2024年3月16日发(作者：扬新之)
近世代数复习思考题
一、基本概念与基本常识的记忆
（一）填空题
1.
剩余类加群
Z
12
有 ____ 个生成元
.
2
、设群
G
的元
a
的阶是
n
，则
a
k
的阶是
.
3. 6
阶循环群有 ____ 个子群
.
4
、设群
G
中元素
a
的阶为
m
，如果
a
n
e
，那么
m
与
n
存
在整除关 系为———。
5.
模
8
的剩余类环
Z
8
的子环有 ___ 个
.
6.
整数环
Z
的理想有 ___ 个
.
7
、
n
次对称群
Sn
的阶是——————。
8
、
9-
置换
1 2 3 4 5 6 7 8 9
分解为互不相交的循环之积是—
5 4 3 9 6 1 8 2 7
———。
9.
剩余类环
Z
6
的子环
S={
[
0
]
,
[
2
]
,
[
4
]
}
，则
S
的单位元是
10.
Z
24
中的所有可逆元是： ____________________
.
11
、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个 _ 同构。
12.
设
G （a）
为循环群，那么（
1
）若
a
的阶为无限，则
G
同构于 _ ，（
2
）若
a
的阶为
n
，则
G
同构于 ___ 。
13.
在整数环
Z
中，
2 3
= _________________
；
14
、
n
次对称群
S
n
的阶是
.
15.
设
A
1
, A
2
为群
G
的子群，则
A
1
A
2
是群
G
的子群的充分必
要条件
为 ________ 。
16
、除环的理想共有 _______ 个。
17.
剩余类环
Z
5
的零因子个数等于 ____
.
18
、在整数环
Z
中，由｛
2
，
3
｝生成的理想是
.
19.
剩余类环
Z
7
的可逆元有 ____ 个
.
20
、设
Z
11
是整数模
11
的剩余类环，则
Z
11
的特征是 _
.
21.
整环
I=｛
所有复数
a+bi(a,b
是整数
)｝
，则
I
的单位是
22.
剩余类环
Z
n
是域
n
是 _______
.
23
、设
Z
7
=｛0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6｝
是整数模
7
的剩余类
环，在
Z
7
[x]
中
, (5x-4)(3x+2)= .
24.
设
G
为群，
a G
，若
a 12
，则
a
8
_______________
。
25
、设群
G=
｛
e
，
a
1
，
a
2
，⋯
G
的单 位元，则
a
1
n
=___.
，
a
n
-
1
｝，运算为乘法，
e
为
26.
设
A=｛a,b,c｝
，则
A
到
A
的一一映射共有 __ 个
.
27
、整数环
Z
的商域是 __
.
28.
整数加群
Z
有 ______ 个生成元
.
29
、若
R
I
R
是一个有单位元的交换环， 是的一个理想，那
IR
I
么是 一个域当且仅当 是————————。
30.
已知
1 2 3 4 5
为
S
5
上的元素，则
1
＝ ______________ 。
3 1 2 5 4
5
31.
每一个有限群都与一个 ______ 群同构。
32
、设
I
是唯一分解环，则
I
[
x
]与唯一分解环的关系是
二、基本概念的理解与掌握。
（二）选择题
1.
设集合
A
中含有
5
个元素，集合
B
中含有
2
个元素，
那么，
A
与
B
的积集合
A
×
B
中含有（ ）个元素。
A.2
C.7
2.
设
A
＝
B
＝
R（
实数
B.5
D.10
集
）
，
：
x
→
x
＋
2
，
x
∈
R
，
则 是从
A
到
B
的
（
A.
满射而非单射
C.
一一映射
如果
A
到
B
的映射
）
B.
单射而非满射
D.
既非单射也非满射
3.
设
Z
15
是以
15
为模的剩余类
加群，
（ ）个。
A.2
那么，
Z
15
的子群共
有
B.4
C.6 D.8
4
、
G
是
12
阶的有限群，
H
是
G
的
H
的阶可能是
（ ）
子群，则
A 5
；
B 6
；
C 7
；
D 9.
5
、下面的集合与运算构成群
的是
( )
A {0
，
1}
，运算为普通的
乘法；
B {0
，
1}
，运算为普通的加法
;
C {-1
，
1}
，运算为普通的乘法；
D {-1
，
1}
，运算为普通的加法
;
6
、关于整环的叙述，下列正确的是
( )
A
左、右消去律都成
B
左、右消去律都不成立
D
每个非零元都没有逆元
立；
7
、关于理想的叙述，下列不正确的是
( )
A
在环的同态满射下，理想的象是理想
;
B
在环的同态满射下，理想的逆象是理想
C
除环只有两个理想，即零理想和单位理想
D
环的最大理想就是该环本身
.
8.
整数环
Z
中，可逆元的个数是
( )
A.1
个
B.2
个
C.4
个
D.
无限个
9.
设
M
2
(R)=
a b
a,b,c,d
∈
R
，
R
为实数域 按矩阵的加法和
cd
乘法构成
R
上的二阶方阵环，那么这个方阵环是
( )
。
A.
有单位元的交换环
B.
无单位元的交换环
D.
有单位元的非交换环
C.
无单位元的非交换环
a
,
当
a
为偶数时
2
a1
10.
设
Z
是整数集，
σ
(a)=
a 1
，
a Z
，则
σ
是
R
的
,
当
a
为奇数时
2
( ).
A.
满射变换
B.
单射变换
C.
变换
D.
不是
R
的变换
11
、设
A=｛
所有实数
x｝
，
A
的代数运算是普通乘法，则
以下映射 作成
A
到
A
的一个子集 的同态满射的是
（ ）.
A
、
x
→
10x B
、
x
→
2x
C
、
x
→
|x| D
、
x
→
-x .
12
、设 是正整数集
Z
上的二元运算，其中
a b max a,b
（即
取
a
与 中的最大者），那么 在
Z
中（ ）
b
A
、不适合交换律
C
、存在单位元
B
、不适合结合律
D
、每个元都有逆元
.
13.
设
S
3
=｛
（
1
），（
1 2
），（
1 3
），（
2 3
），（
1 2
3
），（
1 3 2
）
｝
，则
S
3
中与元（
1 2 3
）不能交换的元
的个数是
（ ）
A
、
1 B
、
2 C
、
3 D
、
4.
14
、设
G,
为群，其中
G
是实数集，而乘法
: a b a b k
，这
里 为 中固定的常数。那么群
G,
中的单位元
e
和元
x
k
G
的逆 元分别是（ ）
A
、
0
和
x
；
B
、
1
和
0
；
C
、
k
和
x 2k
；
D
、
k
和
（x
2k）
15
、设
H
是有限群
的子群，且
有左陪集分类
GG
H,aH,bH,cH
。 如果
H
6,
那么
的阶
G
（ ）
G
A
、
6 B
、
24 C
、
10 D
、
12
16.
整数环
Z
中，可逆元的个数是
（ ）.
A
、
1
个
B
、
2
个
C
、
4
个
D
、无限个。
17
、设
f :R
1
R
2
是环同态满射，
f(a) b
，那么下列错误的结
论 为( )
A
、若
a
是零元，则
是零元
b
B
、若
a
是单位元，则
是单位元
b
C
、若
a
不是零因子，则
不是零因子
b
D
、若
R
2
是不交换的，则
R
1
不交换
18
、下列正确的命题是( )
A
、欧氏环一定是唯一分解环
B
、主理想环必是欧氏环
C
、唯一分解环必是主理想环
D
、唯一分解环必是欧氏环
19.
下列法则，哪个是集
A
的代数运算
( ).
A. A=N, a b=a+b-2 B. A=Z,a b=
b
a
C. A=Q, a b=
ab
D. A=R, a b=a+b+ab
20.
设
A={
所有非零实数
x},A
的代数运算是普通乘法， 则
以下
映射作成
A
到
A
的一个子集
A
的同态满射的是
( ).
1
A. x
→
-x
A. 3
个
C. 5
个
B. x
→
B. 4
个
D. 6
个
x
23
、设
a,b, c
和
x
都是群
G
中的元素且
x
2
a bxc
1
,acx xac
，那么
D. 3
个
x
（）
A.
bc
1
a
1
；
B.
c
1
a
1
；
C.
a
1
bc
1
；
D.
b
1
ca
。
24
、设
f :G
1
G
2
是一个群同态映射， 那么下列错误的命题是
（ ）
A.
f
的同态核是
G
的不变子群
;
1
B.
G
1
的不变子群的象是
G
2
的不变子群。
C.
G
1
的子群的象是
G
2
的子群；
D.
G
2
的不变子群的逆象是
G
1
的不变子群；
25
、设
H
是群
G
的子群，且
G
有左陪集分类
H,aH,bH,cH
。
如果
H
6
，那么
G
的阶
G
（ ）
A.6
；
B.24
；
C.10
；
D.12
。
（三）判断题（每小题
2
分，共
12
分）
1
、设
A
、
B
、
D
都是非空集合，则
A B
到
D
的每个映
射都叫 作二元运算。（ ）
2
、除环中的每一个元都有逆元。 （ ）
3
、如果循环群
G a
中生成元
a
的阶是无限的，则
G
与
整数 加群同构。（ ）
4
、如果群
G
的子群
是循环群，那么
G
也是循环群。
H
（ ）
5
、域是交换的除环。 （ ）
6
、唯一分解环
I
的两个元
a
和
不一定会有最大公因
b
子。（ ）
7
、设
f
：
G G
是群
G
到群
G
的同态满射，
a
∈
G
，则
a
与
f （a）
的阶相同。（ ）
8
、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。
（ ）
9
、循环群的子群也是循环群。 （ ）
10
、整环
I
中的两个元素
a
，
b
满足
a
整除
b
且
b
整
除
a
， 则
a
＝
b
。（ ）
11
、一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子。
（ ）
12
、只要
f
是
A
到
A
的一一映射， 那么必有唯一的逆
映射
f
1
。 （）
13
、如果环 的阶
2
，那么
的单位元
1 0
。（ ）
RR
14
、指数为
2
的子群不是不变子群。 （ ）
15
、在整数环
Z
中，只有±
1
才是单位，因此在整数
环
Z
中 两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一个
符号。 （ ）
16
、两个单位 和 的乘积 也是一个单位。 （ ）
17
、环
K
中素元一定是不可约元； 不可约元一定是素
元。（ ）
18
、由于零元和单位都不能表示成不可约元之积， 所
以零元 和单位都不能唯一分解。 （ ）
19
、整环必是唯一分解环。 （ ）
20
、在唯一分解环
K
中，
p
是
K
中的素元当且仅当
p
是
K
中的
不可约元。（ ）
21
、设
K
是唯一分解环，则
K
中任意二个元素的最大
公因子 都存在，且任意二个最大公因子相伴。 （ ）
22
、整数环
Z
和环
Q x
都是主理想环。（ ）
23
、
K
是主理想环当且仅当
K
是唯一分解环。（ ）
24
、整数环
Z
、数域
P
上的一元多项式环
P x
和
Gauss
整环
Zi
都是欧氏环。（ ）
25
、欧氏环必是主理想环，因而是唯一分解环。反之
亦然。 （）
26
、欧氏环 主理想环 唯一分解环 有单位元的整环。
（ ）
27
、设环
R, ,
的加法群是循环群
,
那么环
R
必是交换
环
.
（）
28
、对于环
R,
若
a
是
R
的左零因子
,
则
a
必同时是
R
的右零因 子
.
（ ）
29
、剩余类
Z
m
是无零因子环的充分必要条件是
m
为
素数
.
（）
30
、整数环是无零因子环，但它不是除环。 （ ）
0
31
、
S
2
2
0
0
2
C
是
M
2
C
的子域
.
（ ）
32
、在环同态下，零因子的象可能不是零因子。
（ ）
33
、理想必是子环
,
但子环未必是理想
.
（ ）
34
、群
G
的一个子群
H
元素个数与
H
的每一个左陪集
aH
的个 数相等
.
（ ）
35
、有限群
G
中每个元素
a
的阶都整除群
G
的阶。（ ）
三、基本方法与技能掌握。
（四）计算题
1
．设 为整数加群
, ,
求
[Z : H ] ?
解 在
Z
中的陪集有
:
, ,
, ,
所以
,
[Z : H ] 5
.
2
、找出
S
3
的所有子群。
解：
S
3
显然有以下子群： 本身；（（
1
））
=｛
（
1
）
｝
；
（（
12
））
=｛
（
12
），（
1
）
｝
； （（
13
））
=
｛
（
13
），（
1
）
｝
；（（
23
））
=｛
（
23
），（
1
）
｝
；
（（
123
））
=｛
（
123
），（
132
），（
1
）
｝
若
S
3
的一个子群
H
包含着两个循环置换， 那么
H
含
有（
12
）， （
13
）这两个
2-
循环置换，那么
H
含有
（
12
）（
13
）
=
（
123
）， （
123
）（
12
）
=
（
23
），因而
H=S
3
。同理，若是
S
3
的一个子群含 有两个循环置换
（
21
），（
23
）或（
31
），（
32
）。这个子群也必然
用完全类似的方法，可以算出，若是
S
3
的一个子群含
有一个
2-
循环置换和一个
3-
循环置换，那么这个子群也必然是
S
3
。
3
．求
Z
18
的所有子群。
解
Z
的子群有
18
;
;
;
;
;
.
4
． 将 表为对换的乘积
.
解
.
容易验证
: (4 2)(2 6)(1 2)(1 3)(2 7)(1 2).
5
． 设按顺序排列的
13
张红心纸牌
A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K
经一次洗牌后牌的顺序变为
3, 8, K, A, 4, 10, Q, J, 5, 7, 6, 2, 9
问
:
再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的
?
解 每洗一次牌
,
就相当于对牌的顺序进行一次新的置换
由题 意知
,
第一次洗牌所对应的置换为
则
3
次同样方式的洗牌所对应的置换为
6
． 在
Z
6
中
,
计算
:(1) ;(2) ; (3) ; (4) .
解
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
7
．试求高斯整环 的单位。
解 设
( )
为 的单位
,
则存在
,
使得
,
于是
.
因为
,
所以
.
从而
, ,
或
.
因此可能的单位只有
显然它们都是 的单位
.
所以 恰有四个单位
8
． 试求
Z
12
中的所有零因子与可逆元
,
并确定每个可逆元
的逆 元素
.
解 由定理可知
:
（1）
（2）
为
Z
的全部零因子
.
12
为
Z
的全部可逆元
.
直接计算可知
,
相应的
12
逆元 为
, , , . 9
、找出模
6
的剩余类环
Z
6
的所有理
想。 解：
R=｛［0］
，
［1］
，
［2］
，
［3］
，
［4］
，
［5］｝
。
若
I
是
R
的一个理想，那么
I
一定是加群
R
的一个子
群。 但加群
R
是循环群，所以它的子群一定也是循环
群， 我们有
G
1
=
（
［0］
）
=｛［0］｝
G
2
=
（
［1］
）
=
（
［5］
）
=R G
3
=
（
［2］
）
=
（
［4］
）
=
｛［0］
，
［2］
，
［4］｝
G
4
=
（
［3］
）
=｛［0］
，
［3］｝
易见，
G
1
，
G
2
，
G
3
，
G
4
都是
R
的理想，因而是
R
的所有
理想。
10
． 在
Z
中
,
解下列线性方程组
:
12
解
:
x
35
21
1
6
1
1
13
1 5 6
11
9
y
231
即
, .
11
．求
Z
18
的所有子环
解 设 为
Z
的任一子环
,
则 是
Z
的子加群
,
而
1818
为
有限阶循环群
,
从而 也是循环群
,
且存在
, ,
使 得
.
的可
能取值为
1, 2, 3, 6, 9, 12
。相应的子加群为
,
,
,
,
,
.
直接验证可知
,
以上六个子加群都关于剩余类的乘法封
闭
,
所 以它们都是
Z
的子环
.
于是
Z
恰有
6
个子环
:
1818
12.
试求 的所有理想
.
解 设 为 的任意理想
,
则 为 的子环， 则
, ,
且
.
对任意的
, ,
有
,
从而由理想的定义知
,
为 的理想
.
由此知
,
的全部理想为
且
.
13
、数域
F
上的多项式环
F x
的理想
(x
2
1,x
5
x
3
1)
是怎样的一
个
主理想
解 由于
x
5
x
3
1 x
3
x
2
1 1
，所以
1 x
2
1,x
5
x
3
1
，于是得
x
2
1,x
5
x
3
1 1 F[x]
。
14
、在
2 5 3
中
,
求 的全部根
.
,
可知 解 共有
16
个元素
: , , , ,
将它们分别代入
共有下列
4
个元素
为 的根
.
15
．试举例说明，环
Rx
中的
m
次与
n
次多项式的乘积可
能不是 一个
m+n
次多项式
.
解 例如，环
Zx
中多项式
6
f (x) 2x
3
x
2
3x 5
与
g(x) 3x
2
1
的乘积
f(x)g(x) 3x
4
x
3
4x
2
3x 5
就不是
3+2
次多项式
. 16.
求出域
Z
3
上的所有
2
次不可约多项式
.
解 经验算得知，
Z
上的
2
次不可约多项式有三个，它
3
们是：
x
2
1, x
2
x 1, x
2
x 1.
17
、指出下列哪些元素是给定的环的零因子
(1)
在
M(F)
中
.
设
A
2
0
2
2
1
,B
0-1
，
C
12
0 1
0 4
2
(2)
在
Z
12
中
,
它的全部零因子是哪些
.
(3)
Z
11
中有零因子吗
?
| A| |C | 0 A,C
是零因子
,
但
B
不是
.
解
(1)
(2)
Z
12
中的零因子为
[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]
(3)
Z
11
中没有零因子
.
18.
求二阶方阵环
M
2
(R)
的中心
.
解 高等代数已经证明，
n
阶方阵
A
与任何
n
阶方阵可
交换
A
10
是纯量矩阵
.
因此
M (R)
的中心
C k k R .
2
2
0 1
19
．举例说明，非零因子的象可能会
是零因子
.
解：设
:Z Z
是环同态满射
,
其中
:
n n
.
则显然
Z
是整
6
环， 所以
Z
中没有零因子。但在
Z
中
,
2
和
3
、
4
都是零
6
因 子
.
即
2
显然不是
Z
中的零因子
,
但
2 2
却是
Z
中的零
6
因子
.
这 告诉我们
:
非零因子的象可能会是零因子
.
20.
设
R
为偶数环
.
证明：
N 4r r R R.
问：
N 4
是否成立？
N
是由哪个偶数生成的主理想？
解：
4n,4m N,n,m R
：
4n 4m 4(n m) N, n m R
故
(4n 4m) N,
另外
n R, 4r
N,r R
(4r)n 4(rn) N, rn R
n(4r) (n4)r (4n )r 4(nr) N, n R n r R,
故
n(4r),(4r)n N.
总之有
N 4r r R R.
另方面，由于
N 4r r R , 16, 8,0,8,16, ,
且
4 N.
而且实际上
N
是偶数环中由
8
生成的主理想，即
N 4r r R 8
4 4r 4n r R,n Z
8r 8nr R,n Z
4n n Z
8n n Z
，但是
, 8, 4,0,4,8,
因此，
N 4
.
实际上是
N 8 4 .
21
、举例说明，素理想不一定
是极大理想。
解 例如
Z x
是有单位元的交换环，容易证明
x
是它的一
个素 理想
.
而理想
x,2
真包含
x
且
x,2 Z x
.
从而知
x
是
Z x
的素理想 但不是极大理想
.
22
、设
H {(1),(12)}
,
求
S
3
关于
H
的所有左陪集以及右陪集
.
解
S
3
{ (1), (12) , (13), ( 23)
,
, (123) , (132)}
H
的所有左陪集为
:
(1)H (12)H {(1),(12)} H
;
(13)H (123)H {(13),(123)}
;
(23) H (132) H {(23),(132)}
．
H
的所有右陪集为
:
H (1) H(12) {(1),(12)}
;
H(13) H (132) {(13),(132)}
;
H (23) H (123) {(23),(123)}
.
四、综合应用能力。
（五）证明题
1
．在群 中
,
对任意
,
方程 与 都有唯一解
.
2024年3月16日发(作者：扬新之)
近世代数复习思考题
一、基本概念与基本常识的记忆
（一）填空题
1.
剩余类加群
Z
12
有 ____ 个生成元
.
2
、设群
G
的元
a
的阶是
n
，则
a
k
的阶是
.
3. 6
阶循环群有 ____ 个子群
.
4
、设群
G
中元素
a
的阶为
m
，如果
a
n
e
，那么
m
与
n
存
在整除关 系为———。
5.
模
8
的剩余类环
Z
8
的子环有 ___ 个
.
6.
整数环
Z
的理想有 ___ 个
.
7
、
n
次对称群
Sn
的阶是——————。
8
、
9-
置换
1 2 3 4 5 6 7 8 9
分解为互不相交的循环之积是—
5 4 3 9 6 1 8 2 7
———。
9.
剩余类环
Z
6
的子环
S={
[
0
]
,
[
2
]
,
[
4
]
}
，则
S
的单位元是
10.
Z
24
中的所有可逆元是： ____________________
.
11
、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个 _ 同构。
12.
设
G （a）
为循环群，那么（
1
）若
a
的阶为无限，则
G
同构于 _ ，（
2
）若
a
的阶为
n
，则
G
同构于 ___ 。
13.
在整数环
Z
中，
2 3
= _________________
；
14
、
n
次对称群
S
n
的阶是
.
15.
设
A
1
, A
2
为群
G
的子群，则
A
1
A
2
是群
G
的子群的充分必
要条件
为 ________ 。
16
、除环的理想共有 _______ 个。
17.
剩余类环
Z
5
的零因子个数等于 ____
.
18
、在整数环
Z
中，由｛
2
，
3
｝生成的理想是
.
19.
剩余类环
Z
7
的可逆元有 ____ 个
.
20
、设
Z
11
是整数模
11
的剩余类环，则
Z
11
的特征是 _
.
21.
整环
I=｛
所有复数
a+bi(a,b
是整数
)｝
，则
I
的单位是
22.
剩余类环
Z
n
是域
n
是 _______
.
23
、设
Z
7
=｛0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6｝
是整数模
7
的剩余类
环，在
Z
7
[x]
中
, (5x-4)(3x+2)= .
24.
设
G
为群，
a G
，若
a 12
，则
a
8
_______________
。
25
、设群
G=
｛
e
，
a
1
，
a
2
，⋯
G
的单 位元，则
a
1
n
=___.
，
a
n
-
1
｝，运算为乘法，
e
为
26.
设
A=｛a,b,c｝
，则
A
到
A
的一一映射共有 __ 个
.
27
、整数环
Z
的商域是 __
.
28.
整数加群
Z
有 ______ 个生成元
.
29
、若
R
I
R
是一个有单位元的交换环， 是的一个理想，那
IR
I
么是 一个域当且仅当 是————————。
30.
已知
1 2 3 4 5
为
S
5
上的元素，则
1
＝ ______________ 。
3 1 2 5 4
5
31.
每一个有限群都与一个 ______ 群同构。
32
、设
I
是唯一分解环，则
I
[
x
]与唯一分解环的关系是
二、基本概念的理解与掌握。
（二）选择题
1.
设集合
A
中含有
5
个元素，集合
B
中含有
2
个元素，
那么，
A
与
B
的积集合
A
×
B
中含有（ ）个元素。
A.2
C.7
2.
设
A
＝
B
＝
R（
实数
B.5
D.10
集
）
，
：
x
→
x
＋
2
，
x
∈
R
，
则 是从
A
到
B
的
（
A.
满射而非单射
C.
一一映射
如果
A
到
B
的映射
）
B.
单射而非满射
D.
既非单射也非满射
3.
设
Z
15
是以
15
为模的剩余类
加群，
（ ）个。
A.2
那么，
Z
15
的子群共
有
B.4
C.6 D.8
4
、
G
是
12
阶的有限群，
H
是
G
的
H
的阶可能是
（ ）
子群，则
A 5
；
B 6
；
C 7
；
D 9.
5
、下面的集合与运算构成群
的是
( )
A {0
，
1}
，运算为普通的
乘法；
B {0
，
1}
，运算为普通的加法
;
C {-1
，
1}
，运算为普通的乘法；
D {-1
，
1}
，运算为普通的加法
;
6
、关于整环的叙述，下列正确的是
( )
A
左、右消去律都成
B
左、右消去律都不成立
D
每个非零元都没有逆元
立；
7
、关于理想的叙述，下列不正确的是
( )
A
在环的同态满射下，理想的象是理想
;
B
在环的同态满射下，理想的逆象是理想
C
除环只有两个理想，即零理想和单位理想
D
环的最大理想就是该环本身
.
8.
整数环
Z
中，可逆元的个数是
( )
A.1
个
B.2
个
C.4
个
D.
无限个
9.
设
M
2
(R)=
a b
a,b,c,d
∈
R
，
R
为实数域 按矩阵的加法和
cd
乘法构成
R
上的二阶方阵环，那么这个方阵环是
( )
。
A.
有单位元的交换环
B.
无单位元的交换环
D.
有单位元的非交换环
C.
无单位元的非交换环
a
,
当
a
为偶数时
2
a1
10.
设
Z
是整数集，
σ
(a)=
a 1
，
a Z
，则
σ
是
R
的
,
当
a
为奇数时
2
( ).
A.
满射变换
B.
单射变换
C.
变换
D.
不是
R
的变换
11
、设
A=｛
所有实数
x｝
，
A
的代数运算是普通乘法，则
以下映射 作成
A
到
A
的一个子集 的同态满射的是
（ ）.
A
、
x
→
10x B
、
x
→
2x
C
、
x
→
|x| D
、
x
→
-x .
12
、设 是正整数集
Z
上的二元运算，其中
a b max a,b
（即
取
a
与 中的最大者），那么 在
Z
中（ ）
b
A
、不适合交换律
C
、存在单位元
B
、不适合结合律
D
、每个元都有逆元
.
13.
设
S
3
=｛
（
1
），（
1 2
），（
1 3
），（
2 3
），（
1 2
3
），（
1 3 2
）
｝
，则
S
3
中与元（
1 2 3
）不能交换的元
的个数是
（ ）
A
、
1 B
、
2 C
、
3 D
、
4.
14
、设
G,
为群，其中
G
是实数集，而乘法
: a b a b k
，这
里 为 中固定的常数。那么群
G,
中的单位元
e
和元
x
k
G
的逆 元分别是（ ）
A
、
0
和
x
；
B
、
1
和
0
；
C
、
k
和
x 2k
；
D
、
k
和
（x
2k）
15
、设
H
是有限群
的子群，且
有左陪集分类
GG
H,aH,bH,cH
。 如果
H
6,
那么
的阶
G
（ ）
G
A
、
6 B
、
24 C
、
10 D
、
12
16.
整数环
Z
中，可逆元的个数是
（ ）.
A
、
1
个
B
、
2
个
C
、
4
个
D
、无限个。
17
、设
f :R
1
R
2
是环同态满射，
f(a) b
，那么下列错误的结
论 为( )
A
、若
a
是零元，则
是零元
b
B
、若
a
是单位元，则
是单位元
b
C
、若
a
不是零因子，则
不是零因子
b
D
、若
R
2
是不交换的，则
R
1
不交换
18
、下列正确的命题是( )
A
、欧氏环一定是唯一分解环
B
、主理想环必是欧氏环
C
、唯一分解环必是主理想环
D
、唯一分解环必是欧氏环
19.
下列法则，哪个是集
A
的代数运算
( ).
A. A=N, a b=a+b-2 B. A=Z,a b=
b
a
C. A=Q, a b=
ab
D. A=R, a b=a+b+ab
20.
设
A={
所有非零实数
x},A
的代数运算是普通乘法， 则
以下
映射作成
A
到
A
的一个子集
A
的同态满射的是
( ).
1
A. x
→
-x
A. 3
个
C. 5
个
B. x
→
B. 4
个
D. 6
个
x
23
、设
a,b, c
和
x
都是群
G
中的元素且
x
2
a bxc
1
,acx xac
，那么
D. 3
个
x
（）
A.
bc
1
a
1
；
B.
c
1
a
1
；
C.
a
1
bc
1
；
D.
b
1
ca
。
24
、设
f :G
1
G
2
是一个群同态映射， 那么下列错误的命题是
（ ）
A.
f
的同态核是
G
的不变子群
;
1
B.
G
1
的不变子群的象是
G
2
的不变子群。
C.
G
1
的子群的象是
G
2
的子群；
D.
G
2
的不变子群的逆象是
G
1
的不变子群；
25
、设
H
是群
G
的子群，且
G
有左陪集分类
H,aH,bH,cH
。
如果
H
6
，那么
G
的阶
G
（ ）
A.6
；
B.24
；
C.10
；
D.12
。
（三）判断题（每小题
2
分，共
12
分）
1
、设
A
、
B
、
D
都是非空集合，则
A B
到
D
的每个映
射都叫 作二元运算。（ ）
2
、除环中的每一个元都有逆元。 （ ）
3
、如果循环群
G a
中生成元
a
的阶是无限的，则
G
与
整数 加群同构。（ ）
4
、如果群
G
的子群
是循环群，那么
G
也是循环群。
H
（ ）
5
、域是交换的除环。 （ ）
6
、唯一分解环
I
的两个元
a
和
不一定会有最大公因
b
子。（ ）
7
、设
f
：
G G
是群
G
到群
G
的同态满射，
a
∈
G
，则
a
与
f （a）
的阶相同。（ ）
8
、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。
（ ）
9
、循环群的子群也是循环群。 （ ）
10
、整环
I
中的两个元素
a
，
b
满足
a
整除
b
且
b
整
除
a
， 则
a
＝
b
。（ ）
11
、一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子。
（ ）
12
、只要
f
是
A
到
A
的一一映射， 那么必有唯一的逆
映射
f
1
。 （）
13
、如果环 的阶
2
，那么
的单位元
1 0
。（ ）
RR
14
、指数为
2
的子群不是不变子群。 （ ）
15
、在整数环
Z
中，只有±
1
才是单位，因此在整数
环
Z
中 两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一个
符号。 （ ）
16
、两个单位 和 的乘积 也是一个单位。 （ ）
17
、环
K
中素元一定是不可约元； 不可约元一定是素
元。（ ）
18
、由于零元和单位都不能表示成不可约元之积， 所
以零元 和单位都不能唯一分解。 （ ）
19
、整环必是唯一分解环。 （ ）
20
、在唯一分解环
K
中，
p
是
K
中的素元当且仅当
p
是
K
中的
不可约元。（ ）
21
、设
K
是唯一分解环，则
K
中任意二个元素的最大
公因子 都存在，且任意二个最大公因子相伴。 （ ）
22
、整数环
Z
和环
Q x
都是主理想环。（ ）
23
、
K
是主理想环当且仅当
K
是唯一分解环。（ ）
24
、整数环
Z
、数域
P
上的一元多项式环
P x
和
Gauss
整环
Zi
都是欧氏环。（ ）
25
、欧氏环必是主理想环，因而是唯一分解环。反之
亦然。 （）
26
、欧氏环 主理想环 唯一分解环 有单位元的整环。
（ ）
27
、设环
R, ,
的加法群是循环群
,
那么环
R
必是交换
环
.
（）
28
、对于环
R,
若
a
是
R
的左零因子
,
则
a
必同时是
R
的右零因 子
.
（ ）
29
、剩余类
Z
m
是无零因子环的充分必要条件是
m
为
素数
.
（）
30
、整数环是无零因子环，但它不是除环。 （ ）
0
31
、
S
2
2
0
0
2
C
是
M
2
C
的子域
.
（ ）
32
、在环同态下，零因子的象可能不是零因子。
（ ）
33
、理想必是子环
,
但子环未必是理想
.
（ ）
34
、群
G
的一个子群
H
元素个数与
H
的每一个左陪集
aH
的个 数相等
.
（ ）
35
、有限群
G
中每个元素
a
的阶都整除群
G
的阶。（ ）
三、基本方法与技能掌握。
（四）计算题
1
．设 为整数加群
, ,
求
[Z : H ] ?
解 在
Z
中的陪集有
:
, ,
, ,
所以
,
[Z : H ] 5
.
2
、找出
S
3
的所有子群。
解：
S
3
显然有以下子群： 本身；（（
1
））
=｛
（
1
）
｝
；
（（
12
））
=｛
（
12
），（
1
）
｝
； （（
13
））
=
｛
（
13
），（
1
）
｝
；（（
23
））
=｛
（
23
），（
1
）
｝
；
（（
123
））
=｛
（
123
），（
132
），（
1
）
｝
若
S
3
的一个子群
H
包含着两个循环置换， 那么
H
含
有（
12
）， （
13
）这两个
2-
循环置换，那么
H
含有
（
12
）（
13
）
=
（
123
）， （
123
）（
12
）
=
（
23
），因而
H=S
3
。同理，若是
S
3
的一个子群含 有两个循环置换
（
21
），（
23
）或（
31
），（
32
）。这个子群也必然
用完全类似的方法，可以算出，若是
S
3
的一个子群含
有一个
2-
循环置换和一个
3-
循环置换，那么这个子群也必然是
S
3
。
3
．求
Z
18
的所有子群。
解
Z
的子群有
18
;
;
;
;
;
.
4
． 将 表为对换的乘积
.
解
.
容易验证
: (4 2)(2 6)(1 2)(1 3)(2 7)(1 2).
5
． 设按顺序排列的
13
张红心纸牌
A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K
经一次洗牌后牌的顺序变为
3, 8, K, A, 4, 10, Q, J, 5, 7, 6, 2, 9
问
:
再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的
?
解 每洗一次牌
,
就相当于对牌的顺序进行一次新的置换
由题 意知
,
第一次洗牌所对应的置换为
则
3
次同样方式的洗牌所对应的置换为
6
． 在
Z
6
中
,
计算
:(1) ;(2) ; (3) ; (4) .
解
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
7
．试求高斯整环 的单位。
解 设
( )
为 的单位
,
则存在
,
使得
,
于是
.
因为
,
所以
.
从而
, ,
或
.
因此可能的单位只有
显然它们都是 的单位
.
所以 恰有四个单位
8
． 试求
Z
12
中的所有零因子与可逆元
,
并确定每个可逆元
的逆 元素
.
解 由定理可知
:
（1）
（2）
为
Z
的全部零因子
.
12
为
Z
的全部可逆元
.
直接计算可知
,
相应的
12
逆元 为
, , , . 9
、找出模
6
的剩余类环
Z
6
的所有理
想。 解：
R=｛［0］
，
［1］
，
［2］
，
［3］
，
［4］
，
［5］｝
。
若
I
是
R
的一个理想，那么
I
一定是加群
R
的一个子
群。 但加群
R
是循环群，所以它的子群一定也是循环
群， 我们有
G
1
=
（
［0］
）
=｛［0］｝
G
2
=
（
［1］
）
=
（
［5］
）
=R G
3
=
（
［2］
）
=
（
［4］
）
=
｛［0］
，
［2］
，
［4］｝
G
4
=
（
［3］
）
=｛［0］
，
［3］｝
易见，
G
1
，
G
2
，
G
3
，
G
4
都是
R
的理想，因而是
R
的所有
理想。
10
． 在
Z
中
,
解下列线性方程组
:
12
解
:
x
35
21
1
6
1
1
13
1 5 6
11
9
y
231
即
, .
11
．求
Z
18
的所有子环
解 设 为
Z
的任一子环
,
则 是
Z
的子加群
,
而
1818
为
有限阶循环群
,
从而 也是循环群
,
且存在
, ,
使 得
.
的可
能取值为
1, 2, 3, 6, 9, 12
。相应的子加群为
,
,
,
,
,
.
直接验证可知
,
以上六个子加群都关于剩余类的乘法封
闭
,
所 以它们都是
Z
的子环
.
于是
Z
恰有
6
个子环
:
1818
12.
试求 的所有理想
.
解 设 为 的任意理想
,
则 为 的子环， 则
, ,
且
.
对任意的
, ,
有
,
从而由理想的定义知
,
为 的理想
.
由此知
,
的全部理想为
且
.
13
、数域
F
上的多项式环
F x
的理想
(x
2
1,x
5
x
3
1)
是怎样的一
个
主理想
解 由于
x
5
x
3
1 x
3
x
2
1 1
，所以
1 x
2
1,x
5
x
3
1
，于是得
x
2
1,x
5
x
3
1 1 F[x]
。
14
、在
2 5 3
中
,
求 的全部根
.
,
可知 解 共有
16
个元素
: , , , ,
将它们分别代入
共有下列
4
个元素
为 的根
.
15
．试举例说明，环
Rx
中的
m
次与
n
次多项式的乘积可
能不是 一个
m+n
次多项式
.
解 例如，环
Zx
中多项式
6
f (x) 2x
3
x
2
3x 5
与
g(x) 3x
2
1
的乘积
f(x)g(x) 3x
4
x
3
4x
2
3x 5
就不是
3+2
次多项式
. 16.
求出域
Z
3
上的所有
2
次不可约多项式
.
解 经验算得知，
Z
上的
2
次不可约多项式有三个，它
3
们是：
x
2
1, x
2
x 1, x
2
x 1.
17
、指出下列哪些元素是给定的环的零因子
(1)
在
M(F)
中
.
设
A
2
0
2
2
1
,B
0-1
，
C
12
0 1
0 4
2
(2)
在
Z
12
中
,
它的全部零因子是哪些
.
(3)
Z
11
中有零因子吗
?
| A| |C | 0 A,C
是零因子
,
但
B
不是
.
解
(1)
(2)
Z
12
中的零因子为
[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]
(3)
Z
11
中没有零因子
.
18.
求二阶方阵环
M
2
(R)
的中心
.
解 高等代数已经证明，
n
阶方阵
A
与任何
n
阶方阵可
交换
A
10
是纯量矩阵
.
因此
M (R)
的中心
C k k R .
2
2
0 1
19
．举例说明，非零因子的象可能会
是零因子
.
解：设
:Z Z
是环同态满射
,
其中
:
n n
.
则显然
Z
是整
6
环， 所以
Z
中没有零因子。但在
Z
中
,
2
和
3
、
4
都是零
6
因 子
.
即
2
显然不是
Z
中的零因子
,
但
2 2
却是
Z
中的零
6
因子
.
这 告诉我们
:
非零因子的象可能会是零因子
.
20.
设
R
为偶数环
.
证明：
N 4r r R R.
问：
N 4
是否成立？
N
是由哪个偶数生成的主理想？
解：
4n,4m N,n,m R
：
4n 4m 4(n m) N, n m R
故
(4n 4m) N,
另外
n R, 4r
N,r R
(4r)n 4(rn) N, rn R
n(4r) (n4)r (4n )r 4(nr) N, n R n r R,
故
n(4r),(4r)n N.
总之有
N 4r r R R.
另方面，由于
N 4r r R , 16, 8,0,8,16, ,
且
4 N.
而且实际上
N
是偶数环中由
8
生成的主理想，即
N 4r r R 8
4 4r 4n r R,n Z
8r 8nr R,n Z
4n n Z
8n n Z
，但是
, 8, 4,0,4,8,
因此，
N 4
.
实际上是
N 8 4 .
21
、举例说明，素理想不一定
是极大理想。
解 例如
Z x
是有单位元的交换环，容易证明
x
是它的一
个素 理想
.
而理想
x,2
真包含
x
且
x,2 Z x
.
从而知
x
是
Z x
的素理想 但不是极大理想
.
22
、设
H {(1),(12)}
,
求
S
3
关于
H
的所有左陪集以及右陪集
.
解
S
3
{ (1), (12) , (13), ( 23)
,
, (123) , (132)}
H
的所有左陪集为
:
(1)H (12)H {(1),(12)} H
;
(13)H (123)H {(13),(123)}
;
(23) H (132) H {(23),(132)}
．
H
的所有右陪集为
:
H (1) H(12) {(1),(12)}
;
H(13) H (132) {(13),(132)}
;
H (23) H (123) {(23),(123)}
.
四、综合应用能力。
（五）证明题
1
．在群 中
,
对任意
,
方程 与 都有唯一解
.