2024年3月27日发(作者：尤芦)
技术资料3：
多指标综合评价方法
评价是根据确定的目的来测定对象系统的属性，并将这种属性变为客观定量的计值或
者主观效用行为，整个过程离不开评价者的参与，而综合评价作为评价的一种也需要评价
者做出相应反应或指示，而很多综合评价过程易受到评价者的干预，使评价结果产生偏差。
主成分分析能将高维空间的问题转化到低维空间去处理，使问题变得比较简单、直观，
而且这些较少的综合指标之间互不相关，又能提供原有指标的绝大部分信息。而且，伴随
主成分分析的过程，将会自动生成各主成分的权重，这就在很大程度上抵制了在评价过程
中人为因素的干扰，因此以主成分为基础的综合评价理论能够较好地保证评价结果的客观
性，如实地反映实际问题。主成分综合评价提供了科学而客观的评价方法，完善了综合评
价理论体系，为管理和决策提供了客观依据，能在很大程度上减少了上述不良现象的产生。
所以在社会经济、管理、自然科学等众多领域的多指标体系中，如节约型社会指标体
系、生态环境可持续型指标体系、和谐社会指标体系、投资环境指标体系等，主成分分析
法常被应用于综合评价。
一、主成分分析原理和模型
（一）主分成分析原理
主成分分析是设法将原来众多具有一定相关性（比如P个指标），重新组合成一组新的
互相无关的综合指标来代替原来的指标。通常数学上的处理就是将原来P个指标作线性组
合，作为新的综合指标。最经典的做法就是用F
1
（选取的第一个线性组合，即第一个综合
指标）的方差来表达，即Var(F
1
)越大，表示F
1
包含的信息越多。因此在所有的线性组合
中选取的F
1
应该是方差最大的，故称F
1
为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来P
个指标的信息，再考虑选取F
2
即选第二个线性组合，为了有效地反映原来信息，F
1
已有的
信息就不需要再出现再F
2
中，用数学语言表达就是要求Cov(F
1
, F
2
)=0，则称F
2
为第二主
成分，依此类推可以构造出第三、第四，……，第P个主成分。
（二）主成分分析数学模型
F
2
=a
12
ZX
1
+a
22
ZX
2
……+a
p2
ZX
p
……
F
p
=a
1m
ZX
1
+a
2m
ZX
2
+……+a
pm
ZX
p
其中a
1i
, a
2i
, ……,a
pi
(i=1,……,m)为X的协方差阵Σ的特征值多对应的特征向量，ZX
1
,
ZX
2
, ……, ZXp是原始变量经过标准化处理的值，因为在实际应用中，往往存在指标的量纲
不同，所以在计算之前须先消除量纲的影响，而将原始数据标准化，本文所采用的数据就
存在量纲影响[注：本文指的数据标准化是指Z标准化]。
A=(a
ij
)
p×m
=(a
1
,a
2
,…a
m
,)，Ra
i
=λ
i
a
i
，R为相关系数矩阵，λ
i
、a
i
是相应的特征值和单
位特征向量,λ
1
≥λ
2
≥…≥λ
p
≥0 。
进行主成分分析主要步骤如下：
1.指标数据标准化（SPSS软件自动执行）；
2024年3月27日发(作者：尤芦)
技术资料3：
多指标综合评价方法
评价是根据确定的目的来测定对象系统的属性，并将这种属性变为客观定量的计值或
者主观效用行为，整个过程离不开评价者的参与，而综合评价作为评价的一种也需要评价
者做出相应反应或指示，而很多综合评价过程易受到评价者的干预，使评价结果产生偏差。
主成分分析能将高维空间的问题转化到低维空间去处理，使问题变得比较简单、直观，
而且这些较少的综合指标之间互不相关，又能提供原有指标的绝大部分信息。而且，伴随
主成分分析的过程，将会自动生成各主成分的权重，这就在很大程度上抵制了在评价过程
中人为因素的干扰，因此以主成分为基础的综合评价理论能够较好地保证评价结果的客观
性，如实地反映实际问题。主成分综合评价提供了科学而客观的评价方法，完善了综合评
价理论体系，为管理和决策提供了客观依据，能在很大程度上减少了上述不良现象的产生。
所以在社会经济、管理、自然科学等众多领域的多指标体系中，如节约型社会指标体
系、生态环境可持续型指标体系、和谐社会指标体系、投资环境指标体系等，主成分分析
法常被应用于综合评价。
一、主成分分析原理和模型
（一）主分成分析原理
主成分分析是设法将原来众多具有一定相关性（比如P个指标），重新组合成一组新的
互相无关的综合指标来代替原来的指标。通常数学上的处理就是将原来P个指标作线性组
合，作为新的综合指标。最经典的做法就是用F
1
（选取的第一个线性组合，即第一个综合
指标）的方差来表达，即Var(F
1
)越大，表示F
1
包含的信息越多。因此在所有的线性组合
中选取的F
1
应该是方差最大的，故称F
1
为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来P
个指标的信息，再考虑选取F
2
即选第二个线性组合，为了有效地反映原来信息，F
1
已有的
信息就不需要再出现再F
2
中，用数学语言表达就是要求Cov(F
1
, F
2
)=0，则称F
2
为第二主
成分，依此类推可以构造出第三、第四，……，第P个主成分。
（二）主成分分析数学模型
F
2
=a
12
ZX
1
+a
22
ZX
2
……+a
p2
ZX
p
……
F
p
=a
1m
ZX
1
+a
2m
ZX
2
+……+a
pm
ZX
p
其中a
1i
, a
2i
, ……,a
pi
(i=1,……,m)为X的协方差阵Σ的特征值多对应的特征向量，ZX
1
,
ZX
2
, ……, ZXp是原始变量经过标准化处理的值，因为在实际应用中，往往存在指标的量纲
不同，所以在计算之前须先消除量纲的影响，而将原始数据标准化，本文所采用的数据就
存在量纲影响[注：本文指的数据标准化是指Z标准化]。
A=(a
ij
)
p×m
=(a
1
,a
2
,…a
m
,)，Ra
i
=λ
i
a
i
，R为相关系数矩阵，λ
i
、a
i
是相应的特征值和单
位特征向量,λ
1
≥λ
2
≥…≥λ
p
≥0 。
进行主成分分析主要步骤如下：
1.指标数据标准化（SPSS软件自动执行）；