2024年4月23日发(作者：太史方雅)

第二章 动量、动量守恒定律

2—1 质量为 m 的子弹以速率

v

0

水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速

度成正比，比例系数为 k，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变

化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。

[解] 设任意时刻子弹的速度为 v，子弹进入沙土的最大深度为 s，由题意知，子弹所受的阻

力

(1) 由牛顿第二定律

f= - kv

dv

f  ma  m

dt

dv

即

 kv  m

dt

dv k

所以

  dt

v m

v

dv k

t

对等式两边积分

 

dt



v

v

m



0

0

得

v

 

k

t

ln

m

v

0

k

 t

因此

v  v

0

e

m

(2) 由牛顿第二定律

即

所以

f  ma  m

对上式两边积分

得到

即

dv dx dv

 m  mv

dt dx dt dx

dv

 kv  mv

dx

k

 dx  dv

m

k

s

0

dx





dv







v

m

0

k

 s  v

0

m

mv

s 

0

k

0

dv

2—2 质量为 m 的小球，在水中受到的浮力为 F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞

阻力为 f＝kv(k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率 v 与时间的

关系为

v 



kt 

mg  F









m





1  e



k

 

2-1

[证明] 任意时刻 t 小球的受力如图所示，取向下为 y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原

点

由牛顿第二定律

即

dv

mg  F  f  ma  m

dt

dv

mg  F  kv  ma  m

dt

dt

dv



mg  F  kv

m

整理得

对上式两边积分

dv

t

dt



0

mg  F  kv





0

m

v

得

ln

kt

mg  F  kv

 

m

mg  F

kt 

mg  F









m





1  e



k

 



即

v 

2—3 跳伞运动员与装备的质量共为 m，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的

平方成正比，即

F  kv

2

。求跳伞员的运动速率 v 随时间 t 变化的规律和极限速率

v

T

。

[解] 设运动员在任一时刻的速率为 v，极限速率为

v

T

，当运动员受的空气阻力等于运动员

及装备的重力时，速率达到极限。

此时

2

mg  kv

T

即





v

T



mg

k

有牛顿第二定律

dv

mg  kv

2

 m

dt

dt

dv



mg  kv

2

m

v

整理得

对上式两边积分

dv

mg  kv

2





t

dt 1

mgk

0



m

2

0

得

mg  kv

t

ln



m

mg  kv

e

2t

m kg

2t

2t

整理得

v 

e

m kg

 1 mg

e  1



2t

v

T

k

 1 e

m kg

 1

m kg

2-2

2024年4月23日发(作者：太史方雅)

第二章 动量、动量守恒定律

2—1 质量为 m 的子弹以速率

v

0

水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速

度成正比，比例系数为 k，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变

化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。

[解] 设任意时刻子弹的速度为 v，子弹进入沙土的最大深度为 s，由题意知，子弹所受的阻

力

(1) 由牛顿第二定律

f= - kv

dv

f  ma  m

dt

dv

即

 kv  m

dt

dv k

所以

  dt

v m

v

dv k

t

对等式两边积分

 

dt



v

v

m



0

0

得

v

 

k

t

ln

m

v

0

k

 t

因此

v  v

0

e

m

(2) 由牛顿第二定律

即

所以

f  ma  m

对上式两边积分

得到

即

dv dx dv

 m  mv

dt dx dt dx

dv

 kv  mv

dx

k

 dx  dv

m

k

s

0

dx





dv







v

m

0

k

 s  v

0

m

mv

s 

0

k

0

dv

2—2 质量为 m 的小球，在水中受到的浮力为 F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞

阻力为 f＝kv(k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率 v 与时间的

关系为

v 



kt 

mg  F









m





1  e



k

 

2-1

[证明] 任意时刻 t 小球的受力如图所示，取向下为 y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原

点

由牛顿第二定律

即

dv

mg  F  f  ma  m

dt

dv

mg  F  kv  ma  m

dt

dt

dv



mg  F  kv

m

整理得

对上式两边积分

dv

t

dt



0

mg  F  kv





0

m

v

得

ln

kt

mg  F  kv

 

m

mg  F

kt 

mg  F









m





1  e



k

 



即

v 

2—3 跳伞运动员与装备的质量共为 m，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的

平方成正比，即

F  kv

2

。求跳伞员的运动速率 v 随时间 t 变化的规律和极限速率

v

T

。

[解] 设运动员在任一时刻的速率为 v，极限速率为

v

T

，当运动员受的空气阻力等于运动员

及装备的重力时，速率达到极限。

此时

2

mg  kv

T

即





v

T



mg

k

有牛顿第二定律

dv

mg  kv

2

 m

dt

dt

dv



mg  kv

2

m

v

整理得

对上式两边积分

dv

mg  kv

2





t

dt 1

mgk

0



m

2

0

得

mg  kv

t

ln



m

mg  kv

e

2t

m kg

2t

2t

整理得

v 

e

m kg

 1 mg

e  1



2t

v

T

k

 1 e

m kg

 1

m kg

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