2024年3月10日发(作者：续丽君)

第 次课

摘要

授课题目 （章、节）：

13-5轴的强度校核计算

13-6轴的刚度校核

教学主要内容及重点难点：

重点：

轴的强度验算轴的刚度校核

难点：

轴的强度验算轴的刚度校核

内容

复习：

１ 轴的结构设计

2 轴的强度计算

新课：

13-5轴的强度校核计算

设计如图所示一带式输送机

中的单级斜齿轮减速器的低速

轴。

已知电动机的功率为

P=25kW，转速n

1

=970r/min，传

动零件（齿轮）的主要参数及尺

图12－28

寸为：法面模数为m

n

=4mm，齿数比u=3.95,小齿轮齿数z

1

＝

20，大齿轮齿数为z

2

＝79，分度圆上的螺旋角为



8634



'"

，小

齿轮分度圆直径为d

1

＝80.81mm，大齿轮分度圆直径为d

2

＝

319.19mm，中心距为a=200mm，齿宽为B

1

=85mm，B

2

=80mm。

一、选择轴的材料

该轴没有特殊的要求，因而选用调质处理的45号钢，可以

查的其强度极限



B

＝650MPa。

二、初步估算轴径

按扭转强度估算输出端联轴器处的最小直径，根据表按45

号钢，取A＝110；

输出轴的功率P

2

=Pη

1

η

2

η（等于0.99；

3

η

1

为联轴器的效率，

η

2

为滚动轴承的效率，取为0.99；η

3

为齿轮传动效率，取为

0.98），所以P

2

=25×0.99×0.99×0.98＝24.5kW；

输出轴转速为n

2

=970/3.95=245.6r/min，

根据公式有：

d

min

A

3

P

2

n

2

110

3

24

245.6

50.7mm

由于在联轴器处有一个键槽，轴径应增加5％；为了使所

选轴径与联轴器孔径相适

应，需要同时选取联轴器。

从手册可以查的，选用HL4

弹性联轴器J55×84/Y55

×112GB5014-85。故取联

轴器联接的轴径为55mm。

三、轴的结构设计

根据齿轮减速器的简图确定轴上主要零件的布臵图（如图）

和轴的初步估算定出轴径进行轴的结构设计。

1、轴上零件的轴向定位

齿轮的一端靠轴肩定位，另一端靠套筒定位，装拆、传力

均较为方便；两段端承常用同一尺寸，以便于购买、加工、安

装和维修；为了便于拆装轴承，轴承处轴肩不宜过高（其高度

图12－29

最大值可从轴承标准中

查得），故左端轴承与齿

轮间设臵两个轴肩，如图

所示。

2、轴上零件得周向

定位

图12－30

齿轮与轴、半联轴器与轴得周向定位均采用平键联接及过

盈配合。根据设计手册，并考虑便于加工，取在齿轮、半联轴

器处得键剖面尺

寸为

b×h=18×11，配

合均采用

H7/k6；滚动轴承

内圈与轴的配合

图12－31

采用基孔制，轴得尺寸公差为k6。

3、确定各段轴径直径和长度

如图所示。

轴径：从联轴器开始向左取

ф55→ф62→ф65→ф70→ф80→ф70→ф65

轴长：取决于轴上零件得宽度及他们得相对位臵。选用

7213C轴承，其宽度为23mm；齿轮端面至箱体壁间得距离取

a＝15mm；考虑到箱体得铸造误差，装配时留有余地，取滚动

轴承与箱体内边距s=5mm；轴承处箱体凸缘宽度，应按箱盖与

箱座联接螺栓尺寸及结构要求确定，暂定：该宽度＝轴承宽＋

（0.08～0.1）a＋（10～20）mm，取为50mm；轴承盖厚度

取为20mm；轴承盖与联轴器之间得距离取为15 mm；半联轴

器与轴配合长度为84mm，为使压板压住半联轴器，取其相应

得轴长为82mm；已知齿轮宽度为B

2

=80mm，为使套筒压住齿

轮端面，取其相应得轴长为78mm。

根据以上考虑可确定每段轴长，并可以计算出轴承与齿轮、

联轴器间得跨度。

4、考虑轴的结构工艺性

考虑轴的结构工艺性，在轴的左端与右端均制成2×45º倒

角；左端支撑轴承的轴径为磨削加工到位，留有砂轮越程槽；

为便于加工，齿轮、半联轴器处的键槽布臵在同一母线上，并

取同一剖面尺寸。

四、轴的强度计算

先作出轴的受力计算图（即力学模型）如图中a所示，取

集中载荷作用于齿轮及

轴承的中点。

1）求齿轮上作用力

的大小和方向

转

矩:T

2

=9.55×10

3

P

2

/n

2

=9.55×10

3

×24/2

45.6=933.2(Nm)

圆周力：F

t2

=2T

2

/d

2

=2×933200/319.19=5847(N)

径向力：

F

r2

= F

t2

tan



n

cos



=5847×

tan20



轴向力：

F

a2

= F

t2

tan



cos8634



'"

=2150(N)

=5847×

tan8



6

'

34

"

=833(N)

F

t2

、F

r2

、F

a2

的方向如图所示。

2）求轴承的支反力

水平面上的支反力：F

RA

=F

RB

=F

t2

/2=5847/2=2923.5(N)

'

垂直面上的支反力：（－F

a2

d

2

/2+71 F

r2

）/142=139(N)

F

RA

＝

F

RB

'

＝(F

a2

d

2

/2+71 F

r2

）/142=2011(N)

3）画弯矩图（如图b、c、d）

剖面C处的弯矩

水平面上的弯矩：M

C

＝71

F

RA

×10

-3

=71×2923.5×10

-3

=207.6(Nm)

垂直面上的弯矩：

M

'

C1

＝

'

71

F

RA

×10

-3

=71×139×10

-3

=9.87(Nm）

M

'

C2

＝(71

F

RA

'

+ F

a2

d

2

/2)

×10

-3

=(139×71+833×319.19/2) ×10

-3

=148.2(Nm)

合成弯矩：M

C1

＝

＝252.0（Nm）

M

2

c

M

'2

c1

＝207.8(Nm)；M

C2

＝

M

2

c

M

'2

c2

4）画合成弯矩图（如图e）

T

2

=933.2(Nm)

5）画当量弯矩图（如图f）

因为单向回转，视转矩为脉动循环，





[



1

]

b

[



0

]

b

。

已知



B

＝650MPa，查表得：

[



1

]

b

＝59MPa，

[



0

]

b

＝

98MPa，则



＝0.602

"

剖面C处的当量弯矩：

M

C1

M

M

2

c1

(



T

2

)

2

＝207.8(Nm)

＝615.7(Nm)

M

C2



"2

c2

(



T

2

)

2

6）判断危险剖面并验算强度

（1）剖面C当量弯矩最大，二其直径与邻接段相差不大，

故剖面C为危险剖面。

已知M

e

＝

M



e



M

W

e

"

C2

＝615.7(Nm) ，

[



1

]

b

＝59MPa，

M

e

3



0.1d



615.710

0.170

3

3

＝18.0MPa <

[



1

]

b

＝

59MPa

（2）剖面D处虽然仅受转矩，但其直径较小，则该剖面也

为危险剖面。

M

D

(



T)

2





T

＝562(Nm)

3

3



e

59MPa



M

W



M

D

3

0.1d



56210

0.155

＝33.8 MPa <

[



1

]

b

＝

所以强度足够。

13-6轴的刚度校核

在载荷的作用下，轴将产生一定的弯曲变形。若变形量超

过允许的限度，就会影响轴上零件的正常工作，甚至会丧失及

其应有的工作性能。例如，安装齿轮的轴，若弯曲刚度（或扭

转刚度）不足而导致挠度（或扭转角）过大时，将影响齿轮的

正常啮合，使齿轮沿齿宽和齿高方向接触不良，造成载荷在齿

面上严重分布不均。又如采用滑动轴承的轴，若挠度过大而导

致轴颈偏斜过大时，将使轴颈和滑动轴承产生边缘接触，造成

不均匀磨损和过度发热。因此，在设计有刚度要求的轴时，必

须进行刚度的校核计算。

一、轴的弯曲刚度校核

常见的轴可以视为简支梁。若是光轴，可以直接利用材料

力学中的公式计算其挠度或偏转角；若是阶梯轴，如果对计算

精度要求不高，则可用当量直径法座近似计算，即把阶梯轴看

成时当量直径为d

v

的光轴，然后再按材料力学的公式进行计算。

当量直径为：

d

v



4

L

z



d

i1

l

i

4

i

式中：

l

i

为阶梯轴第i段的长度（mm）

d

i

为阶梯轴第i段的直径（mm）

L为阶梯轴总长度（mm）

Z为阶梯轴计算长度内的轴段数

当载荷作用于两支撑之间时，L为支撑跨距；当载荷作用

于悬臂端时，L等于悬臂长度加上跨距。

许用偏转角或允许挠度可以根据设计不同查阅相关手册得

到。

二、轴的扭转刚度校核

轴的扭转变形用每米长的转角φ来表示。圆轴扭转角φ的

计算公式为：

光轴：



5.7310

4

T

GI

p

1

z

阶梯轴：



5.7310

4

LG



i1

T

i

l

i

I

pi

式中：T为转轴所受的扭矩 (Nm)

G为轴材料的剪切弹性模量（MPa），钢材G＝

8.1×10

4

（MPa）

I

p

为轴截面的极惯性矩（mm

4

），对于圆轴

I

＝π

p

d

4

/32

L为阶梯轴受扭矩作用的长度（mm）

Z为阶梯轴受扭矩作用的轴段数

轴的扭转刚度条件为：φ ≤ [φ]

对于一般传动的场合，可取[φ]＝（0.5～1）º/m；

对于精密传动的轴 [φ]＝（0.25～0.5）º/m；

对于精度要求不高的轴[φ]可以大于1º/m；

小结：

１轴的强度校核计算

2轴的刚度校核

作业：P228.7

2024年3月10日发(作者：续丽君)

第 次课

摘要

授课题目 （章、节）：

13-5轴的强度校核计算

13-6轴的刚度校核

教学主要内容及重点难点：

重点：

轴的强度验算轴的刚度校核

难点：

轴的强度验算轴的刚度校核

内容

复习：

１ 轴的结构设计

2 轴的强度计算

新课：

13-5轴的强度校核计算

设计如图所示一带式输送机

中的单级斜齿轮减速器的低速

轴。

已知电动机的功率为

P=25kW，转速n

1

=970r/min，传

动零件（齿轮）的主要参数及尺

图12－28

寸为：法面模数为m

n

=4mm，齿数比u=3.95,小齿轮齿数z

1

＝

20，大齿轮齿数为z

2

＝79，分度圆上的螺旋角为



8634



'"

，小

齿轮分度圆直径为d

1

＝80.81mm，大齿轮分度圆直径为d

2

＝

319.19mm，中心距为a=200mm，齿宽为B

1

=85mm，B

2

=80mm。

一、选择轴的材料

该轴没有特殊的要求，因而选用调质处理的45号钢，可以

查的其强度极限



B

＝650MPa。

二、初步估算轴径

按扭转强度估算输出端联轴器处的最小直径，根据表按45

号钢，取A＝110；

输出轴的功率P

2

=Pη

1

η

2

η（等于0.99；

3

η

1

为联轴器的效率，

η

2

为滚动轴承的效率，取为0.99；η

3

为齿轮传动效率，取为

0.98），所以P

2

=25×0.99×0.99×0.98＝24.5kW；

输出轴转速为n

2

=970/3.95=245.6r/min，

根据公式有：

d

min

A

3

P

2

n

2

110

3

24

245.6

50.7mm

由于在联轴器处有一个键槽，轴径应增加5％；为了使所

选轴径与联轴器孔径相适

应，需要同时选取联轴器。

从手册可以查的，选用HL4

弹性联轴器J55×84/Y55

×112GB5014-85。故取联

轴器联接的轴径为55mm。

三、轴的结构设计

根据齿轮减速器的简图确定轴上主要零件的布臵图（如图）

和轴的初步估算定出轴径进行轴的结构设计。

1、轴上零件的轴向定位

齿轮的一端靠轴肩定位，另一端靠套筒定位，装拆、传力

均较为方便；两段端承常用同一尺寸，以便于购买、加工、安

装和维修；为了便于拆装轴承，轴承处轴肩不宜过高（其高度

图12－29

最大值可从轴承标准中

查得），故左端轴承与齿

轮间设臵两个轴肩，如图

所示。

2、轴上零件得周向

定位

图12－30

齿轮与轴、半联轴器与轴得周向定位均采用平键联接及过

盈配合。根据设计手册，并考虑便于加工，取在齿轮、半联轴

器处得键剖面尺

寸为

b×h=18×11，配

合均采用

H7/k6；滚动轴承

内圈与轴的配合

图12－31

采用基孔制，轴得尺寸公差为k6。

3、确定各段轴径直径和长度

如图所示。

轴径：从联轴器开始向左取

ф55→ф62→ф65→ф70→ф80→ф70→ф65

轴长：取决于轴上零件得宽度及他们得相对位臵。选用

7213C轴承，其宽度为23mm；齿轮端面至箱体壁间得距离取

a＝15mm；考虑到箱体得铸造误差，装配时留有余地，取滚动

轴承与箱体内边距s=5mm；轴承处箱体凸缘宽度，应按箱盖与

箱座联接螺栓尺寸及结构要求确定，暂定：该宽度＝轴承宽＋

（0.08～0.1）a＋（10～20）mm，取为50mm；轴承盖厚度

取为20mm；轴承盖与联轴器之间得距离取为15 mm；半联轴

器与轴配合长度为84mm，为使压板压住半联轴器，取其相应

得轴长为82mm；已知齿轮宽度为B

2

=80mm，为使套筒压住齿

轮端面，取其相应得轴长为78mm。

根据以上考虑可确定每段轴长，并可以计算出轴承与齿轮、

联轴器间得跨度。

4、考虑轴的结构工艺性

考虑轴的结构工艺性，在轴的左端与右端均制成2×45º倒

角；左端支撑轴承的轴径为磨削加工到位，留有砂轮越程槽；

为便于加工，齿轮、半联轴器处的键槽布臵在同一母线上，并

取同一剖面尺寸。

四、轴的强度计算

先作出轴的受力计算图（即力学模型）如图中a所示，取

集中载荷作用于齿轮及

轴承的中点。

1）求齿轮上作用力

的大小和方向

转

矩:T

2

=9.55×10

3

P

2

/n

2

=9.55×10

3

×24/2

45.6=933.2(Nm)

圆周力：F

t2

=2T

2

/d

2

=2×933200/319.19=5847(N)

径向力：

F

r2

= F

t2

tan



n

cos



=5847×

tan20



轴向力：

F

a2

= F

t2

tan



cos8634



'"

=2150(N)

=5847×

tan8



6

'

34

"

=833(N)

F

t2

、F

r2

、F

a2

的方向如图所示。

2）求轴承的支反力

水平面上的支反力：F

RA

=F

RB

=F

t2

/2=5847/2=2923.5(N)

'

垂直面上的支反力：（－F

a2

d

2

/2+71 F

r2

）/142=139(N)

F

RA

＝

F

RB

'

＝(F

a2

d

2

/2+71 F

r2

）/142=2011(N)

3）画弯矩图（如图b、c、d）

剖面C处的弯矩

水平面上的弯矩：M

C

＝71

F

RA

×10

-3

=71×2923.5×10

-3

=207.6(Nm)

垂直面上的弯矩：

M

'

C1

＝

'

71

F

RA

×10

-3

=71×139×10

-3

=9.87(Nm）

M

'

C2

＝(71

F

RA

'

+ F

a2

d

2

/2)

×10

-3

=(139×71+833×319.19/2) ×10

-3

=148.2(Nm)

合成弯矩：M

C1

＝

＝252.0（Nm）

M

2

c

M

'2

c1

＝207.8(Nm)；M

C2

＝

M

2

c

M

'2

c2

4）画合成弯矩图（如图e）

T

2

=933.2(Nm)

5）画当量弯矩图（如图f）

因为单向回转，视转矩为脉动循环，





[



1

]

b

[



0

]

b

。

已知



B

＝650MPa，查表得：

[



1

]

b

＝59MPa，

[



0

]

b

＝

98MPa，则



＝0.602

"

剖面C处的当量弯矩：

M

C1

M

M

2

c1

(



T

2

)

2

＝207.8(Nm)

＝615.7(Nm)

M

C2



"2

c2

(



T

2

)

2

6）判断危险剖面并验算强度

（1）剖面C当量弯矩最大，二其直径与邻接段相差不大，

故剖面C为危险剖面。

已知M

e

＝

M



e



M

W

e

"

C2

＝615.7(Nm) ，

[



1

]

b

＝59MPa，

M

e

3



0.1d



615.710

0.170

3

3

＝18.0MPa <

[



1

]

b

＝

59MPa

（2）剖面D处虽然仅受转矩，但其直径较小，则该剖面也

为危险剖面。

M

D

(



T)

2





T

＝562(Nm)

3

3



e

59MPa



M

W



M

D

3

0.1d



56210

0.155

＝33.8 MPa <

[



1

]

b

＝

所以强度足够。

13-6轴的刚度校核

在载荷的作用下，轴将产生一定的弯曲变形。若变形量超

过允许的限度，就会影响轴上零件的正常工作，甚至会丧失及

其应有的工作性能。例如，安装齿轮的轴，若弯曲刚度（或扭

转刚度）不足而导致挠度（或扭转角）过大时，将影响齿轮的

正常啮合，使齿轮沿齿宽和齿高方向接触不良，造成载荷在齿

面上严重分布不均。又如采用滑动轴承的轴，若挠度过大而导

致轴颈偏斜过大时，将使轴颈和滑动轴承产生边缘接触，造成

不均匀磨损和过度发热。因此，在设计有刚度要求的轴时，必

须进行刚度的校核计算。

一、轴的弯曲刚度校核

常见的轴可以视为简支梁。若是光轴，可以直接利用材料

力学中的公式计算其挠度或偏转角；若是阶梯轴，如果对计算

精度要求不高，则可用当量直径法座近似计算，即把阶梯轴看

成时当量直径为d

v

的光轴，然后再按材料力学的公式进行计算。

当量直径为：

d

v



4

L

z



d

i1

l

i

4

i

式中：

l

i

为阶梯轴第i段的长度（mm）

d

i

为阶梯轴第i段的直径（mm）

L为阶梯轴总长度（mm）

Z为阶梯轴计算长度内的轴段数

当载荷作用于两支撑之间时，L为支撑跨距；当载荷作用

于悬臂端时，L等于悬臂长度加上跨距。

许用偏转角或允许挠度可以根据设计不同查阅相关手册得

到。

二、轴的扭转刚度校核

轴的扭转变形用每米长的转角φ来表示。圆轴扭转角φ的

计算公式为：

光轴：



5.7310

4

T

GI

p

1

z

阶梯轴：



5.7310

4

LG



i1

T

i

l

i

I

pi

式中：T为转轴所受的扭矩 (Nm)

G为轴材料的剪切弹性模量（MPa），钢材G＝

8.1×10

4

（MPa）

I

p

为轴截面的极惯性矩（mm

4

），对于圆轴

I

＝π

p

d

4

/32

L为阶梯轴受扭矩作用的长度（mm）

Z为阶梯轴受扭矩作用的轴段数

轴的扭转刚度条件为：φ ≤ [φ]

对于一般传动的场合，可取[φ]＝（0.5～1）º/m；

对于精密传动的轴 [φ]＝（0.25～0.5）º/m；

对于精度要求不高的轴[φ]可以大于1º/m；

小结：

１轴的强度校核计算

2轴的刚度校核

作业：P228.7