线ｘ＝３的交点为空心点）．点９坐标为（３，３）． 过点Ｑ作 的平行线分别和Ｙ 和Ｙ２相交于点Ｐ、Ｓ，则点Ｐ、Ｑ、ｓ的纵 坐标相等．此时可知，使，，：３成立的 值恰好有三个，分别是Ｘｌ＝－－１， ｘ２＝３，ｘ３＝７．因此ｋ的值为３，选Ｄ． 例４ 已知关于 的方程２ｘｚ一（ｍ＋ｌ —ｍ＝０的一个根在１和 ２之间（不包括１、２），另一根小于１，求ｍ的取值范围． 解析：利用求根公式 １，２＇－—ｍ＋ｌ＋Ｘ／ｍ％ｌＯｍ＋ｌ——，依题意有 与确自有交点，一个在点（１，０）的左侧，一个在点（１，０）和点（２，０） 之间．这样，抛物线总在点（１，０）的下方和点（２，０）的上方通过， 即把 ＝ｌ代人函数解析式后，ｙ＜Ｏ，把 ＝２代人函数解析式后，ｙ＞Ｏ． ２ｘｌＬ（ｍ＋ｌ）ｘｌ－ｍ………＜０，解得｛胁 锄 ２． 评注：通过构造二次函数图像。把难以解决的问题很轻松化 解．可见适时地构造恰当的函数图像，可以将比较复杂的代数问 题图像化（几何化），使“数”的问题扎根在“形”的基础上，更加直 观形象，这种独辟蹊径的解题方式耐人寻味． １．４构造多种函数图像。判断高次方程根的情况 例５方程 叫ｚ＝三的正根个数为（ ）． Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ＿３ 解析：若按常规思路，将分式方 程去分母后得一元三次方程，求解有 一定的难度．如果令Ｙ，＝ ＋ ． ＝三，＾ 在同一坐标系里画出它们的图像（如 图６ 图６）．由于Ｙ。＝２ｘ－ｘ 的顶点Ｐ的坐标为（１，１），过点Ｐ作抛物线的对 称轴交曲线于ｙ 点ｐ，所以点Ｑ的坐标为（１，２）．由于抛物线开口 向下，所以点胁位于点ｐ的下方，即两函数图像在第一象限没 １ 有交点，故方程 ＝三的正根个数为０个，选Ａ． 评注：根据“正难则反”的原则。＇３一个问题我们按照常规思 －路从正面难以突破时，可以考虑转换角度进行尝试．上述例题通 过构造二次函数图像和反比例函数图像．把一个在初中知识范 围内难以解决的高次方程的问题轻松化解．使力不能及的任务 “一览见底”．真有 ｊ夺天工之妙． ２．巧构几何图形 ２．１ 构造数轴分段图，巧求代数式的最小值 例６求ｌｘ＋４『＋Ｉ 一２ｌ＋ｌ 一１ｌ的最小值． 图７ 勋 解析：因为不清楚 是怎样的实数，所以无法求出原式的值， 初中版中。 毒ｉ：・？ 圈嗣＿一
解题策略 也无从计算最小值．一般地，若数轴上两点表示的数分别为ａ、６， ａ（１—６）＋６（１一ｃ）＋ｃ（１－ａ）＜１． ２０１２年３月 则此两点之间的距离为ｌｎ—ｂ１．由此可知：ｌｘ＋４Ｉ即表示 与一４之 间的距离；ｌ 一２ｌ、ｌ 一１ １分别表示 与２、 与ｌ之间的距离．据此将 数轴以一４，２，１为界分为四段（如图７中的①、②、③、④），即 ≤一 ４，一４＜ｘ≤ｌ，ｌ＜ｘ≤２，ｘ＞２，然后逐段进行讨论． 解析：此不等式若用代数方法展开，需要用到平均数不等式 和不等式缩放等初中没有涉及的内 容，超出了初中生的知识和能力范围． 由式中的（１一ａ）、（１－ｂ）、（１一ｃ）想到构 造边长为１的正三角形，如图９所示． ＡＡＢＣ是边长为的正三角形，在边 结合图形进行观察分析可知，若 取在①处（比如 ），则 所 对应的点到一４，２，１的距离之和为一１—３ｘ≥１１；若 取在②处（比 如 ：），则 撕对血的点到一４，２，１的距离之和为７一 ，其中６４７一 ≤１０．依此类推，当 取１时，所对应的点到一４，２，１的距离之和最 短为６． 评注：有关绝对值的化简、求值或证明，经常利用数轴这一 ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ上分别取点Ｄ、Ｅ、Ｆ，依次 连接得ＡＤＥＦ，相关线段的长度如图所示 由于ＪＳＩ＋ｓ２＋５３＜５△ ｍ ，所以＿二 斗 图９ Ｉａ（１－ｂ）＋６（１一ｃ）＋ｃ（１－ａ）１＜ 图形工具一般地，对于 ＝ｌ — ｌ１＋ｌ ２ｌ＋…＋Ｉ Ｉ，我们把 １， ４ ×１ ｚ． ２，…， 称为绝对值“零点”（简称零点，如本例中的一４，１，２），将 数轴按零点进行分段．然后逐段进行讨论．当有奇数个零点时， 取最中间的一个零点时可使该点到各零点的距离之和最短，即 代数式 的值最小：当有偶数个零点时，则取最中间的两个零点 及这两个零点之间的任何数值均使该点到各零点的距离之和最 短．即代数式Ｍ的值最小． 所以０（１－ｂ）＋６（１－ｃ）＋ｃ（１－ａ）＜１． 评注：此题的求解给人一种酣畅淋漓的痛快之感，恰如一场 局部战役，不费“一枪一弹”而轻取城池，达到了“不战而屈人之 兵”的境界！巧构图形（图像）求解代数题，其优越性窥此一斑可 见全豹！ ２ｌ２构造勾股图。为不等式的证明巧助力 著名数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，割裂分家万事 休”，深刻地指出了数学解题过程中数形相依，互为利用的密切 关系．本文所述各例，足见数形结合的思想方法在解决数学问 题中不可替代的优越性．当某些代数问题很难用代数方法正面 解决时，我们可以尝试换个角度，通过构造图形（图像），用几何 所谓“勾股图”，是指利用勾股定理构造出的线段或三角形 ． 例７ 已知正数ｍ、ｎ、ｐ．求证：、／ Ｖ ２（ｍ＋ｎ＋ｐ）． ＋、ｖ／ ＋ｖ ≥ 解析：本题用初中代数知识很难解决，考虑到、／ｍ。＋ｎ 可以 看成是以ｍ、ｎ为直角边的直角三角形的斜边长，由＼厂’ （ｍ＋ｎ＋ Ｐ）想到它是以ｍ ＋ｆＪ为边长的正方形的对角线长，那么构造一 的方法对其进行转化，只要转换合理，构造的图形（图像）得当， 往往会收到事半功倍的效果．当然，最重要的是善于总结和提 炼，领会数形结合思想的深刻内涵，这样才能举一反三，得心应 手． 参考文献： １．孙维刚．初中数学．北京大学出版社．２００５，０ｌ ＿２．杭顺清，何强．沈军，袁海斌．初中数学解题高手．华东师 范大学出版社．２０１０．０６． 个如图８所示的图肜，由“两点之间，线段最短”有、／２（ｍ＋ｎ＋ｐ） Ｉ４ｃ≤ＡＥ＋Ｅｎ ＝￣／ｍ２＋ｎ２＋俪Ｅ、 Ｃ上，￣Ｏｍ＝ｎ＝ｐ时成立． ＋、 ，其中“＝”号只当 ３．潘小梅．数学课型及教学案例剖析（ＰＰＴ）．浙江宁波市北 仑区数学教师暑期培训．名师讲堂．２０１１，０８．● 图８ 中。 擞・？初中版