2024年6月2日发(作者：夹谷浩歌)

关于函数的对称性和周期性

邮编：224400 江苏省阜宁中学 张敬祝

函数的对称性、周期性是函数的两个基本性质。在中学数学中，研究一个函数，

首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称）、周期性，并且在高

考中也经常考察函数的对称性、周期性以及它们之间的联系，2005年，广东、福建

两省的高考题均出现大题和小题。下面我们就一些常见的性质进行研究。

一、函数的对称性

1、函数

yf(x)

满足

f(ax)f(bx)

时，函数

yf(x)

的图象关于直线

x

ab

对称。

2

证明：在函数

yf(x)

上任取一点（

x

1

，

y

1

），则

y

1

f(x

1

)

，点（

x

1

，

y

1

）关于直

线

x

ab

的对称点（

abx

1

，

y

1

），当

xabx

1

时，

2

b)x]

1

[fb(

1

b)x]

1

(f

，

x)y

故点

f(ab

1

x)[fa(

（

abx

1

，

y

1

）也在函数

yf(x)

图象上。由于点（

x

1

，

y

1

）是图象上

任意一点，因此，函数的图象关于直线

x

（注：特别地，

a

=

b

=0时，该函数为偶函数。）

2、函数

yf(x)

满足

f(ax)f(bx)c

时，函数

yf(x)

的图象关于点

（

ab

对称。

2

ab

c

，）对称。

2

2

证明：在函数

yf(x)

上任取一点（

x

1

，

y

1

），则

y

1

f(x

1

)

，点（

x

1

，

y

1

）关于点

（

c

ab

，）的对称点（

abx

，当

xabx

1

时，

1

，

c

－

y

1

）

2

2

f(abx

1

)cf[b(bx

1

)]cf(x

1

)cy

1

，即点（

abx

1

，

c

－

y

1

）在函数

yf(x)

的图象上。由于点（

x

1

，

y

1

）为函数

yf(x)

图象

上的任意一点可知，函数

yf(x)

的图象关于点（

ab

c

，）对称。

2

2

1

（注：当

a

=

b

=

c

=0时，函数为奇函数。）

3、函数

yf(ax)

的图象与

yf(bx)

的图象关于直线

x

ba

对称。

2

证明：在函数

yf(ax)

上任取一点（

x

1

，

y

1

），则

y

1

f(ax

1

)

，点（

x

1

，

y

1

）

关于直线

x

ba

对称点（

ba

2

1

，

y

1

）。由于

x

f[b(bax

1

)]f[bbax

1

]f(ax

1

)y

1

，故点（

bax

1

，

y

1

）在函数

yf(bx)

上。由点（

x

1

，

y

1

）是函数

yf(ax)

图象上任

一点，因此

yf(ax)

与

yf(bx)

关于直线

x

二、周期性

1、一般地，对于函数

f(x)

，如果存在一个非零常数T，使得当

x

取定义域内的

每一个值时，都有

f(xT)f(x)

，那么函数

f(x)

就叫做周期函数，非零常数T叫

做这个函数的周期。

2、对于非零常数A，若函数

yf(x)

满足

f(xA)f(x)

，则函数

yf(x)

必

有一个周期为2A。

证明：

f(x2A)f[x(xA)]f(xA)[f(x)]f(x)

∴函数

yf(x)

的一个周期为2A。

3、对于非零常数A，函数

yf(x)

满足

f(xA)

个周期为2A。

证明：略。

4、对于非零常数A，函数

yf(x)

满足

f(x)

周期为2A。

证明：略。

三、对称性和周期性之间的联系

1、函数

yf(x)

有两根对称轴

x

=

a

，

x

=

b

时，那么该函数必是周期函数，且对称

ba

对称。

2

1

，则函数

yf(x)

的一

f(x)

1

，则函数

yf(x)

的一个

f(x)

2

2024年6月2日发(作者：夹谷浩歌)

关于函数的对称性和周期性

邮编：224400 江苏省阜宁中学 张敬祝

函数的对称性、周期性是函数的两个基本性质。在中学数学中，研究一个函数，

首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称）、周期性，并且在高

考中也经常考察函数的对称性、周期性以及它们之间的联系，2005年，广东、福建

两省的高考题均出现大题和小题。下面我们就一些常见的性质进行研究。

一、函数的对称性

1、函数

yf(x)

满足

f(ax)f(bx)

时，函数

yf(x)

的图象关于直线

x

ab

对称。

2

证明：在函数

yf(x)

上任取一点（

x

1

，

y

1

），则

y

1

f(x

1

)

，点（

x

1

，

y

1

）关于直

线

x

ab

的对称点（

abx

1

，

y

1

），当

xabx

1

时，

2

b)x]

1

[fb(

1

b)x]

1

(f

，

x)y

故点

f(ab

1

x)[fa(

（

abx

1

，

y

1

）也在函数

yf(x)

图象上。由于点（

x

1

，

y

1

）是图象上

任意一点，因此，函数的图象关于直线

x

（注：特别地，

a

=

b

=0时，该函数为偶函数。）

2、函数

yf(x)

满足

f(ax)f(bx)c

时，函数

yf(x)

的图象关于点

（

ab

对称。

2

ab

c

，）对称。

2

2

证明：在函数

yf(x)

上任取一点（

x

1

，

y

1

），则

y

1

f(x

1

)

，点（

x

1

，

y

1

）关于点

（

c

ab

，）的对称点（

abx

，当

xabx

1

时，

1

，

c

－

y

1

）

2

2

f(abx

1

)cf[b(bx

1

)]cf(x

1

)cy

1

，即点（

abx

1

，

c

－

y

1

）在函数

yf(x)

的图象上。由于点（

x

1

，

y

1

）为函数

yf(x)

图象

上的任意一点可知，函数

yf(x)

的图象关于点（

ab

c

，）对称。

2

2

1

（注：当

a

=

b

=

c

=0时，函数为奇函数。）

3、函数

yf(ax)

的图象与

yf(bx)

的图象关于直线

x

ba

对称。

2

证明：在函数

yf(ax)

上任取一点（

x

1

，

y

1

），则

y

1

f(ax

1

)

，点（

x

1

，

y

1

）

关于直线

x

ba

对称点（

ba

2

1

，

y

1

）。由于

x

f[b(bax

1

)]f[bbax

1

]f(ax

1

)y

1

，故点（

bax

1

，

y

1

）在函数

yf(bx)

上。由点（

x

1

，

y

1

）是函数

yf(ax)

图象上任

一点，因此

yf(ax)

与

yf(bx)

关于直线

x

二、周期性

1、一般地，对于函数

f(x)

，如果存在一个非零常数T，使得当

x

取定义域内的

每一个值时，都有

f(xT)f(x)

，那么函数

f(x)

就叫做周期函数，非零常数T叫

做这个函数的周期。

2、对于非零常数A，若函数

yf(x)

满足

f(xA)f(x)

，则函数

yf(x)

必

有一个周期为2A。

证明：

f(x2A)f[x(xA)]f(xA)[f(x)]f(x)

∴函数

yf(x)

的一个周期为2A。

3、对于非零常数A，函数

yf(x)

满足

f(xA)

个周期为2A。

证明：略。

4、对于非零常数A，函数

yf(x)

满足

f(x)

周期为2A。

证明：略。

三、对称性和周期性之间的联系

1、函数

yf(x)

有两根对称轴

x

=

a

，

x

=

b

时，那么该函数必是周期函数，且对称

ba

对称。

2

1

，则函数

yf(x)

的一

f(x)

1

，则函数

yf(x)

的一个

f(x)

2