2024年3月20日发(作者：堂慕雁)
齐次坐标的理解
一直对齐次坐标这个概念的理解不够彻底，只见大部分的书中说道“齐次坐标在仿射
变换中非常的方便”，然后就没有了后文，今天在一个叫做“三百年 重生”的博客上看到
一篇关于透视投影变换的探讨的文章，其中有对齐次坐标有非常精辟的说明，特别是针对
这样一句话进行了有力的证明：
“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够
用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射（线性）几何变换。”——
F.S. Hill, J
R。
由于作者对齐次坐标真的解释的不错，我就原封不动的摘抄过来：
对于一个
向量
v以及基oabc，可以找到一组坐标(v1,v2,v3)，使得v = v1 a + v2
b + v3 c （1）
而对于一个
点
p，则可以找到一组坐标（p1,p2,p3），使得 p – o = p1 a + p2 b
+ p3 c （2），
从上面对
向量
和
点
的表达，我们可以看出为了在坐标系中表示一个
点
（如p），我们把
点的位置看作是对这个基的原点o所进行的一个位移，即一个向量——p – o（有的书中
把这样的向量叫做
位置向量
——起始于坐标原点的特殊向量），我们在表达这个向量的同时
用等价的方式表达出了点p：p = o + p1 a + p2 b + p3 c (3)
(1)(3)是坐标系下表达一个
向量
和
点
的不同表达方式。这里可以看出，虽然都是用代数
分量的形式表达向量和点，但表达一个点比一个向量需要额外的信息。如果我写出一个代
数分量表达(1, 4, 7)，谁知道它是个向量还是个点！
我们现在把（1）（3）写成矩阵的形式：v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)
p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o),这里(a,b,c,o)是坐标基矩阵，右边的列向量分别是
向量v和点p在基下的坐标。这样，向量和点在同一个基下就有了不同的表达：
3D向量
的第4个代数分量是0，而
3D点
的第4个代数分量是1。像这种这种用4个代数分量表
示3D几何概念的方式是一种齐次坐标表示。
这样，上面的(1, 4, 7)如果写成（1,4,7,0），它就是个向量；如果是(1,4,7,1)，它就是
个点。下面是如何在普通坐标(Ordinary Coordinate)和齐次坐标(Homogeneous Coor
dinate)之间进行转换：
(1)从普通坐标转换成齐次坐标时
如果(x,y,z)是个点，则变为(x,y,z,1);
如果(x,y,z)是个向量，则变为(x,y,z,0)
(2)从齐次坐标转换成普通坐标时
如果是(x,y,z,1)，则知道它是个点，变成(x,y,z);
如果是(x,y,z,0)，则知道它是个向量，仍然变成(x,y,z)
以上是通过齐次坐标来区分向量和点的方式。从中可以思考得知，对于平移T、旋转R、
缩放S这3个最常见的仿射变换，平移变换只对于点才有意义，因为普通向量没有位置概
念，只有大小和方向.
而旋转和缩放对于向量和点都有意义，你可以用类似上面齐次表示来检测。从中可以
看出，齐次坐标用于仿射变换非常方便。
此外，对于一个普通坐标的
点
P=(Px, Py, Pz)，有对应的一族齐次坐标(wPx, wPy,
wPz, w)，其中w不等于零。比如，P(1, 4, 7)的齐次坐标有(1, 4, 7, 1)、（2, 8, 14, 2）、
（-0.1, -0.4, -0.7, -0.1）等等。因此，如果把一个点从普通坐标变成齐次坐标，给x,y,z
乘上同一个非零数w，然后增加第4个分量w；如果把一个齐次坐标转换成普通坐标，把
前三个坐标同时除以第4个坐标，然后去掉第4个分量。
由于齐次坐标使用了4个分量来表达3D概念，使得平移变换可以使用矩阵进行，从
而如F.S. Hill, JR所说，仿射（线性）变换的进行更加方便。由于图形硬件已经普遍地支
持齐次坐标与矩阵乘法，因此更加促进了齐次坐标使用，使得它似乎成为图形学中的一个
标准。
以上很好的阐释了齐次坐标的作用及运用齐次坐标的好处。其实在图形学的理论中，
很多已经被封装的好的API也是很有研究的，要想成为一名专业的计算机图形学的学习者，
除了知其然必须还得知其所以然。这样在遇到问题的时候才能迅速定位问题的根源，从而
解决问题。
关于齐次坐标
按照通常使用的数学知识，二维平面上一个点可以用它在X、Y方向上的坐标来标示
为 P（x,y），但是在图形学中偏偏要‘画蛇添足’的使用齐次坐标，这样我们必须使用一
个三维向量来表示一个二维点即P（x,y,w)，最后一个w就是那个‘足’。
why？
首先想像有个绝对不变的坐标系，记为W，然后以W为参照，建立两个坐标系O1
和O2, O1的原点在W的（1,1)处，O2的原点在W的（2,2)处。那么W中的一个点P（x,y）
在O1中将变为P（x-1,y-1)，在O2中将是P（x-2, y-2)，这样同一个点P在不同的坐标
系下就具有了不同的表示。这会产生一个问题：显然，P点在二维空间的位置是唯一的，
是与坐标系无关的，而不同坐标系下的表示看上去体现不了这种无关性。
The Key
我们使用的是坐标系这样一个概念，坐标系忽略了坐标原点所具有的重要意义：正是
原点标示了该坐标系处于哪个参照位置。如果用矩阵来表示一个二维坐标系，将会是如下
形式：
|1 0|
|0 1| ，其中（1 0)T表示一个基矢量，（0 1)T表示另一个基矢量，它们互相垂直，因
此能利用它们标记整个二维空间。
（x, y)|1 0| = (x, y)
|0 1|
这就是二维坐标的实际意义。
现在考虑将坐标原点(a,b)也引入到这个矩阵表示中来：
|1 0 |
|0 1 |
|a b |
我们用这个矩阵可以表示二维空间中任意位置的一个坐标系，当然，这个坐标系的基
矢量可以不为（0 1)T和（1 0)T，为了和坐标系区分，我们称这种新表示为标架表示。
好，问题来了，如果我们仍然用（x y）来表示点P，那么根据矩阵的乘法规则，我们
无法完成其乘法：mx N 的矩阵只能和 N xk的矩阵相乘。解决的办法就是： 给P点添一
个尾巴，这个尾巴通常为1：P（x y 1)，这就是P的齐次坐标，利用新的齐次坐标和矩阵
相乘得到的结果为：
（x+a, y+b)，这样同一个点在不同标架下的不同表示最终会得到同一个计算结果，它
反映了这样一个事实：同一个点在不同标架下的不同表示其实是等价的，这一点恰恰是使
用坐标系无法体现出来的。
显然上面那个 3x2的矩阵和P的齐次表示相乘得到的不是齐次坐标，所以应该将它扩
充成3x3的方阵:
|1 0 0|
|0 1 0|
|a b 1|
经过扩充以后的新矩阵具有一些有趣的特性：利用它可以非常轻松的实现平移、旋转
以及缩放和剪切变换。为什么要写这个呢，因为我们大部分时间只是不停的接收而不太愿
意去思考为什么，难得有人提了一下让我也顺便思考了一下，然后顺便把它记下来
---------------------------------------------------------------------------
所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。
在空间直角坐标系中，任意一点可用一个三维坐标矩阵[x y z]表示。如果将该点用一
个四维坐标的矩阵[Hx Hy Hz H]表示时，则称为齐次坐标表示方法。在齐次坐标中，最后
一维坐标H称为比例因子。
在OpenGL中，二维坐标点全看作三维坐标点，所有的点都用齐次坐标来描述，统一
作为三维齐次点来处理。每个齐次点用一个向量(x, y, z, w)表示，其中四个元素全不为零。
齐次点具有下列几个性质：
1）如果实数a非零，则(x, y, x, w)和(ax, ay, az, aw)表示同一个点，类似于x/y =
(ax)/( ay)。
2）三维空间点(x, y, z)的齐次点坐标为(x, y, z, 1.0)，二维平面点(x,y)的齐次坐标为(x, y,
0.0, 1.0)。
3）当w不为零时，齐次点坐标(x, y, z, w)即三维空间点坐标(x/w, y/w, z/w)；当w为
零时，齐次点(x, y, z, 0.0)表示此点位于某方向的无穷远处。
注意：OpenGL中指定w大于或等于0.0。
那么引进齐次坐标有什么必要，它有什么优点呢？
1.它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到
另一个坐标系的有效方法。
2.它可以表示无穷远的点。n+1维的齐次坐标中如果h=0，实际上就表示了n维空间
的一个无穷远点。对于齐次坐标[a,b,h]，保持a,b不变， 点沿直线 ax+by=0 逐渐走向
无穷远处的过程
2024年3月20日发(作者：堂慕雁)
齐次坐标的理解
一直对齐次坐标这个概念的理解不够彻底，只见大部分的书中说道“齐次坐标在仿射
变换中非常的方便”，然后就没有了后文，今天在一个叫做“三百年 重生”的博客上看到
一篇关于透视投影变换的探讨的文章，其中有对齐次坐标有非常精辟的说明，特别是针对
这样一句话进行了有力的证明：
“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够
用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射（线性）几何变换。”——
F.S. Hill, J
R。
由于作者对齐次坐标真的解释的不错，我就原封不动的摘抄过来：
对于一个
向量
v以及基oabc，可以找到一组坐标(v1,v2,v3)，使得v = v1 a + v2
b + v3 c （1）
而对于一个
点
p，则可以找到一组坐标（p1,p2,p3），使得 p – o = p1 a + p2 b
+ p3 c （2），
从上面对
向量
和
点
的表达，我们可以看出为了在坐标系中表示一个
点
（如p），我们把
点的位置看作是对这个基的原点o所进行的一个位移，即一个向量——p – o（有的书中
把这样的向量叫做
位置向量
——起始于坐标原点的特殊向量），我们在表达这个向量的同时
用等价的方式表达出了点p：p = o + p1 a + p2 b + p3 c (3)
(1)(3)是坐标系下表达一个
向量
和
点
的不同表达方式。这里可以看出，虽然都是用代数
分量的形式表达向量和点，但表达一个点比一个向量需要额外的信息。如果我写出一个代
数分量表达(1, 4, 7)，谁知道它是个向量还是个点！
我们现在把（1）（3）写成矩阵的形式：v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)
p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o),这里(a,b,c,o)是坐标基矩阵，右边的列向量分别是
向量v和点p在基下的坐标。这样，向量和点在同一个基下就有了不同的表达：
3D向量
的第4个代数分量是0，而
3D点
的第4个代数分量是1。像这种这种用4个代数分量表
示3D几何概念的方式是一种齐次坐标表示。
这样，上面的(1, 4, 7)如果写成（1,4,7,0），它就是个向量；如果是(1,4,7,1)，它就是
个点。下面是如何在普通坐标(Ordinary Coordinate)和齐次坐标(Homogeneous Coor
dinate)之间进行转换：
(1)从普通坐标转换成齐次坐标时
如果(x,y,z)是个点，则变为(x,y,z,1);
如果(x,y,z)是个向量，则变为(x,y,z,0)
(2)从齐次坐标转换成普通坐标时
如果是(x,y,z,1)，则知道它是个点，变成(x,y,z);
如果是(x,y,z,0)，则知道它是个向量，仍然变成(x,y,z)
以上是通过齐次坐标来区分向量和点的方式。从中可以思考得知，对于平移T、旋转R、
缩放S这3个最常见的仿射变换，平移变换只对于点才有意义，因为普通向量没有位置概
念，只有大小和方向.
而旋转和缩放对于向量和点都有意义，你可以用类似上面齐次表示来检测。从中可以
看出，齐次坐标用于仿射变换非常方便。
此外，对于一个普通坐标的
点
P=(Px, Py, Pz)，有对应的一族齐次坐标(wPx, wPy,
wPz, w)，其中w不等于零。比如，P(1, 4, 7)的齐次坐标有(1, 4, 7, 1)、（2, 8, 14, 2）、
（-0.1, -0.4, -0.7, -0.1）等等。因此，如果把一个点从普通坐标变成齐次坐标，给x,y,z
乘上同一个非零数w，然后增加第4个分量w；如果把一个齐次坐标转换成普通坐标，把
前三个坐标同时除以第4个坐标，然后去掉第4个分量。
由于齐次坐标使用了4个分量来表达3D概念，使得平移变换可以使用矩阵进行，从
而如F.S. Hill, JR所说，仿射（线性）变换的进行更加方便。由于图形硬件已经普遍地支
持齐次坐标与矩阵乘法，因此更加促进了齐次坐标使用，使得它似乎成为图形学中的一个
标准。
以上很好的阐释了齐次坐标的作用及运用齐次坐标的好处。其实在图形学的理论中，
很多已经被封装的好的API也是很有研究的，要想成为一名专业的计算机图形学的学习者，
除了知其然必须还得知其所以然。这样在遇到问题的时候才能迅速定位问题的根源，从而
解决问题。
关于齐次坐标
按照通常使用的数学知识，二维平面上一个点可以用它在X、Y方向上的坐标来标示
为 P（x,y），但是在图形学中偏偏要‘画蛇添足’的使用齐次坐标，这样我们必须使用一
个三维向量来表示一个二维点即P（x,y,w)，最后一个w就是那个‘足’。
why？
首先想像有个绝对不变的坐标系，记为W，然后以W为参照，建立两个坐标系O1
和O2, O1的原点在W的（1,1)处，O2的原点在W的（2,2)处。那么W中的一个点P（x,y）
在O1中将变为P（x-1,y-1)，在O2中将是P（x-2, y-2)，这样同一个点P在不同的坐标
系下就具有了不同的表示。这会产生一个问题：显然，P点在二维空间的位置是唯一的，
是与坐标系无关的，而不同坐标系下的表示看上去体现不了这种无关性。
The Key
我们使用的是坐标系这样一个概念，坐标系忽略了坐标原点所具有的重要意义：正是
原点标示了该坐标系处于哪个参照位置。如果用矩阵来表示一个二维坐标系，将会是如下
形式：
|1 0|
|0 1| ，其中（1 0)T表示一个基矢量，（0 1)T表示另一个基矢量，它们互相垂直，因
此能利用它们标记整个二维空间。
（x, y)|1 0| = (x, y)
|0 1|
这就是二维坐标的实际意义。
现在考虑将坐标原点(a,b)也引入到这个矩阵表示中来：
|1 0 |
|0 1 |
|a b |
我们用这个矩阵可以表示二维空间中任意位置的一个坐标系，当然，这个坐标系的基
矢量可以不为（0 1)T和（1 0)T，为了和坐标系区分，我们称这种新表示为标架表示。
好，问题来了，如果我们仍然用（x y）来表示点P，那么根据矩阵的乘法规则，我们
无法完成其乘法：mx N 的矩阵只能和 N xk的矩阵相乘。解决的办法就是： 给P点添一
个尾巴，这个尾巴通常为1：P（x y 1)，这就是P的齐次坐标，利用新的齐次坐标和矩阵
相乘得到的结果为：
（x+a, y+b)，这样同一个点在不同标架下的不同表示最终会得到同一个计算结果，它
反映了这样一个事实：同一个点在不同标架下的不同表示其实是等价的，这一点恰恰是使
用坐标系无法体现出来的。
显然上面那个 3x2的矩阵和P的齐次表示相乘得到的不是齐次坐标，所以应该将它扩
充成3x3的方阵:
|1 0 0|
|0 1 0|
|a b 1|
经过扩充以后的新矩阵具有一些有趣的特性：利用它可以非常轻松的实现平移、旋转
以及缩放和剪切变换。为什么要写这个呢，因为我们大部分时间只是不停的接收而不太愿
意去思考为什么，难得有人提了一下让我也顺便思考了一下，然后顺便把它记下来
---------------------------------------------------------------------------
所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。
在空间直角坐标系中，任意一点可用一个三维坐标矩阵[x y z]表示。如果将该点用一
个四维坐标的矩阵[Hx Hy Hz H]表示时，则称为齐次坐标表示方法。在齐次坐标中，最后
一维坐标H称为比例因子。
在OpenGL中，二维坐标点全看作三维坐标点，所有的点都用齐次坐标来描述，统一
作为三维齐次点来处理。每个齐次点用一个向量(x, y, z, w)表示，其中四个元素全不为零。
齐次点具有下列几个性质：
1）如果实数a非零，则(x, y, x, w)和(ax, ay, az, aw)表示同一个点，类似于x/y =
(ax)/( ay)。
2）三维空间点(x, y, z)的齐次点坐标为(x, y, z, 1.0)，二维平面点(x,y)的齐次坐标为(x, y,
0.0, 1.0)。
3）当w不为零时，齐次点坐标(x, y, z, w)即三维空间点坐标(x/w, y/w, z/w)；当w为
零时，齐次点(x, y, z, 0.0)表示此点位于某方向的无穷远处。
注意：OpenGL中指定w大于或等于0.0。
那么引进齐次坐标有什么必要，它有什么优点呢？
1.它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到
另一个坐标系的有效方法。
2.它可以表示无穷远的点。n+1维的齐次坐标中如果h=0，实际上就表示了n维空间
的一个无穷远点。对于齐次坐标[a,b,h]，保持a,b不变， 点沿直线 ax+by=0 逐渐走向
无穷远处的过程