2024年3月29日发(作者：宜弘文)
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、
11
、
13
、
17
、
19
、
23
、
29
的倍数特
征
若一个整数的个位数字是
0
、
2
、
4
、
6
或
8
，则这个数就能
2
的倍
数：
被
2
整
除
3
的倍
数：
被
3
整
除
4
的倍
数：
整除。
若一个整数的各位数字的和能被
3
整除，则这个整数就能
若一个整数的末尾两位数能被
4
整除，则这个数就能被
4
5
的倍若一个整数的末位是
0
或
5
，则这个数就能被
5
整除。
数：
6
的倍若一个整数能被
2
和
3
整除，则这个数能被
6
整除。
数：
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位
7
的倍
数：
数的
2
如果差是
7
的倍数，则原数能被
7
整除。如果差太大或心
倍，
算不易看出是否
7
的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验
差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断
133
是否
7
的倍数的
过程如下：
13
-
3X2=
乙所以
133
是
7
的倍数；又例如判断
6139
是
否
7
的倍数的过程如下：
613
-
9X2
=
595
,
59
—
5X 2
=
49
,所以
6139
是
7
的倍数,余类推。
8
的倍数： 若一个整数的未尾三位数能被
8
整除，则这个数能被
8
整
除。
9
的倍数：若一个整数的数字和能被
9
整除，则这个整数能被
9
整除。
11
的倍数：两种方法：① 若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之 和的
差能被
11
整除，则这个数能被
11
整除。
②若一个整数的个位数字截去， 再从余下的数中， 减去个位数，
如果差是
11
的倍数，则原数能被
11
整除。如果差太大或心算不易看
出是否
11
的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的 过
程，直到能清楚判断为止。例如，判断
165
是否
11
的倍数的过程 如
下：
1 6
－
5=1 1
，所以
165
是
11
的倍数；又例如判断
2112
是否
11
的倍数的过程如下：
211
-
2
=
209
,
20
—
9
=
11
,所以
2112
是
11
的
倍数，余类推。
13
的倍数： 若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个 位数的
4
倍，如果差是
13
的倍数，则原数能被
1 3
整除。如果差太大
或心算不易看出是否
13
的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相
加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断
247
是否
13
的倍数的过程如下：
24+7X 4=52
,所以
247
是
13
的倍数；又例如判
断
2496
是否
13
的倍数的过程如下：
249+6X 4
=
273
,
27+3 X 4
=
39
,
所以
2496
是
13
的倍数，余类推。
17
的倍数： 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个 位数
的
5
倍，如果差是
17
的倍数，则原数能被
1 7
整除。如果差太大
或心算不易看出是否
17
的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相
减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断
221
是否
17
的倍数的过程如下：
22
—
1X 5=17
，所以
221
是
17
的倍数；又例如判
断
4318
是否
17
的倍数的过程如下：
431
-
8X5
=
391
,
39
-
1X5
=
34
，所以
4318
是
17
的倍数，余类推。
19
的倍数：①若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上
个位数的
2
倍,如果差是
19
的倍数,则原数能被
1 9
整除。如果差太
大或心算不易看出是否
1 9
的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、
相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。例如,判断
646
是否
19
的倍数的过程如下：
64+6X 2=76
，所以
646
是
19
的倍数；又例如
判断
1691
是否
19
的倍数的过程如下：
169+1X 2
=
171
,
17+1X 2
=
19
，所以
1691
是
19
的倍数，余类推。
②若一个整数的末三位与
7
倍的前面的隔出数的差能被
19
整
除，则这个数能被
19
整除。（注：隔出数，就是一个数扣除末三位
后剩下的数字。例如
5012
的隔出数就是
5
；
1 2590
的隔出数就是
12
。）
例如：判断
21128
是否
19
的倍数的过程如下：
21 X 7
-
128=19,
所以
21128
是
19
的倍数。
23
的倍数： 若一个整数的末四位与前面
5
倍的隔出数的差能被
23
整
除,则这个数能被
23
整除。（注：这里的隔出数,是一个数扣除末 四位后
剩下的数字。）例如：判断是否
23
的倍数的过程如下：
1595
-
227X 5=460
,
460
是
23
的倍数,所以是
23
的倍数。
29
的倍数： 若一个整数的末四位与前面
5
倍的隔出数的差能被
29
整
除,则这个数能被
29
整除。例如：判断
32625
是否
29
的倍数的过程
如下：
2625
-
3X5=2610
,
2610
是
23
的倍数,所以
32625
是
29
的倍
数。
另外，其他数的倍数的特征可综合起来考虑：如：
15
的倍数就是
3
的倍数和
5
的倍数的综合。
26
的倍数就是
13
的倍数和
2
的倍数的综
合。
1001=7*11*13 111111=3*7*11*13*37
，由此得出：各个数位均相同的六
位数为以上 数的倍数。
1+2+3+4+...+
(
n-2
)
+(n-1)+n=n(1+n)/2
如果数字较大，可用以下方法
F
面研究被7、11、13整除的数的特征。有一关键性式子：7
X
11
X
13=1OO1
表述为：判定某数能否被 7 或 11 或 13 整除，只要把这个数的末三位与前 面
隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小） ，看它是否被 7 或 11 或 13 整
除。此法则可以连续使用。
面研究可否被 17 、19 整除的简易判别法 .
判定一个数可否被 17 整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位数与 前面
隔出数的 3 倍的差（大减小）是否被 17 整除。
判定一个数可否被 19 整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位与前 面隔
出数的 7 倍的差（大减小）是否被 19 整除。
1000以内质数［总共168个］
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,8 9,97,
101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,
181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,
271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367,
373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,
463,467,479,487,491,499,503,509,521,523,541,547,557,563,569,571,
577,587,593,599,601,607,613,617,619,631,641,643,647,653,659,661,
673,677,683,691,701,709,719,727,733,739,743,751,757,761,769,773,
787,797,809,811,821,823,827,829,839,
853,857,859,863,877,881,883,887,907,911,919,929,937,941,947,
953,967,971,977,983,991,997 ［总共168个］
2024年3月29日发(作者：宜弘文)
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13
、
17
、
19
、
23
、
29
的倍数特
征
若一个整数的个位数字是
0
、
2
、
4
、
6
或
8
，则这个数就能
2
的倍
数：
被
2
整
除
3
的倍
数：
被
3
整
除
4
的倍
数：
整除。
若一个整数的各位数字的和能被
3
整除，则这个整数就能
若一个整数的末尾两位数能被
4
整除，则这个数就能被
4
5
的倍若一个整数的末位是
0
或
5
，则这个数就能被
5
整除。
数：
6
的倍若一个整数能被
2
和
3
整除，则这个数能被
6
整除。
数：
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位
7
的倍
数：
数的
2
如果差是
7
的倍数，则原数能被
7
整除。如果差太大或心
倍，
算不易看出是否
7
的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验
差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断
133
是否
7
的倍数的
过程如下：
13
-
3X2=
乙所以
133
是
7
的倍数；又例如判断
6139
是
否
7
的倍数的过程如下：
613
-
9X2
=
595
,
59
—
5X 2
=
49
,所以
6139
是
7
的倍数,余类推。
8
的倍数： 若一个整数的未尾三位数能被
8
整除，则这个数能被
8
整
除。
9
的倍数：若一个整数的数字和能被
9
整除，则这个整数能被
9
整除。
11
的倍数：两种方法：① 若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之 和的
差能被
11
整除，则这个数能被
11
整除。
②若一个整数的个位数字截去， 再从余下的数中， 减去个位数，
如果差是
11
的倍数，则原数能被
11
整除。如果差太大或心算不易看
出是否
11
的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的 过
程，直到能清楚判断为止。例如，判断
165
是否
11
的倍数的过程 如
下：
1 6
－
5=1 1
，所以
165
是
11
的倍数；又例如判断
2112
是否
11
的倍数的过程如下：
211
-
2
=
209
,
20
—
9
=
11
,所以
2112
是
11
的
倍数，余类推。
13
的倍数： 若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个 位数的
4
倍，如果差是
13
的倍数，则原数能被
1 3
整除。如果差太大
或心算不易看出是否
13
的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相
加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断
247
是否
13
的倍数的过程如下：
24+7X 4=52
,所以
247
是
13
的倍数；又例如判
断
2496
是否
13
的倍数的过程如下：
249+6X 4
=
273
,
27+3 X 4
=
39
,
所以
2496
是
13
的倍数，余类推。
17
的倍数： 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个 位数
的
5
倍，如果差是
17
的倍数，则原数能被
1 7
整除。如果差太大
或心算不易看出是否
17
的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相
减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断
221
是否
17
的倍数的过程如下：
22
—
1X 5=17
，所以
221
是
17
的倍数；又例如判
断
4318
是否
17
的倍数的过程如下：
431
-
8X5
=
391
,
39
-
1X5
=
34
，所以
4318
是
17
的倍数，余类推。
19
的倍数：①若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上
个位数的
2
倍,如果差是
19
的倍数,则原数能被
1 9
整除。如果差太
大或心算不易看出是否
1 9
的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、
相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。例如,判断
646
是否
19
的倍数的过程如下：
64+6X 2=76
，所以
646
是
19
的倍数；又例如
判断
1691
是否
19
的倍数的过程如下：
169+1X 2
=
171
,
17+1X 2
=
19
，所以
1691
是
19
的倍数，余类推。
②若一个整数的末三位与
7
倍的前面的隔出数的差能被
19
整
除，则这个数能被
19
整除。（注：隔出数，就是一个数扣除末三位
后剩下的数字。例如
5012
的隔出数就是
5
；
1 2590
的隔出数就是
12
。）
例如：判断
21128
是否
19
的倍数的过程如下：
21 X 7
-
128=19,
所以
21128
是
19
的倍数。
23
的倍数： 若一个整数的末四位与前面
5
倍的隔出数的差能被
23
整
除,则这个数能被
23
整除。（注：这里的隔出数,是一个数扣除末 四位后
剩下的数字。）例如：判断是否
23
的倍数的过程如下：
1595
-
227X 5=460
,
460
是
23
的倍数,所以是
23
的倍数。
29
的倍数： 若一个整数的末四位与前面
5
倍的隔出数的差能被
29
整
除,则这个数能被
29
整除。例如：判断
32625
是否
29
的倍数的过程
如下：
2625
-
3X5=2610
,
2610
是
23
的倍数,所以
32625
是
29
的倍
数。
另外，其他数的倍数的特征可综合起来考虑：如：
15
的倍数就是
3
的倍数和
5
的倍数的综合。
26
的倍数就是
13
的倍数和
2
的倍数的综
合。
1001=7*11*13 111111=3*7*11*13*37
，由此得出：各个数位均相同的六
位数为以上 数的倍数。
1+2+3+4+...+
(
n-2
)
+(n-1)+n=n(1+n)/2
如果数字较大，可用以下方法
F
面研究被7、11、13整除的数的特征。有一关键性式子：7
X
11
X
13=1OO1
表述为：判定某数能否被 7 或 11 或 13 整除，只要把这个数的末三位与前 面
隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小） ，看它是否被 7 或 11 或 13 整
除。此法则可以连续使用。
面研究可否被 17 、19 整除的简易判别法 .
判定一个数可否被 17 整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位数与 前面
隔出数的 3 倍的差（大减小）是否被 17 整除。
判定一个数可否被 19 整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位与前 面隔
出数的 7 倍的差（大减小）是否被 19 整除。
1000以内质数［总共168个］
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,8 9,97,
101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,
181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,
271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367,
373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,
463,467,479,487,491,499,503,509,521,523,541,547,557,563,569,571,
577,587,593,599,601,607,613,617,619,631,641,643,647,653,659,661,
673,677,683,691,701,709,719,727,733,739,743,751,757,761,769,773,
787,797,809,811,821,823,827,829,839,
853,857,859,863,877,881,883,887,907,911,919,929,937,941,947,
953,967,971,977,983,991,997 ［总共168个］