2024年6月3日发(作者：雪乐悦)

2022-2023学年安徽省A10联盟高二下学期4月期中考试数学试题

一、单选题

1．在正项等比数列

1

A．

2



a

n



中，

a

3

a

5

5,a

5

a

7

20

，则



a

n



的公比等于（

）

B．2C．4D．



2

【答案】B

a

5



a

7



q

2



a



q

【分析】设数列

n

的公比为，利用

a

3



a

5

计算可得答案.

a

5



a

7



q

2



4



a



q

【详解】设数列

n

的公比为，则

a

3



a

5

，

解得

q=2

（负值舍去）.

故选：B.

2．设



x



0

A．

5

【答案】A

【分析】根据导数的计算方法求解即可.

【详解】

Δx



0

故选：A.

3．已知函数

lim

f(4



x)



f(4



x)



10

f





4







x

，则（

）

B．

20

C．5D．20

lim

f(4



Δx)



f(4



Δx)f(4



Δx)



f(4



Δx)



2lim



2f





4





10

f



45

Δx



0

Δx2Δx

，即



.

f



x



的导函数为

f



x



，则“

yf



x



在



0,2



上有两个零点”是“

f



x



在



0,2



上有两

个极值点”的（

）

A．充分不必要条件

【答案】D

【分析】结合充分、必要条件定义及极值点的概念即可可判断.

【详解】只有当

成立；若

f



x



B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

在



0,2



上有两个变号零点时，

f



x



在



0,2



上才有两个极值点，故充分性不

f



x



在



0,2



上有两个极值点，则

f



x



在



0,2



上有两个变号零点，则

f



x



在



0,2



上至

f



x



少有两个零点，故必要性不成立.综上，“

点”的既不充分也不必要条件，

故选：D.

在



0,2



上有两个零点”是“

f



x



在



0,2



上有两个极值

4．传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把

1,3,6,10,

叫做三角形数；把

1,4,9,16,

叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（

）

A．

36

【答案】A

B．

49

C．

64

D．

81

【分析】分别写出三角形数和正方形数的通项公式，根据通项公式可得答案.

【详解】三角形数：

1,3,6,10,

，可得其通项公式为

2

正方形数：

1,4,9,16,

，可得其通项公式为

b

n

n

，

a

n



n



n

1



2

；

a

n

49,a

n

64,a

n

81

均无正整数解，且

b

7

49,b

8

64,b

9

81

，

所以

49

，

64

，

81

是正方形数不是三角形数，

a36,b

6

36

36

又

8

，既是三角形数，又是正方形数.

故选：A.

5．某厂安排

5

名工人到三个岗位值班，每名工人只去一个岗位，每个岗位至少安排

1

名工人，则安

排工人甲､乙到同一个岗位值班的方法数为（

）

A．

24

【答案】B

【分析】先将

5

人分为

3

个小组，再将

3

个小组安排到三个岗位即可.

【详解】依题意，可分两步安排：

第一步，将

5

人分为

3

个小组，按小组人数可分为

2

人、

2

人、

1

人和

3

人、

1

人、

1

人两类，

B．

36

C．

60

D．

90

2

人、

2

人、

1

人分组，甲、乙同组，另外

3

人中，选出

2

人同组，有

C

3

种方法，

3

人、

1

人、

1

人分组，除甲、乙的另外

3

人中，选出

1

人与甲、乙同组，剩余

2

人各自一组，有

2

C

1

3

种方法，

21

CC

33

种方法；∴第一步共有

第二步，将

3

组分别安排到三个岗位，有

A

3

3

种方法，

种.



C

∴满足题意的安排方法数有

故选：B.

6．已知数列

A．-1012

2

3

3

C

1

3



A

3





33



636



a

n



的前

n

项和为

S

n

,a

n





2n1



sin

nπ

2

，则

S

2024



（

）

B．1012C．-2024D．2024

【答案】C

【分析】写出前4项找出



a

n



的规律，再分组求和即可.

nπ

a

n





2n1



sin

2

，【详解】

π3π

a

1

sin1,a

2

3sinπ0,a

3

5sin5,a

4

7sin2π0

22

则，

a

5

9,a

6

0,a

7

13,a

4

0

，

a

1

a

2

a

3

a

4

4,a

5

a

6

a

7

a

8

4

，依次类推，

,a

2021

a

2022

a

2023

a

2024

4

，

S

2024

a

1

a

2

a

3

a

4

a

2024

506



a

1

a

2

a

3

a

4



506



4



2024

.

故选：C.

122332020

7．已知

a1C

20

2C

20

2C

20

2C

20

2

，则

a

被10除所得的余数为（

）

A．9

【答案】C

B．3C．1D．0

【分析】根据二项式定理可得

a9

10





101



10

，再利用二项展开式求解即可.

2010

a1C2C2C2C2(12)39

20202020

【详解】，

a(101)

10

C

10

10C

10

10



1



C

10

10(1)C

10

10(1)1

，又

012

C

10

10

10

,C

10

10

9



1



,C

10

10

8

(1)

2

,

99

C10(1)

10

，都是10的倍数，

a

被10除所得的余数为1.

故选：C

8．在等比数列

A．0

【答案】D

【分析】令

g



x







xa

1



xa

2







xa

10





a

n



中，

a

2

1,a

9

9

，函数

f



x



x



xa

1



xa

2







xa

10



，则

f





0





（

）

B．1C．

3

10

D．

3

10

，则根据

f



x



xg



x



求导可得

f





0



a

1

a

2

a

10

，再

根据等比数列的性质求解即可.

【详解】令

g



x







xa

1



xa

2







xa

10



，则

f



x



xg



x



,f





x



g



x



xg





x



，

f





0



g



0



a

1

a

2

a

10

，



数列



a

n



是等比数列，且

a

2

1,a

9

9

，

a

1

a

10

a

2

a

9

a

3

a

8

a

4

a

7

a

5

a

6

9,f





0



g



0



a

1

a

2

a

10

3

10

.

故选：D.

二、多选题

9．若曲线

A．

f



x



2x

3

x3

的一条切线垂直于直线

x7y10

，则切点的坐标可以是（

）

C．



0,3



B．



1,0





1,6



D．



2,15



【答案】BC

【分析】根据曲线的一条切线垂直于直线，求出切点处切线的斜率，推出对应的切点的横坐标，即

可确定切点的坐标.

【详解】由题意，

11

yx

77

在直线

x7y10

中，

设切点为

在

∴

P



x

0

,

y

0



，

中，

f



x



2x

3

x3

f





x



6x

2

1

，一条切线垂直于直线

x7y10

2

f





x

0



6x

0

17

，解得

x

0

1

，

yf



x

0



2130



1,0



；当

x

0

1

时，

0

，此时点

P

的坐标为

yf



x

0



2136



1,6



.当

x

0

1

时，

0

，此时点

P

的坐标为

故选：BC.

10．下列各式正确的是（

）

A．

17

C

3

20

C

20

B．

232020

C

1

20

C

20

C

20

C

20

2



1

A

m



n

C．

n!



n



m



1



!

m



1

n



1



A

m



n



A

n



1

D．

【答案】AD

【分析】对于A，由

n



m

C

m

n



C

n

可判断；对于B，根据二项式系数和公式可判断；对于CD，根据排

列数的计算公式可验证.

【详解】对于A，由

n



m

C

m

n



C

n

得

17

C

3

20

C

20

，A正确；

1232020

CCCC21

，B错误；

20202020

对于B，



1

A

m



n

对于C，

n!n!







n





m



1







!



n



m



1



!

，C错误；



n



1



A

m

n





n



1





对于D，

故选：AD



n



1



!

n!



1



A

m

n



1



n



m



!







n



1







m



1







!

，D正确.

2

a

n



4S

n





a

n

1





S

n

11．已知正项数列前n项和为，且满足（

）

A．数列

C．数列



a

n



是等差数列B．

D．

a

1

1



S

n

a

n



不是等差数列

S

20

400

【答案】ABD

【分析】根据给定的递推公式，结合

n



2,a

n



S

n



S

n



1

求出数列



a

n



的通项公式，再逐项判断作答.

2

2

a

n



4S



a



1







n



N



,a

n



0

4S

n





a

n

1



n



1n



1

【详解】数列中，，，当

n2

时，，

则

22

4a

n



a

n



2a

n



1



(a

n



1



2a

n



1



1)

2

，即

(a

n



a

n



1

)(a

n



a

n



1

)



2(a

n



a

n



1

)

a

1

1

，即数列

，

因此

a

n



a

n



1



2

，而

4a

1





a

1

1



，解得



a

n



是首项为1，公差为2 的等差数列，

A，B都正确；

a

n

a

1

2(n1)2n1

于是

，

S

n



n(a

1



a

n

)



n

2

Sa

n

3n1

2

，

n

，

(S

n



1



a

n



1

)



(S

n



a

n

)



3(n



1)



1



(3n



1)



3

，数列



S

n

a

n



是等差数列，C错误；

S

20

20

2

400

，D正确.

故选：ABD

【点睛】思路点睛：给出

S

n

与

a

n

的递推关系，求

a

n

，常用思路是：一是利用

a

n

S

n



1



S

n



a

n



1

转化为

的递推关系，再求其通项公式；二是转化为

S

n

的递推关系，先求出

S

n

与n之间的关系，再求

a

n

.



2



,x



0

f



x







e

x



g



x



f



x



1

2x

3



mx



3,x



0



12．已知函数，若函数恰有3个零点，则实数

m

的值可以

为（

）

A．5

【答案】CD

【分析】将问题转化为方程

B．6C．7D．8

f



x



1

恰有3个实数根，再讨论

x0

时可得有1个根，进而当

x0

时，方程

f



x



1

有2个实数根，再构造函数





x





2x

2



(x



0)

4

x

，求导分析单调性与最值

即可.

【详解】令

g



x



f



x



10

，解得

f



x



1

，故问题转化为方程

f



x



1

恰有3个实数根.

2



1

x

x0

e

当时，令，解得

xln2

，

故当

x0

时，方程

f



x



1

有2个实数根.

3

3

令

2xmx31

，即

2x4mx

，显然

x0

不是该方程的根，



m



2x

2



4

4





x





2x

2



(x



0)

x

x

.令，

32

4

4



x



1



4



x



1





x



x



1









x





4x



2



2

xxx

2

则，

故当

x1

时，

故当

x=



1

时，







x



0

，当

x1

时，







x



0

，

，当

x0

，且

x0

时，





x



有极小值6，而

x

时，





x









x





，

故实数

m

的取值范围为

故选：CD



6,



.

三、填空题

13．在

(3x1)

的展开式中，含

x

的项的系数为__________.

【答案】135

【分析】利用通项公式计算可得答案.

k6



kkk6



kk6



k

6

T



C(3x)(



1)



C3(



1)x

，

0k6,kN

，

(3x1)

k1

k



166

【详解】在展开式中，第项为

6

2

424

2

令

k4

，得含有

x

的项的系数为

C

6

3(1)135

故答案为：135.

14．某乡村道路上有12盏照明路灯，为了节约用电，需要关闭其中两两不相邻的4盏，但考虑行

人夜间出行安全，两端的路灯不能关闭，则关灯方案的种数为__________.（用数字作答）

【答案】35

【分析】利用插空法求解即可.

【详解】由题意得，让4盏需要关闭的灯插空到8盏亮灯的7个空中，有

故答案为：35

4

C

7

35

种关灯方案.

15．已知等差数列



a

n



的前

n

项和为

S

n

，若

a

1

0

，公差

d0

，当且仅当

n8

时，

S

n

取得最大值，

S

12

则

d

的取值范围是__________.

【答案】



30,18





a

8



0

S

12

a

1





8



7

a



0

d

【分析】根据题意可得



9

，进而可得，再根据

S

n

公式可得

d

的取值范围.



a

1



7d



0



a

8



0

a

1

S

12

12a

1







8



7S



12a



66d,



66

121

a

1



8d



0

a

9



0





ddd

【详解】由题意得，，即，解得.又，



S

12

d

的取值范围是



30,18



.

故答案为：



30,18



2

16．如图，某款酒杯的上半部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为

93cm

的正三角形．若在该

酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，当放置的圆柱形冰块的体积最大时，

其高度为__________

cm

．

【答案】

3

【分析】首先根据题意作出平面图，由圆锥的轴截面的面积求出圆锥底面半径，易知冰块体积最大

时上底与杯口齐平，设圆柱形冰块的底面圆半径为

xcm

，其中

0x3

，表示出高

h

，得出圆柱体

积

V

关于

x

的表达式，由导数确定体积最大时半径

x

的值，即可得出此时圆柱的高．

【详解】由题意作出圆锥轴截面的平面图，如图所示，过等边三角形

ABC

顶点

C

作

CDAB

，则

ADBD

，

ACDBCD30

，

设圆锥底面圆的半径为

Rcm

，则

ADR

，

AC2R

，

2222

CDACAD4RR3R

，所以

2

因为圆锥的轴截面是面积为

93cm

，

11

ABCD2R3R3R

2

93

2

所以

2

，

解得

R3

,

易知冰块体积最大时上底与杯口齐平，

2024年6月3日发(作者：雪乐悦)

2022-2023学年安徽省A10联盟高二下学期4月期中考试数学试题

一、单选题

1．在正项等比数列

1

A．

2



a

n



中，

a

3

a

5

5,a

5

a

7

20

，则



a

n



的公比等于（

）

B．2C．4D．



2

【答案】B

a

5



a

7



q

2



a



q

【分析】设数列

n

的公比为，利用

a

3



a

5

计算可得答案.

a

5



a

7



q

2



4



a



q

【详解】设数列

n

的公比为，则

a

3



a

5

，

解得

q=2

（负值舍去）.

故选：B.

2．设



x



0

A．

5

【答案】A

【分析】根据导数的计算方法求解即可.

【详解】

Δx



0

故选：A.

3．已知函数

lim

f(4



x)



f(4



x)



10

f





4







x

，则（

）

B．

20

C．5D．20

lim

f(4



Δx)



f(4



Δx)f(4



Δx)



f(4



Δx)



2lim



2f





4





10

f



45

Δx



0

Δx2Δx

，即



.

f



x



的导函数为

f



x



，则“

yf



x



在



0,2



上有两个零点”是“

f



x



在



0,2



上有两

个极值点”的（

）

A．充分不必要条件

【答案】D

【分析】结合充分、必要条件定义及极值点的概念即可可判断.

【详解】只有当

成立；若

f



x



B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

在



0,2



上有两个变号零点时，

f



x



在



0,2



上才有两个极值点，故充分性不

f



x



在



0,2



上有两个极值点，则

f



x



在



0,2



上有两个变号零点，则

f



x



在



0,2



上至

f



x



少有两个零点，故必要性不成立.综上，“

点”的既不充分也不必要条件，

故选：D.

在



0,2



上有两个零点”是“

f



x



在



0,2



上有两个极值

4．传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把

1,3,6,10,

叫做三角形数；把

1,4,9,16,

叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（

）

A．

36

【答案】A

B．

49

C．

64

D．

81

【分析】分别写出三角形数和正方形数的通项公式，根据通项公式可得答案.

【详解】三角形数：

1,3,6,10,

，可得其通项公式为

2

正方形数：

1,4,9,16,

，可得其通项公式为

b

n

n

，

a

n



n



n

1



2

；

a

n

49,a

n

64,a

n

81

均无正整数解，且

b

7

49,b

8

64,b

9

81

，

所以

49

，

64

，

81

是正方形数不是三角形数，

a36,b

6

36

36

又

8

，既是三角形数，又是正方形数.

故选：A.

5．某厂安排

5

名工人到三个岗位值班，每名工人只去一个岗位，每个岗位至少安排

1

名工人，则安

排工人甲､乙到同一个岗位值班的方法数为（

）

A．

24

【答案】B

【分析】先将

5

人分为

3

个小组，再将

3

个小组安排到三个岗位即可.

【详解】依题意，可分两步安排：

第一步，将

5

人分为

3

个小组，按小组人数可分为

2

人、

2

人、

1

人和

3

人、

1

人、

1

人两类，

B．

36

C．

60

D．

90

2

人、

2

人、

1

人分组，甲、乙同组，另外

3

人中，选出

2

人同组，有

C

3

种方法，

3

人、

1

人、

1

人分组，除甲、乙的另外

3

人中，选出

1

人与甲、乙同组，剩余

2

人各自一组，有

2

C

1

3

种方法，

21

CC

33

种方法；∴第一步共有

第二步，将

3

组分别安排到三个岗位，有

A

3

3

种方法，

种.



C

∴满足题意的安排方法数有

故选：B.

6．已知数列

A．-1012

2

3

3

C

1

3



A

3





33



636



a

n



的前

n

项和为

S

n

,a

n





2n1



sin

nπ

2

，则

S

2024



（

）

B．1012C．-2024D．2024

【答案】C

【分析】写出前4项找出



a

n



的规律，再分组求和即可.

nπ

a

n





2n1



sin

2

，【详解】

π3π

a

1

sin1,a

2

3sinπ0,a

3

5sin5,a

4

7sin2π0

22

则，

a

5

9,a

6

0,a

7

13,a

4

0

，

a

1

a

2

a

3

a

4

4,a

5

a

6

a

7

a

8

4

，依次类推，

,a

2021

a

2022

a

2023

a

2024

4

，

S

2024

a

1

a

2

a

3

a

4

a

2024

506



a

1

a

2

a

3

a

4



506



4



2024

.

故选：C.

122332020

7．已知

a1C

20

2C

20

2C

20

2C

20

2

，则

a

被10除所得的余数为（

）

A．9

【答案】C

B．3C．1D．0

【分析】根据二项式定理可得

a9

10





101



10

，再利用二项展开式求解即可.

2010

a1C2C2C2C2(12)39

20202020

【详解】，

a(101)

10

C

10

10C

10

10



1



C

10

10(1)C

10

10(1)1

，又

012

C

10

10

10

,C

10

10

9



1



,C

10

10

8

(1)

2

,

99

C10(1)

10

，都是10的倍数，

a

被10除所得的余数为1.

故选：C

8．在等比数列

A．0

【答案】D

【分析】令

g



x







xa

1



xa

2







xa

10





a

n



中，

a

2

1,a

9

9

，函数

f



x



x



xa

1



xa

2







xa

10



，则

f





0





（

）

B．1C．

3

10

D．

3

10

，则根据

f



x



xg



x



求导可得

f





0



a

1

a

2

a

10

，再

根据等比数列的性质求解即可.

【详解】令

g



x







xa

1



xa

2







xa

10



，则

f



x



xg



x



,f





x



g



x



xg





x



，

f





0



g



0



a

1

a

2

a

10

，



数列



a

n



是等比数列，且

a

2

1,a

9

9

，

a

1

a

10

a

2

a

9

a

3

a

8

a

4

a

7

a

5

a

6

9,f





0



g



0



a

1

a

2

a

10

3

10

.

故选：D.

二、多选题

9．若曲线

A．

f



x



2x

3

x3

的一条切线垂直于直线

x7y10

，则切点的坐标可以是（

）

C．



0,3



B．



1,0





1,6



D．



2,15



【答案】BC

【分析】根据曲线的一条切线垂直于直线，求出切点处切线的斜率，推出对应的切点的横坐标，即

可确定切点的坐标.

【详解】由题意，

11

yx

77

在直线

x7y10

中，

设切点为

在

∴

P



x

0

,

y

0



，

中，

f



x



2x

3

x3

f





x



6x

2

1

，一条切线垂直于直线

x7y10

2

f





x

0



6x

0

17

，解得

x

0

1

，

yf



x

0



2130



1,0



；当

x

0

1

时，

0

，此时点

P

的坐标为

yf



x

0



2136



1,6



.当

x

0

1

时，

0

，此时点

P

的坐标为

故选：BC.

10．下列各式正确的是（

）

A．

17

C

3

20

C

20

B．

232020

C

1

20

C

20

C

20

C

20

2



1

A

m



n

C．

n!



n



m



1



!

m



1

n



1



A

m



n



A

n



1

D．

【答案】AD

【分析】对于A，由

n



m

C

m

n



C

n

可判断；对于B，根据二项式系数和公式可判断；对于CD，根据排

列数的计算公式可验证.

【详解】对于A，由

n



m

C

m

n



C

n

得

17

C

3

20

C

20

，A正确；

1232020

CCCC21

，B错误；

20202020

对于B，



1

A

m



n

对于C，

n!n!







n





m



1







!



n



m



1



!

，C错误；



n



1



A

m

n





n



1





对于D，

故选：AD



n



1



!

n!



1



A

m

n



1



n



m



!







n



1







m



1







!

，D正确.

2

a

n



4S

n





a

n

1





S

n

11．已知正项数列前n项和为，且满足（

）

A．数列

C．数列



a

n



是等差数列B．

D．

a

1

1



S

n

a

n



不是等差数列

S

20

400

【答案】ABD

【分析】根据给定的递推公式，结合

n



2,a

n



S

n



S

n



1

求出数列



a

n



的通项公式，再逐项判断作答.

2

2

a

n



4S



a



1







n



N



,a

n



0

4S

n





a

n

1



n



1n



1

【详解】数列中，，，当

n2

时，，

则

22

4a

n



a

n



2a

n



1



(a

n



1



2a

n



1



1)

2

，即

(a

n



a

n



1

)(a

n



a

n



1

)



2(a

n



a

n



1

)

a

1

1

，即数列

，

因此

a

n



a

n



1



2

，而

4a

1





a

1

1



，解得



a

n



是首项为1，公差为2 的等差数列，

A，B都正确；

a

n

a

1

2(n1)2n1

于是

，

S

n



n(a

1



a

n

)



n

2

Sa

n

3n1

2

，

n

，

(S

n



1



a

n



1

)



(S

n



a

n

)



3(n



1)



1



(3n



1)



3

，数列



S

n

a

n



是等差数列，C错误；

S

20

20

2

400

，D正确.

故选：ABD

【点睛】思路点睛：给出

S

n

与

a

n

的递推关系，求

a

n

，常用思路是：一是利用

a

n

S

n



1



S

n



a

n



1

转化为

的递推关系，再求其通项公式；二是转化为

S

n

的递推关系，先求出

S

n

与n之间的关系，再求

a

n

.



2



,x



0

f



x







e

x



g



x



f



x



1

2x

3



mx



3,x



0



12．已知函数，若函数恰有3个零点，则实数

m

的值可以

为（

）

A．5

【答案】CD

【分析】将问题转化为方程

B．6C．7D．8

f



x



1

恰有3个实数根，再讨论

x0

时可得有1个根，进而当

x0

时，方程

f



x



1

有2个实数根，再构造函数





x





2x

2



(x



0)

4

x

，求导分析单调性与最值

即可.

【详解】令

g



x



f



x



10

，解得

f



x



1

，故问题转化为方程

f



x



1

恰有3个实数根.

2



1

x

x0

e

当时，令，解得

xln2

，

故当

x0

时，方程

f



x



1

有2个实数根.

3

3

令

2xmx31

，即

2x4mx

，显然

x0

不是该方程的根，



m



2x

2



4

4





x





2x

2



(x



0)

x

x

.令，

32

4

4



x



1



4



x



1





x



x



1









x





4x



2



2

xxx

2

则，

故当

x1

时，

故当

x=



1

时，







x



0

，当

x1

时，







x



0

，

，当

x0

，且

x0

时，





x



有极小值6，而

x

时，





x









x





，

故实数

m

的取值范围为

故选：CD



6,



.

三、填空题

13．在

(3x1)

的展开式中，含

x

的项的系数为__________.

【答案】135

【分析】利用通项公式计算可得答案.

k6



kkk6



kk6



k

6

T



C(3x)(



1)



C3(



1)x

，

0k6,kN

，

(3x1)

k1

k



166

【详解】在展开式中，第项为

6

2

424

2

令

k4

，得含有

x

的项的系数为

C

6

3(1)135

故答案为：135.

14．某乡村道路上有12盏照明路灯，为了节约用电，需要关闭其中两两不相邻的4盏，但考虑行

人夜间出行安全，两端的路灯不能关闭，则关灯方案的种数为__________.（用数字作答）

【答案】35

【分析】利用插空法求解即可.

【详解】由题意得，让4盏需要关闭的灯插空到8盏亮灯的7个空中，有

故答案为：35

4

C

7

35

种关灯方案.

15．已知等差数列



a

n



的前

n

项和为

S

n

，若

a

1

0

，公差

d0

，当且仅当

n8

时，

S

n

取得最大值，

S

12

则

d

的取值范围是__________.

【答案】



30,18





a

8



0

S

12

a

1





8



7

a



0

d

【分析】根据题意可得



9

，进而可得，再根据

S

n

公式可得

d

的取值范围.



a

1



7d



0



a

8



0

a

1

S

12

12a

1







8



7S



12a



66d,



66

121

a

1



8d



0

a

9



0





ddd

【详解】由题意得，，即，解得.又，



S

12

d

的取值范围是



30,18



.

故答案为：



30,18



2

16．如图，某款酒杯的上半部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为

93cm

的正三角形．若在该

酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，当放置的圆柱形冰块的体积最大时，

其高度为__________

cm

．

【答案】

3

【分析】首先根据题意作出平面图，由圆锥的轴截面的面积求出圆锥底面半径，易知冰块体积最大

时上底与杯口齐平，设圆柱形冰块的底面圆半径为

xcm

，其中

0x3

，表示出高

h

，得出圆柱体

积

V

关于

x

的表达式，由导数确定体积最大时半径

x

的值，即可得出此时圆柱的高．

【详解】由题意作出圆锥轴截面的平面图，如图所示，过等边三角形

ABC

顶点

C

作

CDAB

，则

ADBD

，

ACDBCD30

，

设圆锥底面圆的半径为

Rcm

，则

ADR

，

AC2R

，

2222

CDACAD4RR3R

，所以

2

因为圆锥的轴截面是面积为

93cm

，

11

ABCD2R3R3R

2

93

2

所以

2

，

解得

R3

,

易知冰块体积最大时上底与杯口齐平，