2024年3月19日发(作者：潜温书)

排列组合例题

【例1】

9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？

分析 如果问题是9名同学站成一排照相，则是9个元素的全排列的问题，有A

9

9

种方

案。而问题中9个人要分成两排，可以看成9个人排成一排后，左边4个人站在前排，右

边5个人站在后排，所以实质上，还是9个人站9个位置的全排列问题．

　　解：由全排列公式，共有A

9

9

==9×8×7×6×5×4×3×2×1=362880种不同的排法．

【例2】

5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？

　　分析 由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问

题，是一个全排列问题，且n=4．

解：由全排列公式，共有A

4

4

=24

种不同的站法．

【例3】

5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？

A．240 B．320 C．450 D．480

正确答案【B】

解析：采用捆绑法，把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有

A66=6x5x4x3x2种，然后3个女生内部再进行排列，有A33=6种，两次是分步完成的，应

采用乘法，所以排法共有：A66 ×A33 =320（种）。

【例4】

6名同学坐成一排,其中甲,乙必须坐在一起的不同坐法是________种.(答案:240)

A44×A51×2=240

【例5】

从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中

甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）

　　（A） 280种 （B）240种 （C）180种（D）96种

　　正确答案：【B】

　　解析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，

因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C41=4种不同的选法，再从其余的5人中

任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A53=10种不同的选法，所以不同的选

派方案共有 C41×A53=240种，所以选B。

【例6】

从6名男生，5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同的

选法？

　　A．240 B． 310 C． 720 D． 1080

　　正确答案【B】

　　解析：此题从正面考虑的话情况比较多，如果采用间接法，男女至少各一人的反面就

是分别只选男生或者女生，这样就可以变化成C114-C64-C54=310。

【例7】

某单位邀请10为教师中的6位参加一个会议，其中甲，乙两位不能同时参加，则邀请

的不同方法有（ ）种。

　　A.84 B.98 C.112 D.140

　　正确答案【D】

　　解析：按要求：甲、乙不能同时参加分成以下几类：

　　a.甲参加，乙不参加，那么从剩下的8位教师中选出5位，有C85=56种；

　　b．乙参加，甲不参加，有C85=56种；

　　c．甲、乙都不参加，那么从剩下的8位教师中选出6位，有C86）=28种。

　　故共有56+56+28=140种。

【例8】

从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,

则不同的选取法有_______种.(答案:350)

C6352+C62C53=200+150=350

【例9】

由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的

　　①三位数？ A

6

3

=120

　　②个位是5的三位数？ A

5

2

=6

　　③百位是1的五位数？ A

5

4

=120

④六位数？ A

6

6

=720

【例10】

从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，

问：

　　①有多少个不同的乘积？

　　②有多少个不同的乘法算式？

分析 ①中，要考虑有多少个不同乘积.由于只要从5张卡片中取两张，就可以得到一

个乘积，所以，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是

一个组合问题.②中，要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，

而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题.

解：①由组合数公式，共有C

5

2

=10个不同的乘积.

　　②由排列数公式，共有A

5

2

＝ 5×4＝20种不同的乘法算式.

【例11】

在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的①直线段，②

三角形，③四边形？

分析 由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取

2个点，就可以画出一条线段；在10个点中取3个点，就可以画出一个三角形；在10个

点中取4个点，就可以画出一个四边形，三个问题都是组合问题.

解：由组合数公式.

　　①C

10

2

=45 个直线段 ②C

10

3

=120个三角形 ③C

10

4

=210个四边形

【例12】

用0,1,2,3,4这5个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有________个.(答案:30

个)

4×4×3-3×3×2=30 （总—奇）

或4×3×1+3×3×2=30 （个位0与非0）

【例13】

某铁路线共有14个车站，这条铁路线共需要多少种不同的车票．

分析 两个车站之间需要来回两种车票，是排列问题。

解：A142=182(种)

【例14】

有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）

A 768种 B 32种 C 24种 D 2

10

种

解：

根据乘法原理，分两步：

第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排

法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有

120÷5＝24种。

第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，

总共又2×2×2×2×2＝32种

综合两步，就有24×32＝768种。

【例15】

若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )

A 119种 B 36种 C 59种 D 48种

解：

5全排列5*4*3*2*1=120

有两个l所以120/2=60

原来有一种正确的所以60-1=59

【例16】

从4名男生3名女生中选出3名代表，问：不同的选法共有多少种？“至少有一

名女生”的不同选法共有多少种？“代表中男女生都要有”的不同选法有多少种？

解①

C

7

3

=35（种）

解②

选1名女生2名男生：C

3

1

×C

4

2

=18

选2名女生1名男生：C

3

2

×C

4

1

=12

选3名女生:C

3

3

=1

共18+12+1=31（种）

解③

18+12=30（种）

【例17】

用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比

20000

大且百位数字不是

3

的无重复数

字的五位数？

【例18】

甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间最多有两个人，问一

共有多少种站法？

【例19】

从19、20、21……93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法

总数是多少?

两数之和为偶数时，必须是同奇或同偶，且加法可交换，故不必考虑顺序．因此只须

分两类讨论即可．19、20……93、94共有38个奇数，38个偶数．从38个数中任选2个数

2

的方法有

C

38

3837(21)703

种． 即 奇加奇、偶加偶各有703种，所以选法共

有1406种．

【例20】

已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至

第五名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都

未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这个回答分析，5人的名次排列

共有多少种不同的情况？

【例21】

平面内有12 个点，其中 6点共线，此外再无3点共线．⑴ 可确定多少个三角形？

⑵ 可确定多少条射线？

【例22】

①7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？

解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素

与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有1440 种。

A

6

6

×A

2

2

=1440

②7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？

解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法

先排5个同学，有A

5

5

=120.再考虑插空：5个同学6个空，安排2个同学，有

A

6

2

=30，共有120×30=3600（种）

甲、乙二人不相邻的排法总数应为：3600种

【例23】

正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个？

解：从7个点中取3个点的取法有C73 种，但其中正六边形的对角线所含的中心

和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有C73－3＝32个.

【例24】

从右图中11个交点中任取3个点，可画出多少个三角形？

解：组合总数为

C

11

3

=165，

　　其中三点共线不能构成的三角形有6

C

3

3

=6，四点共线不能构成的三角形有

2

C

4

3

=8，

　　∴165-（6+8）=151个

【例25】

1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的

排法 种．

解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置

上任选一个位置，有3种，而其余学生的排法有A

4

4

=24种，所以共有3×24＝72种不

同的排法.

【例26】

乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要

安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出

场安排共有252种.

解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有A

3

3

=6 种排法，而其余

7名队员选出2名安排在第二、四位置，有C

7

2

×A

2

2

=42 种排法，所以不同的出场安排

共有42×6＝252种.

【例27】

某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果

将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ）

A．42 B．30 C．20 D．12

解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：

不相临：共有A

6

2

=30种；

相临：共有A

2

2

×A

6

1

=12种。故不同插法的种数为：30 +12=42 ，故选A。

【例28】

12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的

分配方案共有（ ）

解：本试题属于均分组问题。 则12名同学均分成3组，平均每组4人，共有

C

12

4

=495 种方法,分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有3×3=9 种，

495×9=4455。

【例29】

从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块

土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ）

A．24种 B．18种 C．12种 D．6种

解:先选后排,分步实施. 由题意，不同的选法有: C

3

2

种,不同的排法有: 故不同的

种植方法共有 ，故应选C.

【例30】

把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的

本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。

解：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，

保证每个阅览室至少得一本书，共有C62=15 种插法，即有15种分法。

【例31】

【例32】

【例33】

在1、2、3、4、5这五个数字组成的没有重复的三位数中，各位数字之和为奇数

的共有 个。

解：

三个数字都是奇数：P

3

3

三个数字是一奇二偶：C

3

1

×C

2

2

×P

3

3

P

3

3

+ C

3

1

×C

2

2

×P

3

3

=6+18=24

【例34】

从甲、乙、丙3名同学中选2名参加某天的某项活动，其中1名同学参加上午的

活动，1名同学参加下午的活动，共有多少方案？

P

3

1

×P

2

1

=6

【例35】

由0、2、5、6、7、8组成的无重复数字的数，①大于5860的4位数有多少？②

由小到大排列的4位数中，第128个数是多少？③由小到大排列的4位数中，5067是

第几个数？

解：

①

5

6

②

2

P

5

3

P

2

1

+ P

3

1

+3×P

5

3

560

6

P

2

1

858

P

3

1

7

P

5

3

7

8

P

5

3

P

5

3

P

5

3

P

4

2

③

2

P

5

3

+ P

5

3

+ P

4

2

=138

5

P

5

3

0、

2

2×P

4

2

5602

P

5

3

+2×P

4

2

+ 1=85

【例36】

用数字0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字，且必240135大的数？

2524

3、4、5

P

4

4

P

4

4

-1

3×P

5

5

3×P

5

=407

【例37】

把10个相同的小球放入3个不同的箱子：

①每个箱子至少一个，有几种情况？

②3个箱子都可能取到空球，有几种情况？

③第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？

解

①C

9

2

=36

②如果在3个箱子种各预先放入1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个

不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？

C

12

2

=66

③我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在

第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为 把9个相同小球放3不同箱子，

每箱至少1个，几种方法？

C

8

2

=28

5

+ P

4

4

+ （P

4

4

-1）

【例38】

有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不

能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？

解：

因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设

前两位为a、b

　　显然a+b<=9 ,且a不为0

　　1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ0ˇ 1代表9个1，-代表10个空位

　　我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a个1，第二组取到b

个1，但此时第二组始终不能取空，若多添加第10个空时，设取到该板时第二组取空，即

b=0，所以一共有 C

10

2

=45

【例39】

有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不

能再写为止，如2349，1427等等，这类数共有几个？

答案：类似的，某数的前三位为abc，a+b+c<=9,a不为0

　　1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ0ˇ0ˇ

　　在9个空位种插如3板，分成4组，第一组取a个1，第二组取b个1，第三组取c

个1，由于第二，第三组都不能取到空，所以添加2块板

　　设取到第10个板时，第二组取空，即b=0；取到第11个板时，第三组取空，即c=0。

所以一共有C

11

3

=165

【例40】

： 有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完为止，求有多少种不同吃法？

　　o - o - o - o - o - o - o - o - o - o

选板法

o代表10个糖，-代表9块板

　　10块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一

天吃掉

　　这样一共就是 2

9

= 512

【例41】

分类插板： 小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同

的吃法？

　　此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进

行分类讨论最多吃5天，最少吃1天

　　1： 吃1天或是5天，各一种吃法 一共2种情况

　　2：吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2天，几种情况？

c10 1=10

　　3：吃3天，每天预先吃2块，即问9块糖，每天至少1块，吃3天? c8 2=28

　　4：吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天？c6 3=20

　　所以一共是 2+10+28+20=60 种

【例42】

：在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加3个节目，

共有几种情况？

二次插板法

　　-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc

　　可以用一个节目去插7个空位，再用第二个节目去插8个空位，用最后个节目去插9

个空位

　　所以一共是 c7 1×c8 1×c9 1=504种

2024年3月19日发(作者：潜温书)

排列组合例题

【例1】

9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？

分析 如果问题是9名同学站成一排照相，则是9个元素的全排列的问题，有A

9

9

种方

案。而问题中9个人要分成两排，可以看成9个人排成一排后，左边4个人站在前排，右

边5个人站在后排，所以实质上，还是9个人站9个位置的全排列问题．

　　解：由全排列公式，共有A

9

9

==9×8×7×6×5×4×3×2×1=362880种不同的排法．

【例2】

5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？

　　分析 由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问

题，是一个全排列问题，且n=4．

解：由全排列公式，共有A

4

4

=24

种不同的站法．

【例3】

5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？

A．240 B．320 C．450 D．480

正确答案【B】

解析：采用捆绑法，把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有

A66=6x5x4x3x2种，然后3个女生内部再进行排列，有A33=6种，两次是分步完成的，应

采用乘法，所以排法共有：A66 ×A33 =320（种）。

【例4】

6名同学坐成一排,其中甲,乙必须坐在一起的不同坐法是________种.(答案:240)

A44×A51×2=240

【例5】

从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中

甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）

　　（A） 280种 （B）240种 （C）180种（D）96种

　　正确答案：【B】

　　解析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，

因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C41=4种不同的选法，再从其余的5人中

任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A53=10种不同的选法，所以不同的选

派方案共有 C41×A53=240种，所以选B。

【例6】

从6名男生，5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同的

选法？

　　A．240 B． 310 C． 720 D． 1080

　　正确答案【B】

　　解析：此题从正面考虑的话情况比较多，如果采用间接法，男女至少各一人的反面就

是分别只选男生或者女生，这样就可以变化成C114-C64-C54=310。

【例7】

某单位邀请10为教师中的6位参加一个会议，其中甲，乙两位不能同时参加，则邀请

的不同方法有（ ）种。

　　A.84 B.98 C.112 D.140

　　正确答案【D】

　　解析：按要求：甲、乙不能同时参加分成以下几类：

　　a.甲参加，乙不参加，那么从剩下的8位教师中选出5位，有C85=56种；

　　b．乙参加，甲不参加，有C85=56种；

　　c．甲、乙都不参加，那么从剩下的8位教师中选出6位，有C86）=28种。

　　故共有56+56+28=140种。

【例8】

从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,

则不同的选取法有_______种.(答案:350)

C6352+C62C53=200+150=350

【例9】

由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的

　　①三位数？ A

6

3

=120

　　②个位是5的三位数？ A

5

2

=6

　　③百位是1的五位数？ A

5

4

=120

④六位数？ A

6

6

=720

【例10】

从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，

问：

　　①有多少个不同的乘积？

　　②有多少个不同的乘法算式？

分析 ①中，要考虑有多少个不同乘积.由于只要从5张卡片中取两张，就可以得到一

个乘积，所以，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是

一个组合问题.②中，要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，

而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题.

解：①由组合数公式，共有C

5

2

=10个不同的乘积.

　　②由排列数公式，共有A

5

2

＝ 5×4＝20种不同的乘法算式.

【例11】

在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的①直线段，②

三角形，③四边形？

分析 由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取

2个点，就可以画出一条线段；在10个点中取3个点，就可以画出一个三角形；在10个

点中取4个点，就可以画出一个四边形，三个问题都是组合问题.

解：由组合数公式.

　　①C

10

2

=45 个直线段 ②C

10

3

=120个三角形 ③C

10

4

=210个四边形

【例12】

用0,1,2,3,4这5个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有________个.(答案:30

个)

4×4×3-3×3×2=30 （总—奇）

或4×3×1+3×3×2=30 （个位0与非0）

【例13】

某铁路线共有14个车站，这条铁路线共需要多少种不同的车票．

分析 两个车站之间需要来回两种车票，是排列问题。

解：A142=182(种)

【例14】

有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）

A 768种 B 32种 C 24种 D 2

10

种

解：

根据乘法原理，分两步：

第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排

法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有

120÷5＝24种。

第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，

总共又2×2×2×2×2＝32种

综合两步，就有24×32＝768种。

【例15】

若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )

A 119种 B 36种 C 59种 D 48种

解：

5全排列5*4*3*2*1=120

有两个l所以120/2=60

原来有一种正确的所以60-1=59

【例16】

从4名男生3名女生中选出3名代表，问：不同的选法共有多少种？“至少有一

名女生”的不同选法共有多少种？“代表中男女生都要有”的不同选法有多少种？

解①

C

7

3

=35（种）

解②

选1名女生2名男生：C

3

1

×C

4

2

=18

选2名女生1名男生：C

3

2

×C

4

1

=12

选3名女生:C

3

3

=1

共18+12+1=31（种）

解③

18+12=30（种）

【例17】

用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比

20000

大且百位数字不是

3

的无重复数

字的五位数？

【例18】

甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间最多有两个人，问一

共有多少种站法？

【例19】

从19、20、21……93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法

总数是多少?

两数之和为偶数时，必须是同奇或同偶，且加法可交换，故不必考虑顺序．因此只须

分两类讨论即可．19、20……93、94共有38个奇数，38个偶数．从38个数中任选2个数

2

的方法有

C

38

3837(21)703

种． 即 奇加奇、偶加偶各有703种，所以选法共

有1406种．

【例20】

已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至

第五名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都

未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这个回答分析，5人的名次排列

共有多少种不同的情况？

【例21】

平面内有12 个点，其中 6点共线，此外再无3点共线．⑴ 可确定多少个三角形？

⑵ 可确定多少条射线？

【例22】

①7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？

解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素

与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有1440 种。

A

6

6

×A

2

2

=1440

②7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？

解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法

先排5个同学，有A

5

5

=120.再考虑插空：5个同学6个空，安排2个同学，有

A

6

2

=30，共有120×30=3600（种）

甲、乙二人不相邻的排法总数应为：3600种

【例23】

正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个？

解：从7个点中取3个点的取法有C73 种，但其中正六边形的对角线所含的中心

和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有C73－3＝32个.

【例24】

从右图中11个交点中任取3个点，可画出多少个三角形？

解：组合总数为

C

11

3

=165，

　　其中三点共线不能构成的三角形有6

C

3

3

=6，四点共线不能构成的三角形有

2

C

4

3

=8，

　　∴165-（6+8）=151个

【例25】

1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的

排法 种．

解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置

上任选一个位置，有3种，而其余学生的排法有A

4

4

=24种，所以共有3×24＝72种不

同的排法.

【例26】

乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要

安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出

场安排共有252种.

解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有A

3

3

=6 种排法，而其余

7名队员选出2名安排在第二、四位置，有C

7

2

×A

2

2

=42 种排法，所以不同的出场安排

共有42×6＝252种.

【例27】

某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果

将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ）

A．42 B．30 C．20 D．12

解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：

不相临：共有A

6

2

=30种；

相临：共有A

2

2

×A

6

1

=12种。故不同插法的种数为：30 +12=42 ，故选A。

【例28】

12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的

分配方案共有（ ）

解：本试题属于均分组问题。 则12名同学均分成3组，平均每组4人，共有

C

12

4

=495 种方法,分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有3×3=9 种，

495×9=4455。

【例29】

从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块

土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ）

A．24种 B．18种 C．12种 D．6种

解:先选后排,分步实施. 由题意，不同的选法有: C

3

2

种,不同的排法有: 故不同的

种植方法共有 ，故应选C.

【例30】

把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的

本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。

解：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，

保证每个阅览室至少得一本书，共有C62=15 种插法，即有15种分法。

【例31】

【例32】

【例33】

在1、2、3、4、5这五个数字组成的没有重复的三位数中，各位数字之和为奇数

的共有 个。

解：

三个数字都是奇数：P

3

3

三个数字是一奇二偶：C

3

1

×C

2

2

×P

3

3

P

3

3

+ C

3

1

×C

2

2

×P

3

3

=6+18=24

【例34】

从甲、乙、丙3名同学中选2名参加某天的某项活动，其中1名同学参加上午的

活动，1名同学参加下午的活动，共有多少方案？

P

3

1

×P

2

1

=6

【例35】

由0、2、5、6、7、8组成的无重复数字的数，①大于5860的4位数有多少？②

由小到大排列的4位数中，第128个数是多少？③由小到大排列的4位数中，5067是

第几个数？

解：

①

5

6

②

2

P

5

3

P

2

1

+ P

3

1

+3×P

5

3

560

6

P

2

1

858

P

3

1

7

P

5

3

7

8

P

5

3

P

5

3

P

5

3

P

4

2

③

2

P

5

3

+ P

5

3

+ P

4

2

=138

5

P

5

3

0、

2

2×P

4

2

5602

P

5

3

+2×P

4

2

+ 1=85

【例36】

用数字0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字，且必240135大的数？

2524

3、4、5

P

4

4

P

4

4

-1

3×P

5

5

3×P

5

=407

【例37】

把10个相同的小球放入3个不同的箱子：

①每个箱子至少一个，有几种情况？

②3个箱子都可能取到空球，有几种情况？

③第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？

解

①C

9

2

=36

②如果在3个箱子种各预先放入1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个

不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？

C

12

2

=66

③我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在

第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为 把9个相同小球放3不同箱子，

每箱至少1个，几种方法？

C

8

2

=28

5

+ P

4

4

+ （P

4

4

-1）

【例38】

有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不

能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？

解：

因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设

前两位为a、b

　　显然a+b<=9 ,且a不为0

　　1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ0ˇ 1代表9个1，-代表10个空位

　　我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a个1，第二组取到b

个1，但此时第二组始终不能取空，若多添加第10个空时，设取到该板时第二组取空，即

b=0，所以一共有 C

10

2

=45

【例39】

有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不

能再写为止，如2349，1427等等，这类数共有几个？

答案：类似的，某数的前三位为abc，a+b+c<=9,a不为0

　　1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ0ˇ0ˇ

　　在9个空位种插如3板，分成4组，第一组取a个1，第二组取b个1，第三组取c

个1，由于第二，第三组都不能取到空，所以添加2块板

　　设取到第10个板时，第二组取空，即b=0；取到第11个板时，第三组取空，即c=0。

所以一共有C

11

3

=165

【例40】

： 有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完为止，求有多少种不同吃法？

　　o - o - o - o - o - o - o - o - o - o

选板法

o代表10个糖，-代表9块板

　　10块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一

天吃掉

　　这样一共就是 2

9

= 512

【例41】

分类插板： 小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同

的吃法？

　　此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进

行分类讨论最多吃5天，最少吃1天

　　1： 吃1天或是5天，各一种吃法 一共2种情况

　　2：吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2天，几种情况？

c10 1=10

　　3：吃3天，每天预先吃2块，即问9块糖，每天至少1块，吃3天? c8 2=28

　　4：吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天？c6 3=20

　　所以一共是 2+10+28+20=60 种

【例42】

：在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加3个节目，

共有几种情况？

二次插板法

　　-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc

　　可以用一个节目去插7个空位，再用第二个节目去插8个空位，用最后个节目去插9

个空位

　　所以一共是 c7 1×c8 1×c9 1=504种