2024年4月6日发(作者：莱元枫)

第三章线性方程组

习题三

1.判断下列命题是否正确并说明理由.

（1）用高斯消元法解线性方程组时，对增广矩阵的初等变换，仅限于行及交换

两列的变换；

解正确。

（2）无论对于齐次还是非齐次的线性方程组，只要系数矩阵的秩等于未知量的

个数，则方程组就有唯一解；



)r(A)

，否则非齐次的线性方程组可能无解。解不正确。缺少条件

r(A

（3）

n

个方程

n

个未知量的线性方程组有唯一解的充要条件是方程组的系数矩

阵满秩；



)r(A)n

线性方程组有唯一解解正确。系数矩阵满秩

r(A

（4）非齐次线性方程组有唯一解时，方程的个数必等于未知量的个数；



)r(A)

未知量的个数，而方解不正确。非齐次线性方程组有唯一解时，

r(A

程的个数未必等于未知量的个数，例如



2x

1

x

2

3x

3

3,



3xx5x0,



123





4x

1

x

2

x

3

3,





x

1

3x

2

13x

3

6,

21331



31500









4113



0





13136





0



0

1

0

0

01





x

1

1,

02





，



x

2

2,



11



x1.





3

00





（5）若齐次线性方程组系数矩阵的列数大于行数，则该方程组有非零解；

解正确。设

A

mn

X

n1

=o,nm,r



A



mn

，

方程组有非零解

（6）三个方程四个未知量的线性方程组有无穷多解；

解不正确。对于齐次线性方程组正确，见（5）.对于非齐次线性方程组不正确，



)r(A)

，非齐次的线性方程组可能无解。缺少条件

r(A

（7）两个同解的线性方程组的系数矩阵有相同的秩；

第三章线性方程组

解正确，设

AX=b,CX=d

同解（无解除外），即两个线性方程组的增广矩阵

经行初等变换后得到的最简形矩阵完全相同（除零行个数可能不同外。这是因为两个

方程组的方程个数可能不同，但未知量个数必相同），故最简形中系数矩阵、增广矩

阵均相同的秩，即两个方程组的系数矩阵

A,C

及其增广矩阵都有相同的秩。

（8）两个皆为三个方程四个未知量的方程组，若它们的系数矩阵有相同的秩，

则两个方程组同解.

解不正确。它们的系数矩阵有相同的秩，对于非齐次线性方程组来说，增广矩

阵的秩未必相同。若增广矩阵的秩不相同，则至少有一个非齐次线性方程组无解。

即使系数矩阵、增广矩阵的秩相同，但最简形未必相同，此时也不同解。

3.讨论

p

取何值时，下述非齐次线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在

有解时求解.



x

1

x

2

px

3

4,



2



x

1

px

2

x

3

p,



xx2x4.

123



解

11





1p



11



1

r

3

p4

r

1

r

2

r

1



r

3

r

1



1p

2







0



024





1

p1

2

4



3p

2

4



p28





2



1

2p



r

3

r

2

3





0



0









2

p13p4







p1



(4p)30



p

2

2p4



(4p)3





124



)3,r(A)2

，无解；当

p1

时，

r(A

当

p4

时有无穷多解，可解得x

1

3k,x

2

4k,x

3

k(

k

为任意常数).

2024年4月6日发(作者：莱元枫)

第三章线性方程组

习题三

1.判断下列命题是否正确并说明理由.

（1）用高斯消元法解线性方程组时，对增广矩阵的初等变换，仅限于行及交换

两列的变换；

解正确。

（2）无论对于齐次还是非齐次的线性方程组，只要系数矩阵的秩等于未知量的

个数，则方程组就有唯一解；



)r(A)

，否则非齐次的线性方程组可能无解。解不正确。缺少条件

r(A

（3）

n

个方程

n

个未知量的线性方程组有唯一解的充要条件是方程组的系数矩

阵满秩；



)r(A)n

线性方程组有唯一解解正确。系数矩阵满秩

r(A

（4）非齐次线性方程组有唯一解时，方程的个数必等于未知量的个数；



)r(A)

未知量的个数，而方解不正确。非齐次线性方程组有唯一解时，

r(A

程的个数未必等于未知量的个数，例如



2x

1

x

2

3x

3

3,



3xx5x0,



123





4x

1

x

2

x

3

3,





x

1

3x

2

13x

3

6,

21331



31500









4113



0





13136





0



0

1

0

0

01





x

1

1,

02





，



x

2

2,



11



x1.





3

00





（5）若齐次线性方程组系数矩阵的列数大于行数，则该方程组有非零解；

解正确。设

A

mn

X

n1

=o,nm,r



A



mn

，

方程组有非零解

（6）三个方程四个未知量的线性方程组有无穷多解；

解不正确。对于齐次线性方程组正确，见（5）.对于非齐次线性方程组不正确，



)r(A)

，非齐次的线性方程组可能无解。缺少条件

r(A

（7）两个同解的线性方程组的系数矩阵有相同的秩；

第三章线性方程组

解正确，设

AX=b,CX=d

同解（无解除外），即两个线性方程组的增广矩阵

经行初等变换后得到的最简形矩阵完全相同（除零行个数可能不同外。这是因为两个

方程组的方程个数可能不同，但未知量个数必相同），故最简形中系数矩阵、增广矩

阵均相同的秩，即两个方程组的系数矩阵

A,C

及其增广矩阵都有相同的秩。

（8）两个皆为三个方程四个未知量的方程组，若它们的系数矩阵有相同的秩，

则两个方程组同解.

解不正确。它们的系数矩阵有相同的秩，对于非齐次线性方程组来说，增广矩

阵的秩未必相同。若增广矩阵的秩不相同，则至少有一个非齐次线性方程组无解。

即使系数矩阵、增广矩阵的秩相同，但最简形未必相同，此时也不同解。

3.讨论

p

取何值时，下述非齐次线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在

有解时求解.



x

1

x

2

px

3

4,



2



x

1

px

2

x

3

p,



xx2x4.

123



解

11





1p



11



1

r

3

p4

r

1

r

2

r

1



r

3

r

1



1p

2







0



024





1

p1

2

4



3p

2

4



p28





2



1

2p



r

3

r

2

3





0



0









2

p13p4







p1



(4p)30



p

2

2p4



(4p)3





124



)3,r(A)2

，无解；当

p1

时，

r(A

当

p4

时有无穷多解，可解得x

1

3k,x

2

4k,x

3

k(

k

为任意常数).