2024年3月23日发(作者：空绿兰)
6 二元二次式的分解
形如ax
2
＋bxy＋cy
2
＋dx＋ey＋f的x、y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．
6．1 欲擒故纵
【例1】分解因式：x
2
＋2xy－3y
2
＋3x＋y＋2．
【解】 如果只有二次项x
2
＋2xy－3y
2
，那么就由算式
11
13
2
得 x
2
＋2xy－3y
2
＝(x－y)(x＋3y)．
如果没有含y的项，那么对于多项式x
2
＋3x＋2，由算式
11
12
3
得 x
2
＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．
如果没有含x的项，那么对于多项式－3y
2
＋y＋2，由算式
11
32
1
得 －3y
2
＋y＋2＝(－y＋1)(3y＋2)．
把以上三个算式“拼”在一起，写成
11
13
便得到所需要的分解：
x
2
＋2xy－3y
2
＋3x＋y＋2
＝(x－y＋1)(x＋3y＋2)．
上面的算式称为长十字相乘，式中的三个十字叉乘就是上面所说的三次十字相乘（我们
省略了横线及横线下面的数）．两次十字相乘就可以确定算是中的6个数，第三次十字相乘
只需利用已有的数进行检验，必要时把同一列的两个数的位置交换一下．
长十字中的第一行1－1＋1表示因式x－y＋1，第二行的1＋3＋2表示另一个因式x＋
3y＋2．
为了解决问题，常常先忽略一些条件，导出部分结果，然后再把几方面的结果综合起来，
这种欲擒故纵的方法在数学中屡见不鲜．
【例2】分解因式：6x
2
－5xy－6y
2
＋2x＋23y－20．
【解】 先进行两次十字相乘，由算式
1
2
(x)
2
3
5
(y)
(x)(1)
4
5
2
3
3
2
2
得 6x
2
－5xy－6y
2
＝(2x－3y)(3x＋2y)，
6x
2
＋2x－20＝(2x＋4)(3x－5)．
为避免混淆，我们在算式中写上（x）、（y）、（1），表示相应的列是x、y的系数或常数
项．然后把两个算式拼成
(x)
2
3
(y)
3
2
(1)
4
5
检验一下，正好有 (－3)×(－5)＋2×4＝23，
于是 6x
2
－5xy－6y
2
＋2x＋23y－20
＝(2x－3y＋4)(3x＋2y－5)．
6．2 三元齐次
长十字相乘对于三个字母x、y、z的二次齐次式ax
2
＋bxy＋cy
2
＋dxz＋3yz＋fz
2
也同样适
合．
【例3】分解因式：x
2
－6xy＋9y
2
－5xz＋15yz＋6z
2
．
【解】 由算式
(x)
1
1
(y)
3
3
(z)
2
3
得 x
2
－6xy＋9y
2
－5xz＋15yz＋6z
2
＝(x－3y－2x)(x－3y－3z)．
【例4】已知：a、b、c为三角形的三条边，且
a
2
＋4ac＋3c
2
－3ab－7bc＋2b
2
＝0．
求证：2b＝a＋c．
【证明】由算式
(a)
1
1
(b)
1
2
(c)
3
1
得 a
2
＋4ac＋3c
2
－3ab－7bc＋2b
2
＝(a－b＋3c)(a－2b＋c)．
于是，由已知条件，得
(a－b＋3c)(a－2b＋c)＝0．
因为三角形的两条边的和大于第三条边，所以
a－b＋3c≠0，
从而 a－2b＋c＝0，
即 2b＝a＋c．
6．3 项数不全
如果二次式中缺少一项或几项，长十字相乘仍然可用（通常更为简单）．
【例5】分解因式：x
2
－y
2
＋5x＋3y＋4．
【解】 由算式
1
1
1
1
1
4
得 x
2
－y
2
＋5x＋3y＋4
＝(x＋y＋1)(x－y＋4)．
在例5中，如果仅看x
2
－y
2
与x
2
＋5x＋4，也可能导出不完全正确的算式
114
111
在用第三个十字相乘时，可以发现第三列的4与1应当交换位置．
【例6】分解因式：x
2
＋3xy＋2y
2
＋2x＋4y．
【解】 由算式
1
1
2
1
0
2
得 x
2
＋3xy＋2y
2
＋2x＋4y
＝(x＋2y)(x＋y＋2)．
6．4 能否分解
二元二次式并不是一定能分解的．如果三个十字相乘不能拼成一个长十字相乘，那么这
个二元二次式就不能分解．所以，在编制分解二元二次习题时，应当先拟好答案，即两个一
次因式，然后把它们相乘，导出一个二元二次式．换句话说，应当先写出长十字相乘的算式，
然后再写出二元二次式．如果随意地写一个二元二次式，那么多数是不能分解的．
【例7】
m
为什么数时，x
2
＋7xy－18y
2
－5x＋my－24可以分解为两个一次因式的积？
【解】 对于多项式x
2
＋7xy－18y
2
，由算式
19
12
7
对于多项式x
2
－5x－24，由算式
1
1
5
8
3
这两个算式可以拼成长十字相乘
1
1
9
2
9
2
8
3
3
8
或
1
1
对第一个长十字相乘，有
9×3＋(－2)×(－8)＝43，
而对第二个长十字相乘，有
9×(－8)＋(－2)×3＝－78，
所以，m＝43或m＝－78时，x
2
＋7xy－18y
2
－5x＋my－24才可以分解，并且由第一个长十
字相乘，得
x
2
＋7xy－18y
2
－5x＋my－24
＝(x＋9y－8)(x－2y＋3)，
由第二个长十字相乘，得
x
2
＋7xy－18y
2
－5x＋my－24
＝(x＋9y＋3)(x－2y－8)．
小 结
x、y的二次式（或x、y、z的二次齐次式）应当用长十字相乘来分解
．
长十
字相乘由三个十字相乘组成，它们分别表示x、y的二次齐次式、不含x的二次
式（或y、z的二次齐次式）与不含y的二次式（或z、x的二次齐次式）的因式
分解
．
习 题 6
将以下各式分解因式：
1．x
2
＋2xy＋y
2
＋3x＋3y＋2．
2．4x
2
－14xy＋6y
2
－7x＋y－2．
3．x
2
－y
2
－3z
2
－2xz＋4yz．
4．2y
2
－5xy＋2x
2
－ay－ax－a
2
．
5．a
2
－3b
2
－3c
2
＋10bc－2ca－2ab．
6．2a
2
－7ab－22b
2
－5a＋35b－3．
7．x
2
－2y
2
－3z
2
＋xy＋7yz＋2xz．
8．2x
2
－6y
2
＋3z
2
－xy＋7xz＋7yz．
9．4x
2
－9y
2
＋2z
2
＋6xz－3yz．
10．4x
2
＋2z
2
＋xy＋9xz＋2yz．
习题6
1．(x＋y＋1)(x＋y＋2)
2．(4x－2y＋1)(z－3y－2)
3．(x＋y－3z)(x－y＋z)
4．(x－2y－a)(2x－y＋a)
5．(a＋b－3c)(a－3b＋c)
6．(a＋2b－3)(2a－11b＋1)
7．(x－y＋3z)(x＋2y－z)
8．(x－2y＋3z)(2x＋3y＋z)
9．(2x＋3y＋2z)(2x－3y＋z)
10．(x＋2z)(4x＋y＋z)
2024年3月23日发(作者：空绿兰)
6 二元二次式的分解
形如ax
2
＋bxy＋cy
2
＋dx＋ey＋f的x、y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．
6．1 欲擒故纵
【例1】分解因式：x
2
＋2xy－3y
2
＋3x＋y＋2．
【解】 如果只有二次项x
2
＋2xy－3y
2
，那么就由算式
11
13
2
得 x
2
＋2xy－3y
2
＝(x－y)(x＋3y)．
如果没有含y的项，那么对于多项式x
2
＋3x＋2，由算式
11
12
3
得 x
2
＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．
如果没有含x的项，那么对于多项式－3y
2
＋y＋2，由算式
11
32
1
得 －3y
2
＋y＋2＝(－y＋1)(3y＋2)．
把以上三个算式“拼”在一起，写成
11
13
便得到所需要的分解：
x
2
＋2xy－3y
2
＋3x＋y＋2
＝(x－y＋1)(x＋3y＋2)．
上面的算式称为长十字相乘，式中的三个十字叉乘就是上面所说的三次十字相乘（我们
省略了横线及横线下面的数）．两次十字相乘就可以确定算是中的6个数，第三次十字相乘
只需利用已有的数进行检验，必要时把同一列的两个数的位置交换一下．
长十字中的第一行1－1＋1表示因式x－y＋1，第二行的1＋3＋2表示另一个因式x＋
3y＋2．
为了解决问题，常常先忽略一些条件，导出部分结果，然后再把几方面的结果综合起来，
这种欲擒故纵的方法在数学中屡见不鲜．
【例2】分解因式：6x
2
－5xy－6y
2
＋2x＋23y－20．
【解】 先进行两次十字相乘，由算式
1
2
(x)
2
3
5
(y)
(x)(1)
4
5
2
3
3
2
2
得 6x
2
－5xy－6y
2
＝(2x－3y)(3x＋2y)，
6x
2
＋2x－20＝(2x＋4)(3x－5)．
为避免混淆，我们在算式中写上（x）、（y）、（1），表示相应的列是x、y的系数或常数
项．然后把两个算式拼成
(x)
2
3
(y)
3
2
(1)
4
5
检验一下，正好有 (－3)×(－5)＋2×4＝23，
于是 6x
2
－5xy－6y
2
＋2x＋23y－20
＝(2x－3y＋4)(3x＋2y－5)．
6．2 三元齐次
长十字相乘对于三个字母x、y、z的二次齐次式ax
2
＋bxy＋cy
2
＋dxz＋3yz＋fz
2
也同样适
合．
【例3】分解因式：x
2
－6xy＋9y
2
－5xz＋15yz＋6z
2
．
【解】 由算式
(x)
1
1
(y)
3
3
(z)
2
3
得 x
2
－6xy＋9y
2
－5xz＋15yz＋6z
2
＝(x－3y－2x)(x－3y－3z)．
【例4】已知：a、b、c为三角形的三条边，且
a
2
＋4ac＋3c
2
－3ab－7bc＋2b
2
＝0．
求证：2b＝a＋c．
【证明】由算式
(a)
1
1
(b)
1
2
(c)
3
1
得 a
2
＋4ac＋3c
2
－3ab－7bc＋2b
2
＝(a－b＋3c)(a－2b＋c)．
于是，由已知条件，得
(a－b＋3c)(a－2b＋c)＝0．
因为三角形的两条边的和大于第三条边，所以
a－b＋3c≠0，
从而 a－2b＋c＝0，
即 2b＝a＋c．
6．3 项数不全
如果二次式中缺少一项或几项，长十字相乘仍然可用（通常更为简单）．
【例5】分解因式：x
2
－y
2
＋5x＋3y＋4．
【解】 由算式
1
1
1
1
1
4
得 x
2
－y
2
＋5x＋3y＋4
＝(x＋y＋1)(x－y＋4)．
在例5中，如果仅看x
2
－y
2
与x
2
＋5x＋4，也可能导出不完全正确的算式
114
111
在用第三个十字相乘时，可以发现第三列的4与1应当交换位置．
【例6】分解因式：x
2
＋3xy＋2y
2
＋2x＋4y．
【解】 由算式
1
1
2
1
0
2
得 x
2
＋3xy＋2y
2
＋2x＋4y
＝(x＋2y)(x＋y＋2)．
6．4 能否分解
二元二次式并不是一定能分解的．如果三个十字相乘不能拼成一个长十字相乘，那么这
个二元二次式就不能分解．所以，在编制分解二元二次习题时，应当先拟好答案，即两个一
次因式，然后把它们相乘，导出一个二元二次式．换句话说，应当先写出长十字相乘的算式，
然后再写出二元二次式．如果随意地写一个二元二次式，那么多数是不能分解的．
【例7】
m
为什么数时，x
2
＋7xy－18y
2
－5x＋my－24可以分解为两个一次因式的积？
【解】 对于多项式x
2
＋7xy－18y
2
，由算式
19
12
7
对于多项式x
2
－5x－24，由算式
1
1
5
8
3
这两个算式可以拼成长十字相乘
1
1
9
2
9
2
8
3
3
8
或
1
1
对第一个长十字相乘，有
9×3＋(－2)×(－8)＝43，
而对第二个长十字相乘，有
9×(－8)＋(－2)×3＝－78，
所以，m＝43或m＝－78时，x
2
＋7xy－18y
2
－5x＋my－24才可以分解，并且由第一个长十
字相乘，得
x
2
＋7xy－18y
2
－5x＋my－24
＝(x＋9y－8)(x－2y＋3)，
由第二个长十字相乘，得
x
2
＋7xy－18y
2
－5x＋my－24
＝(x＋9y＋3)(x－2y－8)．
小 结
x、y的二次式（或x、y、z的二次齐次式）应当用长十字相乘来分解
．
长十
字相乘由三个十字相乘组成，它们分别表示x、y的二次齐次式、不含x的二次
式（或y、z的二次齐次式）与不含y的二次式（或z、x的二次齐次式）的因式
分解
．
习 题 6
将以下各式分解因式：
1．x
2
＋2xy＋y
2
＋3x＋3y＋2．
2．4x
2
－14xy＋6y
2
－7x＋y－2．
3．x
2
－y
2
－3z
2
－2xz＋4yz．
4．2y
2
－5xy＋2x
2
－ay－ax－a
2
．
5．a
2
－3b
2
－3c
2
＋10bc－2ca－2ab．
6．2a
2
－7ab－22b
2
－5a＋35b－3．
7．x
2
－2y
2
－3z
2
＋xy＋7yz＋2xz．
8．2x
2
－6y
2
＋3z
2
－xy＋7xz＋7yz．
9．4x
2
－9y
2
＋2z
2
＋6xz－3yz．
10．4x
2
＋2z
2
＋xy＋9xz＋2yz．
习题6
1．(x＋y＋1)(x＋y＋2)
2．(4x－2y＋1)(z－3y－2)
3．(x＋y－3z)(x－y＋z)
4．(x－2y－a)(2x－y＋a)
5．(a＋b－3c)(a－3b＋c)
6．(a＋2b－3)(2a－11b＋1)
7．(x－y＋3z)(x＋2y－z)
8．(x－2y＋3z)(2x＋3y＋z)
9．(2x＋3y＋2z)(2x－3y＋z)
10．(x＋2z)(4x＋y＋z)