2024年6月5日发(作者：焉曼珍)

逐差法的原理与应用

逐差法作为物理实验中常用的一种数据处理方法，在高中大部分资料里并没有被深入阐释，从而导致

学生理解和应用困难；本文从逐差法的适用条件、操作过程和应用实例、误差分析等多个角度对逐差法进

行了深入细致的分析，有望突破这一难点。

高中物理中，在用纸带法测量加速度时，很多资料介绍了逐差法，但是从考试和练习情况来看，学生

对逐差法掌握得并不好，究其原因，实际上是大部分学生对逐差法的操作过程不理解不熟悉所致；而很多

资料中，出现了在测量弹簧劲度系数、测量定值电阻、测量磁感应强度等问题中逐差法的应用的题目，更

是对学生提出了深入理解、灵活迁移的要求。因此，从根本上把逐差法的适用条件、操作过程、减小误差

等诸方面搞清楚，是完全必要的。我们通过对比研究已知的逐差法适用题型，并对逐差法进行理论分析，

从而得到了本篇文章研究的结果，现发出来与大家分享，同时欢迎大家的批评指正。

一、逐差法的适用条件——等差数列求公差

从理论上讲，一个物理量（因变量）随另一个物理量（自变量）成线性规律变化时，如果自变量的变

化采用等差递增方式，则理论上讲，因变量也应该是等差递增的，也就是说因变量数列应该是一个等差数

列；但由于实验测量时误差的不可避免，实际测量得到的因变量的数列并不是严格的等差数列，在有的情

况下，为了得到理论上需要的公差，就需要采用一种计算操作，实现多次测量求平均值的目标，从而求得

误差较小的公差值。这时，我们往往采用所谓的“逐差法”。

二、逐差法求公差的操作过程

设一个物理量b随另一个物理量a理论上讲成线性规律变化，实验时让a等差递增，从而得到一个b

的数列



b

i



，理论上讲，该数列是公差确定的等差数列，即

b

2

b

1

b

3

b

2

b

4

b

3

b

5

b

4

...d

则理论上讲，就应该有

b

m



b

n

(

m



n

)

d

，比如

b

4



b

1



3d

、

b

5

b

2

3d

、

b

6

b

3

3d

。但实际

上，实验测量不可避免的存在误差，因此实验计算的结果是

b

4

b

1

3d

1

b

5

b

2

3d

2

b

6

b

3

3d

3

我们就可以通过将这几个

d

i

取平均值，从而计算出实验测得的该数列的公差

最后可以得到

1

d

(

d

1

d

2

d

3

)

3

(

b



b



b

)



(

b

3



b

2



b

1

)

1

b



b

b



bb



b

d



(

41



52



63

)



654

33333



3

上述求公差的计算方法，就叫做逐差法。

如果数据不是偶数个，则通常采用去掉中间一个值或者最小的值的方式，将数据变成偶数个，然后进

行如上计算操作，进而得出实验公差值，比如实验测量数据有七个数据（

b

1

、b

2

、b

3

、b

4

、b

5

、b

6

、b

7

），

如果去掉

b

4

，则有

b

5

b

1

4d

1

、

b

6

b

2

4d

2

、

b

7

b

3

4d

3

，得

(

b



b



b

)



(

b

3



b

2



b

1

)

1

b



bb



bb



b

d



(

51



62



73

)



765

34443



4

如果去掉

b

1

，则有

b

5

b

2

3d

1

、

b

6

b

3

3d

2

、

b

7

b

4

3d

3

，得

(

b



b



b

)



(

b

4



b

3



b

2

)

1

b



bb



bb



b

d



(

52



63



74

)



765

33333



3

三、高中物理中逐差法的应用示例

1、纸带法测物体的加速度

【例1】（2015·全国卷Ⅱ，22）某同学用图（a）所示的实验装置测量物块与斜面之间的动摩擦因数。

已知打点计时器所用电源的频率为50Hz，物块下滑过程中所得到的纸带的一部分如图（b）所示，图中标

出了五个连续点之间的距离。

（1）物块下滑时的加速度a＝m/s

2

，打C点时物块的速度v＝m/s

2

[解析]物块沿斜面下滑是匀加速直线运动，理论上讲有

x

DE



x

CD



x

CD



x

BC



x

BC



x

AB



x



aT

，

因此满足逐差法适用条件，则按逐差法操作程序，有

x

打C点时物块的速度v

C

＝

BD

＝1.79m/s。

2T

2、悬挂法测弹簧的劲度系数

【例

2

】某同学用悬挂法测弹簧的劲度系数。

（

1

）将弹簧竖直悬挂在铁架台上，将刻度尺竖直固定在弹簧一侧。

（2）弹簧自然悬挂，待弹簧静止时，长度记为L

0

；弹簧下端挂上砝码盘时，长度

记为L

x

；在砝码盘中每次增加10g砝码，弹簧长度依次记为L

1

至L

6

。数据如下表：

代表符号

数值（cm）

L

0

25.35

L

x

27.35

L

1

29.35

L

2

31.30

L

3

33.40

L

4

35.35

L

5

x

DE



x

BC



2



x



2a

1

T

2

，

x

CD



x

AB



2



x



2a

2

T

2

a



a

2

(

x

DE



x

CD

)



(

x

BC



x

AB

)

两式联立，得

a



1

，代入T＝0.02s，解得加速度a＝3.25m/s

2

。



2

22



2T

L

6

39.3037.40

（3）弹簧的劲度系数为N/m。（结果保留两位有效数字，重力加速度取9.8m/s

2

）

[解析]只挂砝码盘时，由平衡条件，有

kx

0

m

0

g

0

，即

k(L

x

L

0

)m

0

g0

；再加砝码个数为n

时，由平衡条件，有

kx(nmgm

0

g)0

，即

k(L

n

L

0

)(nmgm

0

g)0

，联立得

L

n



L

x



由此可知，L

n

随n应该是均匀增加，是一个等差数列，满足逐差法适用条件，则按逐差法操作程序，有

L

6

L

3

3x

1

，

L

5

L

2

3x

2

，

L

4

L

1

3x

3

则每增加一个砝码，弹簧长度的平均增加量为

nmg

，

k

3、伏安法测定值电阻

【例3】(2016·浙江理综，22)某同学用伏安法测量导体的电阻，现有量程为3V、内阻约为3kΩ的

电压表和量程为0.6A、内阻约为0.1Ω的电流表。采用分压电路接线，图7是实

物的部分连线图，待测电阻为图8中的R

1

，其阻值约为5Ω。

(1)测R

1

阻值的最优连接方式为导线①连接______(填a或b)、导线②连接

________(填c或d)。

(2)正确接线测得实验数据如表，用作图法求得R

1

的阻值为________Ω。

U/V

I/A

0.40

0.09

0.80

0.19

1.20

0.27

1.60

0.35

2.00

0.44

2.40

0.53



x

1



x

2



x

3

(

L

6



L

5



L

4

)



(

L

3



L

2



L

1

)



2cm

33



3



Fmg

4.9N/m

。

则弹簧的劲度系数为

k





x



x



x



[解析](1)ad；

(2)原题要求用作图法求R

1

的阻值，本题还可以用逐差法求解，从考场操作角度来讲，逐差法其实还

简单一些。

U

可知，当电阻R

1

两端电压U按等差数列均匀变化时，通过R

1

的电流I也应是按等

R

1

差数列均匀变化的，则按逐差法操作程序，有

I

6

I

3

3I

1

，

I

5

I

2

3I

2

，

I

4

I

1

3I

1

由欧姆定律

I

则R

1

两端电压U每增加0.4V，通过R

1

的电流I的平均增加量为

4、伏安法测电源内阻

【例4】(2014·福建理综，19(2))某研究性学习小组利用伏安法测定某一电池组

的电动势和内阻，实验原理如图甲所示，其中，虚线框内为用灵敏电流计G改装

的电流表A，V为标准电压表，E为待测电池组，S为开关，R为滑动变阻器，R

0

是标称值为4.0Ω的定值电阻。

③某次试验的数据如下表所示：该小组借鉴“研究匀变速直线运动”试验中计算

加速度的方法（逐差法），计算出电池组的内阻r=Ω(保留两位小数)；为减小偶

然误差，逐差法在数据处理方面体现出的主要优点是。

测量次数

电压表V读数U/V

改装表A读数I/mA

1

5.26

20

2

5.16

40

3

5.04

60

4

4.94

80

5

4.83

100

6



I

1



I

2



I

3

(

I

6



I

5



I

4

)



(

I

3



I

2



I

1

)



0.08555A

33



3



U

则R

1

的阻值为

R

1





4.68



。



I



I



7

4.59

140

8

4.46

160

4.71

120

[解析]（3）将电源E和R

0

打包作为等效电源（

E



,r



），则有

E



E

，

r



rR

0

，由

UEIr



可

知，当通过等效电源的电流I按等差数列均匀增加时，等效电源两端的路端电压U也应该时按等差数列均

匀减小，则由逐差法的操作程序，有

U

5

U

1

4U

1

，

U

6

U

2

4U

2

，

U

7

U

3

4U

3

，

U

8

U

4

4U

4

则通过等效电源的电流I每增加20mA时，等效电源两端的路端电压U也的变化量平均值为



U

1



U

2



U

3



U

4

(

U

8



U

7



U

6



U

5

)



(

U

4



U

3



U

2



U

1

)



0.113V

44



4



U

5.66

，则

r1.66

。

则等效电源内阻为

r







I



U



用逐差法的优点可以减小实验误差。

四、逐差法在减小实验误差中的作用

下面以纸带法测量加速度为例，说明逐差法对减小实验误差的

意义。

如右图所示，为了减小测量误差，测量AB、BC、CD...各段长

度时，并不是逐段分别测量，而是将刻度尺零刻度线对齐A点后，

一次性将AB、AC、AD...读完，也就是图中的d

1

、d

2

、d

3

...

从逐差法的最终计算式

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

x



x

(

x



x



x

4

)



(

x

3



x

2



x

1

)(

d

6



d

3

)



d

3

d

6



2

d

3

1

x



x

x



x



x



(

41



52



63

)



65



33333



33



33



3

可以看出，逐差法利用的实际是前后两大段纸带的长度，设每个d

i

测量的平均误差为

d

，则按误差

3



dd

理论，逐差法得到的

x

的误差为。



93

如果采用逐段相减的方法，即

x

1

x

2

x

1

，

x

2

x

3

x

2

，

x

3

x

4

x

3

，

x

4

x

5

x

4

，

x

5

x

6

x

5

则最终的计算式为

x



x

(

d



d

5

)



d

1

d

6



d

5



d

1

1



x



(



x

1



x

2



x

3



x

4



x

5

)



61



6



5555

3d

按误差理论，这种算法得到的

x

的误差为，显然，后一种算法引起的误差要大一些。

5

所以，逐差法可以起到减小实验误差的作用。

在这里要顺便说一下的是，很多资料在谈及逐差法的优点时，说逐差法能够利用每一组数据，也就是

如下理解：

逐差法

逐段法

x



x

(

x



x



x

4

)



(

x

3



x

2



x

1

)

1

x



x

x



x



x



(

41



52



63

)



65

33333



3

x



x

1



x



(



x

1



x

2



x

3



x

4



x

5

)



61

55

6



d

2

d

，逐段

93

以为逐差法用到了更多的数据，数据越多，偏大偏小的概率越接近相等，从而相加可以更好的消除误

差。这其实是一种错误的理解，其错在两点：其一，不知道实际测量应该是从起点一次性将各点数据读出，

其二，若真是逐段分别测量，按上述算法，恰恰是逐差法误差更大——逐差法误差为

法误差为

2



d

2

d

，2014年福建高考题第23题第（3）问，当年给的参考答案就犯了这样的错误。

53

2024年6月5日发(作者：焉曼珍)

逐差法的原理与应用

逐差法作为物理实验中常用的一种数据处理方法，在高中大部分资料里并没有被深入阐释，从而导致

学生理解和应用困难；本文从逐差法的适用条件、操作过程和应用实例、误差分析等多个角度对逐差法进

行了深入细致的分析，有望突破这一难点。

高中物理中，在用纸带法测量加速度时，很多资料介绍了逐差法，但是从考试和练习情况来看，学生

对逐差法掌握得并不好，究其原因，实际上是大部分学生对逐差法的操作过程不理解不熟悉所致；而很多

资料中，出现了在测量弹簧劲度系数、测量定值电阻、测量磁感应强度等问题中逐差法的应用的题目，更

是对学生提出了深入理解、灵活迁移的要求。因此，从根本上把逐差法的适用条件、操作过程、减小误差

等诸方面搞清楚，是完全必要的。我们通过对比研究已知的逐差法适用题型，并对逐差法进行理论分析，

从而得到了本篇文章研究的结果，现发出来与大家分享，同时欢迎大家的批评指正。

一、逐差法的适用条件——等差数列求公差

从理论上讲，一个物理量（因变量）随另一个物理量（自变量）成线性规律变化时，如果自变量的变

化采用等差递增方式，则理论上讲，因变量也应该是等差递增的，也就是说因变量数列应该是一个等差数

列；但由于实验测量时误差的不可避免，实际测量得到的因变量的数列并不是严格的等差数列，在有的情

况下，为了得到理论上需要的公差，就需要采用一种计算操作，实现多次测量求平均值的目标，从而求得

误差较小的公差值。这时，我们往往采用所谓的“逐差法”。

二、逐差法求公差的操作过程

设一个物理量b随另一个物理量a理论上讲成线性规律变化，实验时让a等差递增，从而得到一个b

的数列



b

i



，理论上讲，该数列是公差确定的等差数列，即

b

2

b

1

b

3

b

2

b

4

b

3

b

5

b

4

...d

则理论上讲，就应该有

b

m



b

n

(

m



n

)

d

，比如

b

4



b

1



3d

、

b

5

b

2

3d

、

b

6

b

3

3d

。但实际

上，实验测量不可避免的存在误差，因此实验计算的结果是

b

4

b

1

3d

1

b

5

b

2

3d

2

b

6

b

3

3d

3

我们就可以通过将这几个

d

i

取平均值，从而计算出实验测得的该数列的公差

最后可以得到

1

d

(

d

1

d

2

d

3

)

3

(

b



b



b

)



(

b

3



b

2



b

1

)

1

b



b

b



bb



b

d



(

41



52



63

)



654

33333



3

上述求公差的计算方法，就叫做逐差法。

如果数据不是偶数个，则通常采用去掉中间一个值或者最小的值的方式，将数据变成偶数个，然后进

行如上计算操作，进而得出实验公差值，比如实验测量数据有七个数据（

b

1

、b

2

、b

3

、b

4

、b

5

、b

6

、b

7

），

如果去掉

b

4

，则有

b

5

b

1

4d

1

、

b

6

b

2

4d

2

、

b

7

b

3

4d

3

，得

(

b



b



b

)



(

b

3



b

2



b

1

)

1

b



bb



bb



b

d



(

51



62



73

)



765

34443



4

如果去掉

b

1

，则有

b

5

b

2

3d

1

、

b

6

b

3

3d

2

、

b

7

b

4

3d

3

，得

(

b



b



b

)



(

b

4



b

3



b

2

)

1

b



bb



bb



b

d



(

52



63



74

)



765

33333



3

三、高中物理中逐差法的应用示例

1、纸带法测物体的加速度

【例1】（2015·全国卷Ⅱ，22）某同学用图（a）所示的实验装置测量物块与斜面之间的动摩擦因数。

已知打点计时器所用电源的频率为50Hz，物块下滑过程中所得到的纸带的一部分如图（b）所示，图中标

出了五个连续点之间的距离。

（1）物块下滑时的加速度a＝m/s

2

，打C点时物块的速度v＝m/s

2

[解析]物块沿斜面下滑是匀加速直线运动，理论上讲有

x

DE



x

CD



x

CD



x

BC



x

BC



x

AB



x



aT

，

因此满足逐差法适用条件，则按逐差法操作程序，有

x

打C点时物块的速度v

C

＝

BD

＝1.79m/s。

2T

2、悬挂法测弹簧的劲度系数

【例

2

】某同学用悬挂法测弹簧的劲度系数。

（

1

）将弹簧竖直悬挂在铁架台上，将刻度尺竖直固定在弹簧一侧。

（2）弹簧自然悬挂，待弹簧静止时，长度记为L

0

；弹簧下端挂上砝码盘时，长度

记为L

x

；在砝码盘中每次增加10g砝码，弹簧长度依次记为L

1

至L

6

。数据如下表：

代表符号

数值（cm）

L

0

25.35

L

x

27.35

L

1

29.35

L

2

31.30

L

3

33.40

L

4

35.35

L

5

x

DE



x

BC



2



x



2a

1

T

2

，

x

CD



x

AB



2



x



2a

2

T

2

a



a

2

(

x

DE



x

CD

)



(

x

BC



x

AB

)

两式联立，得

a



1

，代入T＝0.02s，解得加速度a＝3.25m/s

2

。



2

22



2T

L

6

39.3037.40

（3）弹簧的劲度系数为N/m。（结果保留两位有效数字，重力加速度取9.8m/s

2

）

[解析]只挂砝码盘时，由平衡条件，有

kx

0

m

0

g

0

，即

k(L

x

L

0

)m

0

g0

；再加砝码个数为n

时，由平衡条件，有

kx(nmgm

0

g)0

，即

k(L

n

L

0

)(nmgm

0

g)0

，联立得

L

n



L

x



由此可知，L

n

随n应该是均匀增加，是一个等差数列，满足逐差法适用条件，则按逐差法操作程序，有

L

6

L

3

3x

1

，

L

5

L

2

3x

2

，

L

4

L

1

3x

3

则每增加一个砝码，弹簧长度的平均增加量为

nmg

，

k

3、伏安法测定值电阻

【例3】(2016·浙江理综，22)某同学用伏安法测量导体的电阻，现有量程为3V、内阻约为3kΩ的

电压表和量程为0.6A、内阻约为0.1Ω的电流表。采用分压电路接线，图7是实

物的部分连线图，待测电阻为图8中的R

1

，其阻值约为5Ω。

(1)测R

1

阻值的最优连接方式为导线①连接______(填a或b)、导线②连接

________(填c或d)。

(2)正确接线测得实验数据如表，用作图法求得R

1

的阻值为________Ω。

U/V

I/A

0.40

0.09

0.80

0.19

1.20

0.27

1.60

0.35

2.00

0.44

2.40

0.53



x

1



x

2



x

3

(

L

6



L

5



L

4

)



(

L

3



L

2



L

1

)



2cm

33



3



Fmg

4.9N/m

。

则弹簧的劲度系数为

k





x



x



x



[解析](1)ad；

(2)原题要求用作图法求R

1

的阻值，本题还可以用逐差法求解，从考场操作角度来讲，逐差法其实还

简单一些。

U

可知，当电阻R

1

两端电压U按等差数列均匀变化时，通过R

1

的电流I也应是按等

R

1

差数列均匀变化的，则按逐差法操作程序，有

I

6

I

3

3I

1

，

I

5

I

2

3I

2

，

I

4

I

1

3I

1

由欧姆定律

I

则R

1

两端电压U每增加0.4V，通过R

1

的电流I的平均增加量为

4、伏安法测电源内阻

【例4】(2014·福建理综，19(2))某研究性学习小组利用伏安法测定某一电池组

的电动势和内阻，实验原理如图甲所示，其中，虚线框内为用灵敏电流计G改装

的电流表A，V为标准电压表，E为待测电池组，S为开关，R为滑动变阻器，R

0

是标称值为4.0Ω的定值电阻。

③某次试验的数据如下表所示：该小组借鉴“研究匀变速直线运动”试验中计算

加速度的方法（逐差法），计算出电池组的内阻r=Ω(保留两位小数)；为减小偶

然误差，逐差法在数据处理方面体现出的主要优点是。

测量次数

电压表V读数U/V

改装表A读数I/mA

1

5.26

20

2

5.16

40

3

5.04

60

4

4.94

80

5

4.83

100

6



I

1



I

2



I

3

(

I

6



I

5



I

4

)



(

I

3



I

2



I

1

)



0.08555A

33



3



U

则R

1

的阻值为

R

1





4.68



。



I



I



7

4.59

140

8

4.46

160

4.71

120

[解析]（3）将电源E和R

0

打包作为等效电源（

E



,r



），则有

E



E

，

r



rR

0

，由

UEIr



可

知，当通过等效电源的电流I按等差数列均匀增加时，等效电源两端的路端电压U也应该时按等差数列均

匀减小，则由逐差法的操作程序，有

U

5

U

1

4U

1

，

U

6

U

2

4U

2

，

U

7

U

3

4U

3

，

U

8

U

4

4U

4

则通过等效电源的电流I每增加20mA时，等效电源两端的路端电压U也的变化量平均值为



U

1



U

2



U

3



U

4

(

U

8



U

7



U

6



U

5

)



(

U

4



U

3



U

2



U

1

)



0.113V

44



4



U

5.66

，则

r1.66

。

则等效电源内阻为

r







I



U



用逐差法的优点可以减小实验误差。

四、逐差法在减小实验误差中的作用

下面以纸带法测量加速度为例，说明逐差法对减小实验误差的

意义。

如右图所示，为了减小测量误差，测量AB、BC、CD...各段长

度时，并不是逐段分别测量，而是将刻度尺零刻度线对齐A点后，

一次性将AB、AC、AD...读完，也就是图中的d

1

、d

2

、d

3

...

从逐差法的最终计算式

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

x



x

(

x



x



x

4

)



(

x

3



x

2



x

1

)(

d

6



d

3

)



d

3

d

6



2

d

3

1

x



x

x



x



x



(

41



52



63

)



65



33333



33



33



3

可以看出，逐差法利用的实际是前后两大段纸带的长度，设每个d

i

测量的平均误差为

d

，则按误差

3



dd

理论，逐差法得到的

x

的误差为。



93

如果采用逐段相减的方法，即

x

1

x

2

x

1

，

x

2

x

3

x

2

，

x

3

x

4

x

3

，

x

4

x

5

x

4

，

x

5

x

6

x

5

则最终的计算式为

x



x

(

d



d

5

)



d

1

d

6



d

5



d

1

1



x



(



x

1



x

2



x

3



x

4



x

5

)



61



6



5555

3d

按误差理论，这种算法得到的

x

的误差为，显然，后一种算法引起的误差要大一些。

5

所以，逐差法可以起到减小实验误差的作用。

在这里要顺便说一下的是，很多资料在谈及逐差法的优点时，说逐差法能够利用每一组数据，也就是

如下理解：

逐差法

逐段法

x



x

(

x



x



x

4

)



(

x

3



x

2



x

1

)

1

x



x

x



x



x



(

41



52



63

)



65

33333



3

x



x

1



x



(



x

1



x

2



x

3



x

4



x

5

)



61

55

6



d

2

d

，逐段

93

以为逐差法用到了更多的数据，数据越多，偏大偏小的概率越接近相等，从而相加可以更好的消除误

差。这其实是一种错误的理解，其错在两点：其一，不知道实际测量应该是从起点一次性将各点数据读出，

其二，若真是逐段分别测量，按上述算法，恰恰是逐差法误差更大——逐差法误差为

法误差为

2



d

2

d

，2014年福建高考题第23题第（3）问，当年给的参考答案就犯了这样的错误。

53