2024年3月25日发(作者：金平良)
1993
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(此题共5小题，每题3分，总分值15分.把答案填在题中横线上.)
(1)
lim xlnx ___________
.
x 0
⑵
函数
y y(x)
由方程
sin(x
2
y
2
) e
x
xy
2
x
0
所确定，那么
dy
_________
dx
1
⑶
设
F(x) (2 )dt(x 0)
,那么函数
F(x)
的单调减少区间是 _________________________
1
壮
tan x , dx
一
cosx
⑸
曲线
y
1
f
(x)
过点
(
0,)
,且其上任一点
(x, y)
处的切线斜率为
xln(1 x
2
)
,那么
f(x) ___________
、选择题(此题共5小题，每题3分,总分值15分.每题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内
.
1,
(A)不连续 (B) 连续,但不可导
)
1 3 -
1
1
1
1
3
1
n
(C)可导，但导数不连续 (D)
可导,且导数连续()
,0
x 1
x ,0 x
x
(1)当
x 0
变量
-ysin
是
(A)
时
(B)
7
3
，
3 3
x x
2
x
x,0
1,
无穷大
x,1 x 2
x,1 x 2
(A)无穷小 (B)
⑶
f(x)
设
F(x)
1
f (t)dt (0 x 2)
,那么
F(x)
为
有界的，但不是无穷大
2,
1, 1
(C)有界的，但不是无穷小 (D)
1
3
1
M
|x
2
1|
3
,0 x
,x
1
x ,0 x 1
1 x
1,
(C)
3
(D)
3 3
那么在
1
处函数
f(x)
设
f (x)
x 1,1 x 2
点
x 1,1 x 2
⑷
设常数
k 0
,函数
f(x) lnx
x
k
在
(0,)
内零点个数为 ()
2
(A) 3
(5)假设
f (x)
(A)
f (x)
(B) 2 (C) 1 (D) 0
f( x)
,在
(0,
0, f (x) 0
)
内
f (x)
(B)
:(x)
0, f
么
0
,那
f〔x〕
在
〔，
0〕
内
〔
〕
f (x)
f (x)
0,f (x)
0,f (x) 0
0
(C)
f (x)
(D)
0, f (x) 0
三、〔此题共5小题，每题5分，总分值25分.〕
2
、
d y
2
〔
1
〕
设
y sin［f〔x 〕］
,其中
f
具有二阶导数
,
求
2
dx
(2)求
lim x( . x
2
x
100 x)
.
x
dx
.
cos2x
3
dx
.
(1 x)
⑸
求微分方程
〔
x
2
1〕dy 〔2xy cosx〕dx 0
满足初始条件
y
x 0
1
的特解.
四、〔此题总分值9分〕
设二阶常系数线性微分方程
y y y e
x
的一个特解为
y e
2x
〔1 x〕e
x
,试
确定常数
，，
，并求该方程的通解.
五、〔此题总分值9分〕
设平面图形
A
由
x
2
y
2
2x
与
y x
所确定，求图形
A
绕直线
x 2
旋转一周所得旋 转体的体积.
六、〔此题总分值9分〕 作半
，问此圆锥的高
h
为何值时，其体积
V
最小,并求出该最小值 七、
〔此题总分值6分〕
径为
r
的球的外切正圆锥
设
x 0
,常数
a e
,证明
(a x)
a
a
a x
八、〔此题总分值6分〕
设
f 〔x〕
在
［0,a］
上连续，且
f 〔0〕 0
,证明:
f(x)dx
贬，其中
M
max | f (x) |
.
0 x a
1
1993
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(此题共5小题，每题3分，总分值15分.)
(1)【答案】
0
【解
析】这是个
o
型未定式，可将其等价变换成 一型,从而利用洛必达法那么进行求解
lim xln x
x 0
lim 洛 lim
0
1
y
2
)
lim x 0
.
x
x 0
x2
e 2xcos(x
y_
⑵【答案】
2 2
2ycos(x y ) 2xy
2
【解
析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数
,将方程
sin(x y) e
22x
xy 0
两
2
边对
x
求导,得
cos(x
2
y
2
)
y
2
(2x 2yy)
2
y
2
2xyy 0
,
化简得
y
e 2xcos(x
2 2
x
y
2
)
2ycos(x y ) 2xy
【相
关知识点】复合函数求导法那么:
如果
u g(x)
在点
x
可导，而
y f (x)
在点
u
g (x)
可导，那么复合函数
y
f g(x)
在点
x
可导,且其导数为
1
(3)【答案】
0 x —
字
f (u) g (x)
或
dx
dy dy du dx
du dx
4
0
的关系判别函数的单调性【解析】由连续可导函数的导数与
x
1
—)dt,
两边对
x
求导，得
F (x)
1 _
,x
0
,
即-
x
1
2
1
2
Vx
.
将函数
F(x) 1 (2
假设函数
F (x)
严格单调减少
,
那么
F (x)
所以函数
F(x)
单调减少区间为
0
【相
关知识点】函数的单调性：设函数
y f (x)
在
［a,b］
上连续，在
(a,b)
内可导.
f (x)
在
［a,b］
上单调增
加;
(1)如果在
(a,b)
内
f (x)
0
,那么函数
y
0
,那么函数
y
⑵
如果在
(a,b)
内
f (x)
⑷【答案】
2cos x C
c 1/2 _
f (x)
在
［a, b］
上单调减少.
【解
析】
tan x ,
dx
-cosx
sin x
cosx . cosx
3
3
dx sin x cos
2
xdx
1
cos
2
xd cosx 2cos
2
x
⑸【答案】
x
2
)
【解
析】这是微分方程的简单应
用 由题知
dy
1
2
尹
x
2
)ln(1
-x
2
-
2 2
dy xln(1
1 ln(1
dx
xln(1
x
2
)
,别离变量得
xln(1 x )dx
由分部积分法得
2
x
2
)dx
,两边对
x
积分有
x
2
)d(x
2
1)
.
1 ln(1 x
2
)d(x
2
1)
1(1 x
2
)l n(1 x
2
)
1
2
(1
2
2
、
1(1 x
2
)
企
dx
1 x
2
x )ln(1
x )ln(1
2
x )
x
2
)
xdx
C.
因为曲线
y
1 1
f
(
x
)
过点
(0, 2
)
,故
C
,所以所求曲线为
1
2 2
y
尹
x
2
)ln
(
1 x
2
)
二、选择题(此题共5小题，每题3分,总分值15分.)
(1)【答案】(D)
【解析】因为当
x
假设取
x
1k
0
时，
sin
1
是振荡函数，所以可用反证法
x
2
1 1
k
1
,那么亍
sin
心 猟
(k ) sin k 0
,
1
2 2
(2 k)
_
2
x
1
1 1
(2 k —)
1
x
2k
，那么
2
sin
x
2k
,(k 1,2L)
, ,
.
2k
因此，当
k
明当
x
时,有 心
0
及
x
2k
0
时它是无界的，但不是无穷大量
,
即(D)选项正确.
1 1
0
,但变量
—sin
或等于0或趋于
x x
，这表
⑵【答案】(A)
【解析】利用函数连续定义判定 ，即如果函数在
x
0
处连续，那么有
lim f(x) lim f (x)
X x x x
o
f(x
0
)
.
由题可知
lim f (x)
x 1
lim
x 1
|x
2
1|
x 1
lim
x 1
x 1
lim
x 1
x
2
1
lim( x 1)
x 1
2
,
lim f(x)
x 1
1 x
2
lim( x 1)
x 1
2
.
因
f (x)
在
x 1
处左右极限不相等
，
故在
x 1
处不连续
，
因此选(A).
⑶【答案】(D)
【解析】这是分段函数求定积分 .
当
0 x 1
时，
0 x t 1
，故
f (t) t
2
,所以
x
x
2
F(x)
1
f(t)dt
1
tdt
当
1 x 2
时，
1 t x 2,
故
f(t) 1
,所以
1
3
-t
3
1
3
"(x
1
3
x
1)
.
F(x)
1
f(t)dt
1
1dt t
1
x 1
.
X
x
x
应选(D).
⑷【答案】(B)
【解析】判定函数
f(x)
零点的个数等价于判定函数
y f (x)
与
x
的交点个数
x
对函数
f (x) ln x k
两边对
x
求导,得
f (x)
1 1
x e
.
e
令
f (x) 0
,解得唯一驻点
x e
,
即
f (x) 0,0 x e; f (x)严格单调增加
，
f (x)
单调减少
，
0,e x ; f (x)严格
所以
x
e
是极大值点，也是最大值点，最大值为
f(e) ln e - k k 0
e
lim
f(x)
x 0
又因为
x
lim(ln x
x
k)
lim
f(x)
由连续函数的介值定理知在
e
lim (In x
x
k)
x
e
(0,e)
与
(e, )
各有且仅有一个零点(不相冋)
x
故函数
f(x) Inx — k
在
(0,)
内零点个数为2,选项(B)正确.
e
⑸【答案】(C)
【解析】方法一：由几何图形判断.
由
f (x) f( x),
知
f (x)
为奇函数，图形关于原点对称;
在
(0,)
内
f (x) 0, f (x) 0, f(x)
图形单调增加且向上凹
,0)
内增加而凸，
f (x) 0, f (x) 0
,选(C).根据图可以看出
f(x)
在
(
方法二：用代数法证明
•
对恒等式
f (x) f ( x)
两边求导
,
得
f (x) f ( x), f (x) f ( x)
.
当
x (
,0)
时,有
x (0,
)
,所以
f ( x) 0
,
f (x) f ( x) 0, f (x)
故应选(C).
三、(此题共5小题，每题5 分,总分值25分.)
(1)【解析】
y sin[f(x
2
)] cos[f(x
2
)] f (x
2
) 2x
,
y cos[ f (x
2
)] f (x
2
) 2x
cos[ f (x )] f (x ) 2x cos[ f (x )] f (x ) 2x
2 2 2 2
cos[f (x )] f (x ) (2x)
sin[ f(x
2
)] [f (x
2
)]
2
(2x)
2
cos[f(x
2
)] f (x
2
) (2x)
2
cos[ f (x
* 2
)] f (x
2
) 2
.
【相
关知识点】复合函数求导法那么：
如果
u g(x)
在点
x
可导，而
y f (x)
在点
u g(x)
可导，那么复合函数
y
在点
x
可导,且其导数为
f g(x)
字
f (u) g (x)
或
dx
(2)【解析】应先化简再求函数的极限 ，
dy
dy du
dx
du dx
(—X
2
100 x)
100
lim
x
lim x(. x
2
100 x)
lim
x
x( x
2
100 x)
lim
x
100x
.x
2
100 x
100
-x
2
100 1
x
100
因为
x 0
,所以
lim
x
x
100
1 £
100 1
x
x1 100x
2
lim—
100
—
1
50
.
【解
析】先进行恒等变形
,再利用根本积分公式和分部积分法求解
7 x
dx
0
4
1 cos2x
0
xsec x
dx
2
4
0
xd tan x
xta n x
0
4 tan
xdx
1
2
(
4
1
x)
2
0)
-4 sin x
4
dx
0
cosx
cosx
1
-[ln(cos -)
【解
析】用极限法求广义积分
d cosx
ln( cos
ln(cos 0)]
【解
析】所给方程是一阶线性非齐次微分方程
x
3
dx
0
(1 x)
dx
1
2b
0
lim
3
b
(1 x)
(1
i
x)
1
(1 x) 1
[(
1
x)
(1
x) ]d(1
,其标准形式是
b
2
3
x)
(
1
x)
im
2x 1
2(x 1)
2
2024年3月25日发(作者：金平良)
1993
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(此题共5小题，每题3分，总分值15分.把答案填在题中横线上.)
(1)
lim xlnx ___________
.
x 0
⑵
函数
y y(x)
由方程
sin(x
2
y
2
) e
x
xy
2
x
0
所确定，那么
dy
_________
dx
1
⑶
设
F(x) (2 )dt(x 0)
,那么函数
F(x)
的单调减少区间是 _________________________
1
壮
tan x , dx
一
cosx
⑸
曲线
y
1
f
(x)
过点
(
0,)
,且其上任一点
(x, y)
处的切线斜率为
xln(1 x
2
)
,那么
f(x) ___________
、选择题(此题共5小题，每题3分,总分值15分.每题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内
.
1,
(A)不连续 (B) 连续,但不可导
)
1 3 -
1
1
1
1
3
1
n
(C)可导，但导数不连续 (D)
可导,且导数连续()
,0
x 1
x ,0 x
x
(1)当
x 0
变量
-ysin
是
(A)
时
(B)
7
3
，
3 3
x x
2
x
x,0
1,
无穷大
x,1 x 2
x,1 x 2
(A)无穷小 (B)
⑶
f(x)
设
F(x)
1
f (t)dt (0 x 2)
,那么
F(x)
为
有界的，但不是无穷大
2,
1, 1
(C)有界的，但不是无穷小 (D)
1
3
1
M
|x
2
1|
3
,0 x
,x
1
x ,0 x 1
1 x
1,
(C)
3
(D)
3 3
那么在
1
处函数
f(x)
设
f (x)
x 1,1 x 2
点
x 1,1 x 2
⑷
设常数
k 0
,函数
f(x) lnx
x
k
在
(0,)
内零点个数为 ()
2
(A) 3
(5)假设
f (x)
(A)
f (x)
(B) 2 (C) 1 (D) 0
f( x)
,在
(0,
0, f (x) 0
)
内
f (x)
(B)
:(x)
0, f
么
0
,那
f〔x〕
在
〔，
0〕
内
〔
〕
f (x)
f (x)
0,f (x)
0,f (x) 0
0
(C)
f (x)
(D)
0, f (x) 0
三、〔此题共5小题，每题5分，总分值25分.〕
2
、
d y
2
〔
1
〕
设
y sin［f〔x 〕］
,其中
f
具有二阶导数
,
求
2
dx
(2)求
lim x( . x
2
x
100 x)
.
x
dx
.
cos2x
3
dx
.
(1 x)
⑸
求微分方程
〔
x
2
1〕dy 〔2xy cosx〕dx 0
满足初始条件
y
x 0
1
的特解.
四、〔此题总分值9分〕
设二阶常系数线性微分方程
y y y e
x
的一个特解为
y e
2x
〔1 x〕e
x
,试
确定常数
，，
，并求该方程的通解.
五、〔此题总分值9分〕
设平面图形
A
由
x
2
y
2
2x
与
y x
所确定，求图形
A
绕直线
x 2
旋转一周所得旋 转体的体积.
六、〔此题总分值9分〕 作半
，问此圆锥的高
h
为何值时，其体积
V
最小,并求出该最小值 七、
〔此题总分值6分〕
径为
r
的球的外切正圆锥
设
x 0
,常数
a e
,证明
(a x)
a
a
a x
八、〔此题总分值6分〕
设
f 〔x〕
在
［0,a］
上连续，且
f 〔0〕 0
,证明:
f(x)dx
贬，其中
M
max | f (x) |
.
0 x a
1
1993
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(此题共5小题，每题3分，总分值15分.)
(1)【答案】
0
【解
析】这是个
o
型未定式，可将其等价变换成 一型,从而利用洛必达法那么进行求解
lim xln x
x 0
lim 洛 lim
0
1
y
2
)
lim x 0
.
x
x 0
x2
e 2xcos(x
y_
⑵【答案】
2 2
2ycos(x y ) 2xy
2
【解
析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数
,将方程
sin(x y) e
22x
xy 0
两
2
边对
x
求导,得
cos(x
2
y
2
)
y
2
(2x 2yy)
2
y
2
2xyy 0
,
化简得
y
e 2xcos(x
2 2
x
y
2
)
2ycos(x y ) 2xy
【相
关知识点】复合函数求导法那么:
如果
u g(x)
在点
x
可导，而
y f (x)
在点
u
g (x)
可导，那么复合函数
y
f g(x)
在点
x
可导,且其导数为
1
(3)【答案】
0 x —
字
f (u) g (x)
或
dx
dy dy du dx
du dx
4
0
的关系判别函数的单调性【解析】由连续可导函数的导数与
x
1
—)dt,
两边对
x
求导，得
F (x)
1 _
,x
0
,
即-
x
1
2
1
2
Vx
.
将函数
F(x) 1 (2
假设函数
F (x)
严格单调减少
,
那么
F (x)
所以函数
F(x)
单调减少区间为
0
【相
关知识点】函数的单调性：设函数
y f (x)
在
［a,b］
上连续，在
(a,b)
内可导.
f (x)
在
［a,b］
上单调增
加;
(1)如果在
(a,b)
内
f (x)
0
,那么函数
y
0
,那么函数
y
⑵
如果在
(a,b)
内
f (x)
⑷【答案】
2cos x C
c 1/2 _
f (x)
在
［a, b］
上单调减少.
【解
析】
tan x ,
dx
-cosx
sin x
cosx . cosx
3
3
dx sin x cos
2
xdx
1
cos
2
xd cosx 2cos
2
x
⑸【答案】
x
2
)
【解
析】这是微分方程的简单应
用 由题知
dy
1
2
尹
x
2
)ln(1
-x
2
-
2 2
dy xln(1
1 ln(1
dx
xln(1
x
2
)
,别离变量得
xln(1 x )dx
由分部积分法得
2
x
2
)dx
,两边对
x
积分有
x
2
)d(x
2
1)
.
1 ln(1 x
2
)d(x
2
1)
1(1 x
2
)l n(1 x
2
)
1
2
(1
2
2
、
1(1 x
2
)
企
dx
1 x
2
x )ln(1
x )ln(1
2
x )
x
2
)
xdx
C.
因为曲线
y
1 1
f
(
x
)
过点
(0, 2
)
,故
C
,所以所求曲线为
1
2 2
y
尹
x
2
)ln
(
1 x
2
)
二、选择题(此题共5小题，每题3分,总分值15分.)
(1)【答案】(D)
【解析】因为当
x
假设取
x
1k
0
时，
sin
1
是振荡函数，所以可用反证法
x
2
1 1
k
1
,那么亍
sin
心 猟
(k ) sin k 0
,
1
2 2
(2 k)
_
2
x
1
1 1
(2 k —)
1
x
2k
，那么
2
sin
x
2k
,(k 1,2L)
, ,
.
2k
因此，当
k
明当
x
时,有 心
0
及
x
2k
0
时它是无界的，但不是无穷大量
,
即(D)选项正确.
1 1
0
,但变量
—sin
或等于0或趋于
x x
，这表
⑵【答案】(A)
【解析】利用函数连续定义判定 ，即如果函数在
x
0
处连续，那么有
lim f(x) lim f (x)
X x x x
o
f(x
0
)
.
由题可知
lim f (x)
x 1
lim
x 1
|x
2
1|
x 1
lim
x 1
x 1
lim
x 1
x
2
1
lim( x 1)
x 1
2
,
lim f(x)
x 1
1 x
2
lim( x 1)
x 1
2
.
因
f (x)
在
x 1
处左右极限不相等
，
故在
x 1
处不连续
，
因此选(A).
⑶【答案】(D)
【解析】这是分段函数求定积分 .
当
0 x 1
时，
0 x t 1
，故
f (t) t
2
,所以
x
x
2
F(x)
1
f(t)dt
1
tdt
当
1 x 2
时，
1 t x 2,
故
f(t) 1
,所以
1
3
-t
3
1
3
"(x
1
3
x
1)
.
F(x)
1
f(t)dt
1
1dt t
1
x 1
.
X
x
x
应选(D).
⑷【答案】(B)
【解析】判定函数
f(x)
零点的个数等价于判定函数
y f (x)
与
x
的交点个数
x
对函数
f (x) ln x k
两边对
x
求导,得
f (x)
1 1
x e
.
e
令
f (x) 0
,解得唯一驻点
x e
,
即
f (x) 0,0 x e; f (x)严格单调增加
，
f (x)
单调减少
，
0,e x ; f (x)严格
所以
x
e
是极大值点，也是最大值点，最大值为
f(e) ln e - k k 0
e
lim
f(x)
x 0
又因为
x
lim(ln x
x
k)
lim
f(x)
由连续函数的介值定理知在
e
lim (In x
x
k)
x
e
(0,e)
与
(e, )
各有且仅有一个零点(不相冋)
x
故函数
f(x) Inx — k
在
(0,)
内零点个数为2,选项(B)正确.
e
⑸【答案】(C)
【解析】方法一：由几何图形判断.
由
f (x) f( x),
知
f (x)
为奇函数，图形关于原点对称;
在
(0,)
内
f (x) 0, f (x) 0, f(x)
图形单调增加且向上凹
,0)
内增加而凸，
f (x) 0, f (x) 0
,选(C).根据图可以看出
f(x)
在
(
方法二：用代数法证明
•
对恒等式
f (x) f ( x)
两边求导
,
得
f (x) f ( x), f (x) f ( x)
.
当
x (
,0)
时,有
x (0,
)
,所以
f ( x) 0
,
f (x) f ( x) 0, f (x)
故应选(C).
三、(此题共5小题，每题5 分,总分值25分.)
(1)【解析】
y sin[f(x
2
)] cos[f(x
2
)] f (x
2
) 2x
,
y cos[ f (x
2
)] f (x
2
) 2x
cos[ f (x )] f (x ) 2x cos[ f (x )] f (x ) 2x
2 2 2 2
cos[f (x )] f (x ) (2x)
sin[ f(x
2
)] [f (x
2
)]
2
(2x)
2
cos[f(x
2
)] f (x
2
) (2x)
2
cos[ f (x
* 2
)] f (x
2
) 2
.
【相
关知识点】复合函数求导法那么：
如果
u g(x)
在点
x
可导，而
y f (x)
在点
u g(x)
可导，那么复合函数
y
在点
x
可导,且其导数为
f g(x)
字
f (u) g (x)
或
dx
(2)【解析】应先化简再求函数的极限 ，
dy
dy du
dx
du dx
(—X
2
100 x)
100
lim
x
lim x(. x
2
100 x)
lim
x
x( x
2
100 x)
lim
x
100x
.x
2
100 x
100
-x
2
100 1
x
100
因为
x 0
,所以
lim
x
x
100
1 £
100 1
x
x1 100x
2
lim—
100
—
1
50
.
【解
析】先进行恒等变形
,再利用根本积分公式和分部积分法求解
7 x
dx
0
4
1 cos2x
0
xsec x
dx
2
4
0
xd tan x
xta n x
0
4 tan
xdx
1
2
(
4
1
x)
2
0)
-4 sin x
4
dx
0
cosx
cosx
1
-[ln(cos -)
【解
析】用极限法求广义积分
d cosx
ln( cos
ln(cos 0)]
【解
析】所给方程是一阶线性非齐次微分方程
x
3
dx
0
(1 x)
dx
1
2b
0
lim
3
b
(1 x)
(1
i
x)
1
(1 x) 1
[(
1
x)
(1
x) ]d(1
,其标准形式是
b
2
3
x)
(
1
x)
im
2x 1
2(x 1)
2