2024年5月5日发(作者：巫马杰)
第３１卷
第ｌ期
２０１１矩
高师理科学刊
Ｊｏｕｒｎ￣ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ｏｆ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ ａｎｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖｏ１．３ｌ Ｎｏ．１
１月
Ｊａｎ．２０ｌｌ
文章编号：１００７—９８３ １（２０１ １）Ｏ１～００３２—０４
一
类级数敛散性的判定问题
顾先明，彭浩，宋泽成
（唐山师范学院数学与信 科学系．河北唐山０６３０００）
摘要：通过建立一组离散型不等式（ ［ ］Ｐ （击 和（
［ 『＞（ 讨论了 薹［ 啦其由它衍蜊 型级数
的敛散性问题，并给出了一些相应的实际应用．
关键词：级数；不等式；敛散性
中图分类号：０１７２ 文献标识码：Ａ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—９８３１．２０１１．Ｏ１．０１０
Ｔｈｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｎｄ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｓｅｒｉｅｓ
ＧＵ Ｘｉａｎ—ｍｉｎｇ，ＰＥＮＧ Ｈａｏ，ＳＯＮＧ Ｚｅ－ｃｈｅｎｇ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ ｈｆｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｔａｎｇｓｈａｎ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｔａｎｇｓｈａｎ ０６３０００，Ｃｈｉｎａ）
址～：～ｓｓｅ ｅａｅｃｉｓｉｏｎ ｅｍ… …ｅｒｓｅｎ… …ｅ ａｓｓ 薹［％ ∈
Ｒ）ａｎｄ ｉｔｓ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｂｙ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｉｎｇ ａ ｇｒｏｕｐ ｏｆ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｉｎｅ ｍｉｅｓ（ ［ 『＜（ 。，
＞ｆ 『＞（ ｃａｖ……一 …ｉｃａｔｉｏｎ．
ａｎａ
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｅｒｉｅｓ；ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ；ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｎｄ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ
对于比较常见的级数薹［ ］Ｐ（ｐ∈Ｒ）的敛散性问题，文献【１—３］应用拉贝（Ｒａａｂｅ）判别法给出
了Ｐ＝１，２，３时，级数敛散性结果，但都未对该级数当Ｐ∈Ｒ时的敛散性作进一步讨论．而且采用拉贝
（Ｒａａｂｅ）判别法讨论这类问题势必会十分不便，无法达到预期目的．本文应用初等数学的知识构建了一组
离散型不等式，并基于该组不等式建立此类级数（及其衍生的级数类型）的敛散性问题的快速审敛原则．
受到文献［４］００例２的证题方法的启发，可以得到定理１．
定理 对于任意自然数 ，都有（ ［ 卜［去 ＞ （ ［ 『＞
收稿日期
２Ｏ１Ｏ—Ｏ６—１Ｏ
基金项目
河北省唐山师范学院大学生科技创新科技立项项目
作者简介
顾先明（１９８９－），男，安徽寿县人，在读本科生．Ｅ－ｍａｉｌ：ｇｕｘｉａｎｍｉｎｇ＠ｙａｈｏｏ．ｃｎ
通讯作者
宋泽成（１９６４一），男，河北唐ＬＩＪ人，副教授，从事函数论研究．Ｅ－ｍａｉｌ：ｓｏｎｇｚｃ＠１６３．ＣＯＩｎ
第１期 顾先明
，
等：一类级数敛散性的判定问题 ３３
［
证明由于 持 ‘ ２ｎ－１，于舸槠 ：嚣 ． ２ｎ－１ 然而
１ ３ ５ ２ｎ＋ｌ
－ｆ￣－－２ｎ＋２ ＋
２ｎ ＋１
，
［２ｎ
＋２－一
２ｎ
￣
／ ４ｎ２＋４ｎ＋ｌ－＞ｌ… ，
是 单调 敝 批一 丽 ２ｎ－１． ≥ １
，
所以
１ ３ ５ ２ｎ一１ １
一…一…。２ ４ ６ ——２ 了 ２ｎ 一’、 ＼（１ ｊ）
再桃数帅 … 而琊么 ＝
…２ ４ ●●
二－
●●－
————２ｎ ２—・— —～
・ ２
２．
ｎ＋
ｎ＋１
．厕．
”…
… ，
＇
３
２ｎ
－
１
． …
一
。
２ ４ ２ｎ …一
＜１，所以Ｙ川＜）＇ （，ｚ １），即｛ ）是一个单调递减数列
，
于是
１
ｙ ・ ＝
・
…
．
６
…
…
．
而
¨
≤ １
’所以
，
所以
１ ３ ５ ２ｎ—．１ １ １
ｍ
２ ｏ …６… （２）
骀 １
喊贿 ≥
）赋（２）
『＞
≤
（ ．
去．
。 ｕ有（ Ｐ＜ Ｖ（２ｎ酬－１）！！！『１ ＜（；
证毕
葑翩ｌ，始 怯秕 捌法朋越级数薹［ ］Ｐ 啪快龄
～ ２时，级数 ２时
，
级数 是发
理－
证明 （１）当ｐ＞２ｔ
［ ］
ｌ￣，，由Ｐ一级数判别法可知
从而蚍 臌 级
。
级数薹（
数
＝
耋㈦ 是
］ 是收敛的
收触
由定
，
（２） ＜ 由ｐ一级 撇讯级数薹 ＝薹 是发黼由定理－
…蚍…一，级数薹 黼
＜ 脓 知’［ 『＞（ …肺 …，
薹ｊ ７ 是发 ．
高师理科学刊 第３Ｉ卷
￣ｐ＝Ｏ ｎ ｕ薹ｌ ｊ 显然是发
讨论由级数茎［ ∈Ｒ）触的一些其它类型的戮如 ［
，
）
（ｐ∈Ｒ）和级数
ｎ＝ｌ
广ｌＩ 的 陡
艘３ 毗级数 ［ 受批 。时，级数 ［ ］ 是
证明当ｐ＞。时， （ ］ ＝ （去］ ＝。，由极限两边夹定理可知， ［ １ ：。．因
为 寄ｌ （
（２ｎ）！！Ｊ
臌判别洳知，Ｎｐ＞０时，级数
ｎ＝ｌ
～ ＿［
广 ｌ 殳
………
ｌ［ 『≠０，
跸
ｌｉｍ ＠１）＂－１［
毗 ｌ ｆＩ 是发
毗好
…
卜
例１求幂级数薹 的收敛半径与收敛区域．
Ｎｘ＝４时，薹 ４ ＝薹 显然发散．
￣ｘ＝－４时，茎 ｃ ＝
数耋 （ ＝ ）
故所求的收敛区域为（＿４，４）．
，由于 ｌ（＿１）
是发散的．
，所以级
对于级数薹ｉ 『，（，ｚ）（ｐ∈Ｒ）的情况，由于，（ ）的形成比较复杂多变，不容易具体给出其审敛
讨论级
ｎ＝ｌ
‘
的 性．
解由于 ≤ １
，
所以 ， １≤
而１ 赤 为善赤是收
敛的所
ｎ＝ｌ
・
是收
第１期 顾先明，等：一类级数敛散性的判定问题 ３５
参考文献：
…华东师范大学数学系．数学分析（下册）【Ｍ Ｊ．３版．北京：高等敏育出版社，２００１：１５
林源渠．数学分析【ＭＩ．北京：高等教育出版社，１９８６：１３２
『３吴良森．数学分析学习指导书（下册）【３ｌＭＪ．北京：高等教育出版社，２００６：２０
Ｉ４Ｊ曾小平．借助函数单调性证明数列型不等式【ＪＪ．中学生数学，２００２（２１５）：１６
ｌ５张筑生．数学分析新讲（第１册）【５】Ｍ】．北京：北京大学出版社，１９９０：８６
【６ｌ陈纪修．数学分析（下册）Ｉ ＭＪ．北京：高等教育出版社，２００４：２２
消除伏安法测电阻中系统误差的方法
吴来初
在中学物理教学中，伏安法测电阻是个重要的课题，实验误差的分析及如何减少误差更是重点和难点．实验误差有偶然
误差和系统误差．系统误差是由实验原理的缺陷、仪器本身的误差、环境因素的影响等引起的．对于一定的实验，采用特定
的实验原理和测量仪器的条件下，测量结果偏大或偏小几率与测量次数无关，不能采用平均值的方法修
正，而只能从理论计算式中加以修正，或与标准仪器比较等方法加以修正．
１“替代法”测电阻
替代法就是用一个已知阻值的电阻替代待测电阻，替代品首选电阻箱，实验原理见图１（Ｒ 为待测
电阻，Ｒ为电阻箱， 为保护电阻ｌ
将开关Ｓ置于上端，记下电流表的示数，；再将Ｓ置于下端，调节电阻箱Ｒ，使电流表示数与上次相
同．则电阻箱的示数即为Ｒ 的值．此方法存在的问题是：电阻箱的阻值变化不是连续的，区分度一般为
Ｏ．１ Ｑ，影响测量精度，但此实验测量电阻时没有系统误差．
２ “相消法”测电阻
相消法就是将２次测量中电流表内阻消去，达到消除系统误差的目的．测量原理见图２．（１）闭合电
键Ｓ ，将电键ｓ 接２，调节滑动变阻器Ｒ 和ｒ，使电压表读数尽量接近量程，读出这时电压表和电流表 图２
的示数ＵＩ，，】．（２）保持滑动变阻器ＲＰ的值不变，调节ｒ，使电压表读数尽量接近量程，读出这时电压表和电流表的示数
Ｕ２，，２．
第１次测量：ＲＰ＋ＲＡ＋Ｒ ＝Ｕｌ／ｉ１；第２次测量：ＲＰ＋尺Ａ＝Ｕ２／ｉ２，计算被测电阻Ｒ 为：Ｒ ＝Ｕｌ／ｉ１一Ｕ：／ｉ２．可以
看出，在相减时把（ＲＰ＋ Ａ）消掉，，的值可以调节，使电压表读数尽量接近量程，这样读数的相对误差较小．
３ “电桥法”测电阻
图３的电路称为惠斯通电桥，若接在Ｃ，Ｄ间“桥路”上的电流计读数为零，叫做电桥平衡．由于ＩＣＤ＝０，说明 ｃ＝ ，
且通过电阻Ｒ】的电流与通过电阻Ｒ２的电流相同为 １，通过电阻凡的电流与通过电阻Ｒ４的电流相同为 ２，则有
Ｕ （、＝，ｌＲｌ＝，２Ｒ３＝ｕ Ｄ，ＵｃＢ＝ＩｉＲ２＝１２Ｒ４＝ＵＤＢ，２式相比有Ｒｌ／Ｒ：＝Ｒ３／Ｒ４．
惠斯通电桥可用来测电阻：若Ｒ１为待测电阻Ｒ ，Ｒ，为一标准电阻，阻值为Ｒ０，
Ｒ ，Ｒ 为２段粗细均匀的同种电阻丝（见图４），调节Ｄ点的位置至无电流通过Ｇ表，
若此时Ｒ 的长度为Ｌ１，Ｒ４的长度为Ｌ２，则待测电阻Ｒ ＝（ ／Ｌ２）Ｒｏ．
４“定值电阻分压法”测电阻
此方法的好处也是没有系统误差，并且不要用电压、电流的值来计算电阻．
图５中，Ｖ－是待测内阻的电压表，
此方法的好处也是没有系统误差．
５ “Ｖ—Ａ—Ａ法”测电阻
是电阻箱，Ｖ：是另一只电压表．实验时读出电阻箱的示数 ，
垒 国
萤 『睁 ｝
图３
读出电压表Ｖ ，Ｖ２的对应示数Ｕｔ，Ｕ２．根据串联电路电压和电阻成正比，可得Ｒ －－［Ｕｌ／（ｕ２一Ｕ１）】Ｒ０．
如果改进实验电路，使电压表和电流表的示数都是电阻的实际 图６ 图７ 图８
值（见图８）．实验时先断开ｓ，调节尺ｏ，使Ａ 的读数为Ａ 读数的２倍，则， ＝，２，所以Ｒ ＝Ｒｏ＋ ．然后闭合ｓ，读出Ｖ
与 的读数，用欧姆定律求得待测电阻为Ｒ ＝ｕ／１ ＝ｕ／／２，式中：Ｕ，，都是真实值，测量结果没有系统误差．
（作者单位：湖南省娄底市立珊中学，湖南娄底４１７１２４）
2024年5月5日发(作者：巫马杰)
第３１卷
第ｌ期
２０１１矩
高师理科学刊
Ｊｏｕｒｎ￣ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ｏｆ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ ａｎｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖｏ１．３ｌ Ｎｏ．１
１月
Ｊａｎ．２０ｌｌ
文章编号：１００７—９８３ １（２０１ １）Ｏ１～００３２—０４
一
类级数敛散性的判定问题
顾先明，彭浩，宋泽成
（唐山师范学院数学与信 科学系．河北唐山０６３０００）
摘要：通过建立一组离散型不等式（ ［ ］Ｐ （击 和（
［ 『＞（ 讨论了 薹［ 啦其由它衍蜊 型级数
的敛散性问题，并给出了一些相应的实际应用．
关键词：级数；不等式；敛散性
中图分类号：０１７２ 文献标识码：Ａ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—９８３１．２０１１．Ｏ１．０１０
Ｔｈｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｎｄ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｓｅｒｉｅｓ
ＧＵ Ｘｉａｎ—ｍｉｎｇ，ＰＥＮＧ Ｈａｏ，ＳＯＮＧ Ｚｅ－ｃｈｅｎｇ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ ｈｆｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｔａｎｇｓｈａｎ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｔａｎｇｓｈａｎ ０６３０００，Ｃｈｉｎａ）
址～：～ｓｓｅ ｅａｅｃｉｓｉｏｎ ｅｍ… …ｅｒｓｅｎ… …ｅ ａｓｓ 薹［％ ∈
Ｒ）ａｎｄ ｉｔｓ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｂｙ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｉｎｇ ａ ｇｒｏｕｐ ｏｆ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｉｎｅ ｍｉｅｓ（ ［ 『＜（ 。，
＞ｆ 『＞（ ｃａｖ……一 …ｉｃａｔｉｏｎ．
ａｎａ
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｅｒｉｅｓ；ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ；ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｎｄ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ
对于比较常见的级数薹［ ］Ｐ（ｐ∈Ｒ）的敛散性问题，文献【１—３］应用拉贝（Ｒａａｂｅ）判别法给出
了Ｐ＝１，２，３时，级数敛散性结果，但都未对该级数当Ｐ∈Ｒ时的敛散性作进一步讨论．而且采用拉贝
（Ｒａａｂｅ）判别法讨论这类问题势必会十分不便，无法达到预期目的．本文应用初等数学的知识构建了一组
离散型不等式，并基于该组不等式建立此类级数（及其衍生的级数类型）的敛散性问题的快速审敛原则．
受到文献［４］００例２的证题方法的启发，可以得到定理１．
定理 对于任意自然数 ，都有（ ［ 卜［去 ＞ （ ［ 『＞
收稿日期
２Ｏ１Ｏ—Ｏ６—１Ｏ
基金项目
河北省唐山师范学院大学生科技创新科技立项项目
作者简介
顾先明（１９８９－），男，安徽寿县人，在读本科生．Ｅ－ｍａｉｌ：ｇｕｘｉａｎｍｉｎｇ＠ｙａｈｏｏ．ｃｎ
通讯作者
宋泽成（１９６４一），男，河北唐ＬＩＪ人，副教授，从事函数论研究．Ｅ－ｍａｉｌ：ｓｏｎｇｚｃ＠１６３．ＣＯＩｎ
第１期 顾先明
，
等：一类级数敛散性的判定问题 ３３
［
证明由于 持 ‘ ２ｎ－１，于舸槠 ：嚣 ． ２ｎ－１ 然而
１ ３ ５ ２ｎ＋ｌ
－ｆ￣－－２ｎ＋２ ＋
２ｎ ＋１
，
［２ｎ
＋２－一
２ｎ
￣
／ ４ｎ２＋４ｎ＋ｌ－＞ｌ… ，
是 单调 敝 批一 丽 ２ｎ－１． ≥ １
，
所以
１ ３ ５ ２ｎ一１ １
一…一…。２ ４ ６ ——２ 了 ２ｎ 一’、 ＼（１ ｊ）
再桃数帅 … 而琊么 ＝
…２ ４ ●●
二－
●●－
————２ｎ ２—・— —～
・ ２
２．
ｎ＋
ｎ＋１
．厕．
”…
… ，
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３
２ｎ
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． …
一
。
２ ４ ２ｎ …一
＜１，所以Ｙ川＜）＇ （，ｚ １），即｛ ）是一个单调递减数列
，
于是
１
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…
．
６
…
…
．
而
¨
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，
所以
１ ３ ５ ２ｎ—．１ １ １
ｍ
２ ｏ …６… （２）
骀 １
喊贿 ≥
）赋（２）
『＞
≤
（ ．
去．
。 ｕ有（ Ｐ＜ Ｖ（２ｎ酬－１）！！！『１ ＜（；
证毕
葑翩ｌ，始 怯秕 捌法朋越级数薹［ ］Ｐ 啪快龄
～ ２时，级数 ２时
，
级数 是发
理－
证明 （１）当ｐ＞２ｔ
［ ］
ｌ￣，，由Ｐ一级数判别法可知
从而蚍 臌 级
。
级数薹（
数
＝
耋㈦ 是
］ 是收敛的
收触
由定
，
（２） ＜ 由ｐ一级 撇讯级数薹 ＝薹 是发黼由定理－
…蚍…一，级数薹 黼
＜ 脓 知’［ 『＞（ …肺 …，
薹ｊ ７ 是发 ．
高师理科学刊 第３Ｉ卷
￣ｐ＝Ｏ ｎ ｕ薹ｌ ｊ 显然是发
讨论由级数茎［ ∈Ｒ）触的一些其它类型的戮如 ［
，
）
（ｐ∈Ｒ）和级数
ｎ＝ｌ
广ｌＩ 的 陡
艘３ 毗级数 ［ 受批 。时，级数 ［ ］ 是
证明当ｐ＞。时， （ ］ ＝ （去］ ＝。，由极限两边夹定理可知， ［ １ ：。．因
为 寄ｌ （
（２ｎ）！！Ｊ
臌判别洳知，Ｎｐ＞０时，级数
ｎ＝ｌ
～ ＿［
广 ｌ 殳
………
ｌ［ 『≠０，
跸
ｌｉｍ ＠１）＂－１［
毗 ｌ ｆＩ 是发
毗好
…
卜
例１求幂级数薹 的收敛半径与收敛区域．
Ｎｘ＝４时，薹 ４ ＝薹 显然发散．
￣ｘ＝－４时，茎 ｃ ＝
数耋 （ ＝ ）
故所求的收敛区域为（＿４，４）．
，由于 ｌ（＿１）
是发散的．
，所以级
对于级数薹ｉ 『，（，ｚ）（ｐ∈Ｒ）的情况，由于，（ ）的形成比较复杂多变，不容易具体给出其审敛
讨论级
ｎ＝ｌ
‘
的 性．
解由于 ≤ １
，
所以 ， １≤
而１ 赤 为善赤是收
敛的所
ｎ＝ｌ
・
是收
第１期 顾先明，等：一类级数敛散性的判定问题 ３５
参考文献：
…华东师范大学数学系．数学分析（下册）【Ｍ Ｊ．３版．北京：高等敏育出版社，２００１：１５
林源渠．数学分析【ＭＩ．北京：高等教育出版社，１９８６：１３２
『３吴良森．数学分析学习指导书（下册）【３ｌＭＪ．北京：高等教育出版社，２００６：２０
Ｉ４Ｊ曾小平．借助函数单调性证明数列型不等式【ＪＪ．中学生数学，２００２（２１５）：１６
ｌ５张筑生．数学分析新讲（第１册）【５】Ｍ】．北京：北京大学出版社，１９９０：８６
【６ｌ陈纪修．数学分析（下册）Ｉ ＭＪ．北京：高等教育出版社，２００４：２２
消除伏安法测电阻中系统误差的方法
吴来初
在中学物理教学中，伏安法测电阻是个重要的课题，实验误差的分析及如何减少误差更是重点和难点．实验误差有偶然
误差和系统误差．系统误差是由实验原理的缺陷、仪器本身的误差、环境因素的影响等引起的．对于一定的实验，采用特定
的实验原理和测量仪器的条件下，测量结果偏大或偏小几率与测量次数无关，不能采用平均值的方法修
正，而只能从理论计算式中加以修正，或与标准仪器比较等方法加以修正．
１“替代法”测电阻
替代法就是用一个已知阻值的电阻替代待测电阻，替代品首选电阻箱，实验原理见图１（Ｒ 为待测
电阻，Ｒ为电阻箱， 为保护电阻ｌ
将开关Ｓ置于上端，记下电流表的示数，；再将Ｓ置于下端，调节电阻箱Ｒ，使电流表示数与上次相
同．则电阻箱的示数即为Ｒ 的值．此方法存在的问题是：电阻箱的阻值变化不是连续的，区分度一般为
Ｏ．１ Ｑ，影响测量精度，但此实验测量电阻时没有系统误差．
２ “相消法”测电阻
相消法就是将２次测量中电流表内阻消去，达到消除系统误差的目的．测量原理见图２．（１）闭合电
键Ｓ ，将电键ｓ 接２，调节滑动变阻器Ｒ 和ｒ，使电压表读数尽量接近量程，读出这时电压表和电流表 图２
的示数ＵＩ，，】．（２）保持滑动变阻器ＲＰ的值不变，调节ｒ，使电压表读数尽量接近量程，读出这时电压表和电流表的示数
Ｕ２，，２．
第１次测量：ＲＰ＋ＲＡ＋Ｒ ＝Ｕｌ／ｉ１；第２次测量：ＲＰ＋尺Ａ＝Ｕ２／ｉ２，计算被测电阻Ｒ 为：Ｒ ＝Ｕｌ／ｉ１一Ｕ：／ｉ２．可以
看出，在相减时把（ＲＰ＋ Ａ）消掉，，的值可以调节，使电压表读数尽量接近量程，这样读数的相对误差较小．
３ “电桥法”测电阻
图３的电路称为惠斯通电桥，若接在Ｃ，Ｄ间“桥路”上的电流计读数为零，叫做电桥平衡．由于ＩＣＤ＝０，说明 ｃ＝ ，
且通过电阻Ｒ】的电流与通过电阻Ｒ２的电流相同为 １，通过电阻凡的电流与通过电阻Ｒ４的电流相同为 ２，则有
Ｕ （、＝，ｌＲｌ＝，２Ｒ３＝ｕ Ｄ，ＵｃＢ＝ＩｉＲ２＝１２Ｒ４＝ＵＤＢ，２式相比有Ｒｌ／Ｒ：＝Ｒ３／Ｒ４．
惠斯通电桥可用来测电阻：若Ｒ１为待测电阻Ｒ ，Ｒ，为一标准电阻，阻值为Ｒ０，
Ｒ ，Ｒ 为２段粗细均匀的同种电阻丝（见图４），调节Ｄ点的位置至无电流通过Ｇ表，
若此时Ｒ 的长度为Ｌ１，Ｒ４的长度为Ｌ２，则待测电阻Ｒ ＝（ ／Ｌ２）Ｒｏ．
４“定值电阻分压法”测电阻
此方法的好处也是没有系统误差，并且不要用电压、电流的值来计算电阻．
图５中，Ｖ－是待测内阻的电压表，
此方法的好处也是没有系统误差．
５ “Ｖ—Ａ—Ａ法”测电阻
是电阻箱，Ｖ：是另一只电压表．实验时读出电阻箱的示数 ，
垒 国
萤 『睁 ｝
图３
读出电压表Ｖ ，Ｖ２的对应示数Ｕｔ，Ｕ２．根据串联电路电压和电阻成正比，可得Ｒ －－［Ｕｌ／（ｕ２一Ｕ１）】Ｒ０．
如果改进实验电路，使电压表和电流表的示数都是电阻的实际 图６ 图７ 图８
值（见图８）．实验时先断开ｓ，调节尺ｏ，使Ａ 的读数为Ａ 读数的２倍，则， ＝，２，所以Ｒ ＝Ｒｏ＋ ．然后闭合ｓ，读出Ｖ
与 的读数，用欧姆定律求得待测电阻为Ｒ ＝ｕ／１ ＝ｕ／／２，式中：Ｕ，，都是真实值，测量结果没有系统误差．
（作者单位：湖南省娄底市立珊中学，湖南娄底４１７１２４）