2024年4月5日发(作者：殳胜)
广西邕衡金卷2023届高三第三次适应性考试数学（理）
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
x
AÈB=
1
．已知
A=
{
x-1 } ， B=yy=2 ，则（ ） {} A ． [ -1,+¥ ) B ． ( -1,+¥ ) C ． ( -¥,-1 ) D ． ( -¥,-1 ] 2 ．已知复数 z=a+bi （ a,bÎR ， i 为虚数单位），且 1+ai= ( 1+bi ) i ，则 z 在复平面内 对应点所在象限为（ ） A ．第一象限 3 ．已知 X 的分布列为 X ﹣ 1 P 1 2 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 01 1 3 1 6 7 ，则 a 为（ ） 3 且 Y ＝ aX+3 ， E （ Y ） = A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 4 ．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说 学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把 ( 1+1% ) 365 看 作是每天的“进步”率都是 1% ，一年后是 1.01 365 »37.7834 ；而把 ( 1-1% ) 365 看作是每天 “退步”率都是 1% ，一年后是 0.99 365 »0.0255 ；这样，一年后的“进步值”是“退步 365 1.01 值”的 » 1481 倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的 2 倍，大约经过 365 0.99 试卷第11页，共33页 （ ）天．（参考数据： lg101»2.0043 ， lg99»1.9956 ， lg2»0.3010 ） A ． 9B ． 15C ． 25D ． 35 5 ．抛物线 y 2 =2x 的焦点为 F ，点 A ( 1,1 ) ， P 为抛物线上的动点，则 PA+PF 的最小 值为（ ） 3 2 D ． 5 2 A ． B ． 3C ． 2 rrrrrr r r rr k= j a=2i+3j 6 ．已知 i 和是两个正交单位向量，， b=i+kj 且 a-b=2 ，则 （ ） A ． 2 或 3B ． 2 或 4C ． 3 或 5D ． 3 或 4 7 ．在 VABC 中，若 sinC=3sinA ， b 2 =2ac ，则 cosB= （ ） 1 3 A ． B ． 1 4 C ． 2 3 D ． 3 4 8 ．现有几何体 Ω ，当它内部被挖去另一个几何体时的三视图如下，则 Ω 的体积等于（ ） A ． 323π B ． 256π 3 C ． 64π D ． 64π 3 9 ．已知 sin a -3cos a =0 ，则 3sin a ×cos a = （ ） A ． 9 10 B ． - 9 10 C ． 10 9 D ． - 10 9 试卷第21页，共33页 10 ．已知直线 l:mx+ ( 5-2m ) y-2=0 ( mÎR ) 和圆 O:x 2 +y 2 =4 ，则圆心 O 到直线 l 的 距离的最大值为（ ） 6 5 A ． B ． 25 5 C ． 23 3 D ． 3 2 22 11 ．已知双曲线 C ： x - y = 1 ( a > 0,b > 0 ) ， O 为坐标原点，过 C 的右焦点 F 作 C 的 a 2 b 2 一条渐近线的平行线交 C 的另一条渐近线于点 Q ，若 tanÐOQF=- 为（ ） A ． 6 C ． 10 3 ，则 C 的离心率 4 B ． 3D ． 10 3 12 ．已知 a= b=2ln1.3 c=0.8 2 ，，则 a ， b ， c 的大小关系为（ ） e ， 3 B ． c C ． b D ． A ． c b 二、填空题 1 ì x - y + 2 ³ 0 z=2x+y+ 13 ．若实数 x ， y 满足约束条件 ï x - 3y + 3 £ 0 ，则 2 的最大值为 ______ ． í ï x + y - 3 £ 0 î 14 ．若 (1-3x) 2023 a 2023 =a 0 +a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 +L+a 2023 x 2023 (xÎR) ，那么 a 1 a 2 + 2 +L+ 2023 333 的值为 _________ ． 15 ．如图，有一半径为单位长度的球内切于圆锥，则当圆锥的侧面积取到最小值时， 它的高为 ______ ． 试卷第31页，共33页 16 ．关于函数 f ( x ) =tanx-3sinx 有如下四个命题： ① f ( x ) 的一个周期是 π ； ② f ( x ) 的对称中心是 ( kπ,0 )( kÎZ ) ； æ π ö ③ f ( x ) 在 ç 0, ÷ 上的最小值是 1 - 32 ； è 2 ø 2 ④ f ( x ) 在 ( 0,2π ) 内的所有零点之和为 3π ． 其中所有真命题的序号是 ______ ． 三、解答题 17 ．已知数列 { a } 的首项为 2 ， a>0 且满足 a 2 - aa - 2a 2 = 0 （ n³2 且 nÎN * ）， n nnn - 1n - 1 n b n =log 2 a n ． (1) 求 { a } 的通项公式； n (2) 设 c n = log 2 b n + 1 S ，求 { c n } 的前 n 项和 n ． b n 18 ．为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征 程”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了 100 名，统计出他们竞赛成 绩分布如下： 成绩（分） 人数 [80,90 [40,50)[50,6[60,70[70,80 [90,10 242240284 (1) 求抽取的 100 名学生竞赛成绩的方差 s 2 （同一组中数据用该组区间的中点值为代 试卷第41页，共33页 表）； (2) 以频率估计概率，发现我校参赛学生竞赛成绩 X 近似地服从正态分布 N m , s 2 ，其 () 中 m 近似为样本平均分 x ， s 2 近似为样本方差 s 2 ，若 m - s m +2 s ，参赛学生可 获得“参赛纪念证书？”；若 X> m +2 s ，参赛学生可获得“参赛先锋证书” . ①若我校有 3000 名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数 （结果保留整数）； ②试判断竞赛成绩为 96 分的学生能否获得“参赛先锋证书” . 2 X~N m , s () ，则 P( m - s m + s )»0.6827 ，附：若 P( m -2 s m +2 s )»0.9545 ， P( m -3 s m +3 s )»0.9973 ；抽取的这 100 名学 生竞赛成绩的平均分 x=75 . 19 ．如图，在多面体 ABCDE 中，平面 ACD^ 平面 ABC ， BE^ 平面 ABC ， VABC 和 VACD 均为正三角形， AC=2，BE=3 ，点 M 为线段 CD 上一点． (1) 求证： DE^AM ； (2) 若 EM 与平面 ACD 所成角为 π ，求平面 AMB 与平面 ACD 所成锐二面角的余弦值． 3 20 ．已知抛物线 C ： x 2 =2py ( p>0 ) ，圆 C ： x 2 +y-3 2 =1 ，点 F 为抛物线的焦点， 2 1 () 试卷第51页，共33页 7p 点 A 为抛物线上的一点， AF=1 ，且点 A 的纵坐标为． 2 (1) 求抛物线 C 的方程； 1 (2) 点 P （不是原点）是 C 上的一点，过点 P 作 C 的两条切线分别交 C 于 M ， N 两点 2 11 （异于点 P ）， E 为线段 MN 中点．若 PE^MN ，求点 P 的坐标． 21 ．已知函数 f(x)=e x -xlnx+x 2 -ax ( aÎR ) ． (1) 若 a=1 ，求 y=f ( x ) 在 x=1 处的切线方程； (2) 若 f ( x ) 有两个不同零点 x ， x 证明： f ( xx ) > ( e+1-a ) xx ． 1212 1 2 22 ．在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为 ì x = t - t （ t 为参数，且 í 2 î y =- 2 + t + t 曲线 C 与 x 轴交于 A 点，与 y 轴交于 B 点． (1) 求 AB ； (2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求以线段 AB 为直径的圆 M 的 极坐标方程． 23 ．已知 a ， b 均为正实数，且 2a 2 +b 2 =6 ，证明： (1) 2a+b£32 ； 2 t¹1 ）， (2) 2 + 1 ³ 32 ． ab2 试卷第61页，共33页 参考答案： 1 ． B 【分析】根据指数函数的图象与性质，求得集合 B= { yy>0 } ，结合集合并集的运算，即 可求解 . x 【详解】由题意，集合 B=yy=2= { yy>0 } ， {} 又因为 A= { x-1 } ，可得 AUB= ( -1,+¥ ) ． 故选： B ． 2 ． D 【分析】根据复数的乘法计算和复数的相等即可求解 . 【详解】 1+ai= ( 1+bi ) i ， 所以 1+ai=-b+i ， 由复数相等得 a=1，b=-1 ， z=a+bi 在复平面对应点坐标 ( 1,-1 ) 在第四象限， 故选： D ． 3 ． B 【分析】利用期望的计算公式，计算出 EX ，再由期望的性质， Y ＝ aX+3 ， E(Y)=aE(X)+3 求出 a 即可． E(X)= 【详解】先求出 1 1 11 （﹣ 1 ） ´+ 0 ´+ 1 ´=- ． 3 263 再由 Y ＝ aX+3 得 E(Y)=aE(X)+3 ． ∴ 7 1 = a （ - ） +3 ，解得 a ＝ 2 ． 3 3 故选： B ． 答案第11页，共22页 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望及期望的性质，考查了基本运算的能力，属 于基础题． 4 ． D 【分析】设经过 x 天“进步”的值是“退步”的值的 2 倍，则 æ 1.01 ö = 2 ，然后利用对数 ç÷ è 0.99 ø x 的运算和题目所给的数据求出 x 的值即可 . x 【详解】设经过 x 天“进步”的值是“退步”的值的 2 倍，则 æ 1.01 ö = 2 ， ç÷ è 0.99 ø ∴ x=log 1.01 2= 0.98 lg2lg2lg20.30100.3010 ==»=»35 1.01101 lg101 - lg992.0043 - 1.99560.0087 ， lglg 0.9999 故选： D ． 5 ． A 【分析】利用抛物线定义，结合图形可解 . 【详解】如图，过点 P 作 PH 垂直于准线，垂直为 H ， 根据抛物线的定义 PF=PH ，所以当 A ， P ， H 三点共线时 PA+PF 最小， 此时 PA+PF=x A + 故选： A ． p13 =1+= . 222 6 ． B r rr r 【分析】根据题意得到 a=(2,3) ， b= ( 1,k ) ，求得 a-b= ( 1,3-k ) ，集合向量模的计算公式， 答案第21页，共22页 列出方程，即可求解 . rrr rrr r r 【详解】因为 i 和 j 是正交单位向量， a=2i+3j=(2,3) ， b=i+kj= ( 1,k ) ， rr rr 2 k=2 k=4 a-b=1,3-k () . a 可得，所以 -b=1+ ( 3-k ) =2 ，解得或 故选： B ． 7 ． C 【分析】根据题意，结合正弦定理求得 c=3a ，再由余弦定理，即可求解 . 【详解】因为 sinC=3sinA ，由正弦定理可得 c=3a ，且 b 2 =2ac ， 222222 a + c - ba + 9a - 6a2 . 由余弦定理可得： cosB === 2ac6a 2 3 故选： C ． 8 ． B 【分析】本题实质上是求圆锥外接球的体积，根据公式 球的体积公式可得 . 【详解】由题意可知，该几何体是球体被挖去一个圆锥，圆锥底面半径为 43 = 23 ，高 2 为 6 ， 2 设球的半径为 R ，可得 R=23 R 2 =r 2 +d 2 得球的半径 R ，再根据 () 2 + ( 6-R ) ，解得 R=4 ， 2 所以体积为 V Ω = 故选： B 9 ． A 4256π ´π´R 3 =． 33 【分析】先求 tan a ，再将目标式化为齐次式求解即可 . 答案第31页，共22页 【详解】由已知得： tan a =3 ，所以 3sin a × cos a = 3sin a × cos a 3tan a 9 . == sin 2 a + cos 2 a 1 + tan 2 a 10 故选： A 10 ． B m(x-2y)+5y-2=0 l 42 ，求得直线过定点 P(,) ，结合圆的几何 55 【分析】把直线方程化为 性质，即可求解 . 【详解】由题意，直线 mx+ ( 5-2m ) y-2=0 可化为 m(x-2y)+5y-2=0 ， l 42 42 x - 2y = 0 P(,) ， 联立方程组 ì ，解得 ，即直线 过定点 x=,y= í 55 55 î 5y - 2 = 0 22 又由 æ 4 ö + æ 2 ö < 4 ，可得定点在圆内， ç÷ç÷ è 5 øè 5 ø 22 P 由圆的几何性质知，圆心到直线的距离 25 ． æ 4 öæ 2 ö d £ |OP| = ç÷ + ç÷ = 5 è 5 øè 5 ø 故选： B. 11 ． D 【分析】结合图形可得 ÐOQF=π2- a ，利用诱导公式和二倍角公式求得 tan a ，然后由公 æ b ö 式 e = 1 + ç÷ 可得 . è a ø 2 a ÐOQF=π2- a b 【详解】设渐近线 y = x 的倾斜角为，则， a tanÐOQF=tanπ2=-2 ( - a ) tan 3 2tan a 3 a =-，则 = ， 2 4 4 1 - tan a 答案第41页，共22页 解得 tan a =-3 （舍去）或 tan a = 1 ， 3 ∴ 2 b1 10 . æ b ö = ，∴ e = 1 + ç÷ = a3 3 è a ø 故选： D ． 12 ． C a>c 4 1 【分析】由指数幂的运算性质得到 a 2 =´e>0.8，得到 ，构造函数 f ( x ) =lnx-x ， e 9 2 1 fx fx£fe=0 x () ()() 利用导数取得函数得到单调性，得到，得到 lnx£x ，结合 >0 ， e 得到 2lnx £ 1 2 x ，即可求解 . e a>c 【详解】由指数幂的运算公式，可得 a 2 = æ 2 e ö = 4 ´ e > 0.8 ，所以 ç÷ 9 è 3 ø x>0 111 构造函数 f ( x ) =lnx-x ，其中 ，则 f ¢ ( x ) =- ， exe 2 ， 当 0 时， f ¢ ( x ) > 0 ；当 x>e 时， f ¢ ( x ) <0 ， 1 所以函数 f ( x ) =lnx-x 在 ( 0,e ) 上单调递增，在 ( e,+¥ ) 上单调递减， e 答案第51页，共22页 x=e 1 故 f ( x ) £f ( e ) =lne-1=0 ，故 lnx£x ，当且仅当 时取等号， e 2 1 1 11 2 x 由于 >0 ，则 lnx 2 £x 2 ，则 2lnx£x 2 ，所以 2ln1.3 < ( 1.3 ) =´ 1.69 < 0.8 ，所以 ee ee b ，所以 b . 故选： C. 13 ． 5 1 l =0 ，平移直线 0 确定最优解，然后可得 . 2 【分析】先作可行域，再作直线 l 0 :2x+y+ 【详解】根据题意作可行域如图， z 1 l 0 l 作直线 l 0 :2x+y+=0 ，由图可知，平移直线 到位置，即过点 A 时，取得最大值 . 2 x - 3y + 3 = 0 33 ö 解方程组 ì 得 A æ í ç , ÷ ， è 22 ø î x + y - 3 = 0 1331 ，得 z=2´++=5 . 222 2 代入 z=2x+y+ 故答案为： 5 14 ． -1 答案第61页，共22页 2024年4月5日发(作者：殳胜) 广西邕衡金卷2023届高三第三次适应性考试数学（理） 试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 x AÈB= 1 ．已知 A= { x-1 } ， B=yy=2 ，则（ ） {} A ． [ -1,+¥ ) B ． ( -1,+¥ ) C ． ( -¥,-1 ) D ． ( -¥,-1 ] 2 ．已知复数 z=a+bi （ a,bÎR ， i 为虚数单位），且 1+ai= ( 1+bi ) i ，则 z 在复平面内 对应点所在象限为（ ） A ．第一象限 3 ．已知 X 的分布列为 X ﹣ 1 P 1 2 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 01 1 3 1 6 7 ，则 a 为（ ） 3 且 Y ＝ aX+3 ， E （ Y ） = A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 4 ．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说 学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把 ( 1+1% ) 365 看 作是每天的“进步”率都是 1% ，一年后是 1.01 365 »37.7834 ；而把 ( 1-1% ) 365 看作是每天 “退步”率都是 1% ，一年后是 0.99 365 »0.0255 ；这样，一年后的“进步值”是“退步 365 1.01 值”的 » 1481 倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的 2 倍，大约经过 365 0.99 试卷第11页，共33页 （ ）天．（参考数据： lg101»2.0043 ， lg99»1.9956 ， lg2»0.3010 ） A ． 9B ． 15C ． 25D ． 35 5 ．抛物线 y 2 =2x 的焦点为 F ，点 A ( 1,1 ) ， P 为抛物线上的动点，则 PA+PF 的最小 值为（ ） 3 2 D ． 5 2 A ． B ． 3C ． 2 rrrrrr r r rr k= j a=2i+3j 6 ．已知 i 和是两个正交单位向量，， b=i+kj 且 a-b=2 ，则 （ ） A ． 2 或 3B ． 2 或 4C ． 3 或 5D ． 3 或 4 7 ．在 VABC 中，若 sinC=3sinA ， b 2 =2ac ，则 cosB= （ ） 1 3 A ． B ． 1 4 C ． 2 3 D ． 3 4 8 ．现有几何体 Ω ，当它内部被挖去另一个几何体时的三视图如下，则 Ω 的体积等于（ ） A ． 323π B ． 256π 3 C ． 64π D ． 64π 3 9 ．已知 sin a -3cos a =0 ，则 3sin a ×cos a = （ ） A ． 9 10 B ． - 9 10 C ． 10 9 D ． - 10 9 试卷第21页，共33页 10 ．已知直线 l:mx+ ( 5-2m ) y-2=0 ( mÎR ) 和圆 O:x 2 +y 2 =4 ，则圆心 O 到直线 l 的 距离的最大值为（ ） 6 5 A ． B ． 25 5 C ． 23 3 D ． 3 2 22 11 ．已知双曲线 C ： x - y = 1 ( a > 0,b > 0 ) ， O 为坐标原点，过 C 的右焦点 F 作 C 的 a 2 b 2 一条渐近线的平行线交 C 的另一条渐近线于点 Q ，若 tanÐOQF=- 为（ ） A ． 6 C ． 10 3 ，则 C 的离心率 4 B ． 3D ． 10 3 12 ．已知 a= b=2ln1.3 c=0.8 2 ，，则 a ， b ， c 的大小关系为（ ） e ， 3 B ． c C ． b D ． A ． c b 二、填空题 1 ì x - y + 2 ³ 0 z=2x+y+ 13 ．若实数 x ， y 满足约束条件 ï x - 3y + 3 £ 0 ，则 2 的最大值为 ______ ． í ï x + y - 3 £ 0 î 14 ．若 (1-3x) 2023 a 2023 =a 0 +a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 +L+a 2023 x 2023 (xÎR) ，那么 a 1 a 2 + 2 +L+ 2023 333 的值为 _________ ． 15 ．如图，有一半径为单位长度的球内切于圆锥，则当圆锥的侧面积取到最小值时， 它的高为 ______ ． 试卷第31页，共33页 16 ．关于函数 f ( x ) =tanx-3sinx 有如下四个命题： ① f ( x ) 的一个周期是 π ； ② f ( x ) 的对称中心是 ( kπ,0 )( kÎZ ) ； æ π ö ③ f ( x ) 在 ç 0, ÷ 上的最小值是 1 - 32 ； è 2 ø 2 ④ f ( x ) 在 ( 0,2π ) 内的所有零点之和为 3π ． 其中所有真命题的序号是 ______ ． 三、解答题 17 ．已知数列 { a } 的首项为 2 ， a>0 且满足 a 2 - aa - 2a 2 = 0 （ n³2 且 nÎN * ）， n nnn - 1n - 1 n b n =log 2 a n ． (1) 求 { a } 的通项公式； n (2) 设 c n = log 2 b n + 1 S ，求 { c n } 的前 n 项和 n ． b n 18 ．为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征 程”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了 100 名，统计出他们竞赛成 绩分布如下： 成绩（分） 人数 [80,90 [40,50)[50,6[60,70[70,80 [90,10 242240284 (1) 求抽取的 100 名学生竞赛成绩的方差 s 2 （同一组中数据用该组区间的中点值为代 试卷第41页，共33页 表）； (2) 以频率估计概率，发现我校参赛学生竞赛成绩 X 近似地服从正态分布 N m , s 2 ，其 () 中 m 近似为样本平均分 x ， s 2 近似为样本方差 s 2 ，若 m - s m +2 s ，参赛学生可 获得“参赛纪念证书？”；若 X> m +2 s ，参赛学生可获得“参赛先锋证书” . ①若我校有 3000 名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数 （结果保留整数）； ②试判断竞赛成绩为 96 分的学生能否获得“参赛先锋证书” . 2 X~N m , s () ，则 P( m - s m + s )»0.6827 ，附：若 P( m -2 s m +2 s )»0.9545 ， P( m -3 s m +3 s )»0.9973 ；抽取的这 100 名学 生竞赛成绩的平均分 x=75 . 19 ．如图，在多面体 ABCDE 中，平面 ACD^ 平面 ABC ， BE^ 平面 ABC ， VABC 和 VACD 均为正三角形， AC=2，BE=3 ，点 M 为线段 CD 上一点． (1) 求证： DE^AM ； (2) 若 EM 与平面 ACD 所成角为 π ，求平面 AMB 与平面 ACD 所成锐二面角的余弦值． 3 20 ．已知抛物线 C ： x 2 =2py ( p>0 ) ，圆 C ： x 2 +y-3 2 =1 ，点 F 为抛物线的焦点， 2 1 () 试卷第51页，共33页 7p 点 A 为抛物线上的一点， AF=1 ，且点 A 的纵坐标为． 2 (1) 求抛物线 C 的方程； 1 (2) 点 P （不是原点）是 C 上的一点，过点 P 作 C 的两条切线分别交 C 于 M ， N 两点 2 11 （异于点 P ）， E 为线段 MN 中点．若 PE^MN ，求点 P 的坐标． 21 ．已知函数 f(x)=e x -xlnx+x 2 -ax ( aÎR ) ． (1) 若 a=1 ，求 y=f ( x ) 在 x=1 处的切线方程； (2) 若 f ( x ) 有两个不同零点 x ， x 证明： f ( xx ) > ( e+1-a ) xx ． 1212 1 2 22 ．在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为 ì x = t - t （ t 为参数，且 í 2 î y =- 2 + t + t 曲线 C 与 x 轴交于 A 点，与 y 轴交于 B 点． (1) 求 AB ； (2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求以线段 AB 为直径的圆 M 的 极坐标方程． 23 ．已知 a ， b 均为正实数，且 2a 2 +b 2 =6 ，证明： (1) 2a+b£32 ； 2 t¹1 ）， (2) 2 + 1 ³ 32 ． ab2 试卷第61页，共33页 参考答案： 1 ． B 【分析】根据指数函数的图象与性质，求得集合 B= { yy>0 } ，结合集合并集的运算，即 可求解 . x 【详解】由题意，集合 B=yy=2= { yy>0 } ， {} 又因为 A= { x-1 } ，可得 AUB= ( -1,+¥ ) ． 故选： B ． 2 ． D 【分析】根据复数的乘法计算和复数的相等即可求解 . 【详解】 1+ai= ( 1+bi ) i ， 所以 1+ai=-b+i ， 由复数相等得 a=1，b=-1 ， z=a+bi 在复平面对应点坐标 ( 1,-1 ) 在第四象限， 故选： D ． 3 ． B 【分析】利用期望的计算公式，计算出 EX ，再由期望的性质， Y ＝ aX+3 ， E(Y)=aE(X)+3 求出 a 即可． E(X)= 【详解】先求出 1 1 11 （﹣ 1 ） ´+ 0 ´+ 1 ´=- ． 3 263 再由 Y ＝ aX+3 得 E(Y)=aE(X)+3 ． ∴ 7 1 = a （ - ） +3 ，解得 a ＝ 2 ． 3 3 故选： B ． 答案第11页，共22页 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望及期望的性质，考查了基本运算的能力，属 于基础题． 4 ． D 【分析】设经过 x 天“进步”的值是“退步”的值的 2 倍，则 æ 1.01 ö = 2 ，然后利用对数 ç÷ è 0.99 ø x 的运算和题目所给的数据求出 x 的值即可 . x 【详解】设经过 x 天“进步”的值是“退步”的值的 2 倍，则 æ 1.01 ö = 2 ， ç÷ è 0.99 ø ∴ x=log 1.01 2= 0.98 lg2lg2lg20.30100.3010 ==»=»35 1.01101 lg101 - lg992.0043 - 1.99560.0087 ， lglg 0.9999 故选： D ． 5 ． A 【分析】利用抛物线定义，结合图形可解 . 【详解】如图，过点 P 作 PH 垂直于准线，垂直为 H ， 根据抛物线的定义 PF=PH ，所以当 A ， P ， H 三点共线时 PA+PF 最小， 此时 PA+PF=x A + 故选： A ． p13 =1+= . 222 6 ． B r rr r 【分析】根据题意得到 a=(2,3) ， b= ( 1,k ) ，求得 a-b= ( 1,3-k ) ，集合向量模的计算公式， 答案第21页，共22页 列出方程，即可求解 . rrr rrr r r 【详解】因为 i 和 j 是正交单位向量， a=2i+3j=(2,3) ， b=i+kj= ( 1,k ) ， rr rr 2 k=2 k=4 a-b=1,3-k () . a 可得，所以 -b=1+ ( 3-k ) =2 ，解得或 故选： B ． 7 ． C 【分析】根据题意，结合正弦定理求得 c=3a ，再由余弦定理，即可求解 . 【详解】因为 sinC=3sinA ，由正弦定理可得 c=3a ，且 b 2 =2ac ， 222222 a + c - ba + 9a - 6a2 . 由余弦定理可得： cosB === 2ac6a 2 3 故选： C ． 8 ． B 【分析】本题实质上是求圆锥外接球的体积，根据公式 球的体积公式可得 . 【详解】由题意可知，该几何体是球体被挖去一个圆锥，圆锥底面半径为 43 = 23 ，高 2 为 6 ， 2 设球的半径为 R ，可得 R=23 R 2 =r 2 +d 2 得球的半径 R ，再根据 () 2 + ( 6-R ) ，解得 R=4 ， 2 所以体积为 V Ω = 故选： B 9 ． A 4256π ´π´R 3 =． 33 【分析】先求 tan a ，再将目标式化为齐次式求解即可 . 答案第31页，共22页 【详解】由已知得： tan a =3 ，所以 3sin a × cos a = 3sin a × cos a 3tan a 9 . == sin 2 a + cos 2 a 1 + tan 2 a 10 故选： A 10 ． B m(x-2y)+5y-2=0 l 42 ，求得直线过定点 P(,) ，结合圆的几何 55 【分析】把直线方程化为 性质，即可求解 . 【详解】由题意，直线 mx+ ( 5-2m ) y-2=0 可化为 m(x-2y)+5y-2=0 ， l 42 42 x - 2y = 0 P(,) ， 联立方程组 ì ，解得 ，即直线 过定点 x=,y= í 55 55 î 5y - 2 = 0 22 又由 æ 4 ö + æ 2 ö < 4 ，可得定点在圆内， ç÷ç÷ è 5 øè 5 ø 22 P 由圆的几何性质知，圆心到直线的距离 25 ． æ 4 öæ 2 ö d £ |OP| = ç÷ + ç÷ = 5 è 5 øè 5 ø 故选： B. 11 ． D 【分析】结合图形可得 ÐOQF=π2- a ，利用诱导公式和二倍角公式求得 tan a ，然后由公 æ b ö 式 e = 1 + ç÷ 可得 . è a ø 2 a ÐOQF=π2- a b 【详解】设渐近线 y = x 的倾斜角为，则， a tanÐOQF=tanπ2=-2 ( - a ) tan 3 2tan a 3 a =-，则 = ， 2 4 4 1 - tan a 答案第41页，共22页 解得 tan a =-3 （舍去）或 tan a = 1 ， 3 ∴ 2 b1 10 . æ b ö = ，∴ e = 1 + ç÷ = a3 3 è a ø 故选： D ． 12 ． C a>c 4 1 【分析】由指数幂的运算性质得到 a 2 =´e>0.8，得到 ，构造函数 f ( x ) =lnx-x ， e 9 2 1 fx fx£fe=0 x () ()() 利用导数取得函数得到单调性，得到，得到 lnx£x ，结合 >0 ， e 得到 2lnx £ 1 2 x ，即可求解 . e a>c 【详解】由指数幂的运算公式，可得 a 2 = æ 2 e ö = 4 ´ e > 0.8 ，所以 ç÷ 9 è 3 ø x>0 111 构造函数 f ( x ) =lnx-x ，其中 ，则 f ¢ ( x ) =- ， exe 2 ， 当 0 时， f ¢ ( x ) > 0 ；当 x>e 时， f ¢ ( x ) <0 ， 1 所以函数 f ( x ) =lnx-x 在 ( 0,e ) 上单调递增，在 ( e,+¥ ) 上单调递减， e 答案第51页，共22页 x=e 1 故 f ( x ) £f ( e ) =lne-1=0 ，故 lnx£x ，当且仅当 时取等号， e 2 1 1 11 2 x 由于 >0 ，则 lnx 2 £x 2 ，则 2lnx£x 2 ，所以 2ln1.3 < ( 1.3 ) =´ 1.69 < 0.8 ，所以 ee ee b ，所以 b . 故选： C. 13 ． 5 1 l =0 ，平移直线 0 确定最优解，然后可得 . 2 【分析】先作可行域，再作直线 l 0 :2x+y+ 【详解】根据题意作可行域如图， z 1 l 0 l 作直线 l 0 :2x+y+=0 ，由图可知，平移直线 到位置，即过点 A 时，取得最大值 . 2 x - 3y + 3 = 0 33 ö 解方程组 ì 得 A æ í ç , ÷ ， è 22 ø î x + y - 3 = 0 1331 ，得 z=2´++=5 . 222 2 代入 z=2x+y+ 故答案为： 5 14 ． -1 答案第61页，共22页