2024年4月26日发(作者：綦鑫)

绝密★启用前

2023年普通高等学校招生全国统一考试

(全国乙卷∙理科)数学

注意事项:

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。



2+i

1.设z=

则z

=()

25

，

1+i

+i

A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i

)2.设集合U=R，集合M={x



x<1}，N={x



-1



x≥2} =(

A.C

U

(M∪N)B.N∪C

U

MC.C

U

(M⋂N)D.M∪C

U

N

3.3、如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为

(

A.24

)

B.26C.28D.30

xe

x

4.已知f(x)=

ax

是偶函数，则a=(

e

-1

A.-2B.-1

)

C.1D.2

5.设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{(x,y)



1≤x

2

+y

2

≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线

π

OA的倾斜角不大于

的概率为()

4

1111

A.B.C.D.

8642

6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间(

像的两条对称轴，则f(-

5π

)=(

12

π2ππ2π

,)单调递增，直线x=

和x=为函数y=f(x)的图

6363

)

A.-

3

2

B.-

1

2

C.

1

2

D.

3

2

7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同

的选法共有(

A.30种

)

B.60种C.120种D.240种

8.已知圆锥PO的底面半径为3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB=120

∘

，若△PAB

93

的面积等于，则该圆锥的体积为()

4

A.πB.6πC.3πD.36π

9.已知△ABC为等腰三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C-AB-D为150° ,则直

线CD与平面ABC所成角的正切值为(

A.

1

5

B.

22

5

)

C.

3

5

D.

2

5

)10.已知等差数列{a

n

}的公差为

A.-1

2

2π

，集合S=



cosa

n



n∈N

*



，若S={ab}，则ab=(

3

11

B.-C.D.

22

)

y

2

11.设A，B为双曲线x-=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(

9

A.(-1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1，-4)

12.已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为



BC的中点，若|PO|=2，则PA

∙PD

的最大值为()

A.

1+2

2

B.

1+22

2

C.1+2D.2+2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知点A(1,5)在抛物线C：y

2

=2px上，则A到C的准线的距离为

x-3y≤-1

14.若x，y满足约束条件

x+2y≤9

，则z=2x-y的最大值为

3x+y≥7

。

。

。

。







15.已知{an}为等比数列，a

2

a

4

a

5

=a

3

a

6

，α

9

α

10

=-8，则α

7

=

16.设a∈(0，1)，若函数f(x)=a

x

+(a+1)在(0,+∞)上单调递增，则a的取值范围是

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题

考生都必须作答。第22 、23题为选考题，考生根据情况作答。

(一)必答题(60分)

17.(12分)

某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用

材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的

橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x

i

,y

i

(i=1,2,⋯10),试验

结果如下

试验

序号i

伸缩

率x

i

伸缩

率y

i

5455335541568596548

536527543530576536



记z

i

=x

i

-y

i

(i=1,2,⋯10)，记z

1

,z

2

,⋯z

10

的样本平均数为z，样本方差为s

2

，



2

(1)求z

，s

;

(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高



(如果z≥2

s

2

，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩

10

率有显著提高，否则不认为有显著提高)。

18.(12分)

在△ABC中，已知∠BAC=120° , AB=2，AC=1

(1)求sin∠ABC。

(2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°,求△ADC的面积。

19.(12分)

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点

分别为D，EO，AD=5DO，点F在AC上，BF⊥AO

(1)证明：EF⎳平面BEF；

(2)证明：平面ADO⊥平面BEF;

(3)求二面角D-AO-C的正弦值。

20.(12分)

y

2

x

2

5

已知椭圆C：

2

+

2

=1(a>b>0)的离心率为

，点A(-2,0)在C上。

3

ab

(1)求C的方程;

(2)2点(-2,3)的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段

MN的中点为定点。

21.(12分)

1

+a)ln(1+a)

x

(1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1 , f(1))处的切线方程；

已知函数f(x)=(

(2)是否存在a，b，使得曲线y=f(

由；

1

)关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理

x

(3)若f(x)在(0,+∞)存在极值，求a的取值范围。

2024年4月26日发(作者：綦鑫)

绝密★启用前

2023年普通高等学校招生全国统一考试

(全国乙卷∙理科)数学

注意事项:

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。



2+i

1.设z=

则z

=()

25

，

1+i

+i

A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i

)2.设集合U=R，集合M={x



x<1}，N={x



-1



x≥2} =(

A.C

U

(M∪N)B.N∪C

U

MC.C

U

(M⋂N)D.M∪C

U

N

3.3、如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为

(

A.24

)

B.26C.28D.30

xe

x

4.已知f(x)=

ax

是偶函数，则a=(

e

-1

A.-2B.-1

)

C.1D.2

5.设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{(x,y)



1≤x

2

+y

2

≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线

π

OA的倾斜角不大于

的概率为()

4

1111

A.B.C.D.

8642

6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间(

像的两条对称轴，则f(-

5π

)=(

12

π2ππ2π

,)单调递增，直线x=

和x=为函数y=f(x)的图

6363

)

A.-

3

2

B.-

1

2

C.

1

2

D.

3

2

7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同

的选法共有(

A.30种

)

B.60种C.120种D.240种

8.已知圆锥PO的底面半径为3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB=120

∘

，若△PAB

93

的面积等于，则该圆锥的体积为()

4

A.πB.6πC.3πD.36π

9.已知△ABC为等腰三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C-AB-D为150° ,则直

线CD与平面ABC所成角的正切值为(

A.

1

5

B.

22

5

)

C.

3

5

D.

2

5

)10.已知等差数列{a

n

}的公差为

A.-1

2

2π

，集合S=



cosa

n



n∈N

*



，若S={ab}，则ab=(

3

11

B.-C.D.

22

)

y

2

11.设A，B为双曲线x-=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(

9

A.(-1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1，-4)

12.已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为



BC的中点，若|PO|=2，则PA

∙PD

的最大值为()

A.

1+2

2

B.

1+22

2

C.1+2D.2+2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知点A(1,5)在抛物线C：y

2

=2px上，则A到C的准线的距离为

x-3y≤-1

14.若x，y满足约束条件

x+2y≤9

，则z=2x-y的最大值为

3x+y≥7

。

。

。

。







15.已知{an}为等比数列，a

2

a

4

a

5

=a

3

a

6

，α

9

α

10

=-8，则α

7

=

16.设a∈(0，1)，若函数f(x)=a

x

+(a+1)在(0,+∞)上单调递增，则a的取值范围是

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题

考生都必须作答。第22 、23题为选考题，考生根据情况作答。

(一)必答题(60分)

17.(12分)

某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用

材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的

橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x

i

,y

i

(i=1,2,⋯10),试验

结果如下

试验

序号i

伸缩

率x

i

伸缩

率y

i

5455335541568596548

536527543530576536



记z

i

=x

i

-y

i

(i=1,2,⋯10)，记z

1

,z

2

,⋯z

10

的样本平均数为z，样本方差为s

2

，



2

(1)求z

，s

;

(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高



(如果z≥2

s

2

，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩

10

率有显著提高，否则不认为有显著提高)。

18.(12分)

在△ABC中，已知∠BAC=120° , AB=2，AC=1

(1)求sin∠ABC。

(2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°,求△ADC的面积。

19.(12分)

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点

分别为D，EO，AD=5DO，点F在AC上，BF⊥AO

(1)证明：EF⎳平面BEF；

(2)证明：平面ADO⊥平面BEF;

(3)求二面角D-AO-C的正弦值。

20.(12分)

y

2

x

2

5

已知椭圆C：

2

+

2

=1(a>b>0)的离心率为

，点A(-2,0)在C上。

3

ab

(1)求C的方程;

(2)2点(-2,3)的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段

MN的中点为定点。

21.(12分)

1

+a)ln(1+a)

x

(1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1 , f(1))处的切线方程；

已知函数f(x)=(

(2)是否存在a，b，使得曲线y=f(

由；

1

)关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理

x

(3)若f(x)在(0,+∞)存在极值，求a的取值范围。