2024年3月23日发(作者：马帅红)
因式分解
一、导入：
有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美
的石头。甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就
够了。”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个
最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头!
启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。
二、知识点回顾：
1．运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，
例如：
(1)a
2
-b
2
=(a+b)(a-b)；
(2)a
2
±2ab+b
2
=(a±b)
2
；
(3)a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
)；
(4)a
3
-b
3
=(a-b)(a
2
+ab+b
2
)．
1
下面再补充几个常用的公式：
(5)a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)
2
；
(6)a
3
+b
3
+c
3
-3abc=(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ca)；
(7)a
n
-b
n
=(a-b)(a
n-1
+a
n-2
b+a
n-3
b
2
+…+ab
n-2
+b
n-1
)其中n为正整数；
(8)a
n
-b
n
=(a+b)(a
n-1
-a
n-2
b+a
n-3
b
2
-…+ab
n-2
-b
n-1
)，其中n为偶数；
(9)a
n
+b
n
=(a+b)(a
n-1
-a
n-2
b+a
n-3
b
2
-…-ab
n-2
+b
n-1
)，其中n为奇数．
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择
公式．
三、专题讲解
例1 分解因式：
(1)-2x
5n-1
y
n
+4x
3n-1
y
n+2
-2x
n-1
y
n+4
； (2)x
3
-8y
3
-z
3
-6xyz；
解 (1)原式=-2x
n-1
y
n
(x
4
n-2x
2
ny
2
+y
4
)
=-2x
n-1
y
n
[(x
2
n)
2
-2x
2
ny
2
+(y
2
)
2
]
=-2x
n-1
y
n
(x
2
n-y
2
)
2
2
2024年3月23日发(作者：马帅红)
因式分解
一、导入：
有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美
的石头。甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就
够了。”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个
最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头!
启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。
二、知识点回顾：
1．运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，
例如：
(1)a
2
-b
2
=(a+b)(a-b)；
(2)a
2
±2ab+b
2
=(a±b)
2
；
(3)a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
)；
(4)a
3
-b
3
=(a-b)(a
2
+ab+b
2
)．
1
下面再补充几个常用的公式：
(5)a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)
2
；
(6)a
3
+b
3
+c
3
-3abc=(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ca)；
(7)a
n
-b
n
=(a-b)(a
n-1
+a
n-2
b+a
n-3
b
2
+…+ab
n-2
+b
n-1
)其中n为正整数；
(8)a
n
-b
n
=(a+b)(a
n-1
-a
n-2
b+a
n-3
b
2
-…+ab
n-2
-b
n-1
)，其中n为偶数；
(9)a
n
+b
n
=(a+b)(a
n-1
-a
n-2
b+a
n-3
b
2
-…-ab
n-2
+b
n-1
)，其中n为奇数．
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择
公式．
三、专题讲解
例1 分解因式：
(1)-2x
5n-1
y
n
+4x
3n-1
y
n+2
-2x
n-1
y
n+4
； (2)x
3
-8y
3
-z
3
-6xyz；
解 (1)原式=-2x
n-1
y
n
(x
4
n-2x
2
ny
2
+y
4
)
=-2x
n-1
y
n
[(x
2
n)
2
-2x
2
ny
2
+(y
2
)
2
]
=-2x
n-1
y
n
(x
2
n-y
2
)
2
2