2024年4月26日发(作者：步景明)

三轮压轴专题培优卷：三角形综合

1．如图1，在直角三角形

ABC

中，∠

BAC

＝90°，

AD

为斜边

BC

上的高线．

（1）求证：

AD

2

＝

BD

⋅

CD

；

（2）如图2，过

A

分别作∠

BAD

，∠

DAC

的角平分线，交

BC

于

E

，

M

两点，过

E

作

AE

的

垂线，交

AM

于

F

．

①当tan

C

＝时，求的值；

②如图3，过

C

作

AF

的垂线

CG

，过

G

点作

GN

∥

AD

交

AC

于

M

点，连接

MN

．若∠

EAD

＝15°，

AB

＝1，直接写出

MN

的长度．

2．如图1，在△

ABC

中，∠

B

＝60°，点

M

从点

B

出发沿射线

BC

方向，在射线

BC

上运动．在

点

M

运动的过程中，连结

AM

，并以

AM

为边在射线

BC

上方，作等边△

AMN

，连结

CN

．

（1）当∠

BAM

＝ °时，

AB

＝2

BM

；

（2）请添加一个条件： ，使得△

ABC

为等边三角形；

①如图1，当△

ABC

为等边三角形时，求证：

CN

+

CM

＝

AC

；

②如图2，当点

M

运动到线段

BC

之外（即点

M

在线段

BC

的延长线上时），其它条件不变

（△

ABC

仍为等边三角形），请写出此时线段

CN

、

CM

、

AC

满足的数量关系，并证明．

3．如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

＝5，

BC

＝6，点

D

是边

AB

上的动点（点

D

不与点

AB

重合），

点

G

在边

AB

的延长线上，∠

CDE

＝∠

A

，∠

GBE

＝∠

ABC

，

DE

与边

BC

交于点

F

．

（1）求cos

A

的值；

（2）当∠

A

＝2∠

ACD

时，求

AD

的长；

（3）点

D

在边

AB

上运动的过程中，

AD

：

BE

的值是否会发生变化？如果不变化，请求

AD

：

BE

的值；如果变化，请说明理由．

4．如图，射线

AN

上有一点

B

，

AB

＝5，tan∠

MAN

＝，点

C

从点

A

出发以每秒3个单位长

度的速度沿射线

AN

运动，过点

C

作

CD

⊥

AN

交射线

AM

于点

D

，在射线

CD

上取点

F

，使得

CF

＝

CB

，连结

AF

．设点

C

的运动时间是

t

（秒）（

t

＞0）．

（1）当点

C

在点

B

右侧时，求

AD

、

DF

的长．（用含

t

的代数式表示）

（2）连结

BD

，设△

BCD

的面积为

S

平方单位，求

S

与

t

之间的函数关系式．

（3）当△

AFD

是轴对称图形时，直接写出

t

的值．

2024年4月26日发(作者：步景明)

三轮压轴专题培优卷：三角形综合

1．如图1，在直角三角形

ABC

中，∠

BAC

＝90°，

AD

为斜边

BC

上的高线．

（1）求证：

AD

2

＝

BD

⋅

CD

；

（2）如图2，过

A

分别作∠

BAD

，∠

DAC

的角平分线，交

BC

于

E

，

M

两点，过

E

作

AE

的

垂线，交

AM

于

F

．

①当tan

C

＝时，求的值；

②如图3，过

C

作

AF

的垂线

CG

，过

G

点作

GN

∥

AD

交

AC

于

M

点，连接

MN

．若∠

EAD

＝15°，

AB

＝1，直接写出

MN

的长度．

2．如图1，在△

ABC

中，∠

B

＝60°，点

M

从点

B

出发沿射线

BC

方向，在射线

BC

上运动．在

点

M

运动的过程中，连结

AM

，并以

AM

为边在射线

BC

上方，作等边△

AMN

，连结

CN

．

（1）当∠

BAM

＝ °时，

AB

＝2

BM

；

（2）请添加一个条件： ，使得△

ABC

为等边三角形；

①如图1，当△

ABC

为等边三角形时，求证：

CN

+

CM

＝

AC

；

②如图2，当点

M

运动到线段

BC

之外（即点

M

在线段

BC

的延长线上时），其它条件不变

（△

ABC

仍为等边三角形），请写出此时线段

CN

、

CM

、

AC

满足的数量关系，并证明．

3．如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

＝5，

BC

＝6，点

D

是边

AB

上的动点（点

D

不与点

AB

重合），

点

G

在边

AB

的延长线上，∠

CDE

＝∠

A

，∠

GBE

＝∠

ABC

，

DE

与边

BC

交于点

F

．

（1）求cos

A

的值；

（2）当∠

A

＝2∠

ACD

时，求

AD

的长；

（3）点

D

在边

AB

上运动的过程中，

AD

：

BE

的值是否会发生变化？如果不变化，请求

AD

：

BE

的值；如果变化，请说明理由．

4．如图，射线

AN

上有一点

B

，

AB

＝5，tan∠

MAN

＝，点

C

从点

A

出发以每秒3个单位长

度的速度沿射线

AN

运动，过点

C

作

CD

⊥

AN

交射线

AM

于点

D

，在射线

CD

上取点

F

，使得

CF

＝

CB

，连结

AF

．设点

C

的运动时间是

t

（秒）（

t

＞0）．

（1）当点

C

在点

B

右侧时，求

AD

、

DF

的长．（用含

t

的代数式表示）

（2）连结

BD

，设△

BCD

的面积为

S

平方单位，求

S

与

t

之间的函数关系式．

（3）当△

AFD

是轴对称图形时，直接写出

t

的值．