2024年4月17日发(作者：栗贤)

第二章：数列

1、数列中

a

与

S

之间的关系：

nn

,(n1)



S

1

a

n







S

n

S

n1

,(n2).

注意通项能否合并。

2、等差数列：

⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一

项与它的前一项的差等于同一个常

数，即

a

－

a

=d ，（n≥2，n∈N），

那么这个数列就叫做等差数列。

⑵等差中项：若三数

a、A、b

成等差数列

ab

A

2



nn1

⑶通项公式：

aa(n1)da(nm)d

或

apnq(p、q是常数）.

n1m

n

⑷前

n

项和公式：

n



n1



n



a

1

a

n



S

n

na

1

d

22

⑸常用性质：

①若

mnpq



m,n,p,qN



，则

aaaa

；

②下标为等差数列的项



a,a,a,



，仍组成

等差数列；

③数列





ab



（



,b

为常数）仍为等差数列；

④若

{a}

、

{b}

是等差数列，则

{ka}

、

{kapb}

(

k

、

，…也成等差数

p

是非零常数)、

{a}(p,qN)

、

列。



mnpq

kkmk2m

n

n

nnnn

*

pnq

⑤单调性：



a



的公差为

d

，则：

ⅰ）

d0



a



为递增数列；

ⅱ）

d0



a



为递减数列；

ⅲ）

d0



a



为常数列；

⑥数列{

a

}为等差数列

apnq

（p,q是常

数）

⑦若等差数列



a



的前

n

项和，则、

SS

、

SS

… 是等差数列。

3、等比数列

⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一

项与它的前一项的比等于同一个常

数，那么这个数列就叫做等比数列。

⑵等比中项：若三数

a、G、b

成等比数列

Gab,

（

ab

同号）。反之不一定成立。

⑶通项公式：

aaqaq

n

n

n

n

n

n

n

2kk

3k2k

2

n1nm

n1m

⑷前

n

项和公式：

S

n



a

1



1q

n



1q



a

1

a

n

q

1q

⑸常用性质

①若

mnpq



m,n,p,qN



，则

aaaa

；

②

a,a,a,

为等比数列，公比为

q

(下标成

等差数列,则对应的项成等比数列)

③数列





a



（



为不等于零的常数）仍是公

比为

q

的等比数列；正项等比数列



a



；则



lga



是公差为

lgq

的等差数列；



mnpq

k

kkmk2m

n

n

n

2024年4月17日发(作者：栗贤)

第二章：数列

1、数列中

a

与

S

之间的关系：

nn

,(n1)



S

1

a

n







S

n

S

n1

,(n2).

注意通项能否合并。

2、等差数列：

⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一

项与它的前一项的差等于同一个常

数，即

a

－

a

=d ，（n≥2，n∈N），

那么这个数列就叫做等差数列。

⑵等差中项：若三数

a、A、b

成等差数列

ab

A

2



nn1

⑶通项公式：

aa(n1)da(nm)d

或

apnq(p、q是常数）.

n1m

n

⑷前

n

项和公式：

n



n1



n



a

1

a

n



S

n

na

1

d

22

⑸常用性质：

①若

mnpq



m,n,p,qN



，则

aaaa

；

②下标为等差数列的项



a,a,a,



，仍组成

等差数列；

③数列





ab



（



,b

为常数）仍为等差数列；

④若

{a}

、

{b}

是等差数列，则

{ka}

、

{kapb}

(

k

、

，…也成等差数

p

是非零常数)、

{a}(p,qN)

、

列。



mnpq

kkmk2m

n

n

nnnn

*

pnq

⑤单调性：



a



的公差为

d

，则：

ⅰ）

d0



a



为递增数列；

ⅱ）

d0



a



为递减数列；

ⅲ）

d0



a



为常数列；

⑥数列{

a

}为等差数列

apnq

（p,q是常

数）

⑦若等差数列



a



的前

n

项和，则、

SS

、

SS

… 是等差数列。

3、等比数列

⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一

项与它的前一项的比等于同一个常

数，那么这个数列就叫做等比数列。

⑵等比中项：若三数

a、G、b

成等比数列

Gab,

（

ab

同号）。反之不一定成立。

⑶通项公式：

aaqaq

n

n

n

n

n

n

n

2kk

3k2k

2

n1nm

n1m

⑷前

n

项和公式：

S

n



a

1



1q

n



1q



a

1

a

n

q

1q

⑸常用性质

①若

mnpq



m,n,p,qN



，则

aaaa

；

②

a,a,a,

为等比数列，公比为

q

(下标成

等差数列,则对应的项成等比数列)

③数列





a



（



为不等于零的常数）仍是公

比为

q

的等比数列；正项等比数列



a



；则



lga



是公差为

lgq

的等差数列；



mnpq

k

kkmk2m

n

n

n