2024年4月4日发(作者：弭慧月)
江苏省盐城市伍佑中学2023届高三高考热身考试数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1
．已知集合
A=xx
2
-2x-8<0
,
B=xlg
(
x+2
)
>0
，则
AÇB＝
（
）
}
{}
{
A
．
(
0，4
)
B
．
(
-1，4
)
C
．
[
-1,4
)
D
．
(
-1,4
]
2
．已知复数
a+3i=4+bi
，则
a+bi
=
（ ）
5
+
12i
9
13
A
．
5
13
B
．
7
13
C
．
D
．
11
13
3
．已知
a
、
b
Î
(
0,
p
)
，
tan
a
与
tan
b
是方程
x
2
+33x+4=0
的两个根，则
a
+
b
=
（
）
A
．
p
3
B
．
2
p
3
4
C
．
p
3
D
．
p
4
或
p
3
3
4
．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶
等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征．
其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温
度是
q
1
o
C
，空气的温度是
q
0
o
C
，经过
t
分钟后物体的温度为
θ℃
，满足公式
q
=
q
0
+
(
q
1
-
q
0
)
e
-0.25t
．现有一壶水温为
92℃
的热水用来沏茶，由经验可知茶温为
52℃
时口感最佳，若空气的温度为
12℃
，那从沏茶开始，大约需要（
）分钟饮用口感最
佳．（参考数据；
ln3»1.099
，
ln2»0.693
）
A
．
2.57B
．
2.77C
．
2.89D
．
3.26
5
．若
(2x+1)
100
=a+ax+ax
2
+L+ax
100
，则
2
(
a+a+L+a
)
-3
被
8
整除的余数
012100
1399
为（
）
试卷第11页，共33页
A
．
4B
．
5C
．
6D
．
7
6
．某艺术团为期三天公益演出，其表演节目分别为歌唱，民族舞，戏曲，演奏，舞台
剧，爵士舞，要求歌唱与民族舞不得安排在同一天进行，每天至少进行一类节目．则
不同的演出安排方案共有（ ）
A
．
720
种
B
．
3168
种
C
．
1296
种
D
．
5040
种
*
83n
-
7
nÎN,
(
l
-a
n
)(
l
-b
n
)
<0
，则
7
．已知数列
a
n
=
n
-
1
+
,b
n
=
n
-
1
，若对任意的
2n
-
12
实数
l
的取值范围是（
）
118
ö
A
．
æ
ç
,
÷
è
25
ø
518
ö
B
．
æ
ç
,
÷
è
85
ø
111
ö
C
．
æ
ç
,
÷
è
23
ø
511
ö
D
．
æ
ç
,
÷
è
83
ø
3
ö
8
．已知函数
f
(
x
)
及其导函数
f
¢
(
x
)
定义域均为
R
，满足
f
æ
ç
+
x
÷
-
è
2
ø
æ
3
ö
f
ç
-
x
÷
=
2x
，
è
2
ø
记
g(x)=f
¢
(x)
9
ö
¢
g
¢
3-x
)
，其导函数为
g
(
x
)
且
(
的图象关于原点对称，则
g
¢
(
9
)
+
g
æ
ç÷
=
è
2
ø
（
）
A
．
0B
．
3C
．
4D
．
1
二、多选题
9
．下列命题正确的是（
）
A
．对于事件
A
，
B
，若
A
Í
B
，且
P
(
A
)
=0.3
，
P
(
B
)
=0.6
，则
PBA=1
()
B
．若随机变量
x
~N2,
d
2
，
P
(
x
<4
)
=0.84
，则
P
(
2<
x
<4
)
=0.16
()
C
．相关系数
r
的绝对值越接近
1
，两个随机变量的线性相关程度越强
D
．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越差
10
．设等比数列
{
a
}
的公比为
q
，其前
n
项和为
S
n
，前
n
项积为
T
n
，并且满足条件
n
a
1
>
1,a
6
a
7
>
1,
a
6
-
1
<
0
a
7
-
1
，则下列结论正确的是（ ）
试卷第21页，共33页
A
．
q>1
C
．
S
n
的最大值为
S
B
．
0 1 68 D ． T n 的最大值为 T 7 6 11 ．已知函数 f ( x ) =sin2x+3cos2x 的图象向左平移 j ( j >0 ) ）个单位长度后对应的 j ππ gxgx ()() 函数为，若在 [ - ,] 上单调，则的可取（ ） 46 A ． π 12 B ． π 6 C ． π 3 D ． 5π 12 12 ．下列说法正确的是（ ） A ．若事件 M,N 115 互斥， P ( M ) =,P ( N ) = ，则 P ( MÈN ) = 6 23 B ．若事件 M,N 相互独立， P ( M ) = 2 11 ,P ( N ) = ，则P ( MÈN ) = 3 23 1 133 C ．若 P(M)=,P(M∣N)=,P(M∣N)= ，则 P ( N ) = 3 248 1 133 D ．若 P(M)=,P(M∣N)=,P(M∣N)= ，则 P ( N∣M ) = 248 4 三、填空题 v v 13 ．已知平面直角坐标系内的两个向量， a=(1,2) ， b=(m,3m-2) ，且平面内的任一向 v vvv 量 c 都可以唯一的表示成 c= l a+ m b （ l , m 为实数），则 m 的取值范围是 __________ ． i 14 ．已知数列 { a } 的项数为 n ( n Î N * ) ，且 a + a ，则 { a } 的前 n 项 in - i + 1 = C n (i = 1,2, L n) ii 和 S n 为 _______ ． 15 ．在学校国庆文艺晚会上，有三对教师夫妇参加表演节目，要求每人只能参加一个 单项表演节目 . 按节目组节目编排要求，男教师的节目不能相邻，且夫妻教师的节目也 试卷第31页，共33页 不能相邻，则该 6 名教师表演的节目的不同编排顺序共有 ______ 种 . （用数字填写答 案） 16 ．水平桌面上放置了 4 个半径为 2 的小球， 4 个小球的球心构成正方形，且相邻的两 个小球相切 . 若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值 为 _____. 四、解答题 17 ．已知 VABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，面积为 S ，满足 4S= ( a 2 -3b 2 ) sinC ． (1) 证明： sinA=3sinB ； mn c=mb 和 tanA=ntanC 同时成立．若存在，求出， (2) 是否存在正整数 m ， n ，使得 的值，若不存在，说明理由． 18 ．若数列 { A } 满足 A n n + 1 2 ，则称数列 = A n { A n } 为“平方递推数列”．已知数列 { a n } 中， a 1 =9 ，点 ( a n ,a n + 1 ) 在函数 f(x)=x 2 +2x 的图象上，其中 n 为正整数， (1) 证明：数列 { a+ 1 } 是“平方递推数列”，且数列 { lg ( a+1 ) } 为等比数列； n n d=b n *c n a,a £ b, (2) 设 b n = lg ( a n + 1 ) , c n = 2 n+ 4 ，定义 a*b = ì ，且记 n ，求数列 { d n } 的 í î b,a > b, 前 n 项和 S n ． 19 ．如图所示，在三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中，点 D ， E ， F ， G 分别为棱 A 1 B 1 ， AA 1 ， CC 1 ， BB 1 上的点，且 A 1 D=B 1 D ， AE=2A 1 E ， C 1 F=2CF ， BG=2B 1 G . 试卷第41页，共33页 (1) 证明： EF// 平面 CDG ； 1 (2) 若 AA=6 ， BC=2AC=4 ，四边形 BCCB 为矩形，平面 BCC 1 B 1 ^ 平面 ACCA ， 11 11 1 AC^C 1 G ，求平面 C 1 DG 与平面 DEF 所成锐二面角的余弦值 . 20 ．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面 包，该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是 1000g ，上下浮动不超过 50g ，这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为 1000g ，标准差为 50g 的正态分布 . 2 * X (1) 已知如下结论：若 X~N m , s ，从的取值中随机抽取 kk ÎN ,k ³ 2 个数据， () () 2 Y k 记这个数据的平均值为，则随机变量 Y ~ N æ m , s ö . 利用该结论解决下面问题 . ç÷ k øè ①假设面包师的说法是真实的，随机购买 25 个面包，记随机购买 25 个面包的平均值 为 Y ，求 P ( Y<980 ) ； ②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录， 25 天后，得到的数据都落在 ( 950,1050 ) 上并经计算 25 个面包质量的平均值为 978.72g. 庞加莱通过分析举报了该面包师，从概 率角度说明庞加菜举报该面包师的理由； (2) 假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有 6 个面包， 其中黑色面包有 2 个；第二箱中共装有 8 个面包，其中黑色面包有 3 个 . 现随机挑选一 箱，然后从该箱中随机取出 2 个面包 . 求取出黑色面包个数的分布列及数学期望 . 附： 试卷第51页，共33页 ①随机变量 h 服从正态分布 N ( m , s 2 ) ，则 P ( m - s £ h £ m + s ) =0.6827 ， P ( m -2 s £ h £ m +2 s ) =0.9545 ， P ( m -3 s £ h £ m +3 s ) =0.9973 ②通常把发生概率小于 0.05 的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生 π ö 上的函数 f(x)=(x-k)sinx ． 21 ．已知定义在 æ - , +¥ ç÷ è 2 ø y=f(x) ππ 在点 æ ç 2 ,f è (1) 若曲线 æö ö 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 2 ， ç÷ ÷ è 2 ø ø 求 k 的值； (2) 将 f(x) 的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列 { x } ，若 x 1 ,x 2 ,x 3 成等差数列， n 求 k 的值． 22 ．在平面直角坐标系中，已知抛物线 C：x 2 =2py(p>0) 上的点 Q(t,4) 到焦点 F 的距 离的 5. (1) 求抛物线方程及点 Q 的坐标 . (2) 过点 (0,3) 的直线 l 交 C 于 A,B 两点，延长 AF ， BF 分别交抛物线于 M,N 两点 . 令 S V FAB =S 1 ， S V FMN =S 2 ， S V FAN =S 3 ， S V FBM =S 4 ，求 S 1 +S 3 S 4 的最小值 . S 2 试卷第61页，共33页 参考答案： 1 ． B 【分析】解不等式得到 A= { x-2 } ，由对数函数单调性解不等式，得到 B= { xx>-1 } ，求出交集 . 【详解】集合 A= { xx 2 -2x-8<0 } = { x-2 } , 集合 B= { xlg ( x+2 ) >0 } = { xx>-1 } , 所以 AIB= ( -1,4 ) . 故选： B. 2 ． A a=4,b=3 【分析】根据题意求得 4 + 3i ，结合 4 + 3i = ，即可求解 . 5 + 12i5 + 12i 4+3i 5 ，则 a+bi = 4+3i == . 5 + 12i5 + 12i5 + 12i13 【详解】由 a+3i=4+bi ，可得 a=4,b=3 故选： A. 3 ． C 【解析】先求出 tan a + tan b 和 tan a tan b 的值 , 确定 tan a 、 tan b 的符号，进而可以缩小 α 、 β 的围，再根据两角和的正切公式求出 tan( a + b ) 的值求出答案 . 【详解】∵ tan a 与 tan b 是方程 x 2 +33x+4=0 的两个根， ∴ tan a + tan b =-33 ， tan a tan b =4 ∴ tan a <0 ， tan b <0 p ö a + b Î ( p ,2 p ) ， æ p ö ，∴ a Î æ ç , p ÷ , b Î ç , p ÷ ，∴ è 2 øè 2 ø 答案第11页，共22页 ∵ tan( a + b ) = tan a + tan b - 33 a + b Î ( p ,2 p ) === 3 ，又 1 - tan a tan b 1 - 4 4 ∴ a + b = p . 3 故选 : C 【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键： (1) 角的范围的判断； (2) 根据条件进行合理的拆角，如 b = ( a + b ) - a ，2 a = ( a + b ) +( a - b ) 等． 4 ． B 【分析】有题意，根据公式 q = q + ( q - q ) e -0.25t 代入数据得 52 = 12 + ( 92 - 12 ) e -0.25t ，变形、 010 化简即可得出答案 . 【详解】由题意得 q = q 0 + ( q 1 - q 0 ) e -0.25t ，代入数据得 52 = 12 + ( 92 - 12 ) e -0.25t ， t»2.77 1 1 ，即 -0.25t=ln=-ln2»-0.693 ，解得 ； 2 2 整理得 e -0.25t = 所以若空气的温度为 12℃ ，从沏茶开始，大约需要 2.77 分钟饮用口感最佳． 故选： B ． 5 ． B 【分析】根据题意，给自变量 x 赋值，取 x=1 和 x= - 1 ，两个式子相减，得到 2 ( a 1 +a 3 +a 5 +L+a 99 ) 的值，将 2 ( a 1 +a 3 +a 5 +L+a 99 ) -3 构造成一个新的二项式，根据二 项展开式可以看出被 8 整除的结果，得到余数． 【详解】在已知等式中，取 x=1 得 a 0 +a 1 +a 2 +L+a 100 =3 100 ， 取 x= - 1 得 a 0 -a 1 +a 2 -L+a 100 =1 ， 两式相减得 2(a 1 +a 3 +a 5 +La 99 )=3 100 -1 ， 答案第21页，共22页 即 2 ( a+a+a+L+a ) -3=3 100 -4 ， 13599 因为 3 100 -4=9 50 -4= ( 8+1 ) 50 -4 01r10 = C 50 × 8 50 + C 50 × 8 49 +L+ C 50 × 8 50 - r +L+ C 50 × 8 + C 50 - 4 01r1 = C 50 × 8 50 + C 50 × 8 49 +L+ C 50 × 8 50 - r +L+ C 50 × 8 - 3 01r1 = C 50 × 8 50 + C 50 × 8 49 +L+ C 50 × 8 50 - r +L+ C 50 × 8 - 8 + 5,r Î N 因为 C 0 × 8 50 + C 1 × 8 49 +L+ C r × 8 50 - r +L+ C 1 × 8 - 8 能被 8 整除， 50505050 所以 C 0 × 8 50 + C 1 × 8 49 +L+ C r × 8 50 - r +L+ C 1 × 8 - 8 + 5 被 8 整除的余数为 5 ， 50505050 即 2 ( a+a+a+L+a ) -3 被 8 整除的余数为 5 ， 13599 故选： B. 6 ． D 【分析】根据每天演出项目的数量进行分类讨论，由此求得不同的演出安排方法数． 【详解】①若三天演出项目数量为 2,2,2 ， 所有的安排方法数为 C 2 C 2 C 2 ´(A 2 ) 3 种， 6422 歌唱与民族舞安排在同一天进行有 3´C 2 C 2 ´(A 2 ) 3 种， 422 则三天演出项目数量为 2,2,2 的安排方法数为： C 2 C 2 C 2 ´(A 2 ) 3 -3´C 2 C 2 ´(A 2 ) 3 =576 ； 6422422 ②若三天演出项目数量为 3,2,1 ， 所有的安排方法数为 C 3 C 2 C 1 ´A 3 ´(A 3 ´A 2 ) 种， 631332 歌唱与民族舞安排在第一天进行有 C 1 C 2 C 1 ´A 3 ´(A 3 ´A 2 ) 种， 431332 歌唱与民族舞安排在第二天进行有 C 3 C 1 ´A 3 ´(A 3 ´A 2 ) 种， 41332 答案第31页，共22页 则三天演出项目数量为 3,2,1 的安排方法数为： 21332 ； C 3 6 C 3 C 1 ´A 3 ´(A 3 ´A 2 )-C 4 C 3 C 1 ´A 3 ´(A 3 ´A 2 )-C 4 C 1 ´A 3 ´(A 3 ´A 2 )=3168 ③若三天演出项目数量为 4,1,1 ， 所有的安排方法数为 C 4 ´A 3 ´(A 4 ) ， 634 歌唱与民族舞安排在第一天进行有 C 2 ´A 3 ´(A 4 ) 种， 434 则三天演出项目数量为 4,1,1 的安排方法数为： C 4 ´A 3 ´(A 4 )-C 2 ´A 3 ´(A 4 )=1296 ； 634434 综上所述，不同的演出安排方案共有 576+3168+1296=5040 种， 故选： D ． 7 ． B 【分析】求出 a n ,b n 的最值，由不等式恒成立，求出实数 l 的取值范围 . 【详解】当 a n > a n + 1 * 88 n£2 nÎN ，有 n - 1 +> n +，由，解得； 2n - 12n + 1 当 a n < a n + 1 * n³3 88 nÎN ，有 n - 1 + ，由，解得， < n + 2n - 12n + 1 a 2 = 1118 a>a 3 18 a ， a 3 = ， 2 ，所以 n 的最小值为 a 3 = . 355 当 b n > b n + 1 * n³4 3n - 73n - 4 nÎN ，有 n - 1 > ，由，解得； 22 n 当 b n < b n + 1 ，有 3n - 73n - 4 nÎN * ，解得 n£3 ，，由 < 2 n - 1 2 n b 4 = 51 b>b 5 b ， b 3 = ， 43 ，所以 n 的最大值为 b 4 = . 828 答案第41页，共22页 所以 a n 的最小值大于 b n 的最大值，即 a n >b n 恒成立， 所以 ( l -a n )( l -b n ) < 0 解得 b n < l n ，对任意的 nÎN * ， b n < l n 恒成立，则有 b 4 < l 3 l 518 ö . ，即实数的取值范围是 æ ç , ÷ è 85 ø 故选： B 8 ． D g ¢ (x) 【分析】根据题设知关于 (3,0) ¢ g ¢ (9) 3 g 、 x= 对称且 (3) = 0 ，即可求，再由已知有 2 g(x) x=3 9 3 关于 (,1) 、对称，求 g() ，即可得解 . 2 2 【详解】由 g ¢ ( 3-x ) 关于原点对称，则 g(3-x) 关于 y 轴对称，且 g ¢ ( 3-x ) =-g ¢ ( 3+x ) ， 所以 g(x) 关于 x=3 对称， g ¢ (x) 关于 (3,0) 对称，且 g ¢ (3) = 0 ， g(x) 3 3 öæ 3 öæ 3 öæ 3 ö 又 f ¢ æ ，即，则关于 (,1) 对称， ¢ + x + f - x = 2g + x + g - x = 2 ç÷ç÷ç÷ç÷ 2 2222 èøèø èøèø 综上， g(6-x)=g(x) ， g(3-x)+g(x)=2 ，则 g(6-x)+g(3-x)=2 ， 339339 所以 g(6-)+g(3-)=g()+g()=2 ，而 g()=1 ，故 g()=1 ， 222222 又 g ¢ (x)-g ¢ (3-x)=0 ，则 g ¢ (x) 关于 x= g ¢ (3-x)=g ¢ (x) 3 对称，即 ， 2 所以 g ¢ ( x ) =-g ¢ ( x+3 ) ，则 g ¢ ( 9 ) =-g ¢ ( 6 ) =g ¢ ( 3 ) =0 ， 9 ö . 所以 g ¢ ( 9 ) + g æ ç÷ = 1 è 2 ø 答案第51页，共22页 故选： D 9 ． ACD 【分析】根据统计学和概率论的相关定义逐项分析 . 【详解】对于 A ，由于 A Í B ，即 A 发生必定有 B 发生，根据条件概率的定义 P ( B|A ) =1 ， 正确； 对于 B ，根据正态分布密度函数的性质知 P ( x ＞＜＜＞4 ) =1-P ( x 4 ) =0.16,P ( x 0 ) =P ( x 4 ) =0.16 ， P ( 0＜＜ x 4 ) = 0.34 ，错误； 2 P ( 0 ＜＜＜＜ x 4 ) = 1 - 0.16 ´ 2 = 0.68,P ( 2 x 4 ) = 对于 C ，根据相关系数的性质知： r 约接近于 1 ，表示线性相关程度越强，正确； 对于 D ，残差点分布的带状区域越宽说明线性回归时的误差越大，即回归效果越差，正确； 故选： ACD. 10 ． BD 【分析】讨论 q<0 与 q³1 不成立可判断 A ；利用等比数列的下标和性质可判断 B ；根据 S n 单调递增可判断 C ；根据 a n 的取值可判断 D. 【详解】若 q<0 ，则 a 6 <0 ， a 7 >0 ， 所以 a 6 a 7 <0 ，与 a 6 a 7 >1 矛盾； 若 q³1 ，则因为 a 1 >1 ， 所以 a 6 >1 ， a 7 >1 ， a 6 - 1a - 1 > 0 ，与 6 < 0 矛盾， a 7 - 1 a 7 - 1 则 因此 0 ， 答案第61页，共22页 所以 A 不正确． a 6 - 1 < 0 ， a 7 - 1 因为 所以 a 6 >1>a 7 >0 ， 因此 aa=a 2 Î ( 0,1 ) ， 687 故 B 正确． 因为 a n >0 ， 所以 S n 单调递增，即 S n 的最大值不为 S 7 ， 故 C 错误． 因为当 n³7 时， aÎ ( 0,1 ) ，当 1£n£6 时， aÎ ( 1, +¥ ) ， n n 所以 T n 的最大值为 T 6 ， 即 D 正确． 故选： BD. 11 ． CD 【分析】利用辅助角公式化简函数 f(x) 并求出 g(x) ，再借助函数 g(x) 的单调区间列式求解 作答 . π 【详解】依题意， f(x)=2sin(2x+) ，于是 g(x)=f(x+ j )=2sin(2x+2 j +) ， 3 3 π ππ2π ππ 当 xÎ[-,] 时， (2x+2 j +)Î[2 j -,2 j +] ， 363 46 当 g(x) πππ2πππ 在 [ - ,] 上单调递增时， [2 j -,2 j +]Í[-+2π,k+2π],k 466322 kZÎ ， 答案第71页，共22页 j k ππ ππ ì -+kππ,£ j £Z-+kkÎ 2 j -³-+ 2πk ï 612 ï 62 ,k Î Z ，解得即 í ，不存在整数使得取得 2ππ ï 2 j +£+ 2πk ï 32 î ABCD 选项中的值； 当 g(x) πππ2ππ3π 在 [ - ,] 上单调递减时， [2 j -,2 j +]Í[+2π,k+2π],k 466322 kZÎ ， π5π ππ ì +kππ,£ j £Z+kkÎ 2 j -³+ 2πk ï 312 ï 62 ,k Î Z ，解得即 í ， 2π3π ï 2 j +£+ 2πk ï 32 î j k π5π ， CD 符合，不存在整数使得取得 AB 选项中的值 . £ j £ 312 当 k=1 时， 故选： CD 12 ． ABC 【分析】根据互斥事件的概率加法公式判断 A ；根据独立事件的乘法公式判断 B ；根据条 件概率以及全概率公式可判断 C,D . 【详解】对于 A ： P ( MÈN ) =P ( M ) +P ( N ) = 5 ，正确； 6 对于 B ： P ( MUN ) =P ( M ) +P ( N ) -P ( MIN ) = 11112 +-´= ，正确； 23233 对于 C ： P(M ∣ N) = P(MN)3P(MN)1 - P(M) - P(N) + P(MN)3 = ,P(M ∣ N) === ， P(N)4P(N)1 - P(N)8 P(N)=P(MN)+P(MN)=P(MN)+ 31 P(N),P(MN)=P(N) ， 44 答案第81页，共22页 2024年4月4日发(作者：弭慧月) 江苏省盐城市伍佑中学2023届高三高考热身考试数学试 题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1 ．已知集合 A=xx 2 -2x-8<0 , B=xlg ( x+2 ) >0 ，则 AÇB＝ （ ） } {} { A ． ( 0，4 ) B ． ( -1，4 ) C ． [ -1,4 ) D ． ( -1,4 ] 2 ．已知复数 a+3i=4+bi ，则 a+bi = （ ） 5 + 12i 9 13 A ． 5 13 B ． 7 13 C ． D ． 11 13 3 ．已知 a 、 b Î ( 0, p ) ， tan a 与 tan b 是方程 x 2 +33x+4=0 的两个根，则 a + b = （ ） A ． p 3 B ． 2 p 3 4 C ． p 3 D ． p 4 或 p 3 3 4 ．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶 等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征． 其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温 度是 q 1 o C ，空气的温度是 q 0 o C ，经过 t 分钟后物体的温度为 θ℃ ，满足公式 q = q 0 + ( q 1 - q 0 ) e -0.25t ．现有一壶水温为 92℃ 的热水用来沏茶，由经验可知茶温为 52℃ 时口感最佳，若空气的温度为 12℃ ，那从沏茶开始，大约需要（ ）分钟饮用口感最 佳．（参考数据； ln3»1.099 ， ln2»0.693 ） A ． 2.57B ． 2.77C ． 2.89D ． 3.26 5 ．若 (2x+1) 100 =a+ax+ax 2 +L+ax 100 ，则 2 ( a+a+L+a ) -3 被 8 整除的余数 012100 1399 为（ ） 试卷第11页，共33页 A ． 4B ． 5C ． 6D ． 7 6 ．某艺术团为期三天公益演出，其表演节目分别为歌唱，民族舞，戏曲，演奏，舞台 剧，爵士舞，要求歌唱与民族舞不得安排在同一天进行，每天至少进行一类节目．则 不同的演出安排方案共有（ ） A ． 720 种 B ． 3168 种 C ． 1296 种 D ． 5040 种 * 83n - 7 nÎN, ( l -a n )( l -b n ) <0 ，则 7 ．已知数列 a n = n - 1 + ,b n = n - 1 ，若对任意的 2n - 12 实数 l 的取值范围是（ ） 118 ö A ． æ ç , ÷ è 25 ø 518 ö B ． æ ç , ÷ è 85 ø 111 ö C ． æ ç , ÷ è 23 ø 511 ö D ． æ ç , ÷ è 83 ø 3 ö 8 ．已知函数 f ( x ) 及其导函数 f ¢ ( x ) 定义域均为 R ，满足 f æ ç + x ÷ - è 2 ø æ 3 ö f ç - x ÷ = 2x ， è 2 ø 记 g(x)=f ¢ (x) 9 ö ¢ g ¢ 3-x ) ，其导函数为 g ( x ) 且 ( 的图象关于原点对称，则 g ¢ ( 9 ) + g æ ç÷ = è 2 ø （ ） A ． 0B ． 3C ． 4D ． 1 二、多选题 9 ．下列命题正确的是（ ） A ．对于事件 A ， B ，若 A Í B ，且 P ( A ) =0.3 ， P ( B ) =0.6 ，则 PBA=1 () B ．若随机变量 x ~N2, d 2 ， P ( x <4 ) =0.84 ，则 P ( 2< x <4 ) =0.16 () C ．相关系数 r 的绝对值越接近 1 ，两个随机变量的线性相关程度越强 D ．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越差 10 ．设等比数列 { a } 的公比为 q ，其前 n 项和为 S n ，前 n 项积为 T n ，并且满足条件 n a 1 > 1,a 6 a 7 > 1, a 6 - 1 < 0 a 7 - 1 ，则下列结论正确的是（ ） 试卷第21页，共33页 A ． q>1 C ． S n 的最大值为 S B ． 0 1 68 D ． T n 的最大值为 T 7 6 11 ．已知函数 f ( x ) =sin2x+3cos2x 的图象向左平移 j ( j >0 ) ）个单位长度后对应的 j ππ gxgx ()() 函数为，若在 [ - ,] 上单调，则的可取（ ） 46 A ． π 12 B ． π 6 C ． π 3 D ． 5π 12 12 ．下列说法正确的是（ ） A ．若事件 M,N 115 互斥， P ( M ) =,P ( N ) = ，则 P ( MÈN ) = 6 23 B ．若事件 M,N 相互独立， P ( M ) = 2 11 ,P ( N ) = ，则P ( MÈN ) = 3 23 1 133 C ．若 P(M)=,P(M∣N)=,P(M∣N)= ，则 P ( N ) = 3 248 1 133 D ．若 P(M)=,P(M∣N)=,P(M∣N)= ，则 P ( N∣M ) = 248 4 三、填空题 v v 13 ．已知平面直角坐标系内的两个向量， a=(1,2) ， b=(m,3m-2) ，且平面内的任一向 v vvv 量 c 都可以唯一的表示成 c= l a+ m b （ l , m 为实数），则 m 的取值范围是 __________ ． i 14 ．已知数列 { a } 的项数为 n ( n Î N * ) ，且 a + a ，则 { a } 的前 n 项 in - i + 1 = C n (i = 1,2, L n) ii 和 S n 为 _______ ． 15 ．在学校国庆文艺晚会上，有三对教师夫妇参加表演节目，要求每人只能参加一个 单项表演节目 . 按节目组节目编排要求，男教师的节目不能相邻，且夫妻教师的节目也 试卷第31页，共33页 不能相邻，则该 6 名教师表演的节目的不同编排顺序共有 ______ 种 . （用数字填写答 案） 16 ．水平桌面上放置了 4 个半径为 2 的小球， 4 个小球的球心构成正方形，且相邻的两 个小球相切 . 若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值 为 _____. 四、解答题 17 ．已知 VABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，面积为 S ，满足 4S= ( a 2 -3b 2 ) sinC ． (1) 证明： sinA=3sinB ； mn c=mb 和 tanA=ntanC 同时成立．若存在，求出， (2) 是否存在正整数 m ， n ，使得 的值，若不存在，说明理由． 18 ．若数列 { A } 满足 A n n + 1 2 ，则称数列 = A n { A n } 为“平方递推数列”．已知数列 { a n } 中， a 1 =9 ，点 ( a n ,a n + 1 ) 在函数 f(x)=x 2 +2x 的图象上，其中 n 为正整数， (1) 证明：数列 { a+ 1 } 是“平方递推数列”，且数列 { lg ( a+1 ) } 为等比数列； n n d=b n *c n a,a £ b, (2) 设 b n = lg ( a n + 1 ) , c n = 2 n+ 4 ，定义 a*b = ì ，且记 n ，求数列 { d n } 的 í î b,a > b, 前 n 项和 S n ． 19 ．如图所示，在三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中，点 D ， E ， F ， G 分别为棱 A 1 B 1 ， AA 1 ， CC 1 ， BB 1 上的点，且 A 1 D=B 1 D ， AE=2A 1 E ， C 1 F=2CF ， BG=2B 1 G . 试卷第41页，共33页 (1) 证明： EF// 平面 CDG ； 1 (2) 若 AA=6 ， BC=2AC=4 ，四边形 BCCB 为矩形，平面 BCC 1 B 1 ^ 平面 ACCA ， 11 11 1 AC^C 1 G ，求平面 C 1 DG 与平面 DEF 所成锐二面角的余弦值 . 20 ．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面 包，该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是 1000g ，上下浮动不超过 50g ，这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为 1000g ，标准差为 50g 的正态分布 . 2 * X (1) 已知如下结论：若 X~N m , s ，从的取值中随机抽取 kk ÎN ,k ³ 2 个数据， () () 2 Y k 记这个数据的平均值为，则随机变量 Y ~ N æ m , s ö . 利用该结论解决下面问题 . ç÷ k øè ①假设面包师的说法是真实的，随机购买 25 个面包，记随机购买 25 个面包的平均值 为 Y ，求 P ( Y<980 ) ； ②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录， 25 天后，得到的数据都落在 ( 950,1050 ) 上并经计算 25 个面包质量的平均值为 978.72g. 庞加莱通过分析举报了该面包师，从概 率角度说明庞加菜举报该面包师的理由； (2) 假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有 6 个面包， 其中黑色面包有 2 个；第二箱中共装有 8 个面包，其中黑色面包有 3 个 . 现随机挑选一 箱，然后从该箱中随机取出 2 个面包 . 求取出黑色面包个数的分布列及数学期望 . 附： 试卷第51页，共33页 ①随机变量 h 服从正态分布 N ( m , s 2 ) ，则 P ( m - s £ h £ m + s ) =0.6827 ， P ( m -2 s £ h £ m +2 s ) =0.9545 ， P ( m -3 s £ h £ m +3 s ) =0.9973 ②通常把发生概率小于 0.05 的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生 π ö 上的函数 f(x)=(x-k)sinx ． 21 ．已知定义在 æ - , +¥ ç÷ è 2 ø y=f(x) ππ 在点 æ ç 2 ,f è (1) 若曲线 æö ö 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 2 ， ç÷ ÷ è 2 ø ø 求 k 的值； (2) 将 f(x) 的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列 { x } ，若 x 1 ,x 2 ,x 3 成等差数列， n 求 k 的值． 22 ．在平面直角坐标系中，已知抛物线 C：x 2 =2py(p>0) 上的点 Q(t,4) 到焦点 F 的距 离的 5. (1) 求抛物线方程及点 Q 的坐标 . (2) 过点 (0,3) 的直线 l 交 C 于 A,B 两点，延长 AF ， BF 分别交抛物线于 M,N 两点 . 令 S V FAB =S 1 ， S V FMN =S 2 ， S V FAN =S 3 ， S V FBM =S 4 ，求 S 1 +S 3 S 4 的最小值 . S 2 试卷第61页，共33页 参考答案： 1 ． B 【分析】解不等式得到 A= { x-2 } ，由对数函数单调性解不等式，得到 B= { xx>-1 } ，求出交集 . 【详解】集合 A= { xx 2 -2x-8<0 } = { x-2 } , 集合 B= { xlg ( x+2 ) >0 } = { xx>-1 } , 所以 AIB= ( -1,4 ) . 故选： B. 2 ． A a=4,b=3 【分析】根据题意求得 4 + 3i ，结合 4 + 3i = ，即可求解 . 5 + 12i5 + 12i 4+3i 5 ，则 a+bi = 4+3i == . 5 + 12i5 + 12i5 + 12i13 【详解】由 a+3i=4+bi ，可得 a=4,b=3 故选： A. 3 ． C 【解析】先求出 tan a + tan b 和 tan a tan b 的值 , 确定 tan a 、 tan b 的符号，进而可以缩小 α 、 β 的围，再根据两角和的正切公式求出 tan( a + b ) 的值求出答案 . 【详解】∵ tan a 与 tan b 是方程 x 2 +33x+4=0 的两个根， ∴ tan a + tan b =-33 ， tan a tan b =4 ∴ tan a <0 ， tan b <0 p ö a + b Î ( p ,2 p ) ， æ p ö ，∴ a Î æ ç , p ÷ , b Î ç , p ÷ ，∴ è 2 øè 2 ø 答案第11页，共22页 ∵ tan( a + b ) = tan a + tan b - 33 a + b Î ( p ,2 p ) === 3 ，又 1 - tan a tan b 1 - 4 4 ∴ a + b = p . 3 故选 : C 【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键： (1) 角的范围的判断； (2) 根据条件进行合理的拆角，如 b = ( a + b ) - a ，2 a = ( a + b ) +( a - b ) 等． 4 ． B 【分析】有题意，根据公式 q = q + ( q - q ) e -0.25t 代入数据得 52 = 12 + ( 92 - 12 ) e -0.25t ，变形、 010 化简即可得出答案 . 【详解】由题意得 q = q 0 + ( q 1 - q 0 ) e -0.25t ，代入数据得 52 = 12 + ( 92 - 12 ) e -0.25t ， t»2.77 1 1 ，即 -0.25t=ln=-ln2»-0.693 ，解得 ； 2 2 整理得 e -0.25t = 所以若空气的温度为 12℃ ，从沏茶开始，大约需要 2.77 分钟饮用口感最佳． 故选： B ． 5 ． B 【分析】根据题意，给自变量 x 赋值，取 x=1 和 x= - 1 ，两个式子相减，得到 2 ( a 1 +a 3 +a 5 +L+a 99 ) 的值，将 2 ( a 1 +a 3 +a 5 +L+a 99 ) -3 构造成一个新的二项式，根据二 项展开式可以看出被 8 整除的结果，得到余数． 【详解】在已知等式中，取 x=1 得 a 0 +a 1 +a 2 +L+a 100 =3 100 ， 取 x= - 1 得 a 0 -a 1 +a 2 -L+a 100 =1 ， 两式相减得 2(a 1 +a 3 +a 5 +La 99 )=3 100 -1 ， 答案第21页，共22页 即 2 ( a+a+a+L+a ) -3=3 100 -4 ， 13599 因为 3 100 -4=9 50 -4= ( 8+1 ) 50 -4 01r10 = C 50 × 8 50 + C 50 × 8 49 +L+ C 50 × 8 50 - r +L+ C 50 × 8 + C 50 - 4 01r1 = C 50 × 8 50 + C 50 × 8 49 +L+ C 50 × 8 50 - r +L+ C 50 × 8 - 3 01r1 = C 50 × 8 50 + C 50 × 8 49 +L+ C 50 × 8 50 - r +L+ C 50 × 8 - 8 + 5,r Î N 因为 C 0 × 8 50 + C 1 × 8 49 +L+ C r × 8 50 - r +L+ C 1 × 8 - 8 能被 8 整除， 50505050 所以 C 0 × 8 50 + C 1 × 8 49 +L+ C r × 8 50 - r +L+ C 1 × 8 - 8 + 5 被 8 整除的余数为 5 ， 50505050 即 2 ( a+a+a+L+a ) -3 被 8 整除的余数为 5 ， 13599 故选： B. 6 ． D 【分析】根据每天演出项目的数量进行分类讨论，由此求得不同的演出安排方法数． 【详解】①若三天演出项目数量为 2,2,2 ， 所有的安排方法数为 C 2 C 2 C 2 ´(A 2 ) 3 种， 6422 歌唱与民族舞安排在同一天进行有 3´C 2 C 2 ´(A 2 ) 3 种， 422 则三天演出项目数量为 2,2,2 的安排方法数为： C 2 C 2 C 2 ´(A 2 ) 3 -3´C 2 C 2 ´(A 2 ) 3 =576 ； 6422422 ②若三天演出项目数量为 3,2,1 ， 所有的安排方法数为 C 3 C 2 C 1 ´A 3 ´(A 3 ´A 2 ) 种， 631332 歌唱与民族舞安排在第一天进行有 C 1 C 2 C 1 ´A 3 ´(A 3 ´A 2 ) 种， 431332 歌唱与民族舞安排在第二天进行有 C 3 C 1 ´A 3 ´(A 3 ´A 2 ) 种， 41332 答案第31页，共22页 则三天演出项目数量为 3,2,1 的安排方法数为： 21332 ； C 3 6 C 3 C 1 ´A 3 ´(A 3 ´A 2 )-C 4 C 3 C 1 ´A 3 ´(A 3 ´A 2 )-C 4 C 1 ´A 3 ´(A 3 ´A 2 )=3168 ③若三天演出项目数量为 4,1,1 ， 所有的安排方法数为 C 4 ´A 3 ´(A 4 ) ， 634 歌唱与民族舞安排在第一天进行有 C 2 ´A 3 ´(A 4 ) 种， 434 则三天演出项目数量为 4,1,1 的安排方法数为： C 4 ´A 3 ´(A 4 )-C 2 ´A 3 ´(A 4 )=1296 ； 634434 综上所述，不同的演出安排方案共有 576+3168+1296=5040 种， 故选： D ． 7 ． B 【分析】求出 a n ,b n 的最值，由不等式恒成立，求出实数 l 的取值范围 . 【详解】当 a n > a n + 1 * 88 n£2 nÎN ，有 n - 1 +> n +，由，解得； 2n - 12n + 1 当 a n < a n + 1 * n³3 88 nÎN ，有 n - 1 + ，由，解得， < n + 2n - 12n + 1 a 2 = 1118 a>a 3 18 a ， a 3 = ， 2 ，所以 n 的最小值为 a 3 = . 355 当 b n > b n + 1 * n³4 3n - 73n - 4 nÎN ，有 n - 1 > ，由，解得； 22 n 当 b n < b n + 1 ，有 3n - 73n - 4 nÎN * ，解得 n£3 ，，由 < 2 n - 1 2 n b 4 = 51 b>b 5 b ， b 3 = ， 43 ，所以 n 的最大值为 b 4 = . 828 答案第41页，共22页 所以 a n 的最小值大于 b n 的最大值，即 a n >b n 恒成立， 所以 ( l -a n )( l -b n ) < 0 解得 b n < l n ，对任意的 nÎN * ， b n < l n 恒成立，则有 b 4 < l 3 l 518 ö . ，即实数的取值范围是 æ ç , ÷ è 85 ø 故选： B 8 ． D g ¢ (x) 【分析】根据题设知关于 (3,0) ¢ g ¢ (9) 3 g 、 x= 对称且 (3) = 0 ，即可求，再由已知有 2 g(x) x=3 9 3 关于 (,1) 、对称，求 g() ，即可得解 . 2 2 【详解】由 g ¢ ( 3-x ) 关于原点对称，则 g(3-x) 关于 y 轴对称，且 g ¢ ( 3-x ) =-g ¢ ( 3+x ) ， 所以 g(x) 关于 x=3 对称， g ¢ (x) 关于 (3,0) 对称，且 g ¢ (3) = 0 ， g(x) 3 3 öæ 3 öæ 3 öæ 3 ö 又 f ¢ æ ，即，则关于 (,1) 对称， ¢ + x + f - x = 2g + x + g - x = 2 ç÷ç÷ç÷ç÷ 2 2222 èøèø èøèø 综上， g(6-x)=g(x) ， g(3-x)+g(x)=2 ，则 g(6-x)+g(3-x)=2 ， 339339 所以 g(6-)+g(3-)=g()+g()=2 ，而 g()=1 ，故 g()=1 ， 222222 又 g ¢ (x)-g ¢ (3-x)=0 ，则 g ¢ (x) 关于 x= g ¢ (3-x)=g ¢ (x) 3 对称，即 ， 2 所以 g ¢ ( x ) =-g ¢ ( x+3 ) ，则 g ¢ ( 9 ) =-g ¢ ( 6 ) =g ¢ ( 3 ) =0 ， 9 ö . 所以 g ¢ ( 9 ) + g æ ç÷ = 1 è 2 ø 答案第51页，共22页 故选： D 9 ． ACD 【分析】根据统计学和概率论的相关定义逐项分析 . 【详解】对于 A ，由于 A Í B ，即 A 发生必定有 B 发生，根据条件概率的定义 P ( B|A ) =1 ， 正确； 对于 B ，根据正态分布密度函数的性质知 P ( x ＞＜＜＞4 ) =1-P ( x 4 ) =0.16,P ( x 0 ) =P ( x 4 ) =0.16 ， P ( 0＜＜ x 4 ) = 0.34 ，错误； 2 P ( 0 ＜＜＜＜ x 4 ) = 1 - 0.16 ´ 2 = 0.68,P ( 2 x 4 ) = 对于 C ，根据相关系数的性质知： r 约接近于 1 ，表示线性相关程度越强，正确； 对于 D ，残差点分布的带状区域越宽说明线性回归时的误差越大，即回归效果越差，正确； 故选： ACD. 10 ． BD 【分析】讨论 q<0 与 q³1 不成立可判断 A ；利用等比数列的下标和性质可判断 B ；根据 S n 单调递增可判断 C ；根据 a n 的取值可判断 D. 【详解】若 q<0 ，则 a 6 <0 ， a 7 >0 ， 所以 a 6 a 7 <0 ，与 a 6 a 7 >1 矛盾； 若 q³1 ，则因为 a 1 >1 ， 所以 a 6 >1 ， a 7 >1 ， a 6 - 1a - 1 > 0 ，与 6 < 0 矛盾， a 7 - 1 a 7 - 1 则 因此 0 ， 答案第61页，共22页 所以 A 不正确． a 6 - 1 < 0 ， a 7 - 1 因为 所以 a 6 >1>a 7 >0 ， 因此 aa=a 2 Î ( 0,1 ) ， 687 故 B 正确． 因为 a n >0 ， 所以 S n 单调递增，即 S n 的最大值不为 S 7 ， 故 C 错误． 因为当 n³7 时， aÎ ( 0,1 ) ，当 1£n£6 时， aÎ ( 1, +¥ ) ， n n 所以 T n 的最大值为 T 6 ， 即 D 正确． 故选： BD. 11 ． CD 【分析】利用辅助角公式化简函数 f(x) 并求出 g(x) ，再借助函数 g(x) 的单调区间列式求解 作答 . π 【详解】依题意， f(x)=2sin(2x+) ，于是 g(x)=f(x+ j )=2sin(2x+2 j +) ， 3 3 π ππ2π ππ 当 xÎ[-,] 时， (2x+2 j +)Î[2 j -,2 j +] ， 363 46 当 g(x) πππ2πππ 在 [ - ,] 上单调递增时， [2 j -,2 j +]Í[-+2π,k+2π],k 466322 kZÎ ， 答案第71页，共22页 j k ππ ππ ì -+kππ,£ j £Z-+kkÎ 2 j -³-+ 2πk ï 612 ï 62 ,k Î Z ，解得即 í ，不存在整数使得取得 2ππ ï 2 j +£+ 2πk ï 32 î ABCD 选项中的值； 当 g(x) πππ2ππ3π 在 [ - ,] 上单调递减时， [2 j -,2 j +]Í[+2π,k+2π],k 466322 kZÎ ， π5π ππ ì +kππ,£ j £Z+kkÎ 2 j -³+ 2πk ï 312 ï 62 ,k Î Z ，解得即 í ， 2π3π ï 2 j +£+ 2πk ï 32 î j k π5π ， CD 符合，不存在整数使得取得 AB 选项中的值 . £ j £ 312 当 k=1 时， 故选： CD 12 ． ABC 【分析】根据互斥事件的概率加法公式判断 A ；根据独立事件的乘法公式判断 B ；根据条 件概率以及全概率公式可判断 C,D . 【详解】对于 A ： P ( MÈN ) =P ( M ) +P ( N ) = 5 ，正确； 6 对于 B ： P ( MUN ) =P ( M ) +P ( N ) -P ( MIN ) = 11112 +-´= ，正确； 23233 对于 C ： P(M ∣ N) = P(MN)3P(MN)1 - P(M) - P(N) + P(MN)3 = ,P(M ∣ N) === ， P(N)4P(N)1 - P(N)8 P(N)=P(MN)+P(MN)=P(MN)+ 31 P(N),P(MN)=P(N) ， 44 答案第81页，共22页