2024年3月15日发(作者：权香芹)
2020年湖南省邵阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）2020的倒数是（ ）
A．﹣2020 B．2020 C． D．﹣
2．（3分）下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，标志着拥有全部知识产
权的北斗导航系统全面建成．据统计：2019年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体
产值达3450亿元，较2018年增长14.4%．其中，3450亿元用科学记数法表示为（ ）
A．3.45×10
10
元
C．3.45×10
8
元
B．3.45×10
9
元
D．3.45×10
11
元
4．（3分）设方程x
2
﹣3x+2＝0的两根分别是x
1
，x
2
，则x
1
+x
2
的值为（ ）
A．3 B．﹣ C． D．﹣2
5．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（2，3），把正比例函数y＝kx（k≠0）
的图象平移，使它过点（1，﹣1），则平移后的函数图象大致是（ ）
A． B．
第30页（共30页）
C． D．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．5+＝8 B．（﹣2a
2
b）
3
＝﹣6a
2
b
3
D．＝a﹣2 C．（a﹣b）
2
＝a
2
﹣b
2
7．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一
个条件使得△ABE≌△CDF，下列不正确的是（ ）
A．AE＝CF B．∠AEB＝∠CFD C．∠EAB＝∠FCD D．BE＝DF
8．（3分）已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标
可能是（ ）
A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b）
9．（3分）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该
图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则
图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案
上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘
制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
第30页（共30页）
A．6m
2
B．7m
2
C．8m
2
D．9m
2
10．（3分）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：
（1）将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A
1
处，
（2）将DP沿DA
1
向内继续折叠，使点P落在点P
1
处，折痕与边AB交于点M．
若P
1
M⊥AB，则∠DP
1
M的大小是（ ）
A．135° B．120° C．112.5° D．115°
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）因式分解：2x
2
﹣18＝ ．
12．（3分）如图，已知点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥y轴于
点B，△OAB的面积是2．则k的值是 ．
13．（3分）据统计：2019年，邵阳市在教育扶贫方面，共资助学生91.3万人次，全市没有
第30页（共30页）
一名学生因贫失学，其中，某校老师承担了对甲，乙两名学生每周“送教上门”的任务，
以下是甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）：
甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；
乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9．
从接受“送教上门”的时间波动大小来看， 学生每周接受送教的时间更稳定．（填
“甲”或“乙”）
14．（3分）如图，线段AB＝10cm，用尺规作图法按如下步骤作图．
（1）过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC＝AB；
（2）连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点E；
（3）以点A为圆心，AE为半径画弧，交AB于点D．即点D为线段AB的黄金分割点．则
线段AD的长度约为 cm．（结果保留两位小数，参考数据：
＝2.236）
＝1.414，＝1.732，
15．（3分）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2
个空格的实数之积为 ．
3
1
2
3
6
16．（3分）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，
只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为
864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，
则依题意列方程为 ．
17．（3分）如图①是山东舰徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中
国首艘国产舰母橫空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为
10π的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线
长AB为 ．
第30页（共30页）
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝，过点C作CF∥AB，以
AB为边作菱形ABEF，若∠F＝30°，则Rt△ABC的面积为 ．
三、解答题（本大题有8个小题，第19～25题每题8分，第26是10分，共66分．解答
应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
19．（8分）计算：（﹣1）
2020
+（）
1
+|﹣1+
﹣
|﹣2sin60°．
20．（8分）已知：|m﹣1|+
（1）求m，n的值；
＝0，
（2）先化简，再求值：m（m﹣3n）+（m+2n）
2
﹣4n
2
．
21．（8分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，以BD为直径的⊙O过
点A，连接AD，∠CAD＝∠C．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，求⊙O的半径．
22．（8分）2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程﹣﹣
邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石
第30页（共30页）
山，如图所示，AB，BC表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海
拔AA
1
，BB
1
，CC
1
分别为62m，100m，200m．若管道AB与水平线AA
2
的夹角为30°，
管道BC与水平线BB
2
夹角为45°，求管道AB和BC的总长度（结果保留根号）．
23．（8分）“新冠病毒”疫情防控期间，我市积极开展“停课不停学”网络教学活动，为了
了解和指导学生有效进行网络学习，某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷
调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①，图②两幅统计图（均不完整），
请根据统计图解答以下问题：
xx学校“停课不停学”网络学习时间
调查表
亲爱的同学，你好！
为了了解和更好地指导你进行“停课不停学”网络学习，请在表格中选择一项符合你学
习时间的选项，在其后的空格内打“√”．
平均每天利用网络学习时间问卷调查表
选项
A
B
学习时间（小时）
0＜t≤1
1＜t≤3
第30页（共30页）
C
D
3＜t≤5
t＞5
（1）本次接受问卷调查的学生共有 人；
（2）请补全图①中的条形统计图；
（3）图②中，D选项所对应的扇形圆心角为 度；
（4）若该校共有1500名学生，请你估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网
络学习时间在C选项的有多少人？
24．（8分）2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新
活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风
扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．
（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？
（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型
风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两
种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？
25．（8分）已知：如图①，将一块45°角的直角三角板DEF与正方形ABCD的一角重合，
连接AF，CE，点M是CE的中点，连接DM．
（1）请你猜想AF与DM的数量关系是 ．
（2）如图②，把正方形ABCD绕着点D顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）．
①AF与DM的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨
提示：延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN）
②求证：AF⊥DM；
③若旋转角α＝45°，且∠EDM＝2∠MDC，求的值．（可不写过程，直接写出结果）
第30页（共30页）
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为
C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax
2
﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M
从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运
动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，
向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止
运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N
为顶点的三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线
翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．
第30页（共30页）
2020年湖南省邵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）2020的倒数是（ ）
A．﹣2020 B．2020 C． D．﹣
【分析】根据倒数的定义求解即可
【解答】解：∵2020×
∴2020的倒数是
故选：C．
2．（3分）下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（ ）
，
＝1
A． B．
C． D．
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图
形解答即可．
【解答】解：A、球的三视图都是圆，故本选项符合题意；
B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不符合题意；
C、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；
D、三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
3．（3分）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，标志着拥有全部知识产
权的北斗导航系统全面建成．据统计：2019年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体
产值达3450亿元，较2018年增长14.4%．其中，3450亿元用科学记数法表示为（ ）
第30页（共30页）
A．3.45×10
10
元
C．3.45×10
8
元
B．3.45×10
9
元
D．3.45×10
11
元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10
n
的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：根据科学记数法的表示形式为a×10
n
，其中1≤|a|＜10，n为整数，则3450
亿＝345000000000＝3.45×10
11
．
故选：D．
4．（3分）设方程x
2
﹣3x+2＝0的两根分别是x
1
，x
2
，则x
1
+x
2
的值为（ ）
A．3 B．﹣ C． D．﹣2
【分析】本题可利用根与系数的关系，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系
数的值，代入公式求解即可．
【解答】解：由x
2
﹣3x+2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣3，
由根与系数的关系：x
1
+x
2
＝﹣＝﹣
故选：A．
5．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（2，3），把正比例函数y＝kx（k≠0）
的图象平移，使它过点（1，﹣1），则平移后的函数图象大致是（ ）
＝3．
A． B．
C． D．
【分析】先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点（1，﹣1）求出一次函数解析
式，即可求解．
【解答】解：把点（2，3）代入y＝kx（k≠0）得2k＝3，
第30页（共30页）
解得，
，
，
，
∴正比例函数解析式为
设正比例函数平移后函数解析式为
把点（1，﹣1）代入
∴，
，
得
∴平移后函数解析式为
故函数图象大致为：
．
故选：D．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．5+＝8 B．（﹣2a
2
b）
3
＝﹣6a
2
b
3
D．＝a﹣2 C．（a﹣b）
2
＝a
2
﹣b
2
【分析】分别运用二次根式、整式和分式的运算法则逐项排除即可．
【解答】解：A.，故A选项错误；
B．（﹣2a
2
b）
3
＝（﹣2）
3
（a
2
）
3
b
3
＝﹣8a
6
b
3
，故B选项错误；
C．（a﹣b）
2
＝a
2
﹣2ab+b
2
，故C选项错误；
D.
故选：D．
7．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一
个条件使得△ABE≌△CDF，下列不正确的是（ ）
，故D选项正确．
第30页（共30页）
A．AE＝CF B．∠AEB＝∠CFD C．∠EAB＝∠FCD D．BE＝DF
【分析】根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵∠ABE+∠ABD＝∠BDC+∠CDF，
∴∠ABE＝∠CDF，
A．若添加AE＝CF，则无法证明△ABE≌△CDF，故选项A符合题意；
B．若添加∠AEB＝∠CFD，运用AAS可以证明△ABE≌△CDF，故选项B不符合题意；
C．若添加∠EAB＝∠FCD，运用ASA可以证明△ABE≌△CDF，故选项C不符合题意；
D．若添加BE＝DF，运用SAS可以证明△ABE≌△CDF，故选项D不符合题意．
故选：A．
8．（3分）已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标
可能是（ ）
A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b）
【分析】因为ab＞0，所以a、b同号，又a+b＞0，所以a＞0，b＞0，观察图形判断出
小手盖住的点在第二象限，然后解答即可．
【解答】解：∵a+b＞0，ab＞0，∴a＞0，b＞0．
A、（a，b）在第一象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
B、（﹣a，b）在第二象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项符合题意；
第30页（共30页）
C、（﹣a，﹣b）在第三象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
D、（a，﹣b）在第四象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
故选：B．
9．（3分）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该
图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则
图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案
上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘
制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．6m
2
B．7m
2
C．8m
2
D．9m
2
【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规
则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【解答】解：假设不规则图案面积为x，
由已知得：长方形面积为20，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，
故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：
故选：B．
10．（3分）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：
（1）将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A
1
处，
（2）将DP沿DA
1
向内继续折叠，使点P落在点P
1
处，折痕与边AB交于点M．
若P
1
M⊥AB，则∠DP
1
M的大小是（ ）
第30页（共30页）
，解得x＝7．
A．135° B．120° C．112.5° D．115°
【分析】由折叠前后对应角相等且∠P
1
MA＝90°可先求出∠DMP
1
＝∠DMA＝45°，进
一步求出∠ADM＝45°，再由折叠可求出∠MDP
1
＝∠ADP＝∠PDM＝22.5°，最后在△
DP
1
M中由三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵折叠，且∠P
1
MA＝90°，
∴∠DMP
1
＝∠DMA＝45°，即∠ADM＝45°，
∵折叠，
∴∠MDP
1
＝∠ADP＝∠PDM＝∠ADM＝22.5°，
∴在△DP
1
M中，∠DP
1
M＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，
故选：C．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）因式分解：2x
2
﹣18＝ 2（x+3）（x﹣3） ．
【分析】提公因式2，再运用平方差公式分解．
【解答】解：2x
2
﹣18＝2（x
2
﹣9）＝2（x+3）（x﹣3），
故答案为：2（x+3）（x﹣3）．
12．（3分）如图，已知点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥y轴于
点B，△OAB的面积是2．则k的值是 4 ．
第30页（共30页）
【分析】根据△OAB的面积等于2，即可得到线段OB与线段AB的乘积，进而得到A点
横坐标与纵坐标的乘积，进而求出k值．
【解答】解：设点A的坐标为（x
A
，y
A
），AB⊥y，
由题意可知：
∴y
A
•x
A
＝4，
又点A在反比例函数图象上，
故有k＝x
A
•y
A
＝4．
故答案为：4．
13．（3分）据统计：2019年，邵阳市在教育扶贫方面，共资助学生91.3万人次，全市没有
一名学生因贫失学，其中，某校老师承担了对甲，乙两名学生每周“送教上门”的任务，
以下是甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）：
甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；
乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9．
从接受“送教上门”的时间波动大小来看， 甲 学生每周接受送教的时间更稳定．（填
“甲”或“乙”）
【分析】先算出甲、乙送教上门时间的平均数，进而求出方差，方差越小，则接受送教
的时间更稳定．
【解答】解：甲的“送教上门”时间的平均数为：
乙的“送教上门”时间的平均数为：
甲的方差：
乙的方差：
因为，
第30页（共30页）
，
，
，
，
，
2024年3月15日发(作者：权香芹)
2020年湖南省邵阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）2020的倒数是（ ）
A．﹣2020 B．2020 C． D．﹣
2．（3分）下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，标志着拥有全部知识产
权的北斗导航系统全面建成．据统计：2019年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体
产值达3450亿元，较2018年增长14.4%．其中，3450亿元用科学记数法表示为（ ）
A．3.45×10
10
元
C．3.45×10
8
元
B．3.45×10
9
元
D．3.45×10
11
元
4．（3分）设方程x
2
﹣3x+2＝0的两根分别是x
1
，x
2
，则x
1
+x
2
的值为（ ）
A．3 B．﹣ C． D．﹣2
5．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（2，3），把正比例函数y＝kx（k≠0）
的图象平移，使它过点（1，﹣1），则平移后的函数图象大致是（ ）
A． B．
第30页（共30页）
C． D．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．5+＝8 B．（﹣2a
2
b）
3
＝﹣6a
2
b
3
D．＝a﹣2 C．（a﹣b）
2
＝a
2
﹣b
2
7．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一
个条件使得△ABE≌△CDF，下列不正确的是（ ）
A．AE＝CF B．∠AEB＝∠CFD C．∠EAB＝∠FCD D．BE＝DF
8．（3分）已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标
可能是（ ）
A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b）
9．（3分）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该
图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则
图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案
上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘
制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
第30页（共30页）
A．6m
2
B．7m
2
C．8m
2
D．9m
2
10．（3分）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：
（1）将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A
1
处，
（2）将DP沿DA
1
向内继续折叠，使点P落在点P
1
处，折痕与边AB交于点M．
若P
1
M⊥AB，则∠DP
1
M的大小是（ ）
A．135° B．120° C．112.5° D．115°
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）因式分解：2x
2
﹣18＝ ．
12．（3分）如图，已知点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥y轴于
点B，△OAB的面积是2．则k的值是 ．
13．（3分）据统计：2019年，邵阳市在教育扶贫方面，共资助学生91.3万人次，全市没有
第30页（共30页）
一名学生因贫失学，其中，某校老师承担了对甲，乙两名学生每周“送教上门”的任务，
以下是甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）：
甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；
乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9．
从接受“送教上门”的时间波动大小来看， 学生每周接受送教的时间更稳定．（填
“甲”或“乙”）
14．（3分）如图，线段AB＝10cm，用尺规作图法按如下步骤作图．
（1）过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC＝AB；
（2）连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点E；
（3）以点A为圆心，AE为半径画弧，交AB于点D．即点D为线段AB的黄金分割点．则
线段AD的长度约为 cm．（结果保留两位小数，参考数据：
＝2.236）
＝1.414，＝1.732，
15．（3分）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2
个空格的实数之积为 ．
3
1
2
3
6
16．（3分）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，
只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为
864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，
则依题意列方程为 ．
17．（3分）如图①是山东舰徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中
国首艘国产舰母橫空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为
10π的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线
长AB为 ．
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18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝，过点C作CF∥AB，以
AB为边作菱形ABEF，若∠F＝30°，则Rt△ABC的面积为 ．
三、解答题（本大题有8个小题，第19～25题每题8分，第26是10分，共66分．解答
应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
19．（8分）计算：（﹣1）
2020
+（）
1
+|﹣1+
﹣
|﹣2sin60°．
20．（8分）已知：|m﹣1|+
（1）求m，n的值；
＝0，
（2）先化简，再求值：m（m﹣3n）+（m+2n）
2
﹣4n
2
．
21．（8分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，以BD为直径的⊙O过
点A，连接AD，∠CAD＝∠C．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，求⊙O的半径．
22．（8分）2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程﹣﹣
邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石
第30页（共30页）
山，如图所示，AB，BC表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海
拔AA
1
，BB
1
，CC
1
分别为62m，100m，200m．若管道AB与水平线AA
2
的夹角为30°，
管道BC与水平线BB
2
夹角为45°，求管道AB和BC的总长度（结果保留根号）．
23．（8分）“新冠病毒”疫情防控期间，我市积极开展“停课不停学”网络教学活动，为了
了解和指导学生有效进行网络学习，某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷
调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①，图②两幅统计图（均不完整），
请根据统计图解答以下问题：
xx学校“停课不停学”网络学习时间
调查表
亲爱的同学，你好！
为了了解和更好地指导你进行“停课不停学”网络学习，请在表格中选择一项符合你学
习时间的选项，在其后的空格内打“√”．
平均每天利用网络学习时间问卷调查表
选项
A
B
学习时间（小时）
0＜t≤1
1＜t≤3
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C
D
3＜t≤5
t＞5
（1）本次接受问卷调查的学生共有 人；
（2）请补全图①中的条形统计图；
（3）图②中，D选项所对应的扇形圆心角为 度；
（4）若该校共有1500名学生，请你估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网
络学习时间在C选项的有多少人？
24．（8分）2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新
活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风
扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．
（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？
（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型
风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两
种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？
25．（8分）已知：如图①，将一块45°角的直角三角板DEF与正方形ABCD的一角重合，
连接AF，CE，点M是CE的中点，连接DM．
（1）请你猜想AF与DM的数量关系是 ．
（2）如图②，把正方形ABCD绕着点D顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）．
①AF与DM的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨
提示：延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN）
②求证：AF⊥DM；
③若旋转角α＝45°，且∠EDM＝2∠MDC，求的值．（可不写过程，直接写出结果）
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26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为
C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax
2
﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M
从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运
动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，
向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止
运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N
为顶点的三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线
翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．
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2020年湖南省邵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）2020的倒数是（ ）
A．﹣2020 B．2020 C． D．﹣
【分析】根据倒数的定义求解即可
【解答】解：∵2020×
∴2020的倒数是
故选：C．
2．（3分）下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（ ）
，
＝1
A． B．
C． D．
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图
形解答即可．
【解答】解：A、球的三视图都是圆，故本选项符合题意；
B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不符合题意；
C、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；
D、三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
3．（3分）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，标志着拥有全部知识产
权的北斗导航系统全面建成．据统计：2019年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体
产值达3450亿元，较2018年增长14.4%．其中，3450亿元用科学记数法表示为（ ）
第30页（共30页）
A．3.45×10
10
元
C．3.45×10
8
元
B．3.45×10
9
元
D．3.45×10
11
元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10
n
的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：根据科学记数法的表示形式为a×10
n
，其中1≤|a|＜10，n为整数，则3450
亿＝345000000000＝3.45×10
11
．
故选：D．
4．（3分）设方程x
2
﹣3x+2＝0的两根分别是x
1
，x
2
，则x
1
+x
2
的值为（ ）
A．3 B．﹣ C． D．﹣2
【分析】本题可利用根与系数的关系，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系
数的值，代入公式求解即可．
【解答】解：由x
2
﹣3x+2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣3，
由根与系数的关系：x
1
+x
2
＝﹣＝﹣
故选：A．
5．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（2，3），把正比例函数y＝kx（k≠0）
的图象平移，使它过点（1，﹣1），则平移后的函数图象大致是（ ）
＝3．
A． B．
C． D．
【分析】先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点（1，﹣1）求出一次函数解析
式，即可求解．
【解答】解：把点（2，3）代入y＝kx（k≠0）得2k＝3，
第30页（共30页）
解得，
，
，
，
∴正比例函数解析式为
设正比例函数平移后函数解析式为
把点（1，﹣1）代入
∴，
，
得
∴平移后函数解析式为
故函数图象大致为：
．
故选：D．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．5+＝8 B．（﹣2a
2
b）
3
＝﹣6a
2
b
3
D．＝a﹣2 C．（a﹣b）
2
＝a
2
﹣b
2
【分析】分别运用二次根式、整式和分式的运算法则逐项排除即可．
【解答】解：A.，故A选项错误；
B．（﹣2a
2
b）
3
＝（﹣2）
3
（a
2
）
3
b
3
＝﹣8a
6
b
3
，故B选项错误；
C．（a﹣b）
2
＝a
2
﹣2ab+b
2
，故C选项错误；
D.
故选：D．
7．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一
个条件使得△ABE≌△CDF，下列不正确的是（ ）
，故D选项正确．
第30页（共30页）
A．AE＝CF B．∠AEB＝∠CFD C．∠EAB＝∠FCD D．BE＝DF
【分析】根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵∠ABE+∠ABD＝∠BDC+∠CDF，
∴∠ABE＝∠CDF，
A．若添加AE＝CF，则无法证明△ABE≌△CDF，故选项A符合题意；
B．若添加∠AEB＝∠CFD，运用AAS可以证明△ABE≌△CDF，故选项B不符合题意；
C．若添加∠EAB＝∠FCD，运用ASA可以证明△ABE≌△CDF，故选项C不符合题意；
D．若添加BE＝DF，运用SAS可以证明△ABE≌△CDF，故选项D不符合题意．
故选：A．
8．（3分）已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标
可能是（ ）
A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b）
【分析】因为ab＞0，所以a、b同号，又a+b＞0，所以a＞0，b＞0，观察图形判断出
小手盖住的点在第二象限，然后解答即可．
【解答】解：∵a+b＞0，ab＞0，∴a＞0，b＞0．
A、（a，b）在第一象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
B、（﹣a，b）在第二象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项符合题意；
第30页（共30页）
C、（﹣a，﹣b）在第三象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
D、（a，﹣b）在第四象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
故选：B．
9．（3分）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该
图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则
图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案
上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘
制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．6m
2
B．7m
2
C．8m
2
D．9m
2
【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规
则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【解答】解：假设不规则图案面积为x，
由已知得：长方形面积为20，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，
故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：
故选：B．
10．（3分）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：
（1）将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A
1
处，
（2）将DP沿DA
1
向内继续折叠，使点P落在点P
1
处，折痕与边AB交于点M．
若P
1
M⊥AB，则∠DP
1
M的大小是（ ）
第30页（共30页）
，解得x＝7．
A．135° B．120° C．112.5° D．115°
【分析】由折叠前后对应角相等且∠P
1
MA＝90°可先求出∠DMP
1
＝∠DMA＝45°，进
一步求出∠ADM＝45°，再由折叠可求出∠MDP
1
＝∠ADP＝∠PDM＝22.5°，最后在△
DP
1
M中由三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵折叠，且∠P
1
MA＝90°，
∴∠DMP
1
＝∠DMA＝45°，即∠ADM＝45°，
∵折叠，
∴∠MDP
1
＝∠ADP＝∠PDM＝∠ADM＝22.5°，
∴在△DP
1
M中，∠DP
1
M＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，
故选：C．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）因式分解：2x
2
﹣18＝ 2（x+3）（x﹣3） ．
【分析】提公因式2，再运用平方差公式分解．
【解答】解：2x
2
﹣18＝2（x
2
﹣9）＝2（x+3）（x﹣3），
故答案为：2（x+3）（x﹣3）．
12．（3分）如图，已知点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥y轴于
点B，△OAB的面积是2．则k的值是 4 ．
第30页（共30页）
【分析】根据△OAB的面积等于2，即可得到线段OB与线段AB的乘积，进而得到A点
横坐标与纵坐标的乘积，进而求出k值．
【解答】解：设点A的坐标为（x
A
，y
A
），AB⊥y，
由题意可知：
∴y
A
•x
A
＝4，
又点A在反比例函数图象上，
故有k＝x
A
•y
A
＝4．
故答案为：4．
13．（3分）据统计：2019年，邵阳市在教育扶贫方面，共资助学生91.3万人次，全市没有
一名学生因贫失学，其中，某校老师承担了对甲，乙两名学生每周“送教上门”的任务，
以下是甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）：
甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；
乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9．
从接受“送教上门”的时间波动大小来看， 甲 学生每周接受送教的时间更稳定．（填
“甲”或“乙”）
【分析】先算出甲、乙送教上门时间的平均数，进而求出方差，方差越小，则接受送教
的时间更稳定．
【解答】解：甲的“送教上门”时间的平均数为：
乙的“送教上门”时间的平均数为：
甲的方差：
乙的方差：
因为，
第30页（共30页）
，
，
，
，
，