2024年4月3日发(作者：丛青)
第一章 1.1 任意角和弧度制
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
角的概念：（1）角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的表示：如图，OA是角α的 ，OB是角α的 ，O是角
的 角α可记为“角α”或“∠α”或简
记为“α”．
按旋转方向可将角分为如下三类：
2．象限角
(1)象限角：若角的顶点在 原点 ，角的始边与 x轴非负半轴 重合，则 角的终边在
第几象限 ，就称这个角是第几象限角．
(2)轴线角：若角的终边在 坐标轴 上，则这个角 不属于 任何象限．
3．终边相同的角
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z} ．
设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为
课堂小测
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．( )
(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．( )
(3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．( )
2．做一做
(1)下列说法正确的是( )
A．最大角是180°
C．角不可以是负的
(2)下列哪个角是第三象限角( )
A．15° B．105° C．215° D．315°
(3)(教材改编P
5
T
4
)下列各角中，与60°角终边相同的角是( )
A．－300°
C．600°
课堂探究
探究1 正确理解角的概念
例1 下列命题正确的是( )
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
D．小于90°的角是锐角
【跟踪训练1】
(1)经过2个小时，钟表上的时针旋转了( )
A．60° B．－60° C．30° D．－30°
(2)射线OA绕端点O顺时针旋转90°到OB位置，接着逆时针旋转100°到OC位置，然后再
顺时针旋转240°到OD位置，求∠AOD的大小．
B．－60°
D．1380°
B．最大角是360°
D．角可以任意大小
探究2 终边相同的角的表示
例2 (1)写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°
的元素β写出来；
(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
[变式探究] 在与角1030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角；
(2)最大的负角．
【跟踪训练2】 已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________.
探究3 象限角的判定
例3 (1)已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出
它们是第几象限角．
①－75°；②855°；③－510°；
α
(2) 若角α是第一象限角，问－α，2α，
3
是第几象限角？
φ
【跟踪训练3】 若φ是第二象限角，那么
2
和90°－φ都不是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
探究4 区域角的表示
例4 写出终边落在阴影部分的角的集合．
[条件探究] 将例4改为下图，写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界)．
【跟踪训练4】 写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角的集合．
1
.角的概念的理解
(1)弄清角的始边与终边．
(2)结合图形明确这个角从始边到终边转过了多少度．
(3)注意逆时针旋转与顺时针旋转的区别．
2.研究象限角时应注意的问题
(1)前提条件：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
(2)并不是任何角都是象限角，如终边落在坐标轴上的角叫轴线角，轴线角的表示如下表：
终边所在的位置
x轴非负半轴
x轴非正半轴
y轴非负半轴
y轴非正半轴
3.表示与α终边相同的角时应注意的问题
(1)k是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°与α之间是“＋”号，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)．
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．
(5)终边相同的角的表示不唯一.
角的集合
{α|α＝k·360°，k∈Z}
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
巩固练习
1．－215°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．下列说法正确的是( )
A．终边相同的角一定相等 B．钝角一定是第二象限角
C．第一象限角一定不是负角 D．小于90°的角都是锐角
3．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是_____度
4．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝__________________.
5．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α
写出来．
2024年4月3日发(作者：丛青)
第一章 1.1 任意角和弧度制
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
角的概念：（1）角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的表示：如图，OA是角α的 ，OB是角α的 ，O是角
的 角α可记为“角α”或“∠α”或简
记为“α”．
按旋转方向可将角分为如下三类：
2．象限角
(1)象限角：若角的顶点在 原点 ，角的始边与 x轴非负半轴 重合，则 角的终边在
第几象限 ，就称这个角是第几象限角．
(2)轴线角：若角的终边在 坐标轴 上，则这个角 不属于 任何象限．
3．终边相同的角
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z} ．
设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为
课堂小测
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．( )
(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．( )
(3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．( )
2．做一做
(1)下列说法正确的是( )
A．最大角是180°
C．角不可以是负的
(2)下列哪个角是第三象限角( )
A．15° B．105° C．215° D．315°
(3)(教材改编P
5
T
4
)下列各角中，与60°角终边相同的角是( )
A．－300°
C．600°
课堂探究
探究1 正确理解角的概念
例1 下列命题正确的是( )
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
D．小于90°的角是锐角
【跟踪训练1】
(1)经过2个小时，钟表上的时针旋转了( )
A．60° B．－60° C．30° D．－30°
(2)射线OA绕端点O顺时针旋转90°到OB位置，接着逆时针旋转100°到OC位置，然后再
顺时针旋转240°到OD位置，求∠AOD的大小．
B．－60°
D．1380°
B．最大角是360°
D．角可以任意大小
探究2 终边相同的角的表示
例2 (1)写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°
的元素β写出来；
(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
[变式探究] 在与角1030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角；
(2)最大的负角．
【跟踪训练2】 已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________.
探究3 象限角的判定
例3 (1)已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出
它们是第几象限角．
①－75°；②855°；③－510°；
α
(2) 若角α是第一象限角，问－α，2α，
3
是第几象限角？
φ
【跟踪训练3】 若φ是第二象限角，那么
2
和90°－φ都不是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
探究4 区域角的表示
例4 写出终边落在阴影部分的角的集合．
[条件探究] 将例4改为下图，写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界)．
【跟踪训练4】 写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角的集合．
1
.角的概念的理解
(1)弄清角的始边与终边．
(2)结合图形明确这个角从始边到终边转过了多少度．
(3)注意逆时针旋转与顺时针旋转的区别．
2.研究象限角时应注意的问题
(1)前提条件：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
(2)并不是任何角都是象限角，如终边落在坐标轴上的角叫轴线角，轴线角的表示如下表：
终边所在的位置
x轴非负半轴
x轴非正半轴
y轴非负半轴
y轴非正半轴
3.表示与α终边相同的角时应注意的问题
(1)k是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°与α之间是“＋”号，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)．
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．
(5)终边相同的角的表示不唯一.
角的集合
{α|α＝k·360°，k∈Z}
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
巩固练习
1．－215°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．下列说法正确的是( )
A．终边相同的角一定相等 B．钝角一定是第二象限角
C．第一象限角一定不是负角 D．小于90°的角都是锐角
3．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是_____度
4．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝__________________.
5．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α
写出来．