广东省2023年高考数学模拟(二模)试题按题型难易度分层分类汇编(12套-USB迷|专注于互联网分享

2024年3月26日发(作者：桥安易)

广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度

分层分类汇编（12套）-03解答题（提升题）2

一．数列的求和（共1小题）....................................................................................................................1

二．利用导数研究函数的最值（共1小题）...........................................................................................1

三．解三角形（共4小题）........................................................................................................................1

四．直线与平面所成的角（共2小题）...................................................................................................2

五．二面角的平面角及求法（共1小题）...............................................................................................3

六．点、线、面间的距离计算（共1小题）...........................................................................................3

七．直线与抛物线的综合（共1小题）...................................................................................................4

八．直线与双曲线的综合（共2小题）...................................................................................................4

九．离散型随机变量的期望与方差（共2小题）..................................................................................4

一．数列的求和（共1小题）

1．（2023•佛山二模）已知各项均为正数的等比数列{a

}，其前n项和为S

，满足2S

＝a

n+2

﹣6．

（1）求数列{a

}的通项公式；

（2）记b

为数列{S

}在区间（a

，a

m+2

）中最大的项，求数列{b

}的前n项和T

．

二．利用导数研究函数的最值（共1小题）

2．（2023•广州二模）已知定义在（0，+∞）上的函数

（1）若a∈R，讨论f（x）的单调性；

（2）若a＞0，且当x∈（0，+∞）时，不等式

值范围．

三．解三角形（共4小题）

恒成立，求实数a的取

．

3．（2023•广州二模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosA﹣acosB

＝b﹣c．

（1）求A；

（2）若点D在BC边上，且CD＝2BD，cosB＝，求tan∠BAD．

，AC4．（2023•梅州二模）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝90°，

＝2，设∠CAD＝θ．

（1）当θ＝45°时，求BD的长；

（2）求BD的最大值．

5．（2023•佛山二模）已知△ABC为锐角三角形，且cosA+sinB＝

（1）若C＝，求A；

（sinA+cosB）．

（2）已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围．

6．（2023•广州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

．

（1）求角A的大小；

（2）若角A的平分线交BC于D且AD＝2，求a的最小值．

四．直线与平面所成的角（共2小题）

7．（2023•广州二模）如图，在直三棱柱ABC﹣A

中，AB＝AC＝AA

＝3，点D是BC

的中点，点E在AA

上，AD∥平面BC

E．

（1）求证：平面BC

E⊥平面BB

C；

（2）当三棱锥B

﹣BC

E的体积最大时，求直线AC与平面BC

E所成角的正弦值．

8．（2023•广州二模）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，

E是PD的中点，PA＝PD，AB＝2，∠ABC＝60°．

（1）证明：PB∥平面EAC．

（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为，求直线EC与平面PAB所成角的正弦值．

五．二面角的平面角及求法（共1小题）

9．（2023•深圳二模）在三棱柱ABC﹣A

中，AB＝BC＝2，∠ABC＝

B．

（1）证明：A

A＝A

C；

（2）若A

A＝2，BC

＝，求平面A

与平面BCC

夹角的余弦值．

，A

⊥

六．点、线、面间的距离计算（共1小题）

10．（2023•梅州二模）如图，正三棱柱ABC﹣A

中，AB＝

中点．

（1）在棱BB

上是否存在点Q，使得AQ⊥平面BC

M？若存在，求出

存在，请说明理由；

的值；若不

＝2，点M为A

的

（2）求点C到平面BC

M的距离．

七．直线与抛物线的综合（共1小题）

11．（2023•广州二模）已知直线l与抛物线C：y

＝4x交于A，B两点，且与x轴交于点M

（a，0）（a＞0），过点A，B分别作直线l

：x＝﹣a的垂线，垂足依次为A

，B

，动点N

在l

上．

（1）当a＝1，且N为线段A

的中点时，证明：AN⊥BN；

（2）记直线NA，NB，NM的斜率分别为k

，k

，是否存在实数λ，使得k

＝

λk

若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

八．直线与双曲线的综合（共2小题）

12．（2023•梅州二模）已知双曲线E：

，|F

|＝2且双曲线E经过点．

的左、右焦点分别为F

，

（1）求双曲线E的方程；

（2）过点P（2，1）作动直线l，与双曲线的左、右支分别交于点M，N，在线段MN上

取异于点M，N的点H，满足，求证：点H恒在一条定直线上．

13．（2023•佛山二模）双曲线C：的左顶点为A，焦距为4，

过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且△ABD是直角三角形．

（1）求双曲线C的方程；

（2）M、N是C右支上的两动点，设直线AM、AN的斜率分别为k

、k

，若k

＝﹣2，

求点A到直线MN的距离d的取值范围．

九．离散型随机变量的期望与方差（共2小题）

14．（2023•梅州二模）元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，我们梅州多地都会举行各

种各样的民俗活动，如五华县河东镇的“迎灯”、丰顺县埔寨镇的“火龙”、大埔县百侯

镇的“迎龙珠灯”等系列活动．在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况

（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表：

一般

男性

女性

总计

200

激动

总计

120

（1）填补上面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为性别与

对该活动的观感程度有关？

（2）该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖一次．抽奖方

案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸

出2个球，若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50

元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费600元，

记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

附：

0.100

2.706

，其中n＝a+b+c+d．

0.050

3.841

0.010

6.635

0.001

10.828

15．（2023•广州二模）某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，

为了确定未来发展方向此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五

家“农家乐的收费标准互不相同得到的统计数据如表，x为收费标准（单位：元/日），t

为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散

点图如图

100

150

200

300

450

（1）若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“住率超过0.6的农家

乐的个数，求ξ的概率分布列

（2）z＝lnx，由散点图判断＝x+a与＝z+哪个更合适于此模型（给出判断即可

不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程（，的结果精确到0.1）

（3）根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大？

（100天销售额L＝100×入住率收费标准x）

＝，＝x，＝240，＝365000，x

＝457，≈5.35，

≈28.57，≈144.24，z

≈12.72，e

≈150，e

5.4

≈220．

广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度

分层分类汇编（12套）-03解答题（提升题）2

参考答案与试题解析

一．数列的求和（共1小题）

1．（2023•佛山二模）已知各项均为正数的等比数列{a

}，其前n项和为S

，满足2S

＝a

n+2

﹣6．

（1）求数列{a

}的通项公式；

（2）记b

为数列{S

}在区间（a

，a

m+2

）中最大的项，求数列{b

}的前n项和T

．

【答案】（1）a

＝3•2

n﹣1

；（2）T

＝3•2

n+2

﹣12﹣3n．

【解答】解：（1）设数列{a

}的公比为q，则q＞0，

当n＝1时，有2S

＝a

﹣6，

当n＝2时，有2S

＝a

﹣6，

两式相减得，2a

＝a

﹣a

，即2＝q

﹣q，解得q＝2或﹣1（舍负），

又2S

＝a

﹣6，所以2a

＝4a

﹣6，即a

＝3，

所以a

＝3•2

n﹣1

．

（2）由（1）知，S

＝＝3•（2

﹣1），

所以S

﹣a

＝3•（2

﹣1）﹣3•2

n﹣1

＝3•（2

n﹣1

﹣1）≥0，即S

≥a

，当且仅当n＝1时，

等号成立，

﹣a

n+1

＝3•（2

﹣1）﹣3•2

＝﹣3＜0，即S

＜a

n+1

，

所以a

≤S

＜S

n+1

＜a

n+2

＜S

n+2

，即a

≤S

＜S

m+1

＜a

m+2

＜S

m+2

，

记b

为数列{S

}在区间（a

，a

m+2

）中最大的项，则b

＝S

m+1

＝3•（2

m+1

﹣1），

所以b

＝3•（2

n+1

﹣1）＝3•2

n+1

﹣3，

所以T

＝3•（2

+…+2

n+1

）﹣3n＝3•

二．利用导数研究函数的最值（共1小题）

2．（2023•广州二模）已知定义在（0，+∞）上的函数

（1）若a∈R，讨论f（x）的单调性；

．

﹣3n＝3•2

n+2

﹣12﹣3n．

（2）若a＞0，且当x∈（0，+∞）时，不等式

值范围．

【答案】（1）分类讨论，答案见解析；

（2）．

，x＞0，

，

恒成立，求实数a的取

【解答】解：（1）函数

求导得：

当a≥0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，

当a＜0时，由f'（x）＞0得

上递增，在

，由f'（x）＜0得

上递减，

，则f（x）在

所以当a≥0时，函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；

当a＜0时，函数f（x）的递增区间是

（2）因为a＞0，且当x∈（0，+∞）时，不等式

当0＜x≤1时，∀a＞0，

当x＞1时，

（lne

）≥2alnx+ln（lnx），

令g（x）＝2ax+lnx，原不等式等价于g（lne

）≥g（lnx）恒成立，

而

lnx，

即，令，，

，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，因此∀x＞1，lne

≥

，递减区间是

恒成立，

．

恒成立，因此a＞0，

⇔2alne

+ln

当1＜x＜e时，h'（x）＞0，当x＞e时，h'（x）＜0，函数h（x）在（1，e）上单调递增，

在（e，+∞）上单调递减，

，因此

综上得，

．

，

所以实数a的取值范围是

三．解三角形（共4小题）

3．（2023•广州二模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosA﹣acosB

＝b﹣c．

（1）求A；

（2）若点D在BC边上，且CD＝2BD，cosB＝

【答案】（1）A＝；（2）．

，求tan∠BAD．

【解答】解：（1）∵bcosA﹣acosB＝b﹣c，

∴根据正弦定理可得sinBcosA﹣sinAcosB＝sinB﹣sinC，

∴sinB（cosA﹣1）＝sinAcosB﹣sin（A+B），

∴sinB（cosA﹣1）＝﹣cosAsinB，又sinB＞0，

∴cosA﹣1＝﹣cosA，∴2cosA＝1，又A∈（0，π），

∴A＝；

，则∠CAD＝﹣θ，（2）设∠BAD＝θ，又A＝

∵D在BC边上，且CD＝2BD，

∴S

△ACD

＝2S

△ABD

，设|AD|＝t，

则，

∴

又A＝

∴

即tan∠BAD＝

＝

，cosB＝

＝

，∴sinB＝

＝

，

．

，

＝，

4．（2023•梅州二模）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝90°，

＝2，设∠CAD＝θ．

（1）当θ＝45°时，求BD的长；

（2）求BD的最大值．

，AC

【答案】（1）

（2）3．

；

【解答】解：（1）在Rt△ACD中，

在△ABD中，因为

由余弦

，

定

．

理

，

得

因此；

（2）在Rt△ACD中，AD＝ACcosθ＝2cosθ，

在△ABD中，因为，由余弦定理得：

＝

所以当

，所以

，即θ＝

，

时，BD最长，BD的最大值为．

（sinA+cosB）．5．（2023•佛山二模）已知△ABC为锐角三角形，且cosA+sinB＝

（1）若C＝，求A；

（2）已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围．

【答案】（1）A＝；（2）（1，2）．

，又cosA+sinB＝

sinA+cos（

（sinA+cosB），

﹣A），

【解答】解：（1）∵C＝

∴cosA+sin（﹣A）＝

∴cosA+

∴

cosA+sinA＝sinA+

，

（cosA+sinA），

∴tanA＝1，又A∈（0，π），∴A＝

（2）∵cosA+sinB＝

∴

；

（sinA+cosB），

cosB，

），

＝π，

sinA﹣cosA＝sinB﹣

∴2sin（A﹣

∴A﹣＝B﹣

）＝2sin（B﹣

或A﹣+B﹣

（舍），∴A＝B﹣或A+B＝

又AD＝BD＝2，∴∠A＝∠ABD，∴∠CBD＝

在△BCD中，由正弦定理可得

∴，∴|CD|＝，

，

又sinC＝sin（﹣2B），又△ABC为锐角三角形，

'∴，∴B∈（，），

∴∈（，），

∴sinC＝sin（

∴|CD|＝

﹣2B）∈（，1），

∈（1，2）．

6．（2023•广州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

．

（1）求角A的大小；

（2）若角A的平分线交BC于D且AD＝2，求a的最小值．

【答案】（1）；

（2）．

，即

，

，即，【解答】解：（1）

由正弦定理得

B∈（0，π），sinB≠0，

故

，

故

又

故

，

；

，

（2），

设，，

，即根据向量的平行四边形法则：

，

又a

＝b

﹣bc＝b

（1﹣x+x

），

故

等号成立，

故a的最小值为．

，

，当且仅当x＝1时

四．直线与平面所成的角（共2小题）

7．（2023•广州二模）如图，在直三棱柱ABC﹣A

中，AB＝AC＝AA

＝3，点D是BC

的中点，点E在AA

上，AD∥平面BC

E．

（1）求证：平面BC

E⊥平面BB

C；

（2）当三棱锥B

﹣BC

E的体积最大时，求直线AC与平面BC

E所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解答；（2）．

【解答】解：（1）证明：可取CC

的中点M，连接DM，AM，

又D为BC的中点，可得DM∥BC

，

DM⊄平面BC

E，可得DM∥平面BC

E，

又AD∥平面BC

E，AD∩DM＝D，可得平面ADM∥平面BC

E，

所以AM∥平面BC

E，

又平面BC

E∩平面A

ACC

＝C

E，可得AM∥C

E，即有E为AA

的中点，

因为AB＝AC，D为BC的中点，可得AD⊥BC，

由直三棱柱ABC﹣A

中，B

B⊥底面ABC，可得B

B⊥AD，

由BC∩B

B＝B，可得AD⊥平面BB

C，

取BC

的中点H，连接EH，可得EH∥AD，即有EH⊥平面BB

C，

而EH⊂平面BC

E，可得平面BC

E⊥平面BB

C；

（2）设BC＝2a，可得AD＝

三棱锥B

﹣BC

E的体积V＝EH•

（a

+9﹣a

）＝（当且仅当a＝

，

＝

取得等号），

•×3×2a＝a≤

可得当AB⊥AC时，三棱锥B

﹣BC

E的体积取得最大值．

由于A

∥AC，可得直线AC与平面BC

E所成角即为直线A

与平面BC

E所成

角．

设A

到平面BC

E的距离为h，由BE＝C

E＝

得＝×3×＝，

＝，BC

＝＝3，可