2024年3月10日发(作者：似高歌)

已知在（L

2

, L

z

）共同表象（

Y

lm

是其共同本征函数），L=1的子空间中，

1. 利用角动量的升降算符，求出L

y

在（L

2

, L

z

）共同表象中的矩阵表示，并求

出其相应的本征值以及本征态

2. 如果体系处于态

Y

(



,



)

1



1

（其中

Y

11

是（L

2

, L

z

）的共同本征态），试根据1求出中L

x

的可能取值及相应的

概率. （已知角动量升降算符对波函数的作用有以下形式）

ˆˆ

L

x



1

2

(L





L



),L

y



1

2i

ˆ



L

ˆ

)(L



L



Y

lm





l(l



1)



m(m



1)Y

l,m



1

L



Y

lm





l(l



1)



m(m



1)Y

l,m



1

1. 解：在L=1的子空间，L

z

的取值为



，0 ，



，相应的本征函数为

Y

11

Y

10

Y

11

令

u

1

Y

11

，

u

2

Y

10

，

u

3

Y

11

（按本征值由大到小排列，L=1的子空间有三个基

矢，L

y

一定是3行3列的矩阵）

ˆ

ud



,

m

,

n

1,2,3

L

y

的矩阵元可以写为

(L

y

)

mn





u

m

*L

yn

ˆ

ud





Y*L

ˆ

Yd





1

Y*L

ˆ

Yd





1

Y

*

L

(L

y

)

11





u

1

*L

y1



11y11

2i



11



11

2i



11

ˆ



Y

11

d





0

同理可得

(L

y

)

22



(L

y

)

33



(L

y

)

13



(L

y

)

31



0

（角动量磁量子数m增加（L+的作用）或者减（L-的

作用）都不能使算符两边的本征函数

Y

lm

的m值相等，比如L

+

作用Y

1-1

（u

3

）只能变为Y

10

（u

1

）根据正交归一化条件，



ˆ

Yd



~Y*Yd



0

这样被积函数等于零）

Y

11

*

L

，因



1



1



1110

此凡是

(L

y

)

mn

中，m-n绝对值相差2或者以上都等于零，只有m-n绝对值等于1才会有取

值，包括

(L

x

)

mn

也是一样的）

ˆ

ud





Y*L

ˆ

Yd





1

Y*L

ˆ

Yd





1

Y*L(L

y

)

12





u

1

*L

y2



11y10

2i



11



10

2i



11

ˆ



Y

10

d



12i



2





Y

11

*Y

11

d





0





2i2

同理可得

(L

y

)

21



2i

2i

2i



，

(L

y

)

23



，

(L

y

)

32



2

2

2

所以在L

z

表象中，L

y

的矩阵表示为：

(L

y

)

mn



0









i

2





0



i

0

i

0







i



0





求解L

y

的本征方程：

L

y



l

y



（l

y

是本征值，令l

y=





）写成矩阵有

2

0



a







i



b



0

，（1）要使a,b,c不











c





0







i

2





0



i

0

i

0



a





i



a















i



b









b



化简



i





2



c



00



i



c



全为零，其久期方程为0





i

0



i





i

0



i



0

展开





(



2

1)i(



i)0

得到





(



2

2)0

所以







1



2,



2



0,



3



2

，因此L

y

的本征值为

,0,

（由大到小写）





2



i0





a









c



a





2



i



b





0

解得



代入归

l

y



,



1



2

：代入（1）式，得到

i







b



2ai



0





c



i



2



一化条件

abc1

得到

a

222

2

2aia1

所以

a

2

2

1

（去掉负值以及复数

2

1



c





2



值），这样





b



2

i



2





1





1



于是本征态为



1





2i



2







1









1



1







同理，

l

y

0,



2

0

，本征态为

2



0



2





1



2024年3月10日发(作者：似高歌)

已知在（L

2

, L

z

）共同表象（

Y

lm

是其共同本征函数），L=1的子空间中，

1. 利用角动量的升降算符，求出L

y

在（L

2

, L

z

）共同表象中的矩阵表示，并求

出其相应的本征值以及本征态

2. 如果体系处于态

Y

(



,



)

1



1

（其中

Y

11

是（L

2

, L

z

）的共同本征态），试根据1求出中L

x

的可能取值及相应的

概率. （已知角动量升降算符对波函数的作用有以下形式）

ˆˆ

L

x



1

2

(L





L



),L

y



1

2i

ˆ



L

ˆ

)(L



L



Y

lm





l(l



1)



m(m



1)Y

l,m



1

L



Y

lm





l(l



1)



m(m



1)Y

l,m



1

1. 解：在L=1的子空间，L

z

的取值为



，0 ，



，相应的本征函数为

Y

11

Y

10

Y

11

令

u

1

Y

11

，

u

2

Y

10

，

u

3

Y

11

（按本征值由大到小排列，L=1的子空间有三个基

矢，L

y

一定是3行3列的矩阵）

ˆ

ud



,

m

,

n

1,2,3

L

y

的矩阵元可以写为

(L

y

)

mn





u

m

*L

yn

ˆ

ud





Y*L

ˆ

Yd





1

Y*L

ˆ

Yd





1

Y

*

L

(L

y

)

11





u

1

*L

y1



11y11

2i



11



11

2i



11

ˆ



Y

11

d





0

同理可得

(L

y

)

22



(L

y

)

33



(L

y

)

13



(L

y

)

31



0

（角动量磁量子数m增加（L+的作用）或者减（L-的

作用）都不能使算符两边的本征函数

Y

lm

的m值相等，比如L

+

作用Y

1-1

（u

3

）只能变为Y

10

（u

1

）根据正交归一化条件，



ˆ

Yd



~Y*Yd



0

这样被积函数等于零）

Y

11

*

L

，因



1



1



1110

此凡是

(L

y

)

mn

中，m-n绝对值相差2或者以上都等于零，只有m-n绝对值等于1才会有取

值，包括

(L

x

)

mn

也是一样的）

ˆ

ud





Y*L

ˆ

Yd





1

Y*L

ˆ

Yd





1

Y*L(L

y

)

12





u

1

*L

y2



11y10

2i



11



10

2i



11

ˆ



Y

10

d



12i



2





Y

11

*Y

11

d





0





2i2

同理可得

(L

y

)

21



2i

2i

2i



，

(L

y

)

23



，

(L

y

)

32



2

2

2

所以在L

z

表象中，L

y

的矩阵表示为：

(L

y

)

mn



0









i

2





0



i

0

i

0







i



0





求解L

y

的本征方程：

L

y



l

y



（l

y

是本征值，令l

y=





）写成矩阵有

2

0



a







i



b



0

，（1）要使a,b,c不











c





0







i

2





0



i

0

i

0



a





i



a















i



b









b



化简



i





2



c



00



i



c



全为零，其久期方程为0





i

0



i





i

0



i



0

展开





(



2

1)i(



i)0

得到





(



2

2)0

所以







1



2,



2



0,



3



2

，因此L

y

的本征值为

,0,

（由大到小写）





2



i0





a









c



a





2



i



b





0

解得



代入归

l

y



,



1



2

：代入（1）式，得到

i







b



2ai



0





c



i



2



一化条件

abc1

得到

a

222

2

2aia1

所以

a

2

2

1

（去掉负值以及复数

2

1



c





2



值），这样





b



2

i



2





1





1



于是本征态为



1





2i



2







1









1



1







同理，

l

y

0,



2

0

，本征态为

2



0



2





1

