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大学物理机械能和功习题答案
2024年4月28日发(作者：老天蓉)
习题
3
3-1
．如图，一质点在几个力作用下沿半径为
R
=
20m
的圆周运动，其中有一恒
力
F
=
0.6i
N
，求质点从
A
开始沿逆时针方向经
3/4
圆周到达
B
的过程中，力
F
所做的功。
所做的功。
解：本题为恒力做功，考虑到
B
的坐标为（
-
R
，
R
），
∴
D
r
=
r
B
-
r
A
=-
20
i
+
20
j
，再利用：
A
=
F
×D
r
，
有：
A
=
0.6i
×
(
-
20i
+
20j)
=-
12
（焦耳）
（焦耳）
y
B
A
O
x
F
3-2
．质量为
m=0.5kg
的质点，在
xOy
坐标平面内运动，其运动方程为
2
这段时间内，外力对质点的功为多少？
x=5t
,
y=0.5(SI)
,从
t=2s
到
t=4s
这段时间内，外力对质点的功为多少？
2
解：由功的定义：
A
=
F
×D
r
，题意：
r
=
5ti
+
0.5j
rr(4)r(2)60i
Fm
，
=
D
2
®
4
=-=
∴
A
=
5i
×
60i
=
300J
。
d
2
r
dt
2
=
0.5
×
10
i
=
5
i
3-3
．劲度系数为
k
的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为
m
，开始时
弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面
为止，求此过程中外力的功。
为止，求此过程中外力的功。
解：由于小球缓慢被提起，所以每时刻可看成外力与弹性力相等，
则：
F
=
kx
，选向上为正向。
，选向上为正向。
当小球刚脱离地面时：
mg
=
kx
max
，有：
x
max
=
由做功的定义可知：
A
=
mg
，
k
22
m
=
g
。
2k
ò
x
max
0
kxdx
=
1
kx
2
2
mg
k
0
3-4
．如图，一质量为
m
的质点，在半径为
R
的半球形容器中，由静止开始自边
缘上的
A
点滑下，到达最低点
B
时，它对容器的正压力数值为
N
，求质点自
A
滑
到
B
的过程中，摩擦力对其做的功。
的过程中，摩擦力对其做的功。
分析：
A
f
直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的
情况。
情况。
解：求在
B
点的速度：
N
-
G
=
m
v
，
2
A
R
m
R
·
B
可得：
1
mv
2
=
1
(
N
-
G
)
R
22
由动能定理：
由动能定理：
mgR
+
A
f
=
1
mv
2
-
0
2
1
∴
A
f
=
(
N
-
G
)
R
-
mgR
=
(
N
-
3
mg
)
R
22
其中
F
和
x
单位分别为
N
和
m
。
（
1
）计算当将弹簧由
x
1
=
0.522m
拉伸至
x
2
=
1.34m
过程中，外力所做之功；
过程中，外力所做之功；
（
2
）此弹力是否为保守力
?
解：（
1
）由做功的定义可知：
）由做功的定义可知：
3-5
．一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为
F
=
(
-
52.8
x
-
38.4
x
)
i
，
2
1
A
=
ò
x
2
x
1
F
×
dx
=
ò
1.34
0.522
(
-
52.8
x
-
38.4
x
2
)
dx
2233
=-
26.4(
x
2
-
x
1
)
-
12.6(
x
2
-
x
1
)
=
69.2
J
（
2
）∵
F
(
x
)
=
F
(
x
)
i
，按保守力的定义：
，按保守力的定义：
2
F
(
x
)
×
dr
=
(
-
52.8
x
-
38.4
x
)
i
×
(
dxi
+
dyj
+
dzk
)
=
(
-
52.8
x
-
38.4
x
2
)d
x
=
0
òòò
lll
∴该弹力为保守力。
∴该弹力为保守力。
2
3-6
．一质量为
m
的物体，在力
F
=
(
ati
+
btj
)
的作用下，由静止开始运动，求
在任一时刻
t
此力所做功的功率为多少。
此力所做功的功率为多少。
解：由
P
=
F
×
v
，要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：
，要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：
111
2
(
ati
+
btj
)
dt
=
(
ati
+
bt
3
j
)
v
=
dt
=
ò
mm
ò
m
23
F
2
1
2024年4月28日发(作者：老天蓉)
习题
3
3-1
．如图，一质点在几个力作用下沿半径为
R
=
20m
的圆周运动，其中有一恒
力
F
=
0.6i
N
，求质点从
A
开始沿逆时针方向经
3/4
圆周到达
B
的过程中，力
F
所做的功。
所做的功。
解：本题为恒力做功，考虑到
B
的坐标为（
-
R
，
R
），
∴
D
r
=
r
B
-
r
A
=-
20
i
+
20
j
，再利用：
A
=
F
×D
r
，
有：
A
=
0.6i
×
(
-
20i
+
20j)
=-
12
（焦耳）
（焦耳）
y
B
A
O
x
F
3-2
．质量为
m=0.5kg
的质点，在
xOy
坐标平面内运动，其运动方程为
2
这段时间内，外力对质点的功为多少？
x=5t
,
y=0.5(SI)
,从
t=2s
到
t=4s
这段时间内，外力对质点的功为多少？
2
解：由功的定义：
A
=
F
×D
r
，题意：
r
=
5ti
+
0.5j
rr(4)r(2)60i
Fm
，
=
D
2
®
4
=-=
∴
A
=
5i
×
60i
=
300J
。
d
2
r
dt
2
=
0.5
×
10
i
=
5
i
3-3
．劲度系数为
k
的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为
m
，开始时
弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面
为止，求此过程中外力的功。
为止，求此过程中外力的功。
解：由于小球缓慢被提起，所以每时刻可看成外力与弹性力相等，
则：
F
=
kx
，选向上为正向。
，选向上为正向。
当小球刚脱离地面时：
mg
=
kx
max
，有：
x
max
=
由做功的定义可知：
A
=
mg
，
k
22
m
=
g
。
2k
ò
x
max
0
kxdx
=
1
kx
2
2
mg
k
0
3-4
．如图，一质量为
m
的质点，在半径为
R
的半球形容器中，由静止开始自边
缘上的
A
点滑下，到达最低点
B
时，它对容器的正压力数值为
N
，求质点自
A
滑
到
B
的过程中，摩擦力对其做的功。
的过程中，摩擦力对其做的功。
分析：
A
f
直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的
情况。
情况。
解：求在
B
点的速度：
N
-
G
=
m
v
，
2
A
R
m
R
·
B
可得：
1
mv
2
=
1
(
N
-
G
)
R
22
由动能定理：
由动能定理：
mgR
+
A
f
=
1
mv
2
-
0
2
1
∴
A
f
=
(
N
-
G
)
R
-
mgR
=
(
N
-
3
mg
)
R
22
其中
F
和
x
单位分别为
N
和
m
。
（
1
）计算当将弹簧由
x
1
=
0.522m
拉伸至
x
2
=
1.34m
过程中，外力所做之功；
过程中，外力所做之功；
（
2
）此弹力是否为保守力
?
解：（
1
）由做功的定义可知：
）由做功的定义可知：
3-5
．一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为
F
=
(
-
52.8
x
-
38.4
x
)
i
，
2
1
A
=
ò
x
2
x
1
F
×
dx
=
ò
1.34
0.522
(
-
52.8
x
-
38.4
x
2
)
dx
2233
=-
26.4(
x
2
-
x
1
)
-
12.6(
x
2
-
x
1
)
=
69.2
J
（
2
）∵
F
(
x
)
=
F
(
x
)
i
，按保守力的定义：
，按保守力的定义：
2
F
(
x
)
×
dr
=
(
-
52.8
x
-
38.4
x
)
i
×
(
dxi
+
dyj
+
dzk
)
=
(
-
52.8
x
-
38.4
x
2
)d
x
=
0
òòò
lll
∴该弹力为保守力。
∴该弹力为保守力。
2
3-6
．一质量为
m
的物体，在力
F
=
(
ati
+
btj
)
的作用下，由静止开始运动，求
在任一时刻
t
此力所做功的功率为多少。
此力所做功的功率为多少。
解：由
P
=
F
×
v
，要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：
，要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：
111
2
(
ati
+
btj
)
dt
=
(
ati
+
bt
3
j
)
v
=
dt
=
ò
mm
ò
m
23
F
2
1