2024年3月26日发(作者：镇天禄)

word

母题七 基本初等函数及其应用

【母题原题1】【2018某某卷，7】已知α∈{－2,－1,－

且在(0,+∞)上递减，则

α

=_____.

【答案】

1

【解析】幂函数为奇函数，幂指数



只能为

1,1,3

，又函数在

(0,)

上递减，



0

，所以



1.

【母题原题2】【2017某某卷，9】已知四个函数：① ；② ；③ ；④ . 从

11

n

,,1,2,3}，若幂函数

f(x)x

为奇函数，

22

中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________

【答案】

【母题原题3】【2016某某卷，18】已知点

(3,9)

在函数

f(x)1a

的图像上，则

x

f(x)的反函数f

1

(x)________

．

【答案】

log

2

(x1)

【解析】试题分析：

将点（3，9）代入函数

f



x



1a

中得

a2

，所以

f



x



12

，用

y

表示

x

得

xlog

2

(y1)

，所

xx

以

f

1



x



log

2

(x1)

.

【考点】反函数的概念以及指、对数式的转化

【名师点睛】指数函数与对数函数互为反函数，求反函数的基本步骤是：一解（反解x）、二换（x与y

互换）、三注（注意定义域）.本题较为容易.

word

【命题意图】主要考查基本初等函数的运算与性质，以及反函数的概念，作差或作商法的应用，不等

式的相关性质以及有关函数性质的应用.

【命题规律】 某某高考近几年对这部分的考查主要集中在基本初等函数与反函数的综合，基本初等函

数的一系列运算性质，对该部分内容考查一般以选择填空题形式出现,难度中等。

【答题模板】解答本类题目,以求解有关反比例函数为例，一般考虑如下三步：

第一步：利用解析式反求出x；

第二步：互换式子中的x与y；

第三步：写出最终解析式，注意定义域。

【方法总结】

1.指数函数图象的应用技巧：对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入

手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数

a

与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

2.有关指数函数性质的问题类型及解题思路

(1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．

(2)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数

a

的取值

X围，并在必要时进行分类讨论．

(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性

质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质

分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．

3.对数运算的一般思路

(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；

(2)将同底对数的和、差、倍合并；

(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应

用．

4.对数函数性质及应用中应注意的问题

(1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找

中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较．

(2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性

转化为一般不等式求解．

word

(3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问

题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即

它是由哪些基本初等函数复合而成的．

1．【某某市浦东新区2018届高三数学一模】某食品的保鲜时间

y

（单位：小时）与储存温度

x

（单位：℃）

满足函数关系

ye

kxb

（

e2.718

为自然对数的底数，

k

、

b

为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是

192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）小时

A. 22 B. 23 C. 24 D. 33

【答案】C

2．【某某市虹口区2018届高三下学期教学质量监控（二模）】已知函数

_________．

【答案】-2

【解析】，则。

，则

3．【某某市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控（二模）】若函数

没有最小值，则的取值X围是____________.

【答案】

【解析】分类讨论：

word

当

当

时，

时，应满足

，函数没有最小值，

有解，故

.

的反函数为

，

综上可得，的取值X围是

4．【某某市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控（二模）】定义在上的函数

，则

【答案】

【解析】求解指数方程：

由反函数的定义与性质可得

可得：

.

，

________.

5．【某某市普陀区2018届高三下学期质量调研（二模）】设函数

f



x



log

m

x

（

m0

且

m1

），若

m

是

等比数列



a

n



（

nN

*

）的公比，且

f



a

2

a

4

a

6

的值为_________.

【答案】

1990

【解析】

2

a

2018



7

，则

f



a

1

2



f



a

2



f



a

3

2





2

fa

2018



f



a

2

a

4

a

6

a

2018



7

，

a

2

a

8

...a

2018

m

7

，

a

1

a

3

...a

2017



a

2

a

8

...a

2018

1002

22

m,

fa

1

2

fa

2

fa

3



1009

m



m



222

fa

2018

log

m

a

1

2

a

2

...a

2018



log

m



a

1

a

3

...a

2017

a

2

a

4

...a

2018



log

m



m

2

10027



2

log

m

m

1990

1990

，故答案为

1990

.

6．【某某市普陀区2018届高三下学期质量调研（二模）】若函数

f



x



2x3

的反函数为

g



x



，则函

数

g



x



的零点为________.

【答案】

x

【解析】

3

2024年3月26日发(作者：镇天禄)

word

母题七 基本初等函数及其应用

【母题原题1】【2018某某卷，7】已知α∈{－2,－1,－

且在(0,+∞)上递减，则

α

=_____.

【答案】

1

【解析】幂函数为奇函数，幂指数



只能为

1,1,3

，又函数在

(0,)

上递减，



0

，所以



1.

【母题原题2】【2017某某卷，9】已知四个函数：① ；② ；③ ；④ . 从

11

n

,,1,2,3}，若幂函数

f(x)x

为奇函数，

22

中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________

【答案】

【母题原题3】【2016某某卷，18】已知点

(3,9)

在函数

f(x)1a

的图像上，则

x

f(x)的反函数f

1

(x)________

．

【答案】

log

2

(x1)

【解析】试题分析：

将点（3，9）代入函数

f



x



1a

中得

a2

，所以

f



x



12

，用

y

表示

x

得

xlog

2

(y1)

，所

xx

以

f

1



x



log

2

(x1)

.

【考点】反函数的概念以及指、对数式的转化

【名师点睛】指数函数与对数函数互为反函数，求反函数的基本步骤是：一解（反解x）、二换（x与y

互换）、三注（注意定义域）.本题较为容易.

word

【命题意图】主要考查基本初等函数的运算与性质，以及反函数的概念，作差或作商法的应用，不等

式的相关性质以及有关函数性质的应用.

【命题规律】 某某高考近几年对这部分的考查主要集中在基本初等函数与反函数的综合，基本初等函

数的一系列运算性质，对该部分内容考查一般以选择填空题形式出现,难度中等。

【答题模板】解答本类题目,以求解有关反比例函数为例，一般考虑如下三步：

第一步：利用解析式反求出x；

第二步：互换式子中的x与y；

第三步：写出最终解析式，注意定义域。

【方法总结】

1.指数函数图象的应用技巧：对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入

手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数

a

与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

2.有关指数函数性质的问题类型及解题思路

(1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．

(2)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数

a

的取值

X围，并在必要时进行分类讨论．

(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性

质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质

分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．

3.对数运算的一般思路

(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；

(2)将同底对数的和、差、倍合并；

(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应

用．

4.对数函数性质及应用中应注意的问题

(1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找

中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较．

(2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性

转化为一般不等式求解．

word

(3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问

题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即

它是由哪些基本初等函数复合而成的．

1．【某某市浦东新区2018届高三数学一模】某食品的保鲜时间

y

（单位：小时）与储存温度

x

（单位：℃）

满足函数关系

ye

kxb

（

e2.718

为自然对数的底数，

k

、

b

为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是

192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）小时

A. 22 B. 23 C. 24 D. 33

【答案】C

2．【某某市虹口区2018届高三下学期教学质量监控（二模）】已知函数

_________．

【答案】-2

【解析】，则。

，则

3．【某某市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控（二模）】若函数

没有最小值，则的取值X围是____________.

【答案】

【解析】分类讨论：

word

当

当

时，

时，应满足

，函数没有最小值，

有解，故

.

的反函数为

，

综上可得，的取值X围是

4．【某某市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控（二模）】定义在上的函数

，则

【答案】

【解析】求解指数方程：

由反函数的定义与性质可得

可得：

.

，

________.

5．【某某市普陀区2018届高三下学期质量调研（二模）】设函数

f



x



log

m

x

（

m0

且

m1

），若

m

是

等比数列



a

n



（

nN

*

）的公比，且

f



a

2

a

4

a

6

的值为_________.

【答案】

1990

【解析】

2

a

2018



7

，则

f



a

1

2



f



a

2



f



a

3

2





2

fa

2018



f



a

2

a

4

a

6

a

2018



7

，

a

2

a

8

...a

2018

m

7

，

a

1

a

3

...a

2017



a

2

a

8

...a

2018

1002

22

m,

fa

1

2

fa

2

fa

3



1009

m



m



222

fa

2018

log

m

a

1

2

a

2

...a

2018



log

m



a

1

a

3

...a

2017

a

2

a

4

...a

2018



log

m



m

2

10027



2

log

m

m

1990

1990

，故答案为

1990

.

6．【某某市普陀区2018届高三下学期质量调研（二模）】若函数

f



x



2x3

的反函数为

g



x



，则函

数

g



x



的零点为________.

【答案】

x

【解析】

3